初中数学人教版八年级上册第2课时 直角三角形的两个锐角互余
初中数学人教版八年级上册实用资料
第2课时直角三角形的两个锐角互余
01基础题
知识点1直角三角形的两个锐角互余
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)
A．120°B．90°C．60°D．30°
2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有(B)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．(宁波中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为(B) A．40°B．50°C．60°D．70°
4．(咸宁中考)如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为(C) A．50°B．45°C．40°D．30°
5．如图所示的三角板中的两个锐角的和等于90度．
6．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝35°，则∠BCD的度数为35°．
知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形
7．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为直角三角形．
8．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°，△ADE是直角三角形．
∴∠1＋∠A＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＋∠A＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
02中档题
9．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为(A)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
10．若四个三角形分别满足以下条件：①∠A＝∠B＝∠C；②∠A－∠B＝∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；
④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则其中直角三角形的个数是(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知在△ABC中，∠A＝45°＋α，∠B＝45°－α，则△ABC是直角三角形吗？是．
12．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交
于点P，试说明△EPF为直角三角形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，
∴∠PEF＝1
2∠BEF，∠PFE＝
1
2∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝1
2(∠BEF＋∠DFE)＝90°.
∴△EPF为直角三角形．
03综合题
13．如图1，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.
(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；
(2)如果∠BAC是钝角，如图2，(1)中的结论是否还成立？
解：(1)∠1＝∠2.理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABD和△BCE都是直角三角形．
∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°.
∴∠1＝∠2.
(2)结论仍然成立．理由如下：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠D＝∠E＝90°.
∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.
∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.。
11.2.2直角三角形的两个锐角互余(教案)-人教版八年级数学上册
-对于综合运用难点，可以通过案例分析，将直角三角形的两个锐角互余性质与全等三角形、相似三角形等知识结合，解决复合几何问题，如“在一个等腰直角三角形中，若底边上的高为6cm，求腰长”。
其次，在新课讲授环节，我发现有些同学对直角三角形的定义和性质掌握得不够牢固，导致在后续的案例分析中难以跟上教学进度。针对这一点，我需要在课堂上加强对基础知识的讲解和巩固，确保学生能够熟练掌握。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作进行得较为顺利，同学们积极参与，课堂氛围活跃。但我也注意到，部分小组在讨论过程中存在依赖思想，个别同学不够主动。为了提高学生的参与度，我将在下一次活动中加强对小组讨论的引导，鼓励每个同学发表自己的观点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的定义、性质，特别是两个锐角互余的概念及其应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例解释：
-通过直观的图形展示，强调直角三角形的定义，确保学生理解直角三角形是有一个角是直角（90度）的三角形。
-通过具体的例题，如“已知直角三角形的一个锐角为30度，求另一个锐角”，来强调两个锐角互余的概念，即两个锐角的和等于90度。
-通过步骤分解，指导学生如何利用两个锐角互余性质来解题，如先将两个锐角的和设置为90度，然后通过代数运算求解未知角度。
人教版八年级上册 三角形的内角第二课时课件
C
=180°-45°-90°=45°
Hale Waihona Puke ∴∠ACB=∠ACD-∠BCD
=60°- 45° =15°
A
B
D
三、研学教材 知识点二 直角三角形的两个锐角的关系
1、直角三角形可以用符号__R_t_△__ 表 示，直角三角形ABC可以写成 _R_t_△__A_B_C___.
三、研学教材
知识点二 直角三角形的两个锐角的关系
三、研学教材
认真阅读课本第12页到第14页 的内容，完成下面练习并体验 知识点的形成过程。
三、研学教材
知识点一 三角形内角和定理的应用 例2 如右下图，C岛在A岛的北偏东50°方 向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B 岛的北偏西40°方向.从B岛看A、C两岛的 视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的 视角是多少度？
三、研学教材
2、已知：如图，△ABC中，∠A+∠B=90°. A 求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵∠A+∠B+∠C=__1_8_0__°
（ 三角形内角和定理 ） 又∵∠A+∠B=90°
B
C
∴∠C=180°-___9_0__°=___9_0__°
∴△ABC是__直__角___三角形
结论: 有两个角互余的三角形是__直__角__三角形
=180°- 60°- 30°=90° ：
答：从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°， 从C岛看A、B两岛的视角是90°.
