云南师范大学附属中学2020届高三高考适应性月考(一)数学(文)试题
云南师大附中2020届高考数学适应性月考试题(一)理(含解析)新人教A版
云南师大附中2020届高考适应性月考卷（一）理科数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、排列组合、概率与随机变量分布列与期望、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)【题文】1、已知全集U 和集合A 如图1所示，则()U C A B ⋂=A.{3}B.{5,6}C.{3,5,6}D.{0,4,5,6,7,8}【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 解析：由图易知()U A B =I ð{5,6}.则选B. 【思路点拨】本题主要考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，理解集合的补集与交集的含义是解题的关键. 【题文】2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，11z i=+，则12z z =A.－2iB.2iC.－2D.2 【知识点】复数的概念与运算L4【答案解析】A 解析：11i z =+在复平面内的对应点为(1,1)，它关于原点对称的点为(1,1)--，故21i z =--，所以212(1i)2i.z z =-+=-则选A.【思路点拨】通过复数的几何意义先得出2z ，再利用复数的代数运算法则进行计算.【题文】3、已知向量,a b r r 满足6a b -=r r 1a b •=r r，则a b +r r =6210【知识点】向量的数量积及其应用F3 【答案解析】C 解析：由已知得222222()226-=-=+-⋅=+-=a b a b a b a b a b ，即228+=a b ，所以2+=a b 222()210+=++⋅=a b a b a b ，即10.+=a b 则选C.【思路点拨】遇到求向量的模时，一般利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解.【题文】4、曲线11ax y e x =++在点(0,2)处的切线与直线y=x+3平行，则a=A.1B.2C.3D.4 【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 解析：21e (1)ax y a x '=-+，由题意得011x y a ='=-=，所以 2.a =则选B.【思路点拨】理解导数与其切线的关系是解题的关键.【题文】5、在△ABC 中，若sinC=2sinAcosB,则此三角形一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 【知识点】解三角形C8【答案解析】C 解析：由已知及正、余弦定理得，22222a c b c a ac +-=，所以22a b =，即a b =.则选C.【思路点拨】判断三角形形状，可以用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解.【题文】6、函数()2sin 3sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 A.1 B.13+ C.32 D.13【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4【答案解析】C 解析：函21cos 231π()sin 3cos 2sin 2226x f x x x x x x -⎛⎫=+==+- ⎪⎝⎭, ππππ5π,,2,42636x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵∴, ()f x 的最大值是32.则选C. 【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】7、已知实数x,y 满足约束条件0024030220x y x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪+-≤⎨⎪+-≤⎪⎪+-≥⎩，则z=x+3y 的取值范围是A.[1,9]B.[2,9]C.[3,7]D.[3,9]【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】B 解析：根据线性约束条件作出可行域， 如图1所示阴影部分．作出直线l ：30x y +=，将直线l 向上平移至过点(0,3)M和(2,0)N位置时，max 0339z=+⨯=，min 230 2.z=+⨯=则选B.【思路点拨】本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答.【题文】8、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为A.3 10B.510 C.710 D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D解析：圆锥毛坯的底面半径为4cmr=，高为3cmh=，则母线长5cml=，所以圆锥毛坯的表面积2ππ36πS rl r=+=原表，切削得的零件表面积2π2140πS S=+⨯⨯=零件表原表，所以所求比值为910．则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特征.【题文】9、若任取x,y∈[0,1]，则点P(x,y)满足2y x>的概率为A.23 B.13 C.12 D.34【知识点】定积分几何概型K3 B13【答案解析】A解析：该题属几何概型，由积分知识易得点(,)P x y满足2y x>的面积为123112(1)33x dx x x⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰，所以所求的概率为23．则选A.【思路点拨】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，若事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】10、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2AP PB =u u u r u u u r，则椭圆的离心率是 A.3 B.22 C.13 D.12【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】D 解析：因为2AP PB =u u u r u u u r ，则12,2,2OA OF a c e ===∴∴．则选D. 【思路点拨】求椭圆的离心率一般先结合条件寻求a,b,c 关系，再结合离心率的定义解答即可.【题文】11、把边长为2的正三角形ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角，设折叠后BC 中点为M ，则AC 与DM 所成角的余弦值为A.23B.24C.3D.3【知识点】异面直线所成的角G11【答案解析】B 解析：建立如图2所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,3),(1,0,0),(0,1,0),A B C11,,0,(0,0,0),2211(0,1,3),,,0,222cos ,M D AC DM AC DM AC DM AC DM⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⋅〈〉==u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u ru u u r u u u u r ∴∴则AC 与DM 所成角的余弦值为24.所以选C. 本题也可用几何法：在△ABC 中过点M 作AC的平行线，再解三角形即得．【思路点拨】求异面直线所成角时，可先考虑用定义法作出其平面角，再利用三角形解答，若作其平面角不方便时，可采取向量法求解.【题文】12、函数()()3f x x x x R =+∈当02πθ<<时，()()sin 10f a f a θ+->恒成立，则实数a 的取值范围是A.(﹣∞，1]B.(﹣∞,1)C.(1, ＋∞)D.(1, ＋∞) 【知识点】奇函数 函数的单调性B3 B4【答案解析】A 解析：2()130f x x '=+>，故3()()f x x x x =+∈R 在R 上单调递增，且为奇函数，所以由(sin )(1)0f a f a θ+->得(sin )(1)f a f a θ>-，从而sin 1a a θ>-，即当π02θ<<时，1sin 1a θ<--恒成立，所以1a ≤．则选A. 【思路点拨】本题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)【题文】13、定义一种新运算“⊗”：S a b =⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，则3654⊗-⊗=_______.【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a b S b a a b ->⎧=⎨-⎩≤ 从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答. 【题文】14、等比数列{}n a 的前n 项和为nS ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4S =_____.【知识点】等比数列与等差数列D2 D3 【答案解析】15解析：1234,2,a a a ∵成等差数列,2213211144,44,440,a a a a a q a q q q +=+=-+=∴即∴42,15q S ==∴．【思路点拨】遇到等差数列与等比数列，若无性质特征，则用其公式转化为首项与公比关系进行解答.【题文】15、关于sinx 的二项式()1sin nx +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，当x ∈[0, π]时，x=___________.【知识点】二项式定理J3【答案解析】π6或5π6．解析：1C C 17n n nnn -+=+=，故6n =，所以第4项的系数最大，于是3365C sin 2x =，所以，31sin 8x =，即1sin 2x =，又[0,π]x ∈，所以π6x =或5π6．【思路点拨】一般遇到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答.【题文】16、已知函数()3232a b f x x x cx d =+++(a ＜b)在R 上单调递增，则a b c b a ++-的最小值为______.【知识点】导数的应用 基本不等式B12 E6【答案解析】3解析：由题意2()0f x ax bx c '=++≥在R 上恒成立，故0b a >>，24b c a ≥，于是a b c b a ++-≥2211441b b b a b a a a b b a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭=--，设b ta =(1)t >，则问题等价于求函数244()4(1)t t g t t ++=-(1)t >的最小值，又()()244191()166634(1)414t t g t t t t ++⎡⎤==-++≥+=⎢⎥--⎣⎦，由此可得min ()(4)3g t g ==．【思路点拨】先由函数的单调性结合导数得到abc 的关系，再通过换元法转化为熟悉函数的最小值问题.三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 【题文】17、(本小题满分12分)一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球.(1)若有放回的从口袋中连续的取3次球(每次只取一个球)，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；(2)若不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E(ξ). 【知识点】概率 离散随机变量的分布列和数学期望K6 K7【答案解析】(1) 54125(2)6()5E ξ=解析：(1)设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P ，由题设知， 21233354C 155125P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．(2)白球的个数ξ可取0，1，2，3211233232333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P P P ξξξ=========．所以ξ的分布列如下表：ξ 0 1 2P110 35 310()012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．【思路点拨】求离散随机变量的分布列一般先确定随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得分布列并计算期望. 【题文】18、(本小题满分12分) 如图4，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O 、E 分别是111,A C AA 的中点，111AO A B C ⊥平面，已知∠BCA=90°，12AA AC BC ===.