2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷(五) 数学(理)试题及答案
2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷（五） 数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =I （ ） A ．{1,1}- B ．{1} C ．[1,1]- D ．[1,3]-【答案】B【解析】先计算得到{}11{|13}A B x x =-=-<<，，，再计算A B ⋂得到答案. 【详解】{}{}11{|13}1A B x x A B =-=-<<⋂=，，，故选：B 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2sin 75︒︒+=（ ）A ．2B ．1C ．D 【答案】C【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案. 【详解】()sin75cos152sin 1530︒︒+︒+︒=︒+︒=故选：C 【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力.3．设复数11iz i =+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu r ，OQ uuu r （O 为原点），则OP OQ ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．12-B ．0C ．12D．2【答案】B【解析】化简得到11112222OP OQ ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，，，，再计算OP OQ ⋅u u u r u u u r得到答案. 【详解】121i 1i 1i1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫====∴==-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，，，，，，故选：B 【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（ ）A ．125B ．115C ．105D ．95【答案】D【解析】根据等差数列公式得到方程组2415124448a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，计算得到答案.【详解】()2411105124441091043954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，， 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键. 5．若61()ax x-的展开式中常数项等于20-，则a =（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】C【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于20-，求得实数a 的值． 【详解】解：∵61()ax x-的展开式中的通项公式为6616(1)rr r r r r T C a x ---+=-6626(1)r r r r C a x --=-，令620r -=得3r =，可得常数项为333361C ()2020ax a x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，得1a =，故选：C ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】判断函数为偶函数，取特殊点()00sin21f <=<，判断得到答案. 【详解】()00sin21f <=<，且()()f x f x -=，函数为偶函数故选：D 【点睛】本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键. 7．在高中阶段，我们学习的数学教材有必修1～5，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（ ） A ．13B ．29C ．59D ．15【答案】B【解析】先求“两本均是必修教材”包含的基本事件个数，再求“从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数，然后根据概率计算公式即可求出． 【详解】解：∵“两本均是必修教材”包含的基本事件个数为2554C 102⨯==， “从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数为210109C 452⨯==， ∴小明今晚复习的两本均是必修教材的概率102459P ==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了古典概型的概率，考查组合及组合数公式，属于基础题．8．已知函数2,(),x e x af x ex x a-+⎧<=⎨≥⎩的最小值为e ，则(ln 2)(2)f f +=（ ）A ．242e e +B ．(2ln 2)e +C ．222e +D ．1ln 2e +【答案】A【解析】利用解析式先求出每段函数的值域，再根据函数由最小值e 得2a e eae e -+⎧≥⎨≥⎩，解不等式得1a =，再代入解析式即可求出函数值． 【详解】解：∵2,(),x e x af x ex x a -+⎧<=⎨≥⎩，∴当函数x a <时，22()x a f x e e -+-+>=，当x a ≥时，()f x ex ae =≥， 又函数的最小值为e ，∴2a e e ae e-+⎧≥⎨≥⎩，∴211a a -≥⎧⎨≥⎩，则1a =，所以(ln 2)(2)f f +ln 22e 2e -+=+ln 22ee 2e -=⨯+242e e=+， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题，先求出每段函数的最值，再求函数的最值，属于中档题．9．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（ ）A ．17B ．4C ．4πD ．25【答案】B【解析】先计算得到()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，画出函数图像，计算125PQ =，24PQ =得到答案.【详解】根据变换得到：()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，图象如图：由图可知，PQ 取到的最小可能为12PQ PQ ，，因为125PQ =，24PQ =，所以最小值为4 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.10．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC 【答案】D【解析】依次判断每个选项的正误：OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，计算体积得到B 正确；反证法证明AB 与CD不垂直C 正确；根据C 选项知D 错误，得到答案。
【详解】因为OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD 的面积和高均处于最大位置，此时体积为111211233⨯⨯⨯⨯=，所以B 正确；AB 与CD 显然异面，用反证法证明他们不垂直．若AB CD ⊥，过A 作BD 的垂线，垂足为E ，因为为直二面角，所以AE ⊥平面BCD ，所以AE CD ⊥，所以CD ABD ⊥平面，所以CD BD ⊥，这与CD BC ⊥矛盾，所以AB 与CD 不垂直，所以C 正确； 假设存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC ，过B 作BM AC ⊥于M ，则BM ⊥平面ACD BM CD ∴⊥由于BC CD CD ⊥∴⊥平面ABC CD AB ∴⊥，与C选项矛盾. 故选：D ．【点睛】本题考查了直线平面的关系，体积，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.11．在四边形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，5CD =，6AD =，则四边形ABCD面积的最大值为（ ） A ．21 B ．10C ．105D ．10【答案】B【解析】设B D βα∠=∠=，，解△ABC 和△ACD 表示出2AC ，求出四边形ABCD 的面积3(5sin 2sin )ABCD S αβ=+，令5cos 2cos M αβ=-，5sin 2sin N αβ=+，求得22020cos()N αβ=-+，求出N 的最大值，从而求出四边形面积的最大值． 【详解】解：设B D βα∠=∠=，，则在ABC V 中，2916234cos AC β=+-⨯⨯2524cos β=-， 在ACD V 中，22536256cos AC α=+-⨯⨯6160cos α=-， ∴2524cos 6160cos βα-=-，∴5cos 2cos 3αβ-=， 则四边形ABCD 的面积 ABCD ABC ACD S S S =+=△△134sin 2β⨯⨯156sin 2α+⨯⨯3(5sin 2sin )αβ=+， 令5cos 2cos M αβ=-，5sin 2sin N αβ=+，22M N +=2920cos()αβ-+29N =+，则22020cos()N αβ=-+，所以当παβ+=，即3cos 7α=，3cos 7β=-时，N ，所以面积的最大值为 故选：B ． 【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解决平面几何中的面积问题，综合性很强，属于中档题．二、填空题12．能说明命题“a ，b ，c ，d 是实数，若a b >，c d >，则ac bd >”是假命题的一组数对（a ，b ，c ，d ）是________. 【答案】(2123).--，，， 【解析】举一组反例即得到答案. 【详解】答案不唯一，满足条件即可．例如：()2123.--，，， 故答案为：()2123.--，，， 【点睛】本题考查了判断命题为假命题，属于简单题.13．已知某学校高三年级1500名学生参加某次考试的成绩X （单位：分）服从正态分布2(80,20)N ，估计成绩在120分以上的学生人数有________.附：若X ～2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.【答案】34或35【解析】由随机变量X 服从正态分布2(80,20)N ，得80μ=，20σ=，根据(120)P X >(2)P X μσ=>+即可求解．【详解】解：由随机变量X 服从正态分布2(80,20)N ，得80μ=，20σ=，则1202μσ=+， ∵(22)0.9544P X μσμσ-<<+=， ∴则(120)P X >=2()P X μσ+>1(22)2P X μσμσ-+<<+=0.0228=，则成绩在120分以上的人数有15000.0228⨯34.2=，所以34或35均可． 故答案为：34或35． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．14．设抛物线C ：22(0)y px p =>，过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线与抛物线围成的图形面积为6，则抛物线的方程为________. 【答案】26y x =【解析】由题意由过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线方程为2px =，代入到抛物线方程可得交点坐标，利用积分表示出面积，解方程即可求出抛物线方程． 【详解】解：过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线方程为2p x =， 则它与抛物线交于22p pA pB p ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，由y =得，则所围成的图形的面积2x⎰x =322023p x ⎫=⎪⎪⎭32232p ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭2263p ==， 则3p =，所以抛物线的方程为26y x =，故答案为：26y x =． 【点睛】本题主要考查积分的应用，考查抛物线的性质，求出积分上限和下限，是解决本题的关键，属于基础题．15．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x .在理想情况下，对折次数n 有下列关系：22log 3wn x≤（注：lg 20.3≈），根据以上信息，一张长为21cm ，厚度为0.05mm 的纸最多能对折___次. 【答案】8【解析】根据题意计算22log 42003n ≤得到答案. 