八年级下册数学直角三角形的性质(一)
湘教版八年级下册数学
一、直角三角形1、直角三角形的性质定理①“直角三角形的两个锐角互余”②“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”③“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”④“直角三角形两直角边a ，b的平方和，等于斜边c的平方。
”【勾股定理】互余：直角三角形中，两个锐角互余。
（两角之和等于90°）互补：两直线平行，同旁内角互补。
（两角之和等于180°）2、直角三角形的判定定理①“有两个角互余的三角形是直角三角形”②“如果三角形的三条边长a ，b ，c满足关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形”【勾股定理的逆定理】3、直角三角形全等的判定“斜边、直角边定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”【简称：斜边、直角边或“HL”】4、两个三角形全等的判定方法：【六种】①平移、旋转②AAS③ASA（两角及其夹边）④SSS （三边）⑤SAS（两边及其夹角）⑥HL（斜边、直角边）5、角平分线的性质①角平分线的性质定理：“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”②角平分线的性质定理的逆定理：“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”6、线段垂直平分线：垂直且平分一条直线的线段。
①线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
②线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上7、等腰三角形的性质：①等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。
②等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合。
（简称：三线合一）③等腰三角形的两底角相等（简称：等边对等角）8、完全平方式：(a+b)²=a²﹢2ab+b²【(a+b)²=（a+b）╳（a+b）=a╳a+2╳a╳b+b╳b = a²﹢2ab+b²】(a-b)²=a²-2ab+b²平方差公式：a²-b²=（a+b）╳（a-b）二、四边形多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形。
八年级下册数学直角三角形的性质1
直角三角形的性质教学目标：1、掌握直角三角形的两个性质定理，能运用直角三角形有关性质解决简单的数学问题。
2、进一步领会利用添加辅助线的方法来证明有关几何问题。
3、经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法。
4、通过图形的变换，引导学生进行类比联想，促进学生的四维想多层次方位发散。
5、在定理证明的过程中，体会交流的重要性，同时共同分享成功的喜悦。
教学要点：1、教学重点：让学生掌握直角三角形的两个性质定理。
DB本课的主要任务是让学生掌握直角三角形的性质定理，尤其是学生经历探索直角三角性质的过程，体会研究图形性质的方法。
新课标的基本理念是以学生发展为本，坚持全体学生的全面发展，关注学生个性的健康发展，所以我积极倡导让学生亲身经历猜想、探究为主的学习活动，培养学生的好奇性和探究欲，使他们学会探究解决问题的策略。
教学设计上，引导学生动眼、动脑、动手、动嘴、主动探索、主动发现，主动获取新的知识，并在学生的自主活动中逐步培养和发展他们的创造能力和良好的个性品质。
直角三角形是人们日常生活中常见的一种几何图形，学生在前一节课已经学习了直角三角形的特殊判定定理，由此引起学生对性质的特殊性思考。
对于性质定理1没有耗费太多的时间，由学生通过算一算直接得到。
练习中的找一找让学生对于等腰直角三角形这一特殊情况引起大胆的猜想，借助几何画板去伪存真，得出直角三角形的中线性质。
在这一过程中，让学生逐步体会从特殊到一般的研究问题的策略。
接着就是命题的证明过程，对于证明思路的分析事先做好充分的准备，抓住中线的特点，运用几何画板演示旋转过程，引导学生得出辅助线的添加方法，再有学生独立完成证明过程。
例题的选择上也源于教材，旨在让学生抓住图形的特点学会运用性质解决几何图形。
整个课堂设计，通过“算一算”、“找一找”、“想一想”、“猜一猜”、“证一证”、“练一练”、“变一变”等一系列活动的参与，让学生去想，去说，去做，去表达，去体会成功的喜悦。
八年级下册数学直角三角形
八年级下册数学直角三角形一、直角三角形的定义与性质。
1. 定义。
- 有一个角为90°的三角形叫做直角三角形。
直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。
2. 性质。
- 直角三角形的两个锐角互余。
即若ABC中，∠ C = 90^∘，则∠ A+∠ B = 90^∘。