(1)证明：OE ∥平面11AB C ；(2)求直线11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.【知识点】直线与平面平行，线面所成的角G4 G11【答案解析】(1) 略(2) 21解析：方法一：（1）证明：∵点O 、E 分别是11A C 、1AA 的中点，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ， ∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111111A ABC C AA B V V --=，即1111111323AC B C AO ⋅⋅⋅⋅=⋅11AA B S d ⋅△．又∵在11AA B △中，1112A B AB ==,∴11AA B S △7=217d =，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为217．方法二：建立如图3所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)A ，113(0,1,0),0,,2A E ⎛-- ⎝⎭，1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B ，(0,2,3)C ．（1）证明：∵OE =u u u r 130,,2⎛- ⎝⎭， 1(0,1,3)AC =u u u u r，∴112OE AC =-u u u r u u u u r ，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∵11(0,2,0)A C =u u u u r ，11(2,2,0)A B =u u u u r，1(0,1,3)A A =u u u r.设平面11AA B 的一个法向量为(,,)n x y z =r，111220,0,30,0,x y A B n y z A A n ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u u r r u u u r r 则即 不妨令1x =，可得31,1,n ⎛=- ⎝⎭r ， ∴1121sin cos ,723AC n θ=〈〉==⋅u u u u r r，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为21．【思路点拨】证明直线与平面平行通常利用线面平行的判定定理，求线面所成角可以先作出其平面角，再利用三角形求解，若直接作角不方便时可考虑用向量的方法求解.【题文】19、设数列{}n a 满足10a =且*11.2n na n N a +=∈-.(1)求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设n nb S =为数列{}n b 的前n 项和，证明：n S ＜1.【知识点】等差数列 数列求和D2 D4【答案解析】(1)11n a n =-．(2)略 解析：（1）解：将112n na a +=-代入11111n na a +---可得111111n na a +-=--，即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列．又1111,,11nn a a ==--故所以11n a n =-．（2）证明：由（Ⅰ）得n b ===1111nnn k k k S b ====-=-<∑∑．【思路点拨】证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明. 【题文】20、已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数f(x)在x=1处取得极值，对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，没有极值点；当0a >时，有一个极值点． (2)211e b -≤解析：（1）11()ax f x a x x -'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴()f x 在(0,)+∞上没有极值点； 当0a >时，由()0f x '<得10x a <<，由()0f x '>得1x a >，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()f x 在1x a =处有极小值． ∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有一个极值点．（2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =，∴1ln ()21x f x bx b x x -⇔+-≥≥，令1ln ()1x g x x x =+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增，∴2min 21()(e )1e g x g ==-，即211e b -≤． 【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.【题文】21、如图5，已知抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C 上一点H()00,x y ()01y ≥作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值.【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1) 2y x = (2) min 11t =-解析：（1）∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =．（2）方法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，∵114MA y k x =-，∴114HA x k y -=，可得，直线HA 的方程为111(4)4150x x y y x --+-=，同理，直线HB 的方程为222(4)4150x x y y x --+-=，∴210101(4)4150x y y y x --+-=，220202(4)4150x y y y x --+-=，∴直线AB 的方程为22000(4)4150y x y y y --+-=，令0x =，可得000154(1)t y y y =-≥，∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增，∴min 11t =-．方法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+．以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+，① ⊙M 方程为22(4)1x y -+=．② ①-②整理得直线AB 的方程为：2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+．当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m =-(1)m ≥，∵t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增，∴min 11t =-．【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，求两切点所在直线方程，可利用两圆的公共弦所在直线方程的方法进行解答.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】22、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 经过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D.(1)求证：直线AB 是圆O 的切线；(2)若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长.【知识点】几何证明选讲N1【答案解析】(1)略； (2)5解析：（1）证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB ==∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线.（2）解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒，在Rt△ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =.∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠，又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD∽△BEC, ∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =则2BC x =，又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+， 解得：120,2x x ==, ∵0BD x =>, ∴2BD =，∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，若直线与圆有公共点，则公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可.【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为5ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，若点P 的坐标为(5，求PA PB +.【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】(1)32(2)32解析：（1）由5ρθ=，可得22250x y +-=， 即圆C 的方程为22(5)5x y +-=． 由23,25,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）可得直线l 的方程为530x y +=． 所以，圆C 的圆心到直线l 0553322+--．（2）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=．由于24420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩．又直线l过点(3P ， 故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=．【思路点拨】一般由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答.【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲]已知一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <； (2)若不等式()3f x ≤对任意的x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的范围.【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.(2) 15a -≤≤且a ≠0．解析：（1）()4f x <⇔24ax -<⇔424ax -<-<⇔26ax -<<，当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.（2）()3f x ≤⇔23ax -≤⇔323ax --≤≤⇔15ax -≤≤⇔5,1,ax ax ⎧⎨-⎩≤≥∵[0,1]x ∈，∴当x =0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为5,1, axax ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥又∵515,1x x--≥≤，所以15a-≤≤且a≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方法，对于不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.。
云南省师范大学附属中学2020届高三上学期第一次月考数学(文)答案
，故选
C．
图2
4． x2 + y2 = (x − 0)2 + ( y − 0)2 其几何意义为可行域内的点到点 (0，0) 的距离，故选 A．
5．如图 3，由图象知 f (x) = cos x 与 g(x) =| ln x | 的 交 点 个 数
为 原 函 数零点个数，故选 B．
6． a5 + a13 = 2a9 = 40 ，所以 a7 + a8 + a9 + a10 + a11 = 100 ，故
3
，
所以 1 = m + 3 ， 1 = m + 3 ，
k1
y1 k2
y2
因此
1 k12
+
1 k22
=
m
+
3 y1
2
+
m
+
3 y2
2
= 2m2
+
6m
1 y1
+
1 y2
+
9
1 y12
+
1 y22
= 2m2
+ 6m
y1 + y2 y1 y2
ρ ρ
cosθ， sinθ，
则曲线
C2
的极坐标方程为 ρ 2
=
cos2 θ
4 + 4sin2 θ
．
………………（5 分）
文科数学参考答案·第 5 页（共 6 页）
（2）如图
10，由题意知 S△AOC
=
1 2
OA
云南师大附中2020届高考适应性月考卷及其答案(理数)
0
.