【详解】2222222221221log 4200log 4log 1000log 23log 10log 3320320n ⎛⎫⎛⎫≤=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为221121log 100log 1lg20.320==<<，，所以22218log 320n n ≤+⇒的最大值为8．故答案为：8 【点睛】本题考查了对数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题16．已知F 是双曲线G ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，1l ，2l 是双曲线的两条渐近线，过F 且垂直1l 的直线与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若三角形AOB 的面积2AOB S ab ∆=（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D 【答案】C【解析】分为0b a >>和0a b >>两种情况，画出图像分别计算离心率得到答案. 【详解】有如下两种情况：（1）0b a >>；（2）0a b >>．（1）如图甲，可求出A ，B 的坐标分别为222222a ab a c abc A B c c a b b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，， 所以221110222AOB BOF AOF abc ab S S S c c ab e b a c =-=⨯-⨯=⇒=-V V V 同理可得当0a b >>时，满足条件的离心率62e = 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，分类讨论是解题的关键，漏解是容易发生的错误. 17．在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下: 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 记三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c .（1）根据数列的定义判断数列{}n a ，{}n b ，{}n c 的类型，并据此写出三个数列的通项公式；（2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由.【答案】（1）{}n a 为常数列；{}n b 为等差数列；{}n c 是等比数列；40n a =，1100.42n n n b n c -==⨯，（2）应该选择方案二，详见解析【解析】（1）根据题意得到{}n a 为常数列，{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，分别计算通项公式得到答案.（2）设投资10天三种投资方案的总收益为101010A B C ，，，分别计算比较大小得到答案.【详解】（1）{}40n n a a =，为常数列；{}1110n n n n b b b ->-=，，是首项为10，公差为10的等差数列；11120.4n n n c c c ->==，，，所以{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．所以1100.42n n n b n c -==⨯，．（2）设投资10天三种投资方案的总收益为101010A B C ，，， 由（1）知：()101010100.412109400101010550409.2212A B C -⨯==⨯+⨯===-；；， 因为101010B C A >>，所以应该选择方案二． 【点睛】本题考查了数列的应用，意在考查学生对于数列公式的灵活应用.18．至2018年底，我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位，下表是我国2012年至2018年发明专利申请量以及相关数据.注：年份代码1～7分别表示2012～2018.（1）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？（2）建立y 关于t 的回归直线方程（精确到0.01），并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份.参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为112211()ˆ()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y nxybx x x x ====---==--∑∑∑∑，.ˆˆay bx =- 【答案】（1）2013年的增长率最高，达到了26%（2）y 关于t 的回归直线方程为$1550.57y t =+，预测我国发明专利申请量将在2021年突破200万件【解析】（1）分别计算每一年的增长率，比较大小得到答案.（2）根据公式直接计算得到回归直线方程为150.57ˆ5yt =+，再解不等式1550.57200t +>得到答案.【详解】（1）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下：826592821109213311013813315413826%12%20%21%4%12%658292110133138------======；；；；；，所以2013年的增长率最高，达到了26%．（2）由表格可计算出：()7721177443516287i i i i i t y t y t t =====-=∑∑，，，，77435167477471515450.7ˆˆ5728ba -⨯⨯===-⨯=，， y 关于t 的回归直线方程为150.57ˆ5y t =+．令149.431550.572009.9615t t +>⇒>=． 所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件． 【点睛】本题考查了回归方程的计算和应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．如图，已知菱形ABCD 和矩形ACFE 所在的平面互相垂直，2AC AE =.（1）若G 为BE 的中点，求证：//AG 平面BDF ； （2）若二面角A BE D --25，求tan ABC ∠. 【答案】（1）见解析；（2）247. 【解析】（1）设BF 的中点为H ，AC BD O =I ，连接HG ，HO ．证四边形AGHO 是平行四边形，得AG HO ∥，再根据线面平行的判定定理得AG ∥平面BDF ； （2）以O 为原点建立如图的空间直角坐标系，设OA a =,OB b =，求得BE u u u r ,AE u u u r ,BD u u u r ，再求出平面ABE 与平面BDE 的法向量，求出法向量所成角的余弦值，求出a,b，得3 tan4ABO∠=，从而32244tan tan297116ABC ABO⨯∠=∠==-．【详解】（1）证明：设BF的中点为H，AC BD O=I，连接HG，HO．因为G是BE的中点，所以HG EF AO∥∥，12HG EF AO==，所以四边形AGHO是平行四边形，所以AG HO∥，又因为HO⊂平面BDF，AG⊄平面BDF，所以AG∥平面BDF．（2）解：因为菱形ABCD和矩形ACFE所在平面互相垂直，故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设OA a=，OB b=，则(00)A a，，，(00)B b-，，，(0)E a a，，，(00)D b，，，()BE b a a=u u u r，，，(00)AE a=u u u r，，，(200)BD b=u u u r，，．设平面ABE与平面BDE的法向量分别为1111()n x y z=u u r，，，2222()n x y z=u u r，，，则11·0·0n BEn AE⎧=⎪⎨=⎪⎩u v u u u vu v u u u v，1111bx ay azaz++=⎧⎨=⎩，22·0·0n BEn BD⎧=⎪⎨=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v，222220bx ay azbx++=⎧⎨=⎩，令1x a=、21y=，得1(0)n a b=-u u r，，，2(011)n=-u u r，，，则1222cos2n na b=+u u r u u rg〈，〉．22222a b=+g，则34ab=，则3tan4ABO∠=，∴tan ABC∠=tan2ABO∠=3224497116⨯=-．【点睛】本题主要考查线面平行的判定与线线平行的判定，考查二面角的应用，属于中档题．20．设椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，00(,)P x y在椭圆C 上.求证： （1）直线l ：00221x x y ya b+=是椭圆在点P 处的切线； （2）从2F 发出的光线2F P 经直线l 反射后经过1F . 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）联立直线和椭圆方程2222002211x y a b x x y y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，计算 0∆=得到证明.（2）设2F 关于直线l 的对称点为()211F x y '，，则22F F '，的中点在直线l 上，直线22F F '与l 垂直，计算211F F PF k k '=得到证明. 【详解】证明：（1）因为()00P x y ，在椭圆上，所以2200221x y a b+=，所以P 也在直线上． 联立直线和椭圆方程()222220222222222244220000000222222221201x y a b b x x y a b a y b x x a b x x b a a y a y x x y y b x a y a b a b ⎧⎧-+=⎪=⎪⎪⇒⇒+-+-=⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎪⎩，，，因为P 在椭圆上，所以222222222222220000200a y b x a b a b x a b x x a b x +=⇒-+=⇒∆=⇒所以直线l 与椭圆相切，又因为l C P ⋂=，所以直线l 是椭圆在点P 处的切线．（2）设2F 关于直线l 的对称点为()211F x y '，， 则22F F '，的中点在直线l 上，直线22F F '与l 垂直， 即，()()()()212222200000014224222222221000000F F b y a x c b y a x c y a x c y k x c b x a y c b x a b c b x c a c x a c x c'---====+++--+-()()()120002000PF y a x cy k x cax c x c -===+-+ 所以21F P F '，，三点共线， 所以从2F 发出的光线2F P 经直线l 反射后经过1F ． 【点睛】本题考查了椭圆的切线和反射问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 21．设函数()(0,1)x a f x a x x a =->>. （1）证明：(0,)x ∀∈+∞，都有ln x <（2）若函数()f x 有且只有一个零点，求()f x 的极值.【答案】（1）见解析；（2）e a =时，()f x 的极大值为e−1，极小值为0． 【解析】（1）令()ln h x x =-，求导得()h x '，利用导数判断出()h x 的单调性，从而求出()h x 的最大值，最大值小于0，则命题得证； （2）由()0f x =得x a a x =，两边同时取对数整理得ln ln a xa x=，则()f x 的零点 个数等于ln ln x ax a =解的个数，令ln ()x g x x=，求导，求出()x e f x e x =-，得出 11()()x e f x e e x --'=-，令()1(1)ln x x e x ϕ=---，求导，借助()x ϕ的单调性得 出()f x '的符号，从而求出极值. 