高中数学 必修4 1.3.1三角函数的诱导公式(一)全册精品课件 新人教A版必修4
o
(1) 角与(180 +)的终边关系如何？ [互为反向延长线或关于原点对称] o (2) 设与(180 +)的终边分别交单位圆于P， P'，则点P与P'具有什么关系？ [关于原点对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'坐标怎样表示？ [P′(－x,－y)]
讲授新课
思考下列问题二： (4) sin与sin(180 +)、cos与cos(180 +)、
公式吗？其公式结构特征如何？
讲授新课
诱导公式(三)
讲授新课
诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
讲授新课
诱导公式(三)的结构特征
讲授新课
诱导公式(三)的结构特征
① 函数名不变，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 把求(－)的三角函数值转化为求 的三角函数值.
讲授新课
对于任意角 ，sin与sin(－ )的 关系如何呢？
讲授新课
思考下列问题四：
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
讲授新课
思考下列问题四：
o o
(4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？ [P' (－x,－y) ]
(5) sin210 与sin30 的值关系如何？
o o
讲授新课
对于任意角 ，sin与sin(180＋ ) 的关系如何呢？
讲授新课
思考下列问题二： (1) 角与(180 +)的终边关系如何？
o o
(2) 设与(180 +)的终边分别交单位圆于P， P'，则点P与P'具有什么关系？
讲授新课
思考下列问题二：
o
(1) 角与(180 +)的终边关系如何？ [互为反向延长线或关于原点对称] o (2) 设与(180 +)的终边分别交单位圆于P， P'，则点P与P'具有什么关系？ [关于原点对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'坐标怎样表示？
讲授新课
思考下列问题二：
讲授新课
思考下列问题三： o o (1) 30 与(－30 )角的终边关系如何？ (2) 设30 与(－30 )的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P' 的关系如何？ (3) 设点P(x, y)，则点P'的坐标怎样表示？ (4) sin(－30 )与sin30 的值关系如何？
o o o o
讲授新课
课后作业
1. 阅读教材P.23-P.27；
2. 《习案》五、六.
o o
tan与tan(180 +)关系如何？
o
(5) 经过探索, 你能把上述结论归纳成公式
吗？其公式特征如何？
讲授新课
诱导公式(二)
讲授新课
诱导公式(二)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan( 180 ) tan
同角三角函数的关系
小 结：
(3) 比较法: (4) 变式证明法： 将原等式转化为与其等价的式子加以 证明．
左边 即证明: 左边 右边 0 或 1. 右边
复习引入
同角三角函数的关系
小 结：
(3) 比较法: (4) 变式证明法： 将原等式转化为与其等价的式子加以 证明．
(5) 分析法．
左边 即证明: 左边 右边 0 或 1. 右边
思考下列问题三： o o (1) 30 与(－30 )角的终边关系如何？ [关于x轴对称] o o (2) 设30 与(－30 )的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P' 的关系如何？ (3) 设点P(x, y)，则点P'的坐标怎样表示？ (4) sin(－30 )与sin30 的值关系如何？
复习引入
同角三角函数的关系
小 结：
关于三角恒等式的证明, 常有以下方法： (1) 从一边开始，证得它等于另一边，一 般由繁到简；
(2) 左右归一法: 证明左、右两边式子等于同一个式子．
复习引入
同角三角函数的关系
小 结：
(3) 比较法:
左边 即证明: 左边 右边 0 或 1. 右边
复习引入
o
(2) 210 角的终边与30 的终边关系如何？
o
o
讲授新课
思考下列问题一： (1) 210 能否用(180＋)的形式表达？ o o (0 ＜ ＜90 ) o o [210 =180+30 ]
o
(2) 210 角的终边与30 的终边关系如何？
o
o
讲授新课
思考下列问题一： (1) 210 能否用(180＋)的形式表达？ o o (0 ＜ ＜90 ) o o [210 =180+30 ]
1.3三角函数的 诱导公式
复习引入
同角三角函数的关系 一、化简问题 练习1.
复习引入
同角三角函数的关系 一、化简问题 练习1.
