101高数试卷A1.pdf
1011高数A一补考试题及解答
f x dx f x .
知识点：不定积分和导数的关系， 分析 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. d d[ f ( x )dx] f ( x )dx f ( x )dx f ( x ) dx
F ( x )dx F ( x ) C
key : A
分析 利用函数的一阶导数和二阶导数符号判断函数 的单调性和凹凸性.
key : D
5.
下列等式正确的是
( A)
A .
d ( B) f x dx f x C ; dx ( D)
df x f x C ;
b a
(C ) d f x dx f x dx;
2 2
5 2 3 x 4. ( x 1) dx 3 x xC 1 5
5.
0
1 x
1 dx _______ . 2 2
二、 选择题（每小题2分，共10分）
1. “数列有界{xn }? 是“数列极限 lim xn 存在”的 C . n
( A) 充分必要条件;
2e x sin x .
四、计算题（每小题8分，共16分）
1. 设y e cos x, 求y.
x
x x 解： y e cos x e sin x
x x x x y e cos x e sin x e sin x e cos x.
2e x sin x .
证明： 设 f ( x ) x 3 x 1， f (0) 1，f (1) 1，
由零点定理 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0.
即方程至少有一个小于1的正实根.
北京101中学10月高一数学试题
北京一零一中 2019-2020 学年度第一学期高一数学统练二 第 2 页（共 2 页）
(D) 既不充分也不必要条件
5. 已知 x1, x2 是关于 x 的方程 x2 + bx − 3 = 0 的两根, 且满足 x1 + x2 − 3x1 x2 = 5, 那么 b 的 值为 ( )
(A) 4
(B) −4
(C) 3
(D) −3
6. 已知集合 A = {x | x2 − 2x − 3 < 0}, B = {x | −1 < x < m}, 若 x ∈ A 是 x ∈ B 的充分不必要条
(A) ab > ac
(B) c(b − a) > 0
(C) cb2 < ab2
(D) ac(a − c) < 0
2.
不等式
x−3 x−1
0 的解集为 ( )
(A) {x | x < 1 或 x 3}
(B) {x | 1 x 3}
(C) {x | 1 < x 3}
(D) {x | 1 < x < 3}
3.
“a,
b
∈
R+”
是
“
a
+ 2
b
(A) 充分不必要条件
√ ab”
成立的
( )
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
4. 设 x ∈ R, 则 “x2 − 5x < 0” 是 “|x − 1| < 1” 的 ( )
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件
(C) 充要条件
数 13关4x,系+
北京市101中高一数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年北京101中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点x0=1，那么下一个有根区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32B．a≥32C．a≥16D．a≤167．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．28．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）= ．10．求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1= ．11．设函数y=f（x+2）是奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3.5）= ．12．函数f（x）=3x的值域是．13．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是．14．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中正确的是．（写出所有正确的编号）三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．17．已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．18．已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年北京101中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}【考点】集合的表示法．【分析】对于A，B，D的元素都是实数，而C的元素是等式a=0，不是实数，所以选C．【解答】解：通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式a=0；∴C中的集合不同于另外3个集合．故选：C．2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据y=f（x）的定义域，得出y=f（2x﹣1）中2x﹣1的取值范围，从而求出x的取值范围即可．【解答】解：∵y=f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤x≤5，∴1≤2x﹣1≤5，即1≤x≤3，∴y=f（2x﹣1）的定义域是[1，3]．故选：D．3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】观察A选项两者的定义域相同，但是对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，C选项两个函数的定义域不同，这样只有D选项是同一函数．【解答】解：A选项两者的定义域相同，但是f（x）=|x|，对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0}C选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）g（x）的定义域是（2，+∞）D选项根据绝对值的意义，把函数f（x）整理成g（x），两个函数的三个要素都相同，故选D．4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数的值．【分析】当0≤x≤3时，根据 y=f（x）=2x求得f（2）=4．当3＜x≤9时，根据f（x）=9﹣x，求得 f（ f（2））=f（4）的值．【解答】解：由图象可得，当0≤x≤3时，y=f（x）=2x，∴f（2）=4．当3＜x≤9时，由 y﹣0=（x﹣9），可得 y=f（x）=9﹣x，故 f（ f（2））=f（4）=9﹣4=5，故选C．5．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点x0=1，那么下一个有根区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定【考点】二分法的定义．