【详解】（1）证明：令()ln h x x =，则1()h x x '=， 所以()h x 在(04)，上单调递增，在(4)+∞，上单调递减， 所以()h x 的最大值为(4)ln 42h =-2(ln 21)0=-<，即()0h x <， 所以(0)x ∀∈+∞，，都有ln x <（2）解：由()0f x =得x a a x =，则ln ln x a a x =，所以ln ln a xa x=， 所以()f x 的零点个数等于方程ln ln x ax a=解的个数， 令ln ()x g x x=，则21ln ()x g x x -'=，且ln ()ag a a =，所以()g x 在(0)e ，上单调递增，在()e +∞，上单调递减，又因为(1)0g =，且由（1）知，ln x x =，则当x →+∞时，()0g x →， 所以a e =时，()()g x g a =有且只有一个解，所以若函数()f x 有且只有一个零点，则a e =，此时()x e f x e x =-， ∴1()x e f x e ex -'=-11()x e e e x --=-， 令()1(1)ln x x e x ϕ=---，则1(1)()1e x e x x xϕ---'=-=， 所以()x ϕ在(01)e -，上单调递减，在(1)e -+∞，上单调递增，(1)()0e ϕϕ==， 所以当(01)x ∈，时，()0x ϕ>，当(1)x e ∈，时，()0x ϕ<，当()x e ∈+∞，时，()0x ϕ>，∴当(01)x ∈，时，1(1)ln x e x ->-，则11x e e x -->，则()0f x '>， 同理可得：当(1e)x ∈，时，()0f x '<；当(e )x ∈+∞，时，()0f x '>； 所以1x =和x e =分别是函数()f x 的极大值点和极小值点． 所以a e =时，()f x 的极大值为e −1，极小值为0． 【点睛】本题主要考查导数在研究函数的单调性和最值时的应用，考查函数的极值与零点，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，射线l的方程为1)(1)y x x =+≥-，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为10cos ρθ=.一只小虫从点(1,0)A -沿射线l 向上以2单位/min 的速度爬行 （1）以小虫爬行时间t 为参数，写出射线l 的参数方程； （2）求小虫在曲线1C 内部逗留的时间.【答案】（1）该射线的参数方程为()10x t t y t ⎧=-+⎪≥⎨=⎪⎩为参数，，；（2）小虫在圆内逗留的时间为4min【解析】（1）小虫爬行的距离为2t，其所在位置为()1t -，得到参数方程. （2）曲线C 1的直角坐标方程为22100x y x +-=，根据韦达定理得到121211334t tt t =+=，，计算21t t -得到答案. 【详解】（1）因为直线的倾斜角为30°，经过时间t 后，小虫爬行的距离为2t ，其所在位置为()13t t -+，，所以该射线的参数方程为()130x t t t y t ⎧=-+⎪≥⎨=⎪⎩，为参数，，． （2）曲线C 1的直角坐标方程为22100x y x +-=；将射线的参数方程带入曲线C 1的方程，得24123110t t -+=， 设t 1，t 2分别为小虫爬入和爬出的时间，则121211334t t t t =+=，， 逗留时间()()221121244min t t t t t t -=+-=，所以小虫在圆内逗留的时间为4min ． 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，根据直线的参数方程利用韦达定理是解题的关键.23．如图，AB 是半圆直径，O 为AB 的中点，⊥DO AB ，C 在AB 上，且AC x =，BC y =.（1）用x ，y 表示线段OD ，CD 的长度；（2）若0a >，0b >，1a b +=，求44a b +的最小值.【答案】（1）2x y OD +=，222x y CD +=2）18【解析】（1）根据半径和勾股定理直接计算得到答案.（2）根据（1()2222a b a ba b ++≥=时取等号，代入数据得到答案. 【详解】解：如图，（1）22x y x yOD OC +-==，，2222222x y x y x y CD +-+⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由（1）知，()2222a b a bCD OD a b ++≥≥=，即时取等号， 所以2221224a b a b ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，44224411122482a b a b a b a b ++⎛⎫≥≥⇒+≥== ⎪⎝⎭当时取到等号， 所以44a b +的最小值为18． 【点睛】2222a b a b++≥是解题的关键.。
云南师范大学附属中学2020届高三数学(理)适应性月考卷(五)附答案详析
云南师范大学附属中学2020届高三数学（理）适应性月考卷（五）一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =（ ）A ．{1,1}-B ．{1}C ．[1,1]-D ．[1,3]-2sin 75︒︒+=（ ）A ．2B ．1CD ．23．设复数11iz i=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP ，OQ（O 为原点），则OP OQ ⋅=（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．24．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（ ） A ．125 B ．115 C ．105 D ．955．若61()ax x-的展开式中常数项等于20-，则a =（ ）A ．12 B ．12- C ．1 D ．1-6．函数()sin()x xf x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．在高中阶段，我们学习的数学教材有必修1～5，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（ ）A ．13B ．29C ．59D ．158．已知函数2,(),x e x af x ex x a-+⎧<=⎨≥⎩的最小值为e ，则(ln 2)(2)f f +=（ ）A ．242e e+ B ．(2ln 2)e + C ．222e + D ．1ln 2e +9．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（ ）A B ．4C ．4πD ．10．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC11．在四边形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，5CD =，6AD =，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A ．21B ．C ．D ．二、填空题12．能说明命题“a ，b ，c ，d 是实数，若a b >，c d >，则ac bd >”是假命题的一组数对（a ，b ，c ，d ）是________.13．已知某学校高三年级1500名学生参加某次考试的成绩X （单位：分）服从正态分布2(80,20)N ，估计成绩在120分以上的学生人数有________.附：若X ～2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.14．设抛物线C ：22(0)y px p =>，过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线与抛物线围成的图形面积为6，则抛物线的方程为________.15．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x .在理想情况下，对折次数n 有下列关系：22log 3wn x≤（注：lg 20.3≈），根据以上信息，一张长为21cm ，厚度为0.05mm 的纸最多能对折___次.三、解答题16．已知F 是双曲线G ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，1l ，2l 是双曲线的两条渐近线，过F 且垂直1l 的直线与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若三角形AOB 的面积2AOB S ab ∆=（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A 3BC D 17．在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.记三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c .（1）根据数列的定义判断数列{}n a ，{}n b ，{}n c 的类型，并据此写出三个数列的通项公式； （2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由.18．至2018年底，我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位，下表是我国2012年至2018年发明专利申请量以及相关数据.注：年份代码1～7分别表示2012～2018.（1）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？（2）建立y 关于t 的回归直线方程（精确到0.01），并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份.参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为112211()ˆ()()()n niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x x x ====---==--∑∑∑∑，.ˆˆay bx =-19．如图，已知菱形ABCD 和矩形ACFE 所在的平面互相垂直，2AC AE =.（1）若G 为BE 的中点，求证：//AG 平面BDF ；（2）若二面角A BE D --，求tan ABC ∠.20．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，00(,)P x y 在椭圆C 上.求证：（1）直线l ：00221x x y ya b+=是椭圆在点P 处的切线；（2）从2F 发出的光线2F P 经直线l 反射后经过1F .21．设函数()(0,1)x a f x a x x a =->>.（1）证明：(0,)x ∀∈+∞，都有ln x <（2）若函数()f x 有且只有一个零点，求()f x 的极值.22．在直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(1)(1)3y x x =+≥-，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为10cos ρθ=.一只小虫从点(1,0)A -沿射线l 向上以2单位/min的速度爬行（1）以小虫爬行时间t 为参数，写出射线l 的参数方程；（2）求小虫在曲线1C 内部逗留的时间.23．如图，AB 是半圆直径，O 为AB 的中点，⊥DO AB ，C 在AB 上，且AC x =，BC y =.（1）用x ，y 表示线段OD ，CD 的长度；（2）若0a >，0b >，1a b +=，求44a b +的最小值.解析云南师范大学附属中学2020届高三数学（理）适应性月考卷（五）一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =（ ）A ．{1,1}-B ．{1}C ．[1,1]-D ．[1,3]- 【答案】B【解析】先计算得到{}11{|13}A B x x =-=-<<，，，再计算A B ⋂得到答案. 【详解】{}{}11{|13}1A B x x A B =-=-<<⋂=，，，故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题. 2sin 75︒︒+=（ ） A．2 B ．1 CD．【答案】C【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案. 【详解】()sin75cos152sin 1530︒︒+=︒+︒=︒+︒=故选：C 【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力. 3．设复数11iz i=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP ，OQ（O 为原点），则OP OQ ⋅=（ ） A ．12-B ．0C ．12 D．2【答案】B【解析】化简得到11112222OP OQ ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，再计算OP OQ ⋅得到答案. 【详解】121i 1i 1i 1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫====∴==-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，，，，，， 故选：B 【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（ ） A ．125 B ．115 C ．105 D ．95 【答案】D【解析】根据等差数列公式得到方程组2415124448a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，计算得到答案.