3 1 ，
17.（云南师大附中 2020 届高考适应性月考卷（一）理数）某调研机构，对本地 22,50 岁的人群随
机抽取 200 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低 碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100 人为“低碳族”，该100 人的年龄情况对应的频率 分布直方图如图. （1）根据频率分布直方图，估计这100 名“低碳族”年龄的平均值、中位数；
NO
2
所以 N 的轨迹是以底面 ABCD 的中心 O 为圆心，以 1 为半径的圆， 2
则 N 的轨迹围成的封闭图象的面积为 S π ． 4
16.（云南师大附中
2020
届高考适应性月考卷（一）理数）设
F1
,
F2
为椭圆 C
:
x2 4
y2
1 的两个焦
点， M 为 C 上一点，且 △MF1F2 的内心 I 的纵坐标为 2 3 ，则 F1MF2 的余弦值为____________. 答案：0. 解析：（黑龙江七台河）
（2）若在“低碳族”且年龄在 30,34 ，34,38 的两组人群中，用分层抽样的方法抽取 30 人，试估
算每个年龄段应各抽取多少人？
答案：见解析. 解析：（黑龙江七台河）
第一套 - 3
（1）100 位“低碳族”的年龄平均值 x 为 x 24 0.04 28 0.08 32 0.16 36 0.44 40 0.16 44 0.1 48 0.0 2 35.92 36 ，
正切值为 2 ，则点 N 的轨迹围成的封闭图像的面积为
.
答案： π . 4
解析：（湖北十堰）
如图，由题意知，M 在底面 ABCD 内的投影为底面 ABCD 的中心 O ，连接 ON ，
2020届 云师大附中高三高考适应性月考(一)数学(文)试题(解析版)
2020届云师大附中高三高考适应性月考（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){}22,1B x y xy =+=，则集合A B I 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】作出函数2y x =和圆221x y +=的图象，观察两曲线的交点个数，可得出集合A B I 的元素个数.【详解】如下图所示，由函数2y x =与圆221x y +=的图象有两个交点，因此，集合A B I 含有两个元素，故选：C.【点睛】本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin ix e x i x =+，根据三角方程，计算1i e π+的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．i【答案】B【解析】根据复数的三角方程将复数i e π表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果.【详解】由cos sin ix e x i x =+，则1cos sin 1110i e i πππ+=++=-+=，故选B.【点睛】本题考查复数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题.3．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以100可得出所求结果.【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选：C.【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.4．已知x 、y 满足的约束条件02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩22x y +的最小值为（ ） A 35B 25C 3D 5【答案】A【解析】22x y +的几何意义为可行域内22x y +的最小值为原点到直线230x y +-=的距离，由此可得出结果.【详解】作出不等式组02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：()()222200x y x y +=-+-()0,0的距离，过点O 作直线230x y +-=的垂线OH 22x y +223512OH ==+， 故选：A.【点睛】本题考查线性规划问题，考查距离型非线性函数的最值问题，要理解非线性目标函数的几何意义，借助数形结合思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．函数()cos ln f x x x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】在平面直角坐标系内作出函数cos y x =与函数ln y x =的图象，观察两函数的交点个数，即为函数()cos ln f x x x =-的零点个数.【详解】令()0f x =，得cos ln x x =，则函数()y f x =的的零点个数等价于函数cos y x =与函数ln y x =图象的交点个数，如下图所示：由图象知cos y x =与ln y x =的交点个数为2， 因此，函数()y f x =的零点个数也为2，故选：B.【点睛】本题考查函数零点个数问题，常用的方法有两种：一种是代数法，另一种是图象法，转化为两个函数的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ）A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】D【解析】利用等差中项的性质得出9a 的值，再利用等差中项的性质可得出7891011a a a a a ++++的值.【详解】由等差中项的性质可得5139240a a a +==，920a ∴=，因此，()()7891011711810995100a a a a a a a a a a a ++++=++++==，故选：D.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题.7．函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考查函数sin y x x =的奇偶性以及该函数在区间()0,π上的函数值符号进行排除，可得出正确选项.【详解】设()sin f x x x =，该函数的定义域为R ，且()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以，函数()sin f x x x =为偶函数，排除A 、C 选项，且当0πx <<时，sin 0x >，此时()0f x >，排除D 选项，故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除，考查推理能力，属于中等题.8．如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．300【答案】B【解析】根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果.【详解】18n =>不成立，执行第一次循环，211b ==，011s =+=，112n =+=； 28n =>不成立，执行第二次循环，224b ==，145s =+=，213n =+=；38n =>不成立，执行第三次循环，239b ==，5914s =+=，314n =+=； 48n =>不成立，执行第四次循环，2416b ==，141630s =+=，415n =+=；58n =>不成立，执行第五次循环，2525b ==，302555s =+=，516n =+=； 68n =>不成立，执行第六次循环，2636b ==，553691s =+=，617n =+=；78n =>不成立，执行第七次循环，2749b ==，9149140s =+=，718=+=n ；88n =>不成立，执行第八次循环，2864b ==，14064204s =+=，819n =+=；98n =>成立，跳出循环体，输出s 的值为204，故选B.【点睛】本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.9．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =Q ，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x =的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选B.【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.10．若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点()P m n ,，并且在()P m n ,处具有公共切线，则实数a =（ ）A ．1eB ．2eC ．12eD ．32e【答案】C【解析】由题意得出()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，解此方程组，可得出实数a 的值. 【详解】因为()2f x ax =，所以()2f x ax '=；由()lng x x =，得()1g x x'=. 因为()2f x ax =与()lng x x =在它们的公共点()P m n ,处具有公共切线，则()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，即2ln 12am mam m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得12m e a e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故选：C. 【点睛】本题考查两函数在公共点处有公切线问题，解题时要将问题转化为在公共点处函数值和导数值分别相等，并利用方程组求解，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题.11．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足2PA PB=则22PA PB +的最小值为（ ）A ．36242-B ．48242-C ．2D ．242【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，利用两点间的距离公式结合条件2PA PB=点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值.【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y ，2PA PB=Q ，2222(1)2(1)x y x y++=-+两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=，所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心，22则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且322OP =-，因此，(22223222362PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.12．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=o ，3AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A 5πB 6πC 7πD ．22π【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，3AB =，所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan 2θ∴=222tan 2OO O M θ∴=⋅=， 球O 的半径22226R DO OO =+=，所求外接球的体积为246632V ππ⎛=⋅= ⎝⎭， 故选：B.【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题13．已知a v 、b v 为单位向量，,3a b π=v v ，则2a b +=v v ____________.7【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算()222a b a b+=+r rr r .【详解】由于a r 、b r 为单位向量，,3a b π<>=r r ，则1a b ==r r ，且1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=r r r r r r ，因此，()2222212244414172a b a ba ab b +=+=+⋅+=⨯+⨯+=r rr r r r r r ，7【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S =___________.【答案】15【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出q 的值，再利用等比数列求和公式可计算出4S 的值.【详解】11a =Q ，48a =，所以3418a q a ==，所以2q =，因此，()()4414111215112a q S q-⨯-===--，故答案为：15.【点睛】本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般是通过建立首项和公比的方程组，求出这两个量，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15．设1F 、2F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点，M 为C 上点，122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为______.【答案】1【解析】利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出12MF MF ⋅的值，然后利用三角形的面积公式可计算出12F MF ∆的面积.【详解】由题意可知，2a =，1b =，223c a b =-12223F F c ==.