- 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2。
例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边c=√(3^2) + 4^{2}=√(9 + 16)=√(25) = 5。
- 在直角三角形中，30^∘角所对的直角边等于斜边的一半。
例如，在ABC 中，∠ C = 90^∘，∠ A=30^∘，设斜边AB = c，则BC=(1)/(2)c。
- 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
如在ABC中，∠ C = 90^∘，D 为AB中点，则CD=(1)/(2)AB。
二、直角三角形的判定。
1. 定义判定。
- 直接看三角形中是否有一个角为90^∘，如果有，则这个三角形是直角三角形。
2. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
例如，三角形三边分别为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144=169 = 13^2，所以这个三角形是直角三角形。
3. 一个三角形，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
- 例如，在ABC中，D为AB中点，CD=(1)/(2)AB，则∠ ACB = 90^∘。
三、直角三角形全等的判定（HL定理）1. HL定理内容。
- 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
2. 应用示例。
- 已知ABC和DEF都是直角三角形，∠ C=∠ F = 90^∘，AB = DE，AC = DF，根据HL定理，可以得出ABC≅ DEF。
四、解直角三角形。
1. 概念。
北师大版八年级数学下册课件.1直角三角形的性质与判定课件
1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
教学目标
1.了解直角三角形两锐角互余及互逆命题的转化 2.运用勾股定理逆定理判定直角三角形
重难点
1.熟练掌握勾股定理逆定理的证明方法 2.互逆命题的真假性判定
提出问题，导入新课
问题1 直角三角形的定义是什么？ 有一个是直角的三角形叫直角三角形.
归纳新知
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方．
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边 的平方，那么这个三角形是直角三角形．
条件和结论互换
上面两个定理的条件和结论有什么关系吗？ 与同伴交流.
探求新知
再视察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角.
知识回顾
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理.
a
c
b
勾
弦
股
提出问题 探求新知
勾股定理是一个真命题，那么把这个命题的条件和结论颠 倒过来，形成一个新的命题：
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这 个三角形是直角三角形．
解：（1）多边形是四边形.原命题是真，逆 命题是假.（2）同旁内角互补，两直线平行.原 命题是真，逆命题是真.（3）如果那么 a = 0， b = 0，那么 ab = 0.原命题是假，逆命题是真.
课堂小结
角的性质
直角三 角形
边的性质
定理1：直角三角形的两 个锐角互余 定理2：有两个角互余的 三角形是直角三角形
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
湘教版数学八年级下册1.1直角三角形的性质和判定(一)课件
Байду номын сангаас.直角三角形的性质定理:
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边 的一半。 8.结合右边图形用数学符号表示直角三角形 的性质定理:
在RtABC中, ACB 900,CD是斜边AB上的中线,则有
CD
AB
或CD BD AD.
9.应用直角三角形性质定理的前提条件 是：在直角三角形中
10.教材中证明直角三角形性质定理的 方法称为: 同一法
再见
若A 400 ,则B
,
ACD
, BCD
.
6. 如右图所示,CD是RtABC斜边AB上的中线, 请用刻 度尺度量并比较CD, AB, AD, BD的长度.
CD 2.1 cm; AD 2.1 cm; BD 2.1 cm; AB 4.2 cm
CD AB.
根据刚才的探究, 你有什么发现？
合作探究一
1.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半 求证:这个三角形是直角三角形. 已知: 如图,CD是ABC的AB边上的中线,
且CD 1 AB. 2
求证: ABC是直角三角形.
已知: 如图,CD是ABC的AB边上的中线,
且CD 1 AB. 2
求证: ABC是直角三角形.