【详解】()2411105124441091043954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，， 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键. 5．若61()ax x-的展开式中常数项等于20-，则a =（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】C【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于20-，求得实数a 的值． 【详解】解：∵61()ax x-的展开式中的通项公式为6616(1)r r r r r r T C a x---+=-6626(1)r r r r C a x --=-， 令620r -=得3r =，可得常数项为333361C ()2020ax a x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，得1a =，故选：C ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】判断函数为偶函数，取特殊点()00sin21f <=<，判断得到答案. 【详解】()00sin21f <=<，且()()f x f x -=，函数为偶函数故选：D 【点睛】本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.7．在高中阶段，我们学习的数学教材有必修1～5，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（ ）A ．13B ．29C ．59D ．15【答案】B【解析】先求“两本均是必修教材”包含的基本事件个数，再求“从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数，然后根据概率计算公式即可求出． 【详解】解：∵“两本均是必修教材”包含的基本事件个数为2554C 102⨯==， “从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数为210109C 452⨯==， ∴小明今晚复习的两本均是必修教材的概率102459P ==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了古典概型的概率，考查组合及组合数公式，属于基础题．8．已知函数2,(),x e x af x ex x a-+⎧<=⎨≥⎩的最小值为e ，则(ln 2)(2)f f +=（ ）A ．242e e+ B ．(2ln 2)e + C ．222e + D ．1ln 2e +【答案】A【解析】利用解析式先求出每段函数的值域，再根据函数由最小值e 得2a e eae e -+⎧≥⎨≥⎩，解不等式得1a =，再代入解析式即可求出函数值．【详解】解：∵2,(),x e x af x ex x a-+⎧<=⎨≥⎩，∴当函数x a <时，22()x a f x e e -+-+>=，当x a ≥时，()f x ex ae =≥，又函数的最小值为e ，∴2a e e ae e-+⎧≥⎨≥⎩，∴211a a -≥⎧⎨≥⎩，则1a =，所以(ln 2)(2)f f +ln 22e2e -+=+ln 22ee 2e -=⨯+242e e=+， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题，先求出每段函数的最值，再求函数的最值，属于中档题．9．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（ ）A B ．4C ．4πD ．【答案】B【解析】先计算得到()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，画出函数图像，计算1PQ =24PQ =得到答案.【详解】根据变换得到：()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，图象如图：由图可知，PQ 取到的最小可能为12PQ PQ ，，因为1PQ =24PQ =，所以最小值为4 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.10．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC 【答案】D【解析】依次判断每个选项的正误：OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，计算体积得到B 正确；反证法证明AB 与CD 不垂直C 正确；根据C 选项知D 错误，得到答案。
云南师大附中2020届高考数学适应性月考试题(一)理(含解析)新人教A版
云南师大附中2020届高考适应性月考卷（一）理科数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、排列组合、概率与随机变量分布列与期望、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)【题文】1、已知全集U 和集合A 如图1所示，则()U C A B ⋂=A.{3}B.{5,6}C.{3,5,6}D.{0,4,5,6,7,8}【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 解析：由图易知()U A B =I ð{5,6}.则选B. 【思路点拨】本题主要考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，理解集合的补集与交集的含义是解题的关键. 【题文】2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，11z i=+，则12z z =A.－2iB.2iC.－2D.2 【知识点】复数的概念与运算L4【答案解析】A 解析：11i z =+在复平面内的对应点为(1,1)，它关于原点对称的点为(1,1)--，故21i z =--，所以212(1i)2i.z z =-+=-则选A.【思路点拨】通过复数的几何意义先得出2z ，再利用复数的代数运算法则进行计算.【题文】3、已知向量,a b r r 满足6a b -=r r 1a b •=r r，则a b +r r =6210【知识点】向量的数量积及其应用F3 【答案解析】C 解析：由已知得222222()226-=-=+-⋅=+-=a b a b a b a b a b ，即228+=a b ，所以2+=a b 222()210+=++⋅=a b a b a b ，即10.+=a b 则选C.【思路点拨】遇到求向量的模时，一般利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解.【题文】4、曲线11ax y e x =++在点(0,2)处的切线与直线y=x+3平行，则a=A.1B.2C.3D.4 【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 解析：21e (1)ax y a x '=-+，由题意得011x y a ='=-=，所以 2.a =则选B.【思路点拨】理解导数与其切线的关系是解题的关键.【题文】5、在△ABC 中，若sinC=2sinAcosB,则此三角形一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 【知识点】解三角形C8【答案解析】C 解析：由已知及正、余弦定理得，22222a c b c a ac +-=，所以22a b =，即a b =.则选C.【思路点拨】判断三角形形状，可以用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解.【题文】6、函数()2sin 3sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 A.1 B.13+ C.32 D.13【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4【答案解析】C 解析：函21cos 231π()sin 3cos 2sin 2226x f x x x x x x -⎛⎫=+==+- ⎪⎝⎭, ππππ5π,,2,42636x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵∴, ()f x 的最大值是32.则选C. 【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】7、已知实数x,y 满足约束条件0024030220x y x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪+-≤⎨⎪+-≤⎪⎪+-≥⎩，则z=x+3y 的取值范围是A.[1,9]B.[2,9]C.[3,7]D.[3,9]【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】B 解析：根据线性约束条件作出可行域， 如图1所示阴影部分．作出直线l ：30x y +=，将直线l 向上平移至过点(0,3)M和(2,0)N位置时，max 0339z=+⨯=，min 230 2.z=+⨯=则选B.【思路点拨】本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答.【题文】8、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为A.3 10B.510 C.710 D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D解析：圆锥毛坯的底面半径为4cmr=，高为3cmh=，则母线长5cml=，所以圆锥毛坯的表面积2ππ36πS rl r=+=原表，切削得的零件表面积2π2140πS S=+⨯⨯=零件表原表，所以所求比值为910．则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特征.【题文】9、若任取x,y∈[0,1]，则点P(x,y)满足2y x>的概率为A.23 B.13 C.12 D.34【知识点】定积分几何概型K3 B13【答案解析】A解析：该题属几何概型，由积分知识易得点(,)P x y满足2y x>的面积为123112(1)33x dx x x⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰，所以所求的概率为23．则选A.【思路点拨】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，若事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】10、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2AP PB =u u u r u u u r，则椭圆的离心率是 A.3 B.22 C.13 D.12【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】D 解析：因为2AP PB =u u u r u u u r ，则12,2,2OA OF a c e ===∴∴．则选D. 【思路点拨】求椭圆的离心率一般先结合条件寻求a,b,c 关系，再结合离心率的定义解答即可.【题文】11、把边长为2的正三角形ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角，设折叠后BC 中点为M ，则AC 与DM 所成角的余弦值为A.23B.24C.3D.3【知识点】异面直线所成的角G11【答案解析】B 解析：建立如图2所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,3),(1,0,0),(0,1,0),A B C11,,0,(0,0,0),2211(0,1,3),,,0,222cos ,M D AC DM AC DM AC DM AC DM⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⋅〈〉==u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u ru u u r u u u u r ∴∴则AC 与DM 所成角的余弦值为24.所以选C. 本题也可用几何法：在△ABC 中过点M 作AC的平行线，再解三角形即得．【思路点拨】求异面直线所成角时，可先考虑用定义法作出其平面角，再利用三角形解答，若作其平面角不方便时，可采取向量法求解.【题文】12、函数()()3f x x x x R =+∈当02πθ<<时，()()sin 10f a f a θ+->恒成立，则实数a 的取值范围是A.(﹣∞，1]B.(﹣∞,1)C.(1, ＋∞)D.