三、研学教材 知识点一 三角形内角和定理的应用
解：过点C画CF//AD ∠CAD=50°∠CBE=40° ∴∠1=∠CAD=50° ∵CF//AD, AD//BE ∴CF//BE ∴∠2=∠CBE=40° ∴∠ACB=∠1+∠2=50°+40°=90°
人教版八年级上册数学第11章 直角三角形的性质与判定1(20页)
∴△EFP为直角三角形．
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
归纳总结
“有一个角是直角的三角形是直角三角形”是直角三 角形的定义，据此可判定直角三角形；“有两个角互余的 三角形是直角三角形”是直角三角形的判定，由三角形内 角和定理可知第三个角是直角，因此它的实质还是直角三 角形的定义．
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
练一练
1.已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( C )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上都有可能
2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( D )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A＝
1 2
1 ∠B＝ 3
∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
探究新知 知识点1：直角三角形两锐角的关系
观察这两个直角三角形，它们两锐角之和分别为多少？ 那对于任意直角三角形，这一结论是否还成立呢？
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
如图， 在直角三角形ABC中，∠C = 90°， 由三角形内角和
定理，得∠ A+ ∠ B+ ∠ C = 180°，即
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
练一练
1.如图，∠ACB=90°， CD丄AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什
么关系？为什么？
C
解： ∠ACD＝∠B.理由如下：
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠BCD＝90°.
因为CD⊥AB，
A
所以∠BCD＋∠B＝90ห้องสมุดไป่ตู้.
第2课时 直角三角形的两个锐角互余
1 第2课时 直角三角形的两个锐角互余 基础题知识点1 直角三角形的两个锐角互余1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°2．如图，AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，则图中与∠B 互余的角有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图所示的三角板中的两个锐角的和等于________度．4．如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C ，若∠BOD ＝38°，则∠A 等于________．5．如图，AC ⊥BC 于点C ，DE ⊥BE 于点E ，BC 平分∠ABE ，∠BDE ＝58°，则∠A ＝________度．6．如图，在直角三角形△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠A ＝35°.则∠BCD 的度数为________．知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形7．已知∠A ＝37°，∠B ＝53°，则△ABC 为________三角形．8．如图，点E 是△ABC 中AC 边上的一点，过E 作ED ⊥AB ，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC 是直角三角形吗？为什么？中档题9．如图，已知AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∠A ＝40°，则∠D 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°10．如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是________．11．如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，试说明△EPF 为直角三角形．综合题12．如图1，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E.(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如果∠BAC 是钝角，如图2，(1)中的结论是否还成立？。
人教版八年级上册数学第2课时三角形的两个锐角互余课件
直角三角形的两个锐角互余.
A
几何语言 在Rt△ABC 中， ∵∠C ＝ 90°， ∴∠A +∠B ＝ 90°．
B
C
有两个直角三角形，它们有一组锐角对应相等，另一组锐角的 数量关系是什么？ 两个直角三角形可以组合成哪些图形？
D A
B
C
E
F
F (C)
C
B A
D
E
D (C)
A B(E)
A. ∠A＋∠B＝∠C
B. ∠ A∶∠ B∶∠ C＝1∶3∶4
1
1
C. ∠A ＝ 2∠B＝ 3 ∠C
D. ∠A ＝ 2∠B＝ 3∠C
2. 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中除直角外相 等的角有___∠_A__=_∠__B_C_D_，____∠_B__=_∠__A_C_D____，互余的角有： _∠_A_与__∠__B_，__∠__A_与__∠_A_C__D_，__∠_B__与_∠__B_C_D__，_∠__A_C__D_与__∠_B_C__D___.
