云南省云南师范大学附属中学2017届高考适应性月考(八)理科数学试题

云南师大附中2017届高考适应性月考卷（八）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】3．()2sin cos)f x x x xϕ=--，其中cosϕ=，sinϕ=．又当x x=时，()f x取得最大值，所以π2π2x kϕ-=+，即π2π2x kϕ=++，所以πcos cos2πsin2x kϕϕ⎛⎫=++=-⎪⎝⎭=，故选A．4．10n=，3103051101021C()(1)Crr r r r rrT x xx--+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，令30506r r-=⇒=，所以常数项为6641010(1)C C-=210=，故选C．5．小虫爬行的线段长度依次组成首项为12a，公比为的等比数列，所以101011231(264aS a⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎝⎭==+，故选B．6．因为AP BC⊥，0AP BC=，又B C A C A B=-，所以()()AP BC AB AC AC ABλ=+-=2ABλ-+21(1)9(1)32402ABAC ACλλλ⎛⎫-+=-+-⨯⨯⨯-+=⎪⎝⎭，即1270λ-+=，解得712λ=，故选C．7．因为函数()f x为偶函数，所以2221()log(log3)(log3)3f a f f f⎛⎫==-=⎪⎝⎭，41()log5f b f⎛⎫==⎪⎝⎭4(log5)f-4(log5)f=，因为偶函数()f x在(0]-∞，上单调递减，所以()f x在(0)+∞，上单调递增，3244222211log4log5log5log log3log4222=<==<=<，所以()()f b f a<()f c <，故选B ．8．第一步，11x y ==，，判断12?≤成立，0z =， 判断111?+≤成立，1z =，2y =， 判断211?+≤成立，2z =，3y =， 判断311?+≤不成立，输出2； 第二步，2x =，判断22?≤成立，0z =， 判断321?+≤成立，1z =，4y =， 判断421?+≤不成立，输出1；第三步，3x =，判断32?≤不成立，结束．故选C ．9．设正方体的边长为2r ，因为33(2)8V r r ==正方体，3111883V V r -=正方体牟合方盖，所以18V -正方体18V 牟合方盖112=383V V V =⇒正方体牟合方盖正方体，故选B ． 10．几何体是底面为直角三角形的直三棱柱的内切球，内切球的半径即为底面直角三角形内切圆的半径，由等面积法易得，5abr a b =++，且2225ab +=．方法一、由基本不等式，知5ab r a b =++，2225022a bab +<=≤，即0<当且仅当a b ==时，等号成立．令t =则225t r t +≤，22211()5225111555t f t t t t t ===+⎛⎫++- ⎪⎝⎭0t ⎛< ⎝⎭是增函数，或22(5)()0(25)t t f t t+'=>+，0t <所以2()25tf t t =+在0⎛⎝⎦上是增函数，所以m a x m a x ()21)2r f x f ===⎝⎭，所以内切球的体积的最大值为3max 4125π()7)π36r =，故选D ．方法二、设底面直角三角形一个锐角为α，则5sin 5cos a b αα==，，5sin cos 5sin cos 1ab r a b αααα==++++．令s i n c o s t αα+=，则t = π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，π02α<<，得1t <21sin cos 2t αα-=，25(1)5(1)2(1)2t r t t-==-+，所以max 51)2r =，所以内切球的体积的最大值为3max 4125π()7)π36r =，故选D ．11．抛物线222y x x =-++，21(54)2y x x =-+的根轴为2y x =-+，所以12||||P P PP =22(22)(2)1(2)(54)2t t t t t t -++--+-+--+22321322t tt t-+==-+，故选A ．12．当12x ≤≤时，224x ≤≤，11π1()(2)sin 2|sin π|2f x f x x x a a a⎛⎫=== ⎪⎝⎭，极大值为3131sin π22f a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1312A a ⎛⎫⎪⎝⎭，；当24x ≤≤时，π()s i n 2f x x =，极大值为3(3)sin π12f ==，2(31)A ，；当48x ≤≤时，242x ≤≤，()222x x f x f af ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 4a x =，极大值为3(6)sin π2f a a ==，3(6)A a ，；当816x ≤≤时，482x ≤≤，()222x x f x f af ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πsin8a x =，极大值为223(12)sin π2f a a ==，24(12)A a ，；…当122()n n x n +∈N ≤≤时，1222n n x -≤≤，1π()2sin 222n n x x f x f af a x -⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，极大值为113(32)sin π2n n f a --⨯=1n a -=，111(32)n n n A a --+，．以函数()f x 的极值点和相应极值为横、纵坐标的点都在一条直线上．根据题意，123A A A ，，三点共线，由斜率相等解得1a =或者2a =．经检验，当1a =时，直线方程为1y =，由于()f x 是奇函数，故舍去；当2a =时，直线方程为13y x =，符合，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．2d =，10100S =．14．