(1, ＋∞) 【知识点】奇函数 函数的单调性B3 B4【答案解析】A 解析：2()130f x x '=+>，故3()()f x x x x =+∈R 在R 上单调递增，且为奇函数，所以由(sin )(1)0f a f a θ+->得(sin )(1)f a f a θ>-，从而sin 1a a θ>-，即当π02θ<<时，1sin 1a θ<--恒成立，所以1a ≤．则选A. 【思路点拨】本题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)【题文】13、定义一种新运算“⊗”：S a b =⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，则3654⊗-⊗=_______.【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a b S b a a b ->⎧=⎨-⎩≤ 从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答. 【题文】14、等比数列{}n a 的前n 项和为nS ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4S =_____.【知识点】等比数列与等差数列D2 D3 【答案解析】15解析：1234,2,a a a ∵成等差数列,2213211144,44,440,a a a a a q a q q q +=+=-+=∴即∴42,15q S ==∴．【思路点拨】遇到等差数列与等比数列，若无性质特征，则用其公式转化为首项与公比关系进行解答.【题文】15、关于sinx 的二项式()1sin nx +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，当x ∈[0, π]时，x=___________.【知识点】二项式定理J3【答案解析】π6或5π6．解析：1C C 17n n nnn -+=+=，故6n =，所以第4项的系数最大，于是3365C sin 2x =，所以，31sin 8x =，即1sin 2x =，又[0,π]x ∈，所以π6x =或5π6．【思路点拨】一般遇到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答.【题文】16、已知函数()3232a b f x x x cx d =+++(a ＜b)在R 上单调递增，则a b c b a ++-的最小值为______.【知识点】导数的应用 基本不等式B12 E6【答案解析】3解析：由题意2()0f x ax bx c '=++≥在R 上恒成立，故0b a >>，24b c a ≥，于是a b c b a ++-≥2211441b b b a b a a a b b a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭=--，设b ta =(1)t >，则问题等价于求函数244()4(1)t t g t t ++=-(1)t >的最小值，又()()244191()166634(1)414t t g t t t t ++⎡⎤==-++≥+=⎢⎥--⎣⎦，由此可得min ()(4)3g t g ==．【思路点拨】先由函数的单调性结合导数得到abc 的关系，再通过换元法转化为熟悉函数的最小值问题.三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 【题文】17、(本小题满分12分)一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球.(1)若有放回的从口袋中连续的取3次球(每次只取一个球)，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；(2)若不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E(ξ). 【知识点】概率 离散随机变量的分布列和数学期望K6 K7【答案解析】(1) 54125(2)6()5E ξ=解析：(1)设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P ，由题设知， 21233354C 155125P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．(2)白球的个数ξ可取0，1，2，3211233232333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P P P ξξξ=========．所以ξ的分布列如下表：ξ 0 1 2P110 35 310()012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．【思路点拨】求离散随机变量的分布列一般先确定随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得分布列并计算期望. 【题文】18、(本小题满分12分) 如图4，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O 、E 分别是111,A C AA 的中点，111AO A B C ⊥平面，已知∠BCA=90°，12AA AC BC ===.(1)证明：OE ∥平面11AB C ；(2)求直线11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.【知识点】直线与平面平行，线面所成的角G4 G11【答案解析】(1) 略(2) 21解析：方法一：（1）证明：∵点O 、E 分别是11A C 、1AA 的中点，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ， ∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111111A ABC C AA B V V --=，即1111111323AC B C AO ⋅⋅⋅⋅=⋅11AA B S d ⋅△．又∵在11AA B △中，1112A B AB ==,∴11AA B S △7=217d =，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为217．方法二：建立如图3所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)A ，113(0,1,0),0,,2A E ⎛-- ⎝⎭，1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B ，(0,2,3)C ．（1）证明：∵OE =u u u r 130,,2⎛- ⎝⎭， 1(0,1,3)AC =u u u u r，∴112OE AC =-u u u r u u u u r ，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∵11(0,2,0)A C =u u u u r ，11(2,2,0)A B =u u u u r，1(0,1,3)A A =u u u r.设平面11AA B 的一个法向量为(,,)n x y z =r，111220,0,30,0,x y A B n y z A A n ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u u r r u u u r r 则即 不妨令1x =，可得31,1,n ⎛=- ⎝⎭r ， ∴1121sin cos ,723AC n θ=〈〉==⋅u u u u r r，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为21．【思路点拨】证明直线与平面平行通常利用线面平行的判定定理，求线面所成角可以先作出其平面角，再利用三角形求解，若直接作角不方便时可考虑用向量的方法求解.【题文】19、设数列{}n a 满足10a =且*11.2n na n N a +=∈-.(1)求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设n nb S =为数列{}n b 的前n 项和，证明：n S ＜1.【知识点】等差数列 数列求和D2 D4【答案解析】(1)11n a n =-．(2)略 解析：（1）解：将112n na a +=-代入11111n na a +---可得111111n na a +-=--，即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列．又1111,,11nn a a ==--故所以11n a n =-．（2）证明：由（Ⅰ）得n b ===1111nnn k k k S b ====-=-<∑∑．【思路点拨】证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明. 【题文】20、已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数f(x)在x=1处取得极值，对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，没有极值点；当0a >时，有一个极值点． (2)211e b -≤解析：（1）11()ax f x a x x -'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴()f x 在(0,)+∞上没有极值点； 当0a >时，由()0f x '<得10x a <<，由()0f x '>得1x a >，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()f x 在1x a =处有极小值． ∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有一个极值点．（2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =，∴1ln ()21x f x bx b x x -⇔+-≥≥，令1ln ()1x g x x x =+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增，∴2min 21()(e )1e g x g ==-，即211e b -≤． 【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.【题文】21、如图5，已知抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C 上一点H()00,x y ()01y ≥作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值.【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1) 2y x = (2) min 11t =-解析：（1）∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =．（2）方法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，∵114MA y k x =-，∴114HA x k y -=，可得，直线HA 的方程为111(4)4150x x y y x --+-=，同理，直线HB 的方程为222(4)4150x x y y x --+-=，∴210101(4)4150x y y y x --+-=，220202(4)4150x y y y x --+-=，∴直线AB 的方程为22000(4)4150y x y y y --+-=，令0x =，可得000154(1)t y y y =-≥，∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增，∴min 11t =-．方法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+．以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+，① ⊙M 方程为22(4)1x y -+=．② ①-②整理得直线AB 的方程为：2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+．当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m =-(1)m ≥，∵t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增，∴min 11t =-．【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，求两切点所在直线方程，可利用两圆的公共弦所在直线方程的方法进行解答.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】22、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 经过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D.