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由 f（2）＞0，f（1）＜0 知，f（x）零点所在的区间为（1，2）．【解答】解：∵f（x）=3x+x﹣5，∴f（1）=3+1﹣5＜0，f（2）=9+2﹣5＞0，∴f（x）零点所在的区间为（1，2）∴方程3x+x﹣5=0有根的区间是（1，2），故选：B．6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32B．a≥32C．a≥16D．a≤16【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的对称轴，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可．【解答】解：∵f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=≤4，解得：a≤32，故选：A．7．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．8．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4【考点】其他不等式的解法．【分析】先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．【解答】解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）= 13 ．【考点】函数的值．【分析】由2x=4得x=2，代入解析式即可得到结论．【解答】解：∵f（2x）=3x2+1，∴由2x=4得x=2，即f（4）=f（2×2）=3×22+1=12+1=13，故答案为：13．10．求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1= ﹣3 ．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．【解答】解：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=﹣[（）3]﹣2+（）0=﹣﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．11．设函数y=f（x+2）是奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3.5）= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由x∈（0，2）时，f（x）=2x，可得f（0.5）=1．由于函数y=f（x+2）是奇函数，可得f（﹣x+2）=﹣f（x+2），即可得出．【解答】解：∵x∈（0，2）时，f（x）=2x，∴f（0.5）=1．∵函数y=f（x+2）是奇函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），∴f（3.5）=﹣f（﹣1.5+2）=﹣f（0.5）=﹣1．故答案为：﹣1．12．函数f（x）=3x的值域是[0，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】化分数指数幂为根式，再由x2≥0求得原函数的值域．【解答】解：f（x）=3x=，∵x2≥0，∴，则函数f（x）=3x的值域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．13．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是（0，1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（x）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，便可由f（2x﹣1）＜f（1）得出|2x ﹣1|＜1，解该绝对值不等式便可得出x的取值范围．【解答】解：f（x）为偶函数；∴由f（2x﹣1）＜f（1）得，f（|2x﹣1|）＜f（1）；又f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x﹣1|＜1；解得0＜x＜1；∴x的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中正确的是②③．（写出所有正确的编号）【考点】命题的真假判断与应用；函数的值．【分析】在①中，举出反例得到函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；在②中，由互为逆否命题的两个命题等价判断正误；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调．【解答】解：在①中，函数f（x）=x2（x∈R），由f（﹣1）=f（1），但﹣1≠1，得到函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数，故①错误；在②中，“x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）”的逆否命题是“若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2”．互为逆否命题的两个命题等价．故②的逆否命题为真，故②正确；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量，∴若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应，故③正确；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调，∴f（x）不一定是单函数，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）在数轴上表示出集合A，B，从而解得；（2）由题意分类讨论，从而求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}在数轴上表示可得：故A∪B={x|2＜x＜10}，C R A={x|x＜3，或x≥7}（C R A）∩B={2＜x＜3，或7≤x＜10}；（2）依题意可知①当C=∅时，有5﹣a≥a，得；②当C≠∅时，有，解得；综上所述，所求实数a的取值范围为（﹣∞，3]．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据已知条件画出函数f（x）的图象，根据图象即可得到f（x）的单调递增区间；（2）通过图象即可得到k的取值范围．【解答】解：（1）画出f（x）的图象如下图：由图象知，函数f（x）单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）；（2）由图象可知，当﹣1＜k＜0时，直线与函数y=f（x）的图象的交点个数为4；∴k的取值范围为（﹣1，0）．17．已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c ﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或∴．