如下图，由题意知122F MF π∠=，由勾股定理得222121212MF MF F F +==，由椭圆定义得1224MF MF a +==，将该等式两边平方得221122216MF MF MF MF +⋅+=，122MF MF ∴⋅=，因此，12F MF ∆的面积为1212112122F MF S MF MF ∆=⋅=⨯=，故答案为1.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解，并结合三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____.【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ，则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.三、解答题17．某调研机构，对本地[]22,50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.（1）根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值，中位数； （2）若在“低碳族”且年龄在[)30,34、[)34,38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？【答案】（1）平均值为36，中位数为36；（2）年龄在[)30,34的8人，在[)34,38的22人.【解析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为0.5计算出矩形的面积； （2）先计算出年龄在[)30,34、[)34,38的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在[)30,34、[)34,38的人数.【详解】（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04280.08320.16360.44x =⨯+⨯+⨯+⨯400.16440.1480.0235.9236+⨯+⨯+⨯=≈，设中位数为a ，前三个矩形的面积为0.040.080.160.28++=， 前四个矩形的面积为0.040.080.160.440.72+++=，则()34,38a ∈，由题意可得()0.28340.110.5a +-⨯=，解得36a =，因此，中位数为36； （2）年龄在[)30,34、[)34,38的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 频率之比为0.16:0.444:11=，所抽取的30人中，年龄在[)30,34的人数为430815⨯=， 年龄在[)34,38的人数为11302215⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.【答案】（1）3π；（23【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值.【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >，则31sin cos cos sin 62B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3cos B B =，tan 3B ∴=.又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ，所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r，则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为343433=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF 、CF 、EF ，如图乙.（1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）可证明出//BC AE ，由折叠的性质得出AE CE ⊥，AE DE ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理得出AE ⊥平面DEC ，再由//BC AE ，可得出BC ⊥平面DEC ；（2）证明DE ⊥平面ABCE ，由E 为AD 的中点可知三棱锥F BCE -的高为12DE ，计算出BCE ∆的面积，然后利用锥体体积公式可计算出三棱锥F BCE -的体积，即为所求结果.【详解】（1）在图甲中，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD ∴⊥，AE CD ⊥Q ，则//BC AE .折叠后，在图乙中，AE CE ⊥，AE DE ⊥，又CE DE E =I ，AE ∴⊥平面DCE .//BC AE Q ，BC ∴⊥平面DCE ；（2）由（1）知，DE AE ⊥，又DE CE ⊥，且AE CE E =I ，DE ∴⊥平面ABCE .F Q 为AD 的中点，所以，三棱锥F BCE -的高为112122DE =⨯=，224CD AB BC ===Q ，易知四边形ABCE 是矩形，则2CD AB ==，BCE ∆的面积为2112222BCE S BC CE ∆=⋅=⨯=， 因此，1112123233E FBCF BCE BCEV V DE S --∆==⨯⨯=⨯⨯=. 【点睛】本题考查立体几何的翻折问题，考查直线与平面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，在处理翻折问题时，要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()g x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A 、B 两点之间距离的最小值.【答案】（1）证明见解析；（22. 【解析】（1）求出函数()y h x =的导数，利用函数()y h x '=的单调性以及零点存在定理，说明函数()y h x '=在定义域上有唯一零点，再分析函数()y h x '=在该零点处函数值符号，可得证函数()y h x =有唯一极值点；（2）根据函数()xf x e =与()lng x x =关于直线y x =，将直线y x =平移后与分别与曲线()y f x =、()y g x =切于A 、B ，由此可得出AB 的最小值.【详解】（1）由题意知()ln x h x e x =-，所以()1xh x e x'=-，由xy e =单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，()y h x '∴=在()0,∞+上单调递增，又1202h e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110h e '=->， 所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，当()00,x x ∈时，()00h x '<，函数()y h x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()00h x '>，函数()y h x =单调递增；因此，函数()y h x =有唯一的极值点；（2）由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，两个函数图象关于直线y x =对称，如下图，将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y f x =的图象相切，()xf x e '=，令()1xf x e '==，0x ∴=，可得点()0,1A .将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y g x =的图象相切，()1g x x'=， 令()11g x x'==，1x ∴=，可得点()10B ,， 因此，A 、B ()()2201102-+-=.【点睛】本题考查函数极值点个数，同时也考查反函数对称性的应用，在求解函数极值点个数问题时，要结合导数的单调性与零点存在定理来分析求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）92. 【解析】（1）设直线AB 的方程为2px my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立，消去x ，利用韦达定理并结合条件124y y =-可求出实数p 的值，由此得出抛物线E 的方程；（2）由（1）得出直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线E 的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出221211k k +关于m 的表达式，可得出221211k k +的最小值. 【详解】（1）因为直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为2p x my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >Q ，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程24y x =；（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111=269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221212222122212122484926926954162y y y y m y y m m m m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+-.因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）射线1l :000,2πθθθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点，射线2l :000,22ππθθθ⎡⎤⎛⎫=+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于C 、D 两点，求AOC BODS S ∆∆的最大值.【答案】（1）1C 的极坐标方程为3ρ=，2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+；（2）458. 【解析】（1）将两曲线的方程均化为普通方程，然后由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将两曲线的方程化为极坐标方程；（2）作出图形，设点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出1ρ、2ρ的表达式，可得出1212BOD S ρρ∆=，利用基本不等式可求出AOCBODS S ∆∆的最大值.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=. 又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+； （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=，点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得12200cos 4sin ρθθ=+，222220000sin 4cos cos 4sin 22ρππθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12222200001122cos 4sin sin 4cos BOD S ρρθθθθ∆=⋅=++()()22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ=++()()2222000099545cos 4sin sin 4cos 4428AOC BOD S S θθθθ∆∆∴=++⨯=， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04θπ=，不等式取等号， 因此，AOC BOD S S ∆∆的最大值为458.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及利用极坐标解决最值问题，解题时要注意极坐标方程法的适用情况，考查运算求解能力，属于中等题.23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤，求实数a 的值； （2）当2a = 时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）(]2,log 3-∞. 【解析】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，可得出()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而求出实数a 的值； （2）利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1，可得出14223n n +--≤，再令2n t =，可得出2230t t --≤，解出3t ≤，即23n ≤，从而可解出实数n 的取值范围.【详解】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，则()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13323a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得2a =；（2）当2a =时，由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2n t =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞.【点睛】本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.。
2020届云师大附中高三高考适应性月考(一)数学(文)试题
（2）求三棱锥 的体积.
20．已知 ， .