(1)求证：直线AB 是圆O 的切线；(2)若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长.【知识点】几何证明选讲N1【答案解析】(1)略； (2)5解析：（1）证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB ==∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线.（2）解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒，在Rt△ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =.∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠，又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD∽△BEC, ∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =则2BC x =，又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+， 解得：120,2x x ==, ∵0BD x =>, ∴2BD =，∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，若直线与圆有公共点，则公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可.【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为5ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，若点P 的坐标为(5，求PA PB +.【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】(1)32(2)32解析：（1）由5ρθ=，可得22250x y +-=， 即圆C 的方程为22(5)5x y +-=． 由23,25,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）可得直线l 的方程为530x y +=． 所以，圆C 的圆心到直线l 0553322+--．（2）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=．由于24420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩．又直线l过点(3P ， 故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=．【思路点拨】一般由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答.【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲]已知一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <； (2)若不等式()3f x ≤对任意的x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的范围.【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.(2) 15a -≤≤且a ≠0．解析：（1）()4f x <⇔24ax -<⇔424ax -<-<⇔26ax -<<，当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.（2）()3f x ≤⇔23ax -≤⇔323ax --≤≤⇔15ax -≤≤⇔5,1,ax ax ⎧⎨-⎩≤≥∵[0,1]x ∈，∴当x =0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为5,1, axax ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥又∵515,1x x--≥≤，所以15a-≤≤且a≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方法，对于不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.。
云南师大附中2020届高考适应性月考卷及其答案(理数)
0
.
3 1 ，
17.（云南师大附中 2020 届高考适应性月考卷（一）理数）某调研机构，对本地 22,50 岁的人群随
机抽取 200 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低 碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100 人为“低碳族”，该100 人的年龄情况对应的频率 分布直方图如图. （1）根据频率分布直方图，估计这100 名“低碳族”年龄的平均值、中位数；
NO
2
所以 N 的轨迹是以底面 ABCD 的中心 O 为圆心，以 1 为半径的圆， 2
则 N 的轨迹围成的封闭图象的面积为 S π ． 4
16.（云南师大附中
2020
届高考适应性月考卷（一）理数）设
F1
,
F2
为椭圆 C
:
x2 4
y2
1 的两个焦
点， M 为 C 上一点，且 △MF1F2 的内心 I 的纵坐标为 2 3 ，则 F1MF2 的余弦值为____________. 答案：0. 解析：（黑龙江七台河）
（2）若在“低碳族”且年龄在 30,34 ，34,38 的两组人群中，用分层抽样的方法抽取 30 人，试估
算每个年龄段应各抽取多少人？
答案：见解析. 解析：（黑龙江七台河）
第一套 - 3
（1）100 位“低碳族”的年龄平均值 x 为 x 24 0.04 28 0.08 32 0.16 36 0.44 40 0.16 44 0.1 48 0.0 2 35.92 36 ，
正切值为 2 ，则点 N 的轨迹围成的封闭图像的面积为
.
答案： π . 4
解析：（湖北十堰）
如图，由题意知，M 在底面 ABCD 内的投影为底面 ABCD 的中心 O ，连接 ON ，
2020届云南师大附中高考适应性月考数学(理)试题Word版含答案
2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,}A y y x x R ==+∈，集合2{1,}B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．{(0,1)}B ．{1}C ．φD ．{0} 2. 已知复数11iz i+=-，则z =（ ） A ．2 BC ．4 D3.已知平面向量,a b 的夹角为045，(1,1)a =，1b =，则a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D 4.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x = C. 2sin(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2813a a +=，735S =，则8a =（ ） A ．8 B ．9 C.10 D ．116.已知点(,)P x y 在不等式组20020x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．17.从某社区随机选取5名女士，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此得出a 的值为（ ） A ．43.6 B ．-43.6 C.33.6 D ．-33.68.若直线20ax by +-=（0,0a b >>）始终平分圆22222x y x y +--=的周长，则112a b+的最小值为（ ） A ．3224- B ．3222- C. 3222+ D ．3224+ 9.函数()sin lg f x x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．510.已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，满足::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形 C.直角三角形 D ．等腰直角三角形 11.已知正三棱锥S ABC -及其正视图如图 所示，则其外接球的半径为（ ）A ．33 B ．433 C. 536 D ．73612.定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，32()ln(1)xf x e x x =+++，且()()f x t f x +>在(1,)x ∈-+∞上恒成立，则关于x 的方程(21)f x t +=的根的个数叙述正确的是（ ） A ．有两个 B ．有一个 C.没有 D ．上述情况都有可能第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 121()x x+展开式中常数项是 ．14.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 ．（结果用分数表示）15.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为M ，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为N ，满足MN MF =，则双曲线离心率的值是 ．16.设O 是ABC ∆的三边垂直平分线的交点，H 是ABC ∆的三边中线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 的对应的边，已知22240b b c -+=，则AH AO •的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11a =，123n n a a +=+（*n N ∈）. （1）求证：数列{3}n a +是等比数列；（2）若{}n b 满足(21)(3)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示.甲 乙（1）分别求出甲乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪一个小组的成绩更稳定：（２）从甲组成绩不低于60分的同学中，任意抽取3名同学，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[60,70)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望.19. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面11A ADD 及平面ABCD 所成角分别为030，045，,M N 分别为1AC 与1A D 的中点，且1MN =. （1）求证：MN ⊥平面11A ADD ；（2）求二面角1A AC D --的平面角的正弦值.20. 已知椭圆:C 22221x y a b+=（0,0a b >>）的两个顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，点P 为椭圆上异于,A B 的点，设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，1212k k =-. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若1b =，设直线l 与x 轴交于点(1,0)D -，与椭圆交于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21. 设函数2()ln f x x x b x =++（1）若函数()f x 在1[,)2+∞上单调递增，求b 的取值范围； （2）求证：当1n ≥时，5ln ln(1)ln 24n n -+<-请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为：13x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）分别写出曲线C 在直角坐标系下的标准方程和直线l 在直角坐标系下的一般方程； （2）求11PA PB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =++-.（1）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图中的直角坐标系中作出函数()f x 的图象； （2）若不等式2122x x a a ++-≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．