18．已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，知，故b=1，，，由此能求出a=b=1．（2），f（x）在R上是减函数．证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，=﹣，由此能够证明f（x）在R上是减函数．（3）不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0，等价于f（t﹣2t2）＞f（k），由f（x）是R上的减函数，知t﹣2t2＜k，由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴，解得b=1，∴，∴∴a•2x+1=a+2x，即a（2x﹣1）=2x﹣1对一切实数x都成立，∴a=1，故a=b=1．（2）∵a=b=1，∴，f（x）在R上是减函数．证明：设x1，x2∈R且x1＜x2则=﹣，∵x1＜x2，∴，，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数，（3）∵不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0，∴f（t﹣2t2）＞﹣f（﹣k），∴f（t﹣2t2）＞f（k），∵f（x）是R上的减函数，∴t﹣2t2＜k∴对t∈R恒成立，∴．11。
2022-2023北京101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣5）≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，3}B ．{3，5}C ．{5，7}D ．{1，7}2．若实数a 、b 满足a ＞b ＞0，下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a +b ＞2√abB ．a +b ＜2√abC ．a2+2b ＞2√abD ．a2+2b ＜2√ab3．已知关于x 的方程x 2﹣6x +k ＝0的两根分别是x 1，x 2，且满足1x 1+1x 2=3，则k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数f （x ）＝x +2x ，x ∈[1，3]的值域为（ ） A ．[2√2，3]B ．[3，113] C ．[2√2，113] D ．[3，+∞）5．已知f （x ）＝|x |，g （x ）＝x 2，设h （x ）={f(x)，f(x)＞g(x)g(x)，f(x)≤g(x)，函数h （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知p ：x ≥k ，q ：2−x x+1＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A ．[2，∞）B ．（2，+∞）C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]7．已知奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＜0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）8．已知函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1，对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，则m 的范围为（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣4，0]C ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）9．已知函数f(x)={−x 2−ax −7，x ≤1a x，x ＞1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（ ）A ．[﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣2]C ．[﹣4，﹣2]D ．（﹣∞，0）10．设f （x ）是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数x 1，x 2∈R ，使得f(x 1+x 22)=f(x 1)+f(x 2)2，则称函数f （x ）在R 上具有性质P ，那么，下列函数：①f （x ）＝2x ；②f （x ）={1x，x ≠00，x =0；③f （x ）＝x 2；④f （x ）＝|x 2﹣1|．具有性质P 的函数的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
大一第一学期高数1试题A及答案
2009—2010学年第一学期《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1.设，则 .()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+⎪⎝⎭()0x ≠=)3(ln f 2.设是的一个原函数，则= ．x e xsin +()f x ()f 'x 3.曲线的拐点坐标是 .16623-+=x x y 4.若，则 ．2121A dx x -∞=+⎰A =5． .21lim(2)cos2x x x →-=-二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）.将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）.()f x []12,-()()()22F x f x f x =++A ．；B ．；C ．；D ．.[]30,-[]31,-112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦102,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．是函数的（ ）.3x =1()arctan 3f x x=-A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点.3．当时，与等价，则（ ）.0→x 1ax e -x 2sin a = A ．1 ；B ．2 ；C ． ；D ．.2-214．函数 在处（）.()21sin,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0=x A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导；D ．不连续且不可导.5.下列等式中正确的是（ ）．A ．； B .；()()ba d f x dx f x dx =⎰()()()x ad f x dx f x f a dx=-⎰C ．；D . .()()df x dx f x dx=⎰()()f x dx f x '=⎰6．函数（ ）.()21xf x x =+ A ．在内单调增加；B ．在内单调减少；(),-∞+∞(),-∞+∞C ．在内单调增加；D ．在内单调减少.()11,-()11,-7．若可导，且，则（）.