合作探究二
2.如图, AB // CD, BAC和ACD的平分线相交于H点, E为AC的中点, 那么:
1 2, 3
4
1 2 3 4
则 1 3
AHC是 直角三角形 ( 有两个角) 互余的三角
若EH 3, 那么AC 6 形是直角三角形
在直角三角形中，斜边上的中
线等于(斜边的一半
)
课堂小结
本堂课我自己学会了： 同学 帮助我学会了： 我帮助同学学会了：
八年级下册数学直角三角形性质(1)
3 、 如 图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ ACB=90 ， CD 是 斜 边 AB 上 的 高 ， 那 么 ， 与 ∠ B 互 余 的 角 有 有 ， 与∠ A 互 余 的 角 有 ，∠A 相等的角有 ， 与 ∠ B 相等 的 角 .
C
二、合作与探究
（一）研究直角三角形性质定理 1 如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？
A
A
D
B
4、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是 AB 边上的中线，那么与 CE 相等的线段有_________， 归纳小结：定理 1：直角三角形的两个锐角 （二）研究直角三角形性质定理 2 1、实验操作： 要学生拿出事先画好的直角三角形 （l）量一量斜边 AB 的长度 （3）画出斜边上的中线 （2）找到斜边的中点，用字母 D 表示 （4）量一量斜边上的中线的长度 与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 5、在直角三角形中，斜边及其中线之和为 6，那么该三角形的斜边长为________． 6、已知：∠ABC=∠ADC=90 °，E 是 AC 中点。求证： （1）ED=EB (2)∠EBD=∠EDB （3）图中有哪些等腰三角形？
D
C 三、应用与巩固
1、 在直角三角形中，有一个锐角为 52 ，那么另一个锐角度数为 2、 在 Rt△ABC 中，∠C=90 ，∠A -∠B =30 ，那么∠A=
0 0 0 0
B
； ，∠B= ；
教学过程： 一 、预习与交流
复习提问： （1）什么叫直角三角形？ （2 （2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?
C
B
让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？
八年级数学下册 随堂训练 1.1 直角三角形的性质和判定(I)(第1课时)课件 (新版)湘教版
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
C．∠A－∠B＝90°
D．∠A＝51∠B＝16∠C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 8．如图，公路 AC、BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若 测得 AM 的长为 1.2km，则 M、C 两点间的距离为( D )
A．0.5km
B．0.6km
A．8
B．9.5
C．11
D．14
4．如图，在△ABC 中，∠A＝90°，点 D 在 AC 边上，DE∥BC.若∠1＝155°， 则∠B 的度数为 65° .
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6，AD 是底边上的高，E 为 AC 中点，则 DE＝ 3 .
6．如图，AD∥BC，∠DAB 和∠ABC 的平分线相交于 CD 边上的一点 E，F 为 AB 边的中点．求证：EF＝21AB.
7．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点 M 为 BD 的中点， 点 N 为 AC 的中点．MN 与 AC 的位置关系如何？证明你的猜想．
解：MN⊥AC.证明：连接 AM、CM，∵∠BAD＝90°，点 M 为 BD 中点，∴ AM＝21BD.同理：CM＝12BD，∴AM＝CM.∵点 N 为 AC 中点，∴MN⊥AC.
l2 上，∠ACB＝90°，若∠1＝15°，则∠2 的度数是( B )
A．35°
B．30°
C．25°
D．20°
2．已知：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A－∠B＝20°，则∠A＝ 55° ， ∠B＝ 35° .
3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，那么与∠A 互余的角 有 ∠ACD、∠B ；与∠A 相等的角有 ∠BCD .
C．0.9km
八年级下册数学直角三角形的性质和判定(1)
教学过程：
共案
个案
（一）知识回顾：
1.在前面我们学习了三角形的哪些概念及性质？
2.三角形按角可分哪几类？什么叫做直角三角形？
3.直角三角形的性质：
课练（一）：1.△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是__________三角形。
2.已知△ABC中，∠A=∠B，∠B=∠C，则∠A=________，∠B=_______，∠C=________。
②上述条件拼成的图形有什么特点？仔细观察，回答下面问题：
1.图中有哪些相等线段?