由三视图知：三棱锥S ABC-是底面边长为的正三棱锥，设其外接球的半径为R，则有：22)4R R=-+，解得：R=，故选D．12．由题意知：32()e ln(1)xf x x x=+++在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x+>在(1)x∈-+∞，上恒成立，必有2t≥，则(21)f x t+=的根有2个，故选A．13．36122112121C Crrr r rrT xx--+⎛⎫==⎪⎝⎭，3602r-=，解得：4r=，代入得常数项为495．14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S⎛⎫=+++=-+-++-=⎪⨯⨯⨯⎝⎭．15．由已知：22||||b bc bFM MNa a a==-，，由||||FM MN=知：22bc ba a=，2c b e==∴，∴．16．2211()3322b cAH AO AB AC AO⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，又22240b b c-+=，代入得：AH AO=2221421(4)3226b b bb b⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，又22240c b b=-+>，所以02b<<，代入得AH AO的取值范围为23⎛⎫⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为123n n a a +=+，所以132(3)n n a a ++=+， 而11a =，故数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，即132n n a ++=，因此123n n a +=-． 所以1(21)2n n b n +=-，2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，②①−②有231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯，所以2(23)212n n S n +=-+．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲， 5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成绩更稳定．（Ⅱ）由题意知ξ服从参数为3，3，7的超几何分布，即(337)H ξ，，，ξ的取值可能为：0，1，2，3， 3437C 4(0)C 35P ξ===，214337C C 18(1)C 35P ξ===，124337C C 12(2)C 35P ξ===，3337C 1(3)C 35P ξ===，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P43518351235135ξ的数学期望：339()77E ξ⨯==． 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N A C A D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD △的中位线， 所以MN ∥CD ，又因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以MN ⊥平面11A ADD ．（Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角， 即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1A CA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角， 即145A CA ∠=︒，所以1MN =，2CD =，14A C =，1A A =AC =，如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，1(22C ，，，1(00A ，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，∴BD 是平面1A AC 的法向量，(220)BD =-，，. 设平面1A CD 的法向量为()n x y z =，，，由(200)DC =，，，1(02DA =-，，，所以有202220x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， ∴02x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1A CD 的一个法向量为(021)n =，，. 设二面角1A A C D --的大小为α，则223|cos |3223α==.∴36sin =α．20．解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又10y k x a=+，20y k x a=-，所以201222012y k k x a ==--，212212b k k a =-=-联立两个方程有，22c e a =解得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=，设1122()()M x y N x y ，，，， 1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，121||||2OMNS OD y y =-===△所以，(1)t t =≥，则有221m t =-，代入上式有1OMNS t ==△，当且仅当1t =，即0m =时等号成立， 所以OMN △．21．（Ⅰ）解：22()21b x x bf x x x x ++'=++=，当0b ≥时，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上()0f x '≥恒成立，所以()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增成立， 当0b <时，由220x x b ++=，解得x =易知，()f x在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，12≤，解得1b -≥． 综上所述，1b -≥．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1b =-时，()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 对任意1n ≥，有112n n +≥成立，所以112n f f n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≥，代入()f x 有23ln ln 21114n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≥，整理得：2223ln 2ln (1)41n n n n n +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=， 直线l0y -=．（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准方程：112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，， 代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，，所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．23．解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图所示．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒 成立，有232a a +≥，解之得[31]a ∈-，．。
2020届云南师范大学附属中学高三上学期高考适应性月考卷(五)理科综合试题及答案详解
9．A项,银镜反应后的试管需要清洗的物质为金属银及剩余的银氨溶液,均可溶于稀硝酸,故而先用稀硝酸清洗,再用水清洗。B项,托盘天平的精确度为0.1,无法称取5.85g的NaCl。C项,少量氨气可通过加热浓氨水制备。D项,测定草酸浓度,可以利用高锰酸钾与其发生氧化还原反应,锥形瓶中出现浅紫红色且半分钟内不褪色时,说明草酸已被完全消耗。
3．无转运蛋白参与的物质进出细胞方式有自由扩散和胞吞、胞吐。
4．破伤风芽胞杆菌是厌氧菌,在有氧的条件下繁殖受抑制；醋酸杆菌在有氧条件下可生产食醋；水果保鲜应在低氧的条件下储藏。
5．MSC的增殖过程是有丝分裂,不发生等位基因的分离；MSC分化成为多种组织细胞的根本原因是基因选择性表达；细胞凋亡是由基因决定的细胞自动结束生命的过程,相关基因会表达。
云南省昆明市云南师范大学实验中学2020年高三数学理月考试卷含解析
云南省昆明市云南师范大学实验中学2020年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】在正方体中切割三棱锥，根据各边长度计算各面面积．【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P﹣ABC，故AC＝1，PA﹣2，BC＝，∴S ABC＝S PAC＝，，，∴多面体的表面积为．故选：D．【点睛】本题考查了棱锥的三视图与表面积计算，属于中档题．2. 已知定点，是圆上的任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（）Ａ. 椭圆Ｂ. 双曲线Ｃ. 抛物线Ｄ. 圆参考答案：B3. 己知奇函数的导函数为，．当时，．若，则实数a的取值范围是（）A. (－∞,－1)B. [－1,1]C. (－∞,－1]∪[1,+∞)D. [1,+∞)参考答案：D【分析】通过给出的不等式，可以联想导数的运算法则，再结合问题所给的形式，构造新函数，这样可以知道当时，函数的单调性，再判断函数的奇偶性，另一方面，利用奇函数的性质可以化简，这样可以得到与新函数的有关的不等式，利用的单调性、奇偶性可以求出实数的取值范围.【详解】设所以当时，是增函数，因为是奇函数，所以有，因此有，所以是偶函数，而，可以化为，是偶函数，所以有，当时，是增函数，所以有，故本题选D.4. （5分）顶点在原点，关于坐标轴对称，且过点（2，﹣3）的抛物线的方程是（） A． y2=x B． x2=﹣yC． y2=x或x2=﹣y D．以上都不对参考答案：C【考点】：抛物线的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由已知设抛物线方程为y2=2px，p＞0或x2=﹣2py，p＞0，把（2，﹣3）分别代入，能求出抛物线方程．解：由已知设抛物线方程为y2=2px，p＞0或x2=﹣2py，p＞0，把（2，﹣3）代入y2=2px，p＞0，得9=4p，解得p=，∴抛物线方程为y2=；把（2，﹣3）代入x2=﹣2py，p＞0，得4=6p，解得p=，∴抛物线方程为x2=﹣y．故选：C．【点评】：本题考查抛物线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．5. 抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则（）A． B． C．D．参考答案：A6. 函数的图象大致是参考答案：C7. 已知数列，“”是“”成立的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件参考答案：A8. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.则A. B.C. D.参考答案：A9. 已知函数的零点，其中常数满足，，则的值为（）A. B. C.D.参考答案：D略10. 已知双曲线的右焦点也是抛物线的焦点，与的一个交点为，若轴，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：由题意可知，所以，即，所以，解之得，故选A.考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f(x)＝cos(π＋2x)－sin x的最大值为________。
2020年云师大附中高三下期高考适应性月考理科数学试题及答案(解析版)
如图，在 中，
设 ，则 ，取 的中点分别为 则 分别为 和 的外接圆的圆心，连接 ，又直三棱柱 的外接球的球心为O，则O为 的中点，连接OB，则OB为三核柱外接球的半径。设半径为R，因为直三棱柱 ，所以 ，所以三棱锥 的高为2，即 ，又三棱锥 体积为2，所以 .在 中， ，
所以 ，当且仅当 时取“=”，所以球O的表面积的最小值是 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的渐近线以及离心率的概念，掌握 是解题的关键，属于中档题.