()f u ()x y f e = A ．；B ．；()x dy f e dx '=()x x dy f e e dx '= C ．；D ．.()xxdy f e e dx =()xxdy f e e dx '⎡⎤=⎣⎦8．（ ）.20|1|x dx -=⎰A ．0 ；B ．2 ；C ．1 ；D ．.1-9．方程的通解是( ).sin y x '''=A .； B .；21231cos 2y x C x C x C =+++21231sin 2y x C x C x C =+++C .； D ..1cos y x C =+2sin 2y x =10.曲线与该曲线过原点的切线及轴围成的图形的面积为（ ）．xe y =y A ． ；B ．；10()xe ex dx -⎰1(ln ln )ey y y dy -⎰C ．； D ．．1()ex x e xe dx -⎰10(ln ln )y y y dy -⎰题号一二三四五六七八总分得分阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………三、解下列各题（每小题6分，共12分）.1．计算.)lim x xx →+∞-2．计算．xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→四、解下列各题（每小题6分，共12分).1.已知，求．076333=--++y xy x y 2=x dxdy2. 设函数由参数方程所确定，求和.)(x y y =⎩⎨⎧+==tt t y t x sin cos sin ln dx dy22dx y d五、解下列各题（每小题6分，共18分).1. 计算．⎰++dx xx x 221)(arctan 2．计算.204ln(1)limx x t dt x→-⎰3. 计算.220cos x e xdx π⎰阅卷人阅卷人阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号 姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、（本题10分）.设曲线上任意一点处的切线斜率为,且该曲线经过点，)(x f y =),(y x 2x x y +11,2⎛⎫⎪⎝⎭（1）求函数；)(x f y =（2）求曲线，,所围成的图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积．)(x f y =0y =1x =x七、(本题10分).由半径为的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中R 心角，使圆锥的容积为最大.S阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号姓名……………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………参考答案一、填空题1.3；2.sin x e x -3.()2,0-4.1π5. 0二、单项选择题题号12345678910答案DCBCCCBCAA三、解下列各题1. 解：)lim x xx →+∞3分limx =. 6分12=2．． 解：3分xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→()222202lim 12x xx x x x x x -⋅-→⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.6分()02lim2x xx x e→-=1e e ==四、解下列各题1. 解：两边分别对求导，得x ，3分22333360dy dy dyy x y x dx dx dx+++-= 当时，，代入上式，得2x =1y =-. 6分23x dy dx==- 2..解： 3分dx dy dydt dx dt=sin sin cos cos sin t t t tt t-++=sin t t = . 6分22dxy d dy dtdx dt'=sin cos cos sin t t t t t +=2sin sin cos cos t t t tt+=五、解下列各题1.．解：⎰++dx x x x 221)(arctan ()222arctan 11x xdx dx x x =+++⎰⎰ 3分()()()22211arctan arctan 21d x x d x x +=++⎰⎰. 6分()()3211ln 1arctan 23x x C =+++2．.解： 3分204ln(1)limx x t dtx→-⎰()232ln 1lim4x x x x→-= .6分220lim 2x x x →-=12=-3..解：2分220cos xe xdx π⎰()22sin xe d x π=⎰222200sin 2sin xx e x e xdx ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰()2202cos xe e d x ππ=+⎰2222002cos 4cos xx e e x e xdx πππ⎡⎤=+-⎣⎦⎰5分22024cos x e e xdx ππ=--⎰.6分∴22cos xe xdx π⎰()125e π=-三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、解：(1)，即，且当时，， 2分2y y x x '=+2y y x x '-=1x =12y =与之对应的齐次线性微分方程的通解为，y Cx = 令，将其代入非齐次线性方程得，所以，()y u x x =u x '=212u x C =+所以非齐次线性微分方程的通解为，代入初始条件得，312y Cx x =+0C =故所求函数为. 6分312y x =(2) .10分23102x V dx π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰28π=七、解：设留下的扇形的中心角为，圆锥的高为，底面半径为，则其容积为ϕh r V ，又，213V r h π=2rR πϕ=h =故 4分V =()02ϕπ<<6分3224RV π'=令 得，0V '=ϕ=当时，时，，0ϕ<<0V '>2ϕπ<<0V'<因此为极大值点，又驻点唯一，从而也是最大值点. 8分ϕ=ϕ=即当割去扇形的中心角为时，圆锥的容积最大，2π. 10分3R 八、证明：方程在区间内有唯一实根.4013101xx dt t --=+⎰)1,0( 证明：令，()401311x f x x dt t =--+⎰则，()010f =-< ，()1401121f dt t =-+⎰0>由零点定理知，至少存在一点，使. 4分()0,1ξ∈()0f ξ=由，，()41301f x x'=->+()0,1x ∈知在内单调增加，()f x )1,0(所以方程在区间内有唯一实根. 8分4013101xx dt t --=+⎰)1,0(。
北京市一零一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析