Hale Waihona Puke AB∴∠CAE ＝∠DBE．
探究 1
1. 如图（1），∠B = ∠C = 90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠D 有什么关系？请说明理由.
方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴AB∥CD， ∴∠A = ∠D.
A
B
O
方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠D +∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD， ∴∠A = ∠D.
根据三角形内角和定理，
∠ACB＝180°－∠CAB －∠ABC
11.2.1 第2课时 直角三角形的两个锐角互余 人教版数学八年级上册课堂教案
第十一章三角形11.1 与三角形有关的角11.2.1三角形的内角第1课时直角三角形的两个锐角互余一、教学目标1.了解直角三角形两个锐角的关系.2.掌握直角三角形的判定.3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.二、教学重难点重点：掌握直角三角形的性质及判定.难点：利用直角三角形的性质与判定解决有关问题.三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.三角形的内角和是多少度?2.按角的大小分类，三角形可以分为哪三类？3.直角三角形中，有一个角一定是°.[学生回答]学生根据老师提出的问题，复习与本节课相关的知识（180°；锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；90）【新知探究】知识点1 直角三角形的性质[课件展示]问题1：如下图所示的是我们常用的一副三角板,你知道它们两锐角的度数之和吗?通过量角器测量一下吧！[动手操作]学生利用量角器测量，教师根据学生量得的数据，总结得到结论30°+60°=90°，45°+45°=90°.[提出问题]对于任意的三角形，这个结论成立吗？[课件展示]如图，在△ABC中，已知∠C=90°，（1）你能求出∠A ，∠B的度数吗？（2）你能求出∠A +∠B的度数吗？你是怎么得到的？学生独立思考，教师点名回答，总结:∠A +∠B=90°.[提出问题]由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？[归纳总结]直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．[提出问题]在几何问题中，怎样来书写这个性质呢？（在△ABC 中，∵∠C =90°，∴∠A +∠B =90°．）为了书写方便，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．此时，提醒学生注意：Rt△后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用.[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：例1 如图，∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？【变式】如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？[提出问题]与例1有哪些共同点与不同点？让学生对比两题的图形[归纳总结][课件展示]跟踪训练1.（2021苏州模拟）在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（ B ）A．40°B．50°C．60°D．70°[课件展示]跟踪训练2.在△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C，则∠C的度数为（ A ）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°[课件展示]跟踪训练3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠1=32°，求∠D的度数．解：∵∠BAC=90°，∠1=32°，∴∠ABC=90°-32°=58°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD= ∠ABC=29°.∵CD∥AB，∴∠D=∠ABD=29°．提醒学生注意：在直角三角形中，若已知一个锐角或者两个锐角之间的关系，可以直接运用两个锐角互余求解，不需要再利用三角形的内角和定理求解.知识点2 直角三角形的判定[提出问题]有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如何验证？提示学生运用三角形内角和去验证.(在△ABC中，由三角形内角和可知∠A +∠B +∠C=180°，又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.)[归纳总结]直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.[提出问题]在几何问题中，怎样来书写这个判定方法呢？对比刚才的“直角三角形的性质”写一写吧！（在△ABC 中，∵∠A +∠B =90°，∴△ABC 是直角三角形．）[归纳总结]直角三角形的性质与判定之间的关系：[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：[归纳总结]【课堂小结】【课堂训练】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且CD∥AB．∠B=60°，则∠1等于（ A ）A．30°B．40° C．50°D．60°2.如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=40°，则∠D的度数为（ A ）A．40°B．50°C．60°D．70°3.下列说法中错误的是（ D ）A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=2：2：4，则△ABC为直角三角形B．在△ABC中，若∠A=∠B-∠C，则△ABC为直角三角形C．在△ABC中，若∠A= ∠B= ∠C，则△ABC为直角三角形D．在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则△ABC为直角三角形4.如图，将一张长方形纸片剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2=_____90°___.5.在△ABC中，若∠A=51°，∠B=39°，则这个三角形是____直角________三角形.6.（2020•白银模拟）在直角三角形中，锐角α是另一个内角的一半，则锐角α的度数为45°或30° ．7.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？8.如图，∠AOB=50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为多少时，△AOP为直角三角形．【教学反思】上课开始，通过复习引入，为本节课做好铺垫.本节课是在学生学习了与三角形内角和基础上，让学生动手操作，量量角器上的两个锐角的度数，初步了解“直角三角形的两锐角之和为90°”，但测量有误差，激发学生探索欲望，学生需要再证明这一结论成立.通过例1与其变式，例2与其变式的学习，归纳出两类基本图形，也为以后的课程（全等三角形，相似三角形）做好了准备.。
