多元函数微分法及其应用

第九章多元函数微分法及其应用

一、基本要求及重点、难点

1. 基本要求

(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。

(2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。

(3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件

和充分条件。

(4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。

(7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。

(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉

格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

2. 重点及难点

（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。

（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。

二、内容概述

多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。

1.多元函数的极限和连续

(1)基本概念

1)点集和区域。

2)多元函数的定义、定义域。

3)二元函数的极限、连续。

(2)基本定理

1)多元初等函数在其定义域内是连续的。

2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值

M和最小值m之间的任何值。

2.多元函数微分法

(1)基本概念

偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。 (2) 计算方法

1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数

x x x

z =∂∂，就是一元函数

),(0y x f z =

在0x x =处的导数；对y 的偏导数

x x x

z =∂∂（同理）。

2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy y

z

dx x z dz ∂∂+∂∂=

3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同

条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。

A. 设),(v u f z =，)(),(t v t u ψϕ==，则全导数dt

dv

v z dt du u z dt dz ∂∂+

∂∂=。 B. 设),(v u f z =，),(),,(y x v y x u ψϕ==

则：

x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+

∂∂∂∂=∂∂，y

v

v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂。 4) 隐函数求导法则：

A. 设函数)(x f y =由隐函数0),(=y x F 确定，则

y

x F F dx dy

-=。 B. 设函数),(y x f z =由隐函数0),,(=z y x F 确定，则

z

x F F dx dz

-=，z

y F F dy dz

-

=。 C. 设函数)(),(x g z x f y ==由隐函数方程组⎩⎨

⎧==0

),,(0

),,(z y x G z y x F 确定，从

⎪⎩⎪⎨

⎧='+'+='+'+0)()(0

)()(x g G x f G G x g F x f F F z y x

z y x ，求出导数)(),(x g x f ''。 (3) 多元函数连续、可导、可微的关系

(4) 基本定理

1) 可微的必要条件：如果函数),(y x f z =在点),(y x 处可微分，则函数在点

),(y x 处偏导数必定存在，且全微分为y y

z

x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=

。 2) 可微的充分条件：如果函数),(y x f z =的偏导数

y

z

x z ∂∂∂∂,在点),(y x 处连续，则函数在该点必可微，且dy y

z

dx x z dz ∂∂+∂∂=

。 3. 多元函数微分学的应用

(1) 方向导数和梯度

1) 方向导数

A. 定义：ρ

ρ)

,(),(lim

y x f y y x x f -∆+∆+→，22)()(y x ∆+∆=ρ

B. 计算方法：βαcos cos y

f x f l f ∂∂+∂∂=∂∂ 2) 梯度

A. 定义：j y

f i x f y x gradf ρ

ρ∂∂+∂∂=

),( B. 函数在一点的梯度grad ),(y x f 是一个向量，它的方向是函数在这点的方

向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值。

3) 方向导数和偏导数的区别和联系

A. 都是多元函数的变化率，方向导数是沿任意指定方向的变化率而偏导数是

沿坐标轴方向（两个方向）的变化率； B. 方向导数是偏导数概念的推广，偏导数并不是某一方向的方向导数。

(3) 极值问题

1) 无条件极值

A. 极值的必要条件：若函数),(y x f 在点),(0

00y x P 处达到极值，且偏

导数都存在，则0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y 。

B. 极值的充分条件：设函数),(y x f 在点),(000y x P 的某个邻域)

(0P U 内有连续的二阶偏导数，且0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，记

),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，则

2) 条件极值及其求法：

A. 定义：函数),(y x f 在条件0),(=y x ϕ下的极值，称为条件极值。

B. 计算方法：拉格朗日乘数法：

将该问题化为求函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=的无条件极值，因此从

⎪

⎩⎪

⎨⎧==+=+0

),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ中求出的),(00y x ，就是函数),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ下的可能的极值点。

(4) 最值问题

1) 设函数),(y x f 在开区间D 内连续，),(00y x 是D 内唯一的极值点，如果该点

是极大（小）点，则该点是最大（小）点，),(00y x f 为最大（小）值。 2) 设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则必取到最大值和最小值，将边界上