混合食物成本的多少受到维生素A ，B 的含量以及混合物总量等因素的制约，各个条件综合考虑，得4006004004400080020040048000100000x y z x y z x y z x y z ++⎧⎪++⎪⎨++=⎪⎪⎩≥，≥，，≥，≥，≥，消去不等图1式中的变量z 得，20240100y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≥，≤，目标函数为混合物成本函数1210880042P x y z x y =++=++．画出可行域如图1所示，当直线24002P y x =--+过可行域内的点(3020)A ，时，即30x =千克，20y =千克，50z =千克时，成本960P =元为最少．15．设双曲线的右焦点为2F ，点M 是线段1F P 的中点，点O为坐标原点，1||FTb =．若T 是靠近P 的三等分点，则1133||||22F P FT b ==，||4bMT =，2||2||F P OM==．由双曲线的定义，12||||2F P F P a -=，即322b a -=，所以3b a =，得2229c a a -=，所以c e a = 16．因为()f x 在区间(0)+∞，内单调递减，所以函数()f x 在区间[1]t t +，上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +，则3311()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭≤，得1a t + 131a t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭≤，整理得222(1)10at a t ++-≥．令2()22(1)1h t at a t =++-，则()h t 的图象是开口向上，对称轴为11022t a =--<的抛物线，所以()h t 在114t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上是增函数，222(1)10at a t ++-≥等价于104h ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，即21122(1)1044a a ⎛⎫⨯++⨯- ⎪⎝⎭≥，解得45a ≥．所以a 的取值范围为45⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图2，由光的反射定律，ACK BCK θ∠=∠=，2ACB θ∠=． 在ABC △中，根据余弦定理，得 222cos cos 22AC BC AB ACB AC BCθ+-∠==2221042381210422+-==⨯⨯．因为02πθ<<，所以π23θ=，π6θ=． 图2即光线AC 的入射角θ的大小为π6. ………………………………（8分） （Ⅱ）据（Ⅰ），在Rt BCE △中，π6CBE BCK θ∠=∠==，所以πcos 42cos6BE BC CBE =∠==， πsin 42sin216CE BC CBE =∠==（米）， 即点B 相对于平面镜的垂直距离BE 与水平距离CE的长分别为21米． ………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为3AB =，135ABC ∠=︒， 所以45B BC ∠'=︒，532BB AB AB '='-=-=， 所以截去的BB C '△是等腰直角三角形．如图3，过P 作PO AE ⊥，垂足为O ，连接OB ， 因为PA PE =，所以3OA OE ==，4PO =．3OA AB ==，故OAB △是等腰直角三角形，所以45ABO ∠=︒，所以1354590OBC ABC ABO ∠=∠-∠=︒-︒=︒，即BC BO ⊥． 因为平面PAE ⊥平面ABCDE ，平面PAE平面ABCDE AE =，PO ⊂平面PAE ，所以PO ⊥平面ABCDE ，所以PO BC ⊥，而PO BO O =，所以BC ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，所以BC PB ⊥． …………………………（6分） （Ⅱ）解：如图4，以O 为原点，OE OP ，所在直线分 别为y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则(330)B -，，，(510)C -，，，(530)D ，，，(004)P ，，．所以(220)BC =，，，(514)CP =-，，，(040)CD =，，． 设平面PCB 的法向量为111()m x y z =，，，则由m BC m CP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，，得11111220540m BC x y m CP x y z ⎧=+=⎪⎨=-++=⎪⎩，， 所以平面PCB 的一个法向量为(223)m =-，，．图3图4设平面PCD 的法向量为222()n x y z =，，，则由m CD m CP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，，得222240540m CD y m CP x y z ⎧==⎪⎨=-++=⎪⎩，， 所以平面PCD 的一个法向量为(405)n =，，，所以2cos ||||2m n m n m n 〈〉===， 因为二面角B PC D --为钝二面角， 所以二面角B PC D --的大小的余弦值为． ……………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设外来人口中和当地人口中的犹豫人数分别为x 人，y 人，则153,308(15)(30)110x y x y +⎧=⎪+⎨⎪+++=⎩，解得1550.x y =⎧⎨=⎩， ……………………………（2分）…………………………………………（4分）（Ⅱ）从参与调研的外来人口中用分层抽样方法抽取的6人中，买房1人，不买房2人，犹豫3人，所以X 的所有可能取值为7654，，，， ……………………………（6分）121336C C 3(7)C 20P X ===，1113123336C C C C 7(6)C 20P X +===，1221123236C C C C 7(5)C 20P X +===，123236C C 3(4)C 20P X ===， …………………………（10分） 所以X 的分布列为所以X 的数学期望是377311()7654202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将,x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入224x y +=得22443x y ''+=， 化简得22143x y ''+=，即22143x y +=为曲线C 的方程． …………………………………………（4分） （Ⅱ）设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线PQ 与圆O ：223x y +=的交点为M N ，． 