2019-2020学年北京市101中学高一第二学期期末数学试卷一､填空题1. 已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin α=______. 【答案】45【解析】 【分析】由三角函数的定义可直接求得sin α.【详解】解：∵角α的终边经过点()3,4P -， ∴()224sin 534α==-+.故答案为：45. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了基本知识掌握情况，属于基础题. 2. 函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期为 ． 【答案】π 【解析】试题分析： 因为()cos 2f x x =，所以函数f(x)＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为2.2T ππ== 考点：三角函数的周期3. 已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则AB AC ⋅=______. 【答案】0 【解析】 【分析】首先求出AB ､AC 的坐标，而后可求0AB AC ⋅=. 【详解】解：()1,1AB =，()3,3AC =-，()13130AB AC ⋅=⨯-+⨯=.故答案为：0.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.4. 在△ABC 中,若2,3,30,a b A ===︒则角B 等于______ . 【答案】060或0120 【解析】∵2,23,30a b A ===︒∴由正弦定理sin sin a b A B=得：123sin 32sin 22b A B a === ∵b a >∴60B =︒或120︒ 故答案为060或01205. 设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要). 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.根据题意由判断定理得l βαβ⊥⇒⊥.若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l 在平面β内.由αβ⊥，直线l α⊂得不到l β⊥，故可得出结论.. 【详解】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 因为直线l α⊂且l β⊥ 所以由判断定理得αβ⊥.所以直线l α⊂，且l βαβ⊥⇒⊥若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l平面β内.所以“l β⊥”是“αβ⊥”成立的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查充分条件，必要条件的判断，涉及到线面、面面关系，属于基础题. 6. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是60，E 为1CC 的中点，则三棱锥C EBD -的体积是________.【答案】5 【解析】 【分析】由长方体1111ABCD A B C D -的体积为60,即160V BC DC CC =⋅⋅=,而三棱锥C EBD -的体积为1111322C EBD V BC DC CC -⎛⎫=⨯⋅⨯ ⎪⎝⎭,代入求解即可 【详解】由题,长方体1111ABCD A B C D -的体积为160V BC DC CC =⋅⋅=, 所以11111116053221212C EBD V BC DC CC BC DC CC -⎛⎫=⨯⋅⨯=⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭, 故答案为：5【点睛】本题考查三棱锥的体积,属于基础题 7. 在ABC 中，60A =︒，1b =3sin sin sin a b cA B C________．239【解析】 【分析】由已知利用三角形面积公式可求c ，进而利用余弦定理可求a 的值，根据正弦定理即可计算求解. 【详解】60A =︒，1b =31133sin 1222bc A c ==⨯⨯⨯, 解得4c =， 由余弦定理可得：2212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯= 所以13239sin sin sin sin 3a b ca A B C A故答案为：393【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.8. 已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3cm AB =，4cm AC =，AB AC ⊥，112cm AA =，则球O 的表面积为______2cm .【答案】169π 【解析】 【分析】由于直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为直角三角形，我们可以把直三棱柱111ABC A B C -补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】由题意，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 为直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C -补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径， 所以外接球半径为222113341222++=， 则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积是22134169cm 2ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：169π.【点睛】本题考查几何体的外接球问题，属于基础题. 9. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AF BF ⋅的值是______.2 【解析】 【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果. 【详解】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =-，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅()221122222=--+⨯=-++=，故答案为：2.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题.10. 如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】222+ 【解析】 【分析】设等腰三角形底角为θ，阴影面积为2sin2θ2cos2θ2++，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为θ，则等腰三角形底边长为2cos θ，高为sin θ， 阴影面积为：()21422cos θ2sin2θ2cos2θ22cos sin θθ⨯⨯⨯+=++ 22224sin πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,当8πθ=时，阴影面积的最大值为222+故答案为222+【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为θ表示等腰三角形的底边与高.