2.点D具备什么特征？
线段CD是△ABC的什么线？
△ABC中AB的中线CD与AB有什么数量关系？
3.△ABC是什么样的三角形？为什么？
结论：
性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
判定定理：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
∠C=_________。
3.动手操作及探究：
操作：①画一个Rt△ABC;②找到斜边AB的中点D；③连接CD（CD就是Rt△ABC斜边
上的中线。）④量一量DA、DB、DC的长度，你发现什么结论？
猜想：斜边上的中线与斜边的长度有何关系？怎么证明？
探究：①用两个腰相等，且顶角互补的等腰三角形能拼成一个三角形吗？
课练（三）：1.Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB的中点，若OC=5则AB=若AB=18，则OC=若AB+OC=18，则AB=OC=.
2.在△ABC中，CE是AB边上的中线，且CE=AE，则△ABC是_________三角形，若∠CEA=80°，则∠B=_________，
∠A=_________。
（2）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，则∠A=_________
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课题 第一章 直角三角形 直角三角形的性质与判定I （一）
本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第1课时，为本学期总第1课时
教学目标 知识与技能：1、体验直角三角形应用的广泛性，理解直角三角形的定义，进一步认识直角三角形；2、学会用符号和字母表示直角三角形；3、经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质；4、会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形;5、理解和掌握直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半。
过程与方法：通过动手，猜想发现直角三角形的性质，引导逆向思维，探索性质的推导方法——同一法。
情感态度与价值观：体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力。
重点 直角三角形性质和判定的探索及运用 难点 直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”的判定探索过程
教学方法 课型
教具
教学过程： 一 、创设情境，导入新课
1、什么叫直角三角形？ 从定义可以知道直角三角形具有一个角是直角的性质，要判断一个
三角形是直角三角形需要判断这个三角形中有一个角是直角。
直角三角
形除了有一个角是直角这条性质外还有没有别的性质呢？判断一个三
角形是直角三角形除了判断一个角是直角还有没有别的方法呢？这节
课我们来探究这些问题。
二 、合作交流，探究新知
1、直角三角形两锐角互余
动脑筋：如图，在Rt △ABC 中，两锐角的和 ∠A+∠B=______.为什么？
直角三角形两锐角互余
试试看：(1) 如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠A=40°，
则∠BCD=_____. [来源:]
(2 )在△ABC 中，∠B=50°高AD 、CE 交于H ，则∠AHC=____
2、利用两锐角互余判断三角形是直角三角形。
动脑筋：如图，在△ABC 中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC 是直个案修改
H B
A j H E D C
B A D
C B A
C
B A
C B A
角三角形吗？为什么？
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
试试看：如图，AB ∥CD ，∠A 和∠C 的平分线
相交于H 点，那么△AHC 是直角三角形吗？
为什么？
]3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的探索过程
（1）按要求作图:画一个直角三角形，并作出
斜边上的中线，
（2）量一量各线段的长度。
（3）猜想：你能猜想出什么结论？
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（4）寻找理论依据：
A 、你能用符号表示上面问题中的条件和结论吗？
已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是中线，问：CD=
12AB 吗？: B 、分析：直接证明很困难，不妨假设CD=
12AB,那么，∠A=∠ACD,因此，考虑作射线C 'D ，使∠A=∠AC 'D ，看看C 'D 有什么特点？
引导学生得出C 'D =A 'D =B 'D =
12AB, C 、比较CD 和C 'D 的位置有什么关系？为什么？
CD 和C 'D 都是Rt △ABC 斜边上的中线，
D ．直角三角形斜边上有几条中线？由此你想到什么？
CD 和C 'D 重合。
因此CD=12
AB, (5)归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4 变式训练
例1 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？（交流讨论）
归纳：若三角形一条边上的中线等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形。
三、课堂练习，巩固提高
1、只给你一个圆规和一把直尺，你能
画出一个直角三角形吗？ 2、教材P4 练习 1、2
四、反思小结，拓展提高
今天我们学习哪些内容？
（1）直角三角形的性质：①两锐角互余，②斜边上的中线等于斜边的一半。
（2）直角三角形的判定方法：
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形；
O C B A
2、两个锐角互余的三角形是直角三角形
3、一条边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
五、作业
教材P7 A组 1、2题。