1 cos 1 cos 练习2. 化简 1 cos 1 cos 3 ( ) 2
复习引入
同角三角函数的关系
化简的基本要求
1. 项数最少、次数最低、函数种类 最少; 2. 分母不含根号, 能求值的要求值.
o o
讲授新课
思考下列问题一： (3) 设210 、30 角的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P'的位置关系如何？ [关于原点对称]
o o
(4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？
(5) sin210 与sin30 的值关系如何？
o o
讲授新课
思考下列问题一： (3) 设210 、30 角的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P'的位置关系如何？ [关于原点对称]
o
(2) 210 角的终边与30 的终边关系如何？ [互为反向延长线或关于原点对称]
o
o
讲授新课
思考下列问题一： (3) 设210 、30 角的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与Pལ怎样表示？
(5) sin210 与sin30 的值关系如何？
o o
讲授新课
思考下列问题三： o o (1) 30 与(－30 )角的终边关系如何？ [关于x轴对称] o o (2) 设30 与(－30 )的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P' 的关系如何？ (3) 设点P(x, y)，则点P'的坐标怎样表示？ [P'(x,－y)] o o (4) sin(－30 )与sin30 的值关系如何？
讲授新课
例2．求下列三角函数值．(可查表)
(1)
(2) tan(－210 );
(3) cos(－2040 ).
o
o
课堂小结
1. 诱导公式 (一)
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
(3) 设点P(x, y)，那么点P'坐标怎样表示？
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思考下列问题二：
o
(1) 角与(180 +)的终边关系如何？ [互为反向延长线或关于原点对称] o (2) 设与(180 +)的终边分别交单位圆于P， P'，则点P与P'具有什么关系？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'坐标怎样表示？
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诱导公式的结构特征
讲授新课
诱导公式的结构特征
①终边相同的角的同一三角函数值相等；
②把求任意角的三角函数值问题转化为 求0°～360°角的三角函数值问题.
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练习.
试求下列三角函数的值 (1) sin1110°； (2) sin1290°.
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思考下列问题一： (1) 210 能否用(180＋)的形式表达？ o o (0 ＜ ＜90 )
讲授新课
思考下列问题四：
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？ [P' (x,－y)]
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思考下列问题四： (4) sin与sin(－)、 cos与cos (－)、 tan与tan(－)关系如何？ (5) 经过探索，你能把上述结论归纳成
复习引入
同角三角函数的关系
练习4. 教材P.20练习第5题．
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诱导公式 (一)
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诱导公式 (一)
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
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思考下列问题四：
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
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同角三角函数的关系
(1) 角与(180 +)的终边关系如何？ [互为反向延长线或关于原点对称] o (2) 设与(180 +)的终边分别交单位圆于P， P'，则点P与P'具有什么关系？ [关于原点对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'坐标怎样表示？ [P′(－x,－y)]
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思考下列问题二： (4) sin与sin(180 +)、cos与cos(180 +)、
公式吗？其公式结构特征如何？
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诱导公式(三)
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诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
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诱导公式(三)的结构特征
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诱导公式(三)的结构特征
① 函数名不变，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 把求(－)的三角函数值转化为求 的三角函数值.
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对于任意角 ，sin与sin(－ )的 关系如何呢？
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思考下列问题四：
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
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思考下列问题四：
o o
(4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？ [P' (－x,－y) ]
(5) sin210 与sin30 的值关系如何？
o o
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对于任意角 ，sin与sin(180＋ ) 的关系如何呢？
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思考下列问题二： (1) 角与(180 +)的终边关系如何？
o o
(2) 设与(180 +)的终边分别交单位圆于P， P'，则点P与P'具有什么关系？
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思考下列问题二：
o
(1) 角与(180 +)的终边关系如何？ [互为反向延长线或关于原点对称] o (2) 设与(180 +)的终边分别交单位圆于P， P'，则点P与P'具有什么关系？ [关于原点对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'坐标怎样表示？
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思考下列问题二：
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思考下列问题三： o o (1) 30 与(－30 )角的终边关系如何？ (2) 设30 与(－30 )的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P' 的关系如何？ (3) 设点P(x, y)，则点P'的坐标怎样表示？ (4) sin(－30 )与sin30 的值关系如何？
o o o o
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课后作业
1. 阅读教材P.23-P.27；
2. 《习案》五、六.