二､选择题11. 设向量a ，b 满足2a =，1b =，,60a b =︒，则2a b +=（ ） A. 2 B. 310D. 12【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可.【详解】解：向量a ，b 满足2a =，1b =，,60a b =︒， 则222124444214122a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=， 则223a b +=. 故选：B .【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 12. 下列函数中，周期为1的奇函数是 ( ) A. y=1-2sin 2πxB. y=sin π2πx 3⎛⎫+⎪⎝⎭C. y=tanπ2x D. y=sin πxcos πx【答案】D 【解析】 【分析】对A ，利用二倍角的余弦公式化简后判断；对B 直接判断奇偶性即可；对C ，直接利用正切函数的周期公式判断即可；对D ，利用二倍角的正弦公式化简后判断即可.【详解】化简函数表达式y=1-2sin 2πx=cos ()2πx 是偶函数，周期为1，不合题意；y=sin π2πx 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭的周期为1，是非奇非偶函数，周期为1，不合题意； y=tanπ2x 是奇函数，周期为2，不合题意； y=sinπxcosπx=12sin2πx 是奇函数，周期为1，合题意；故选D.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，属于中档题.由函数()cos y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由函数()sin y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由函数()tan y A x ωϕ=+可求得函数的周期为πω. 13. 要想得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度【答案】C 【解析】函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到sin2x y =，再向右平移π6个单位长度πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选C14. 在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选 A.15. 在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A. 点F 的轨迹是一条线段B. 1A F 与BE 是异面直线C. 1A F 与1D E 不可能平行D. 三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】C 【解析】 【分析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断．【详解】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点 分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ， 1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ， 1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确． 对于B ，平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三､解答题16. 已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的对称轴； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值. 【答案】（1）对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈)；（2）最大值为2，最小值为1-. 【解析】 【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值.【详解】（1）函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令262x k πππ-=+(k Z ∈)，解得23k x ππ=+(k Z ∈)，所以函数()f x 的对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈). （2）由于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则：()12f x -≤≤故当0x =时，函数的最小值为1-. 当3x π=时，函数的最大值为2.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，属于基础题. 17. 在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2c =105A =︒，30C =︒（1）求b 的值 （2）ABC 的面积. 【答案】（1）2；（213+. 【解析】 【分析】（1）由A 与C 度数求出B 的度数，再由c 及C 的度数，利用正弦定理求出b 的值即可； （2）由b ，c 及sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积. 【详解】（1）∵105A =︒，30C =︒，∴45B =︒， 又2c =1sin 2C =， ∴由正弦定理sin sin b c B C =得：22sin 221sin 2c Bb C===；（2）∵2b =，2c =()61sin sin105sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 45A +=︒=︒+︒=︒︒+︒︒=， ∴116113sin 2222ABC S bc A ++==⨯=△【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，属于基础题. 18. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11C B 中点.（1）求证：//AC 平面1B DE ； （2）求证：//AF 平面1B DE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证//DE AC ，进而利用线面平行的判定定理即可证明//AC 平面1B DE .（2）由已知可证1B ECF 是平行四边形，进而证明1//FC B E ，利用线面平行的判定证明//FC 平面1B DE ，根据面面平行的判定证明平面//ACF 平面1B DE ，根据面面平行的性质即可可证//AF 平面1B DE .【详解】（1）在ABC 中，D ，E 分别为棱AB ，BC 中点. 所以//DE AC ，因为DE ⊂平面1B DE ，AC ⊄平面1B DE ， 所以//AC 平面1B DE .