（1）令 ，求证： 有唯一的极值点；
（2）若点 为函数 上的任意一点，点 为函数 上的任意一点，求 、 两点之间距离的最小值.
21．已知抛物线 ，过其焦点 的直线与抛物线相交于 、 两点，满足 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知点 的坐标为 ，记直线 、 的斜率分别为 ， ，求 的最小值.
【点睛】
本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.
9．B
【解析】
【分析】
先利用三角函数图象变换规律得出函数 的解析式，然后由绝对值变换可得出函数 的最小正周期.
【详解】
，将函数 的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的 ，可得到函数 的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的 倍，得到函数 的图象，再把所得图象向上平移 个単位长度，得到 ，由绝对值变换可知，函数 的最小正周期为 ，故选B.
A． B． C． D．
12．四边形 是菱形， ， ，沿对角线 翻折后，二面角 的余弦值为 ，则三棱锥 的外接球的体积为（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
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评卷人
得分
二、填空题
13．已知 、 为单位向量， ，则 ____________.
14．等比数列 的首项 ， ，则 ___________.
所以 ， ， ，设 ，
则 ， ，则 ， ，
， ，
球 的半径 ，所求外接球的体积为 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
云南师大附中2024届高考适应性月考卷(一)语文试题答案和解析
云南省昆明市云南师大附中2023-2024学年高三上学期月考卷（一）语文答案【答案】1.B 2.D 3.C4.①受传记繁荣、泛滥的影响，有意甚至刻意讳言传主之“恶”。
②受到经济利益的影响，故意拔高人物，人为编造美化。
③由于历史虚无主义，或者为了哗众取宠，以“重写历史”为旗号，有意回避或者淡化其在历史上的负面形象。
5.①写作传记应秉持史家春秋笔法，追求全面真实是基本要求。
②不能因为某些因素影响，而讳言人恶，歪解曲解历史。
③遵循历史事实，也要通过细节、对话、环境渲染等塑造人物。
【解析】【1题详解】本题考查学生比较分析文本信息的能力。
B.“‘泛生命体’拥有珍贵的文献和学术价值”错误，张冠李戴，由“而是工程、城市、部队、江河湖海渠等‘泛生命体’。
在作家眼中，这些事物似乎都变成了有生命的物体和存在，……这些作品往往具有鲜明的史志史传、文献和学术价值”可知，具有文献和学术价值的是作家写出的作品，而不是“工程、城市、故选B。
【2题详解】本题考查学生分析文本观点态度的能力。
A.“是因为他们的个人经历对读者具有很强的感召力和启示意义”错误，变或然为必然，且以偏概全，由“这或许是因为作家的生平经历及创作道路，对其他写作者和文学爱好者具有启示与感召意义，同时又具有文学史价值”可知，原文说的是“或许是因为”，且还有“具有文学史价值”这点原因。
B.“并给出切实可行的建议”错误，无中生有，材料一1-4段分析现当代传记文学的发展特点，5、6段指出当下存在的问题，并未给出建议。
C.“它决定了传记的真实程度”错误，以偏概全，由“主要不是看它写了什么样的历史而是怎么写历史”可知，怎么写历史只是传记真实与否的主要原因之一，而不能就决定了传记的真实程度。
故选D。
【3题详解】本题考查学生分析论点论据的能力。
A.体现了为“泛生命体”立传的特点。
B.“以见证者的身份讲述路遥在人世间最后二年的生存状况和经历”体现了“传记文学在写作手法上也在努力出新出奇”的特点。
2020届云师大附中高三高考适应性月考(一)数学(文)试题(解析版)
2020届云师大附中高三高考适应性月考（一）数学（文）试题一、单选题 1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){}22,1B x y xy =+=，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】作出函数2y x 和圆221x y +=的图象，观察两曲线的交点个数，可得出集合A B的元素个数. 【详解】如下图所示，由函数2y x 与圆221x y +=的图象有两个交点，因此，集合AB 含有两个元素，故选：C.【点睛】本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin ix e x i x =+，根据三角方程，计算1i e π+的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．i【答案】B【解析】根据复数的三角方程将复数i e π表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果. 【详解】由cos sin ix e x i x =+，则1cos sin 1110i e i πππ+=++=-+=，故选B. 【点睛】本题考查复数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题.3．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以100可得出所求结果. 【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选：C. 【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.4．已知x 、y 满足的约束条件02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩22x y + ）A ．355B 25C 3D 5【答案】A【解析】作出不等式组作表示的可行域，22x y +22x y +的最小值为原点到直线230x y +-=的距离，由此可得出结果. 【详解】作出不等式组02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：()()222200x y x y +=-+-的几何意义为可行域内的点到点()0,0的距离，过点O 作直线230x y +-=的垂线OH ，则22x y +的最小值为2235512OH ==+， 故选：A. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查距离型非线性函数的最值问题，要理解非线性目标函数的几何意义，借助数形结合思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．函数()cos ln f x x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】在平面直角坐标系内作出函数cos y x =与函数ln y x =的图象，观察两函数的交点个数，即为函数()cos ln f x x x =-的零点个数. 【详解】令()0f x =，得cos ln x x =，则函数()y f x =的的零点个数等价于函数cos y x =与函数ln y x =图象的交点个数，如下图所示：由图象知cos y x =与ln y x =的交点个数为2， 因此，函数()y f x =的零点个数也为2，故选：B. 【点睛】本题考查函数零点个数问题，常用的方法有两种：一种是代数法，另一种是图象法，转化为两个函数的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ） A ．40 B ．60C ．80D ．100【答案】D【解析】利用等差中项的性质得出9a 的值，再利用等差中项的性质可得出7891011a a a a a ++++的值.【详解】由等差中项的性质可得5139240a a a +==，920a ∴=，因此，()()7891011711810995100a a a a a a a a a a a ++++=++++==，故选：D. 【点睛】本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题. 7．函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考查函数sin y x x =的奇偶性以及该函数在区间()0,π上的函数值符号进行排除，可得出正确选项. 【详解】设()sin f x x x =，该函数的定义域为R ，且()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以，函数()sin f x x x =为偶函数，排除A 、C 选项，且当0πx <<时，sin 0x >，此时()0f x >， 排除D 选项，故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除，考查推理能力，属于中等题.8．如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．300【答案】B【解析】根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果. 【详解】18n =>不成立，执行第一次循环，211b ==，011s =+=，112n =+=； 28n =>不成立，执行第二次循环，224b ==，145s =+=，213n =+=； 38n =>不成立，执行第三次循环，239b ==，5914s =+=，314n =+=； 48n =>不成立，执行第四次循环，2416b ==，141630s =+=，415n =+=； 58n =>不成立，执行第五次循环，2525b ==，302555s =+=，516n =+=； 68n =>不成立，执行第六次循环，2636b ==，553691s =+=，617n =+=； 78n =>不成立，执行第七次循环，2749b ==，9149140s =+=，718=+=n ； 88n =>不成立，执行第八次循环，2864b ==，14064204s =+=，819n =+=； 98n =>成立，跳出循环体，输出s 的值为204，故选B.【点睛】本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.9．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期. 【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x =的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.10．若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点()P m n ,，并且在()P m n ,处具有公共切线，则实数a =（ ） A ．1eB ．2eC ．12eD ．32e【答案】C【解析】由题意得出()()()()f mg m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，解此方程组，可得出实数a 的值.【详解】因为()2f x ax =，所以()2f x ax '=；由()ln g x x =，得()1g x x'=. 因为()2f x ax =与()lng x x =在它们的公共点()P m n ,处具有公共切线，则()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，即2ln 12am mam m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得12m a e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故选：C. 【点睛】本题考查两函数在公共点处有公切线问题，解题时要将问题转化为在公共点处函数值和导数值分别相等，并利用方程组求解，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题.11．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足2PA PB=，则22PA PB +的最小值为（ ）A ．36242-B ．48242-C ．362D ．242【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，利用两点间的距离公式结合条件2PA PB=得出点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值.【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y ，2PA PB=，2222(1)2(1)x y x y++∴=-+，两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=， 所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心，22为半径的圆， 则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且322OP =- 因此，(2222322236242PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题. 12．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=，3AB =，沿对角线BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A ．5πB ．6πC ．7πD ．22π【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，3AB =，所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan 2θ∴=222tan 2OO O M θ∴=⋅=， 球O 的半径22226R DO OO =+=，所求外接球的体积为246632V ππ⎛=⋅= ⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题13．