人教版八年级数学上册 11.2与三角形有关的角 知识点归纳
人教版八年级数学上册11.2与三角形有关的角知识点归纳
按角来分类：
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形每个顶点处都有两个外角，它们互为对顶角，因此相等。
三角形有6个外角。
但是算外角和的时候，只从每个顶点处抽一个外角来相加,所得的和就是这个三角形的外角和。
三角形外角和等于360°。
如图，∠1+∠3+∠5=360°。
三角形外角定理：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
②三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
人教版(部编)八年级数学上册-直角三角形的性质和判定
总结归纳
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？
基本图形
AB o
A
B
o D
C
D
∠A=∠D
C
∠A=∠C
二 有两个角互余的三角形是直角三角形
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC 是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
C．∠BCD和∠A
D．∠BCD
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是 AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角 三角形．
证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形.
课堂小结
直角三角 形的性质 与判定
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质和判定
导入新课
情境引入
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟 非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它 指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们 这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷. 你知道其中的道理吗？
B．50°
C．60°
D．70° 5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ D） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
初中数学八年级上册直角三角形的性质和判定
第1题图
第2题图
2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，
若∠BOD=38°，则∠A=__5_2_°____.
3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三
角形是直__角__三__角__形___.4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另
一个锐角的度数是（ B ）
A．40°
总结归纳
有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
应用格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．B
C
典例精析
例3 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三 角形吗？为什么？
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形.
A
1D E
2
C
B
例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是 直角三角形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴∠C+∠D=90°， ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠D=90°， ∴△ABD是直角三角形.
当堂练习
1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到 一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是____9_0_°__.
C．∠BCD和∠A
D．∠BCD
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是 AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角 三角形．
证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形.
11.2.1 第2课时直角三角形的两个锐角互余 人教版数学八年级上册精选课件
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
课堂训练
1.如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列 是△ABD的外角的是（ D ） A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF
课堂训练
2.如图，已知直线 AB∥CD，∠C=80°，∠A=40°, 则∠E=（ C ） A．80° B．30° C．40° D．60°
新知探究
知识点2 三角形的外角的性质 问题 如图 .
（1）△ABC的三个内角有什么关系？
∠A+∠B+∠ACB=180°.
三角形的外角
（2）△ABC的外角∠ACD与其 相邻的内角∠ACB有什么关系？
与外角相邻的内角
∠ACD与∠ACB互补，即∠ACD+∠ACB=180°.
新知探究
知识点2 三角形的外角的性质 （3）△ABC的外角∠ACD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=360°. 到什么B结论？ F
CD
新知探究
知识点3 三角形的外角和
三角形的外角和等于360°.
注意：三角形的每一个顶点处各有两个外角，三角形的外角 和不是指六个外角的总和，而是说在三角形的每一个顶点处 取一个外角，三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和.
新知探究
理∠2=∠C+∠D,∠3=∠E +∠F.
∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F.
∵∠1、∠2、∠3是△PMN的外角, C
∴∠1+∠2+∠3=360°.