（2）在三棱柱111ABC A B C -中，11BC BC ∥， 因为E ，F 分别为BC ，11C B 中点， 所以1CE B F ∥，所以1B ECF 是平行四边形， 所以1//FC B E ，因为⊄FC 平面1B ED ，1B E ⊂平面1B ED ， 所以//FC 平面1B DE ，又因为//AC 平面1B DE ，AC CF C ⋂=， 所以平面//ACF 平面1B DE ， 所以//AF 平面1B DE .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用面面平行证明面面平行，属于基础题. 19. 已知ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC 周长l 的最大值. 【答案】（1）3A π=；（2）3.【解析】 【分析】（1）由题意利用正弦定理，两角和差的三角公式，求得cos A 的值，可得A 的值.（2）利用正弦定理求得b ､c 的解析式，可得周长l 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得ABC 的周长l 的最大值. 【详解】解：（1）ABC 中，∵cos 12a cC b b+=， ∴由正弦定理可得()1sin cos sin sin sin sin cos cos sin 2A C CB AC A C A C +==+=+， ∴1sin cos sin 2C A C =，∴1cos 2A =. 结合()0,A π∈，可得3A π=.（2）由正弦定理得sin sin 3B a B A b ==，3c C =， ∴周长)()11sin sin 1sin sin 33a b c B C B A B =++=+=++⎡⎤⎣⎦3112sin cos12sin226B B Bπ⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∵3Aπ=，∴20,3Bπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,666Bπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴1sin,162Bπ⎛⎫⎛⎤+∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故ABC的周长l的最大值为3.【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于基础题.20. 如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，25AB AC==，4BC=．将△ADE沿DE折起到△1A DE的位置，使得平面1A DE⊥平面BCED，F为1A C的中点，如图2．（1）求证：//EF平面1A BD；（2）求证：平面1AOB⊥平面1A OC；（3）线段OC上是否存在点G，使得OC⊥平面EFG？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）取线段1A B的中点H，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形DEFH为平行四边形，即得//EF HD．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得1A O DE⊥．再根据面面垂直性质定理得1A O⊥平面BCED，即得1CO A O⊥，根据勾股定理得CO BO⊥，所以由线面垂直判定定理得CO⊥平面1A OB，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段OC上存在点G，使得OC⊥平面EFG，则EO EC=，与条件矛盾.试题解析：解：（1）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ．因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形，所以 //EF HD ． 因EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD ．（2）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =． 所以11A D A E =，又O 为DE 的中点， 所以 1A O DE ⊥．因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，所以 1CO A O ⊥． 在△OBC 中，4BC =，易知 22OB OC == 所以 CO BO ⊥，所以 CO ⊥平面1A OB ，所以 平面1AOB ⊥平面1A OC ． （3）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． 否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ， 连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得G 为OC 的中点． 在△EOC 中，因为OC GE ⊥，所以EO EC =， 这显然与1EO =，5EC =矛盾！所以线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．。
北京101中学2022-2023学年高一数学第一学期期末监测试题含解析
则有 ，即 ，即函数 是周期为4的周期函数，
所以 ，
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由图象得到 ，且 ，得到 ，结合五点法，列出方程求得 ，即可得到函数的解析式；
（2）由题意，求得 ， ，结合利用两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】由题意，“ ”是“ ”的充分不必要条件
故
故
故选：B
5、C
【解析】先计算弓所在的扇形的弧长，算出其圆心角后可得双手之间的距离.
【详解】
弓形所在的扇形如图所示，则 的长度为 ，
故扇形的圆心角为 ，故 .
故选：C.
6、B
【解析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定，即可求解，得到答案.
D选项： ，排除；
根据图像知
选项： ，排除；
故选：
【点睛】本题考查了三角函数图像的识别，计算特殊值可以快速排除选项，是解题的关键.
8、D
【解析】∵a∥α，∴a与α没有公共点，b⊂α，∴a、b没有公共点，
∴a、b平行或异面．
故选D
9、D
【解析】写出与 角终边相同的角的集合，即可得出结论.
【详解】与 角终边相同角的集合为 ，
9．与 角的终边相同的最小正角是（）
A. B.
C. D.
10．下列函数中，在R上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量 ， ，则向量 在 方向上的投影为___________.
12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法.如图所示，弧田是由圆弧 和其对弦 围成的图形，若弧田所在圆的半径为6，弦 的长是 ，则弧田的弧长为________；弧田的面积是________.