已知a 、b 为单位向量，,3a b π=，则2a b +=____________.【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算()222a b a b +=+，可得出结果.【详解】由于a 、b 为单位向量，,3a b π<>=，则1a b ==，且1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=，因此，()2222224441a b a ba ab b +=+=+⋅+=⨯=，. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S =___________. 【答案】15【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出q 的值，再利用等比数列求和公式可计算出4S 的值. 【详解】11a =，48a =，所以3418a q a ==，所以2q，因此，()()4414111215112a q S q-⨯-===--，故答案为：15. 【点睛】本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般是通过建立首项和公比的方程组，求出这两个量，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15．设1F 、2F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点，M 为C 上点，122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为______. 【答案】1【解析】利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出12MF MF ⋅的值，然后利用三角形的面积公式可计算出12F MF ∆的面积. 【详解】由题意可知，2a =，1b =，223c a b =-=，则12223F F c ==. 如下图，由题意知122F MF π∠=，由勾股定理得222121212MF MF F F +==，由椭圆定义得1224MF MF a +==，将该等式两边平方得221122216MF MF MF MF +⋅+=，122MF MF ∴⋅=，因此，12F MF ∆的面积为1212112122F MF S MF MF ∆=⋅=⨯=，故答案为1.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解，并结合三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】 如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ， 则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.三、解答题17．某调研机构，对本地[]22,50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.（1）根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值，中位数；（2）若在“低碳族”且年龄在[)30,34、[)34,38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？【答案】（1）平均值为36，中位数为36；（2）年龄在[)30,34的8人，在[)34,38的22人. 【解析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为0.5计算出矩形的面积； （2）先计算出年龄在[)30,34、[)34,38的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在[)30,34、[)34,38的人数. 【详解】（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04280.08320.16360.44x =⨯+⨯+⨯+⨯400.16440.1480.0235.9236+⨯+⨯+⨯=≈，设中位数为a ，前三个矩形的面积为0.040.080.160.28++=， 前四个矩形的面积为0.040.080.160.440.72+++=，则()34,38a ∈， 由题意可得()0.28340.110.5a +-⨯=，解得36a =，因此，中位数为36； （2）年龄在[)30,34、[)34,38的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 频率之比为0.16:0.444:11=，所抽取的30人中，年龄在[)30,34的人数为430815⨯=， 年龄在[)34,38的人数为11302215⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.【答案】（1）3π；（2）【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0,A π∈知sin 0A >，则1sin cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin B B =，tan B ∴=.又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+， 等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为343433⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF 、CF 、EF ，如图乙.（1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）可证明出//BC AE ，由折叠的性质得出AE CE ⊥，AE DE ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理得出AE ⊥平面DEC ，再由//BC AE ，可得出BC ⊥平面DEC ； （2）证明DE ⊥平面ABCE ，由E 为AD 的中点可知三棱锥F BCE -的高为12DE ，计算出BCE ∆的面积，然后利用锥体体积公式可计算出三棱锥F BCE -的体积，即为所求结果. 【详解】（1）在图甲中，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD ∴⊥，AE CD ⊥，则//BC AE .折叠后，在图乙中，AE CE ⊥，AE DE ⊥，又CEDE E =，AE ∴⊥平面DCE .//BC AE ，BC ∴⊥平面DCE ；（2）由（1）知，DE AE ⊥，又DE CE ⊥，且AE CE E =，DE ∴⊥平面ABCE .F 为AD 的中点，所以，三棱锥F BCE -的高为112122DE =⨯=，224CD AB BC ===，易知四边形ABCE 是矩形，则2CD AB ==，BCE ∆的面积为2112222BCE S BC CE ∆=⋅=⨯=，因此，1112123233E FBCF BCE BCE V V DE S --∆==⨯⨯=⨯⨯=.【点睛】本题考查立体几何的翻折问题，考查直线与平面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，在处理翻折问题时，要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()g x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A 、B 两点之间距离的最小值.【答案】（1）证明见解析；（22.【解析】（1）求出函数()y h x =的导数，利用函数()y h x '=的单调性以及零点存在定理，说明函数()y h x '=在定义域上有唯一零点，再分析函数()y h x '=在该零点处函数值符号，可得证函数()y h x =有唯一极值点；（2）根据函数()xf x e =与()lng x x =关于直线y x =，将直线y x =平移后与分别与曲线()y f x =、()y g x =切于A 、B ，由此可得出AB 的最小值.【详解】（1）由题意知()ln xh x e x =-，所以()1xh x e x'=-， 由xy e =单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，()y h x '∴=在()0,∞+上单调递增， 又1202h e ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，()110h e '=->， 所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=， 当()00,x x ∈时，()00h x '<，函数()y h x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()00h x '>，函数()y h x =单调递增； 因此，函数()y h x =有唯一的极值点；（2）由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，两个函数图象关于直线y x =对称，如下图，将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y f x =的图象相切，()xf x e '=，令()1xf x e '==，0x ∴=，可得点()0,1A .将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y g x =的图象相切，()1g x x'=， 令()11g x x'==，1x ∴=，可得点()10B ,， 因此，A 、B ()()2201102-+-=【点睛】本题考查函数极值点个数，同时也考查反函数对称性的应用，在求解函数极值点个数问题时，要结合导数的单调性与零点存在定理来分析求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）92. 【解析】（1）设直线AB 的方程为2px my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立，消去x ，利用韦达定理并结合条件124y y =-可求出实数p 的值，由此得出抛物线E 的方程； （2）由（1）得出直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线E 的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出221211k k +关于m 的表达式，可得出221211k k +的最小值. 【详解】（1）因为直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为2p x my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程24y x =；（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111=269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221212222122212122484926926954162y y y y m y y mm m m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+-.因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线1l :000,2πθθθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点，射线2l :000,22ππθθθ⎡⎤⎛⎫=+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于C 、D 两点，求AOC BODS S ∆∆的最大值. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为3ρ=，2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+；（2）458. 【解析】（1）将两曲线的方程均化为普通方程，然后由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将两曲线的方程化为极坐标方程；（2）作出图形，设点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出1ρ、2ρ的表达式，可得出1212BOD S ρρ∆=，利用基本不等式可求出AOCBODS S ∆∆的最大值. 【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=.又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+； （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=，点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得12200cos 4sin ρθθ=+，222220000sin 4cos cos 4sin 22ρππθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12222200001122cos 4sin sin 4cos BOD S ρρθθθθ∆=⋅=++()()22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ=++()()2222000099545cos 4sin sin 4cos 4428AOC BOD S S θθθθ∆∆∴=++≤⨯=， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04θπ=，不等式取等号， 因此，AOC BOD S S ∆∆的最大值为458.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及利用极坐标解决最值问题，解题时要注意极坐标方程法的适用情况，考查运算求解能力，属于中等题. 23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤，求实数a 的值； （2）当2a = 时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）(]2,log 3-∞.【解析】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，可得出()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而求出实数a 的值；（2）利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1，可得出14223n n +--≤，再令2n t =，可得出2230t t --≤，解出3t ≤，即23n ≤，从而可解出实数n 的取值范围. 【详解】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，则()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13323a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得2a =；（2）当2a =时，由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2n t =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞. 【点睛】本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.。