o o
tan与tan(180 +)关系如何？
o
(5) 经过探索, 你能把上述结论归纳成公式
吗？其公式特征如何？
讲授新课
诱导公式(二)
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诱导公式(二)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan( 180 ) tan
同角三角函数的关系
小 结：
(3) 比较法: (4) 变式证明法： 将原等式转化为与其等价的式子加以 证明．
左边 即证明: 左边 右边 0 或 1. 右边
复习引入
同角三角函数的关系
小 结：
(3) 比较法: (4) 变式证明法： 将原等式转化为与其等价的式子加以 证明．
(5) 分析法．
左边 即证明: 左边 右边 0 或 1. 右边
思考下列问题三： o o (1) 30 与(－30 )角的终边关系如何？ [关于x轴对称] o o (2) 设30 与(－30 )的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P' 的关系如何？ (3) 设点P(x, y)，则点P'的坐标怎样表示？ (4) sin(－30 )与sin30 的值关系如何？
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同角三角函数的关系
小 结：
关于三角恒等式的证明, 常有以下方法： (1) 从一边开始，证得它等于另一边，一 般由繁到简；
(2) 左右归一法: 证明左、右两边式子等于同一个式子．
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同角三角函数的关系
小 结：
(3) 比较法:
左边 即证明: 左边 右边 0 或 1. 右边
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o
(2) 210 角的终边与30 的终边关系如何？
o
o
讲授新课
思考下列问题一： (1) 210 能否用(180＋)的形式表达？ o o (0 ＜ ＜90 ) o o [210 =180+30 ]
o
(2) 210 角的终边与30 的终边关系如何？
o
o
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思考下列问题一： (1) 210 能否用(180＋)的形式表达？ o o (0 ＜ ＜90 ) o o [210 =180+30 ]
1.3三角函数的 诱导公式
复习引入
同角三角函数的关系 一、化简问题 练习1.
复习引入
同角三角函数的关系 一、化简问题 练习1.
1 cos 1 cos 练习2. 化简 1 cos 1 cos 3 ( ) 2
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同角三角函数的关系
化简的基本要求
1. 项数最少、次数最低、函数种类 最少; 2. 分母不含根号, 能求值的要求值.
o o
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思考下列问题一： (3) 设210 、30 角的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P'的位置关系如何？ [关于原点对称]
o o
(4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？
(5) sin210 与sin30 的值关系如何？
o o
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思考下列问题一： (3) 设210 、30 角的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P'的位置关系如何？ [关于原点对称]
o
(2) 210 角的终边与30 的终边关系如何？ [互为反向延长线或关于原点对称]
o
o
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思考下列问题一： (3) 设210 、30 角的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与Pལ怎样表示？
(5) sin210 与sin30 的值关系如何？
o o
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思考下列问题三： o o (1) 30 与(－30 )角的终边关系如何？ [关于x轴对称] o o (2) 设30 与(－30 )的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P' 的关系如何？ (3) 设点P(x, y)，则点P'的坐标怎样表示？ [P'(x,－y)] o o (4) sin(－30 )与sin30 的值关系如何？
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例2．求下列三角函数值．(可查表)
(1)
(2) tan(－210 );
(3) cos(－2040 ).
o
o
课堂小结
1. 诱导公式 (一)
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
(3) 设点P(x, y)，那么点P'坐标怎样表示？
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思考下列问题二：
o
(1) 角与(180 +)的终边关系如何？ [互为反向延长线或关于原点对称] o (2) 设与(180 +)的终边分别交单位圆于P， P'，则点P与P'具有什么关系？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'坐标怎样表示？
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诱导公式的结构特征
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诱导公式的结构特征
①终边相同的角的同一三角函数值相等；
②把求任意角的三角函数值问题转化为 求0°～360°角的三角函数值问题.
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练习.
试求下列三角函数的值 (1) sin1110°； (2) sin1290°.