2019-2020学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
奇函数，
f (x) f (x) ， g(x) f (x) x ，
g(x) f (x) x ，
g(x) f (x) x f (x) x g(x) ， 对于任意的 x ， y R ，有 | f (x) f ( y) || x y | ，
g(2x x2 ) g(x 2) 0 的解集是 ( )
A． ( ，1) (2 ， ) C． ( ， 1](2, )
B． (1, 2) D． (1, 2)
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．已知 x1 ， x2 是方程 x2 2x 5 0 的两根，则 x12 2x1 x1x2 的值为
2．“ x 2 ”是“ x2 4 ”的 ( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，在区间 (1, ) 上为增函数的是 ( )
A． y 3x 1
B． y 2 x
C． y x2 4x 5 D． y | x 1| 2
f （1） g （1）的值等于 ．
13．若函数 f (x) x2 2x 1在区间 [a ，a 2] 上的最小值为 4，则实数 a 的取值集合为 ．
14．已知函数
f
(x)
x | x x, x
| 2x, x a a
（1）若 a 0 ，则函数 f (x) 的零点有
g(2x x2 ) g(x 2) 0 的解集是 ( )
A． ( ，1) (2 ， ) C． ( ， 1](2, )
B． (1, 2) D． (1, 2)
【解答】解：由函数 f (x 1) 的对称中心是 (1, 0) ，可得 f (x) 的图象关于 (0,0) 对称即 f (x) 为
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x 2 4x 3 及其在点（ 0， -3）和（ 3， 0）处的切线所围成
六、（ 8 分） 设函数 y( x) 二阶导数连续，满足 且 y (0) 0 ，试求 y(x) 。
y(x)
1
1x [ y (t)
2y( t )
6te t ]dt ，
30
4
七、试解下列各题（每小题 4 分）：
1. 设 f (x) 在 [a, b] 上非负连续，求证在 [ a, b] 上存在一点 ，使直线 x
y f (x) 与直线 x a, x b, y 0 所围曲边梯形的面积二等分。
2. 证明恒等式
sin 2 x
arcsin tdt
0
cos2 x
arccos tdt
0
(0 x )
4
2
3. 设 p
n
0 ，求
lim
n
1
01
x p x
dx
。
将曲线
5
8. lim 0
x0
3x
＝
。
9. 曲线 y x2 ， x y2 所围成图形绕 y 轴旋转所成旋转体的体积为
。
10．
1 sin2 xdx 。
0
二、 试解下列各题（每小题 3 分）：
f (x)
1. 设 f (x) 的导数 x a 处连续，又 lim
1，则下列选项正确的是（
）
A） x a 是 f (x) 的极大值点；
10 浙江工业大学高等数学 ( 上 ) 考试试卷 A
学院
班级
任课教师
题号 一 二 三
得分
姓名 四五
学号 六 七 总分
一、试解下列各题（每小题 3 分）：
1． lim xcot x ＝
。
x0
2． d[sin(1 3x 2 )] dx 。
x at 2
dy
3. 设
y
，则
bt 3
dx
。
4. 设 y y(x) 由方程
）
0 ，则
三、计算下列积分（每小题
1. sec xdx
6 分）：
2. 4 x
dx
4 1 sin x
2
四、试解下列各题（每小题 6 分）：
1.
求极限
lim x2 (1
1 xsin )
x
x
2. 求函数 y x3 6x 2 9x 4 的极值
3. 求微分方程 xy y x2 的通解
3
五、（ 8 分） 求抛物线 y
4. 设 f (x) 在 [a, b] 上二次可导，满足 f (x) f (x) f (x) ， f (a) f (b)
在 [a,b] 上（
）
A ） f (x) 恒为零； C） f (x) 不恒为零；
B) 存在一个点 x0 ，使 f (x0 ) 0 ； D) 存在一个点 x0 ，使 f (x0) 0 。
x ax a
B） x a 是 f (x) 的极小值点；
C） (a, f (a)) 是 y f (x) 的拐点；
D） x a 不是 f ( x) 的极小值点， (a, f (a)) 也不是 y f (x) 的拐点。
1
f (x)
2．设 f (x) 可导，且 f (0) 0 ，则 x 0是函数 (x)
的（
xy
ex
y
所确定，则
dy
dx
8
5. 曲线 y 2x
( x 0) 在区间
xx2
x1
。 是单调增加的。
6. 设函数 f (x)
在 x 1处连续且可导，则常数 a, b 。
ax b x 1
f ( x) f ( x) 2 f (0)
7. 设 f (x) 在 x 0的邻域内连续，则 lim
＝
。
x0
x2
2x cost 2dt
）。
x
A ） 可去间断点； B) 跳跃间断点； C） 无穷间断点； D) 震荡间断点。
3. 半径为 R 的圆柱形水桶内有半桶水，横放在地上，一个端面受到的压力是（
R
A） 2g
R2 x2 dx ；
0
B) R 2g x R2 x2 dx ； 0
C)
R
g
x R2
x2 dx ；
0
D) R 2 g x R2 x2 dx 。 0