云南师范大学附属中学2020届高三数学(文)适应性月考卷(五)附答案详析
云南师范大学附属中学2020届高三数学（文）适应性月考卷（五）一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =（ ）A ．{1,1}-B ．{1}C ．[1,1]-D ．[1,3]-2sin 75︒︒+=（ ）A ．2B ．1CD ．23．设复数11iz i=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP ，OQ（O 为原点），则OP OQ ⋅=（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．24．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（ ） A ．125 B ．115 C ．105 D ．955．如图，在圆O 的圆心O 处有一个通信基站，2θ=，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域（该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A ．1sin 2π- B ．2πC ．1sin 22π-D ．2sin 22π-6．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．在四边形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，5CD =，6AD =，60B ︒∠=，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6+B ．9+C ．9D．8．已知直线0Ax By C ++=与圆1C 2240x y x ++=相交于,A B 两点，且三角形1ABC ，为直角三角形，则,A B 中点M 的轨迹方程为（ ） A ．22(2)(1)1x y +++= B ．22(1)(1)2x y +++= C ．22(1)1x y ++=D ．22(2)2x y ++=9．已知函数,1(),1x e x f x x x e-⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则(ln 2)(1)f f +=（ ）A ．22e e +B ．12e e + CD ．2e +10．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（ ）AB ．4C ．4πD．11．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC二、填空题12．能说明命题“a ，b ，c ，d 是实数，若a b >，c d >，则ac bd >”是假命题的一组数对（a ，b ，c ，d ）是________.13．抛物线24y x =上的点到其准线的距离的最小值为________.14．若实数,x y 满足约束条件20220x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩，则22x y +的取值范围为________. 15．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x.在理想情况下，对折次数n 有下列关系：22log 3wn x≤（注：lg 20.3≈），根据以上信息，一张长为21cm ，厚度为0.05mm 的纸最多能对折___次.三、解答题16．已知F 是双曲线G ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，1l ，2l 是双曲线的两条渐近线，过F 且垂直1l 的直线与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若三角形AOB 的面积2AOB S ab ∆=（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A．3B．2C．2或2D或217．在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 记三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c .（1）根据数列的定义判断数列{}n a ，{}n b ，{}n c 的类型，并据此写出三个数列的通项公式； （2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由.18．至2018年底，我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位，下表是我国2012年至2018年发明专利申请量以及相关数据.注：年份代码1～7分别表示2012～2018.（1）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？（2）建立y 关于t 的回归直线方程（精确到0.01），并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份.参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为112211()ˆ()()()n niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x x x ====---==--∑∑∑∑，.ˆˆay bx =-19．如图，已知菱形ABCD 和矩形ACFE 所在的平面互相垂直，2AC AE =.（1）若G 为BE 的中点，求证：//AG 平面BDF ；（2，且60ABC ︒∠=，求点B 到平面DEF 的距离.20．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，00(,)P x y 在椭圆C 上.求证：（1）直线l ：00221x x y ya b+=是椭圆在点P 处的切线；（2）从2F 发出的光线2F P 经直线l 反射后经过1F .21．设函数()(0,1)x f x a ax x a =->>. （1）证明：若a e =，则()0f x ≥恒成立； （2）讨论()f x 的零点个数.22．在直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为1)(1)y x x =+≥-，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为10cos ρθ=.一只小虫从点(1,0)A -沿射线l 向上以2单位/min的速度爬行（1）以小虫爬行时间t 为参数，写出射线l 的参数方程； （2）求小虫在曲线1C 内部逗留的时间.23．如图，AB 是半圆直径，O 为AB 的中点，⊥DO AB ，C 在AB 上，且AC x =，BC y =.（1）用x ，y 表示线段OD ，CD 的长度；（2）若0a >，0b >，1a b +=，求44a b +的最小值.解析云南师范大学附属中学2020届高三数学（文）适应性月考卷（五）一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =（ ）A ．{1,1}-B ．{1}C ．[1,1]-D ．[1,3]- 【答案】B【解析】先计算得到{}11{|13}A B x x =-=-<<，，，再计算A B ⋂得到答案. 【详解】{}{}11{|13}1A B x x A B =-=-<<⋂=，，，故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题. 2sin 75︒︒+=（ ） A．2 B ．1 CD【答案】C【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案. 【详解】()sin75cos152sin 1530︒︒+=︒+︒=︒+︒=故选：C 【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力. 3．设复数11iz i=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP ，OQ（O 为原点），则OP OQ ⋅=（ ） A ．12-B ．0C ．12 D．2【答案】B【解析】化简得到11112222OP OQ ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，再计算OP OQ ⋅得到答案. 【详解】121i 1i 1i 1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫====∴==-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，，，，，， 故选：B 【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（ ） A ．125 B ．115 C ．105 D ．95 【答案】D【解析】根据等差数列公式得到方程组2415124448a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，计算得到答案.【详解】()2411105124441091043954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，， 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键.5．如图，在圆O 的圆心O 处有一个通信基站，2θ=，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域（该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A ．1sin 2π- B ．2πC ．1sin 22π-D ．2sin 22π-【答案】D【解析】设该圆的半径为R ，计算圆面积和阴影部分面积，利用几何概型相除得到答案. 【详解】设该圆的半径为R ，则圆的面积是2πR ，2211·2?sin2?22AOBOAB S S SR R =-=-=阴影扇形 211sin22R ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2sin22πP -=故选：D【点睛】本题考查了几何概型计算概率，计算区域面积是解题的关键. 6．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】判断函数为偶函数，取特殊点()00sin21f <=<，判断得到答案. 【详解】()00sin21f <=<，且()()f x f x -=，函数为偶函数故选：D 【点睛】本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.7．在四边形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，5CD =，6AD =，60B ︒∠=，则四边形ABCD 的面积为（ ） A．6+ B．9+ C ．9D．【答案】B【解析】由余弦定理可求得AC =43cos sin 55D D ∠=∠=，，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅∠得到AC =ADC ∆中，由余弦定理得到2222cos AC DC DA DC DA D =+-⋅∠得到43cos sin 55D D ∠=∠=，1315634sin609252S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯︒=+故选：B 【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力.8．已知直线0Ax By C ++=与圆1C 2240x y x ++=相交于,A B 两点，且三角形1ABC ，为直角三角形，则,A B 中点M 的轨迹方程为（ ） A ．22(2)(1)1x y +++= B ．22(1)(1)2x y +++= C ．22(1)1x y ++= D ．22(2)2x y ++=【答案】D【解析】根据题意得到1MC ，M 的轨迹是以C 1. 【详解】因为1ABC 为直角三角形，且11AC BC =，所以1AB MC =所以M 的轨迹是以C 1为圆心，故选：D 【点睛】本题考查了圆的轨迹问题，根据题意得到1MC 是解题的关键.9．已知函数,1(),1x e x f x x x e-⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则(ln 2)(1)f f +=（ ）A ．22e e +B ．12e e + CD ．2e +【答案】A【解析】直接代入计算得到答案. 【详解】()()()()1lnln22112ln21ln2ee1?ln21?2e 2e f f f f e-+<∴====+=，，， 故选：A【点睛】本题考查了分段函数的计算，属于简单题.10．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（ ）A B ．4C ．4πD ．【答案】B【解析】先计算得到()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，画出函数图像，计算1PQ =24PQ =得到答案.【详解】根据变换得到：()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，图象如图：由图可知，PQ 取到的最小可能为12PQ PQ ，，因为1PQ =24PQ =，所以最小值为4 故选：B【点睛】本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.11．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC 【答案】D【解析】依次判断每个选项的正误：OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，计算体积得到B 正确；反证法证明AB 与CD 不垂直C 正确；根据C 选项知D 错误，得到答案。