当直线PQ x ⊥轴时，11()Q x y -，，由111211221134143yy k k x x x y -⎧==-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 此时可求得||2MN =． …………………………………………（6分） 当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y kx m =+， 联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得222(43)84120k x kmx m +++-=，222222644(43)(412)48(43)k m k m k m ∆=-+-=-+，122843km x x k -+=+，212241243m x x k -=+， 所以2222212121212224128()()()4343m km y y kx m kx m k x x km x x m k km mk k --=++=+++=++++ 22231243m k k -=+， …………………………………………（8分） 由12121234y y k k x x ==-得22222222312312343412412443m k m k k m m k --+==---+，22322m k =+， 此时2348202k ⎛⎫∆=+> ⎪⎝⎭．…………………………………………（10分）圆O ：223x y +=的圆心到直线PQ 的距离为d =所以||MN =得222222223122(1)222||43434341111k k m MN k k k k ⎛⎫⎡⎤++- ⎪⎢⎥⎛⎫=-=-=-=+ ⎪⎢⎥ ⎪++++⎝⎭ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当0k m ==，时，||MN综上，直线PQ 被圆O ：223x y +=， 此时，直线PQ的方程为y =． …………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()e x f x a '=-．①若0a ≤，()0f x '>，()f x 在()-∞+∞，上单调递增，无极值，不符合题意； ②若0a >，令()0f x '=，得ln x a =，当(ln )x a ∈-∞，时，()0f x '<，()f x 在(ln )a -∞，上单调递减； 当(ln )x a ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 在(ln )a +∞，上单调递增．所以，当ln x a =时，()f x 取到极小值，ln (ln )e ln 10a f a a a =--=，即ln 10a a a -+=． 11ln aa a-=当01a <<时，()0a ϕ'<，()x ϕ单调递减；当1a >时，()0a ϕ'>，()x ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以ln 10a a a -+=有唯一解1a =． ……………………（4分） （Ⅱ）据（Ⅰ），()e 1x f x x =--，当0x ≥时，()ln(1)f x mx x +≥恒成立， 即e ln(1)10x x mx x --+-≥（[0)x ∈+∞，）恒成立．①当0m ≤时，()0h x '>，()h x 在[0)+∞，单调递增， 所以min ()(0)0h x h ==，即()0h x ≥， 即()0g x '≥，所以()g x 在[0)+∞，单调递增， 所以min ()(0)0g x g ==，所以()0g x ≥，所以e ln(1)10x x mx x --+-≥，即()ln(1)f x mx x +≥恒成立．所以()0h x '>，故()h x 在[0)+∞，单调递增， 所以min ()(0)0h x h ==，即()0g x '≥，所以()g x 在[0)+∞，单调递增，所以min ()(0)0g x g ==， 所以()0g x ≥，即()ln(1)f x mx x +≥恒成立．所以()h x '→+∞，则00x ∃>，使得0()0h x '=， 当0(0)x x ∈，时，()0h x '<，()h x 在0(0)x ，递减， 此时0()(0)0h x h <=，即()0g x '<，0(0)x x ∈，， 所以()g x 在0(0)x ，递减，0()(0)0g x g <=，不符合题意．（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为223=1+2sin ρθ，曲线2C 的直角坐标方程为22((1)4x y +-=． ………………………（4分）（Ⅱ）曲线2C 是圆心为1)，半径为2的圆，∴射线OM 的极坐标方程为π=(0)6θρ≥，代入223=1+2sin ρθ，可得22Aρ=． 又π2AOB ∠=，∴265B ρ=，∴||AB ==． …………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）令21()2()2|1|321x x g x f x x x x x x -⎧=-=--=⎨-+<⎩，≥，，，当1x ≥时，由22x -≥，得4x ≥， 当1x <时，由322x -+≥，得0x ≤，∴不等式的解集为(0][4)-∞+∞，，． …………………………………（5分）（Ⅱ）|1||5|1(5)6x x x x --+--+=≤||， 又∵0a b c >，，，∴3333311113+333323=6abc abc abc abc a b c b c abc abc+++=+≥≥（当且仅当1a b c ===时取等），∴333111|1||5|+3x x abc a b c--+++≤． …………………………………………（10分）。