4．下图的程序框图的算法思路源于我国数学名著《九章算术》中的“中国剩余定理”．若正整数N除以正整数m后得余数r，则记为 ，如： ，则执行该程序框图输出的n等于（）
A．7B．6C．5D．8
【答案】A
【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
等级
珍品
特级
优级
一级
箱数
40
30
10
20
（1）若将频率改为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好抽到2箱是一级品的概率：
（2）利用样本估计总体，庄园老板提出两种购销方案供采购商参考：
方案一：不分等级卖出，价格为27元/kg;
方案二：分等级卖出，分等级的橙子价格如下：
等级
珍品
特级
优级
一级
【详解】
根据给定的程序框图，可知：
第一次执行循环体得 ， ，此时 ，不满足第一个条件；
第二次执行循环体得 ， ，此时 ，不满足第一个条件；
第三次执行循环体得 ， ，此时 且 ，既满足第一个条件又满足第二个条件，退出循环，输出7，故选A．
2024学年云南省昆明市五华区云南师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．12．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）A ．194B ．114C ．32D ．744．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题5．在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ===，，，则直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ） A ．32B ．33C ．155D ．1056．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．7．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．528．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =（ ）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，9．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭10．设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．311．已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（ ） A ．9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]4,13C ．[]4,12D ．7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南师大附中2020届高三理科数学适应性月考卷(五)附答案解析
（1）以小虫爬行时间 t 为参数，写出射线 l 的参数方程；
4
（2）求小虫在曲线 C1 内部逗留的时间. 23．如图， AB 是半圆直径， O 为 AB 的中点， DO AB ， C 在 AB 上，且 AC x ， BC y .
（1）用 x ， y 表示线段 OD ， CD 的长度； （2）若 a 0 ， b 0 ， a b 1，求 a4 b4 的最小值.
104 109
2
3
95
故选：D
【点睛】
本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键.
5．若 (ax 1 )6 的展开式中常数项等于 20 ，则 a （ ） x
A． 1 2
B． 1 2
C．1
【答案】C
D． 1
6
【解析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于
i 1
i 1
3
aˆ y bˆx. 19．如图，已知菱形 ABCD 和矩形 ACFE 所在的平面互相垂直， AC 2 AE .
（1）若 G 为 BE 的中点，求证： AG / / 平面 BDF ；
（2）若二面角
A
BE
D
的余弦值为
25 5
，求
tan ABC
.
20．设椭圆 C ：
x2 a2
（1）证明： x (0, ) ，都有 ln x x ；
（2）若函数 f (x) 有且只有一个零点，求 f (x) 的极值.
22．在直角坐标系 xOy 中，射线 l 的方程为 y 3 (x 1)(x 1) ，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为 3
2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷(五) 数学(理)试题(解析版)
2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷（五） 数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =I （ ） A ．{1,1}- B ．{1} C ．[1,1]- D ．[1,3]-【答案】B【解析】先计算得到{}11{|13}A B x x =-=-<<，，，再计算A B ⋂得到答案. 【详解】{}{}11{|13}1A B x x A B =-=-<<⋂=，，，故选：B 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2sin 75︒︒+=（ ）A ．2B ．1C ．D ．2【答案】C【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案. 【详解】()sin75cos152sin 1530︒︒+︒+︒=︒+︒=故选：C 【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力.3．设复数11iz i =+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu r ，OQ uuu r （O 为原点），则OP OQ ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．12-B ．0C ．12D【答案】B【解析】化简得到11112222OP OQ ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，，，，再计算OP OQ ⋅u u u r u u u r 得到答案.【详解】121i 1i 1i1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫====∴==-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，，，，，，故选：B 【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键. 4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（ ） A ．125 B ．115 C ．105 D ．95【答案】D【解析】根据等差数列公式得到方程组2415124448a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，计算得到答案.【详解】()2411105124441091043954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，， 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键.5．若61()ax x-的展开式中常数项等于20-，则a =（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】C【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于20-，求得实数a 的值． 【详解】解：∵61()ax x-的展开式中的通项公式为6616(1)rr r r r r T C a x ---+=-6626(1)r r r r C a x --=-，令620r -=得3r =，可得常数项为333361C ()2020ax a x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，得1a =，故选：C ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】判断函数为偶函数，取特殊点()00sin21f <=<，判断得到答案. 【详解】()00sin21f <=<，且()()f x f x -=，函数为偶函数故选：D 【点睛】本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键. 7．在高中阶段，我们学习的数学教材有必修1～5，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（ ） A ．13B ．29C ．59D ．15【答案】B【解析】先求“两本均是必修教材”包含的基本事件个数，再求“从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数，然后根据概率计算公式即可求出． 【详解】解：∵“两本均是必修教材”包含的基本事件个数为2554C 102⨯==， “从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数为210109C 452⨯==， ∴小明今晚复习的两本均是必修教材的概率102459P ==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了古典概型的概率，考查组合及组合数公式，属于基础题．8．已知函数2,(),x e x af x ex x a-+⎧<=⎨≥⎩的最小值为e ，则(ln 2)(2)f f +=（ ）A ．242e e +B ．(2ln 2)e +C ．222e +D ．1ln 2e +【答案】A【解析】利用解析式先求出每段函数的值域，再根据函数由最小值e 得2a e eae e -+⎧≥⎨≥⎩，解不等式得1a =，再代入解析式即可求出函数值． 【详解】解：∵2,(),x e x af x ex x a -+⎧<=⎨≥⎩，∴当函数x a <时，22()x a f x e e -+-+>=，当x a ≥时，()f x ex ae =≥， 又函数的最小值为e ，∴2a e e ae e-+⎧≥⎨≥⎩，∴211a a -≥⎧⎨≥⎩，则1a =，所以(ln 2)(2)f f +ln 22e 2e -+=+ln 22ee 2e -=⨯+242e e=+， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题，先求出每段函数的最值，再求函数的最值，属于中档题．9．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（ ）A ．B ．4C ．4πD ．【答案】B【解析】先计算得到()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，画出函数图像，计算1PQ =24PQ =得到答案.【详解】根据变换得到：()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，图象如图：由图可知，PQ 取到的最小可能为12PQ PQ ，，因为125PQ =，24PQ =，所以最小值为4 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.10．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC 【答案】D【解析】依次判断每个选项的正误：OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，计算体积得到B 正确；反证法证明AB 与CD不垂直C 正确；根据C 选项知D 错误，得到答案。