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文科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合(){}2,|A x y y x ==，(){}22,|1B x y xy =+=，则集合A B I 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32. 瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程:cos sin ixe x i x =+，根据该三角方程，计算1ie π+的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．i3.移动支付、商铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调在了100位学生，其中使用过移动支付或共享单年的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.84.已知x ，y 满足约束条件0,230,0,x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩的最小值为（ ）A．5 B．5CD5.函数()cos |ln |f x x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ） A ．40 B ．60 C ．80 D ．1007.函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8.如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．3009.已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍；再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()||g x 的周期可以为（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π10.若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点(),P m n ，并且在(),P m n 处具有公共切线，则实数a =（ ）A ．1e B ．2e C ．12e D ．32e11.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题: 平面内到两定点距离之比为常数k (0k >，1k ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ， B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =22PA PB +的最小值为（ ）A ．36-B ．48-C ．D ．12.四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=︒，AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A B C D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a r ，b r 为单位向量，且,3a b π<>=r r ，则|2|a b +=r r ．14.等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S = ．15.设1F ，2F 为椭圆C ：2214x y +=的两个焦点，M 为C 上一点，且122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为 ．16.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111A B C D 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_ ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某调研机构，对本地[]22, 50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.(1)根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值、中位数;(2)若在“低碳族”且年龄在[)30, 34，[)34, 38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos()6b A a B π=-.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.19. 如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF ，CF ，EF ，如图乙. （1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积.20. 已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()f x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A ，B 两点之间距离的最小值.21.已知抛物线E ：22y px =（0p >），过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA ，CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3sin ,3cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线1l ：0θθ=（0(0,)2πθ∈）依次与曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，射线2l ：02πθθ=+（0(0,)2πθ∈）依次与曲线1C 和曲线2C 交于C ，D 两点，求AOCBODS S ∆∆的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||1|f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤，求实数a 的值. （2）当2a =时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBCAB 6-10: DBBBC 11、12：AB 二、填空题xOy14.15 15.1 16.4π 三、解答题17.解：（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04 + 280.08+ 320.16 + 360.44 +400.16+440.1+480.02 =35.9236x ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈，中位数为()0.50.040.080.160.113436---÷+=.（2）年龄段[30,34)，[34,38)的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 因为0.16:0.444:11=，所以人数分别为8人，22人. 18.解：（1）由正弦定理及sin cos()6b A a B π=-，得sin sin sin cos()6B A A B π=-，由()0,A π∈，所以sin 0A ≠，则1sin cos()sin 622B B B B π=-=+，所以tan B = 又()0,B π∈， 所以3B π=.（2）如图，由1sin 24ABC S ac B ac ∆==， 又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r ， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，所以ABC ∆的面积的最大值为3.19.（1）证明：如图，∵DE EC ⊥，DE AE ⊥，∵DE ⊥平面ABCE ， 又∵BC ⊂平面ABCE ， ∴DE BC ⊥，又∵BC EC ⊥，DE EC E =I ， ∴BC ⊥平面DEC（2）解：11123323E FBCF BCE BCE BCE V V S h S DE --∆∆==⋅=⋅=. 20.（1）证明：由题意知()ln xh x e x =-，所以()1'xh x e x=-， 由xy e =单调递增，1y x=在()0,+∞上单调递减， 所以()'h x 在()0,+∞上单调递增，又1'202h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()'110h e =->，所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0'0h x =， 当()00,x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增，所以()h x 有唯一的极值点.（2）解：由()xf x e =，则()f x 在()0,1处的切线为1y x =+，又()ln g x x =，则()g x 在点()1,0处的切线为1y x =-.由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，即函数图象关于y x =对称，如图，故而A ，B 两点间的距离即为()0,1与()1,0之间的距离， 所以A ，B.21.解：（1）因为直线过焦点，所以有2124y y p =-=-， 解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =.（2）由（1）知抛物线的焦点坐标为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+， 联立抛物线的方程有2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-， 则有1111123y y k x my ==++，2222223y y k x my ==++， 所以1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22121222122212122484269269416y y y y m y y mm m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅-2952m =+，所以当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 22.解：（1）由曲线1C 的参数方程为3sin ,3cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=， 由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=；又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+. （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=， 12BOD S OB OD ∆=⋅222200001442cos 4sin cos 4sin 22ππθθθθ=⋅⋅+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22220008cos 4sin sin 4cos θθθθ=++，所以()()222220000995225cos 4sin sin 4cos 1616264AOC BOD S S θθθθ∆∆⎛⎫=++≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04πθ=时，不等式取等号，所以AOC BOD S S ∆∆的最大值为22564.23.解：（1）由绝对值的几何意义知，()|||1|f x x a x =-+-表示在数轴上，动点x 到定点a 和1的距离之和，当且仅当2a =时，()3f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤， 所以2a =.（2）当2a =时，()|2||1||21|1f x x x x x =-+-≥--+=恒成立， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2nt =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为2(,log 3]-∞.。