讲授新课
思考下列问题一： (1) 210 能否用(180＋)的形式表达？ o o (0 ＜ ＜90 )
讲授新课
思考下列问题四：
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？ [P' (x,－y)]
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思考下列问题四： (4) sin与sin(－)、 cos与cos (－)、 tan与tan(－)关系如何？ (5) 经过探索，你能把上述结论归纳成
复习引入
同角三角函数的关系
练习4. 教材P.20练习第5题．
讲授新课
诱导公式 (一)
讲授新课
诱导公式 (一)
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
讲授新课
思考下列问题四：
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
复习引入
同角三角函数的关系
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1.3《三角函数的诱导公式》课件新人教必修4
) cot
cos(
2
) siபைடு நூலகம்
tan(
2
cot(
2
) tan
公式六：
2 cos( ) sin 2 tan( ) cot 2
sin(
) cos
诱导公式总结：
口诀：奇变偶不变，符号看象限 意义：k （k Z）的三角函数值
公式四：
cos cos
sin sin
诱导公式小结
公式一、二、三、四、都叫做诱导公式．
k 2 k Z ， ， ， 概括如下：
的三角函数值，等于 的同名函数值， 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号， 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
2、已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA A+B 3 +C (2)tan tan 4 4
1 3、已知 tan ，求值 3 sin 3 ( )cos(2 ) tan(2 ) 3 3 sin( 2 )cos( ) tan( ) tan( ) 2 2
1．3《三角函数的诱导公式》
制作人：豆猛刚
教学目标
• 1、知识目标： • （1）识记诱导公式。 • （2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运 用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数 式的化简和证明。 • 2、能力目标： • （1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分 析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。 • （2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征， 使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思 维方式。 • （3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提 高学生分析问题和解决问题的实践能力。
cos(
2
) siபைடு நூலகம்
tan(
2
cot(
2
) tan
公式六：
2 cos( ) sin 2 tan( ) cot 2
sin(
) cos
诱导公式总结：
口诀：奇变偶不变，符号看象限 意义：k （k Z）的三角函数值
公式四：
cos cos
sin sin
诱导公式小结
公式一、二、三、四、都叫做诱导公式．
k 2 k Z ， ， ， 概括如下：
的三角函数值，等于 的同名函数值， 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号， 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
2、已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA A+B 3 +C (2)tan tan 4 4
1 3、已知 tan ，求值 3 sin 3 ( )cos(2 ) tan(2 ) 3 3 sin( 2 )cos( ) tan( ) tan( ) 2 2
1．3《三角函数的诱导公式》
制作人：豆猛刚
教学目标
• 1、知识目标： • （1）识记诱导公式。 • （2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运 用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数 式的化简和证明。 • 2、能力目标： • （1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分 析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。 • （2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征， 使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思 维方式。 • （3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提 高学生分析问题和解决问题的实践能力。
三角函数的诱导公式 高中数学课件(人教A版2019必修第一册)
x
y
在题中横线上。
y
-x
sin(π-α)=
cos(π-α)=
tan(π-α)= －
x
3
tan
( 2)tan
4
4
y
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan -1
P′(-x,y)
π-a
α 与π-α关于y轴对称
+(°-°)(°+°)
(2)证明:左边=
(1)解:原式=
( +)( +)
(°+°)+(°+°)
=
=
=
-°°
|°-°|
-
=
=-tan °-°
如：sin(π+a)，假设 a 是锐角，则π+a 是第三象
限角，所以sin(π+a)=-sina
思考2：如果α为锐角，你能得到什么结论？
a
-
2
cos( -)=sin
2
c
α
b
sin ( ) cos
2
思考3：若α为一个任意给定的角，那么 的终边与
角
2
的终边有什么关系？
2k ( k Z ), - , 的三角函数值，等于角
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时
原函数值的符号。
即：
函数名不变，符号看象限！
“函数名不变”是指等号两边的三角函数同名；
“符号看象限”是指等号右边是正号还是负号，可
以通过先假设a是锐角，然后由等号左边的式子中的
y
在题中横线上。
y
-x
sin(π-α)=
cos(π-α)=
tan(π-α)= －
x
3
tan
( 2)tan
4
4
y
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan -1
P′(-x,y)
π-a
α 与π-α关于y轴对称
+(°-°)(°+°)
(2)证明:左边=
(1)解:原式=
( +)( +)
(°+°)+(°+°)
=
=
=
-°°
|°-°|
-
=
=-tan °-°
如：sin(π+a)，假设 a 是锐角，则π+a 是第三象
限角，所以sin(π+a)=-sina
思考2：如果α为锐角，你能得到什么结论？
a
-
2
cos( -)=sin
2
c
α
b
sin ( ) cos
2
思考3：若α为一个任意给定的角，那么 的终边与
角
2
的终边有什么关系？
2k ( k Z ), - , 的三角函数值，等于角
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时
原函数值的符号。
即：
函数名不变，符号看象限！
“函数名不变”是指等号两边的三角函数同名；
“符号看象限”是指等号右边是正号还是负号，可
以通过先假设a是锐角，然后由等号左边的式子中的
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300
4
cos
79 6
cos
5 6
cos
6
3 2
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
4 tan 324 32 __ta_n__3_5_2_8_;
化简11scio原ns式52=cs2ions•22sin•2sin •c•osco2s
;
= sin • sin • cos
cos
= sin2
化简
2 cos2
tan 360
sin .
原式=cos2 tan sin
1.思考
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
高中数学 三角函数的诱导公式(一)素材 新人教A版必修
1.3.1三角函数的诱导公式命题方向1 求值问题利用诱导公式求任意角三角函数的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．[特别提醒] 牢记0°，30°，45°，60°，90°角的正弦、余弦和正切值对给角求值问题很重要！求下列三角函数值：(1)sin960°；(2)cos(－43π6)． [分析] 先将不是[0°，360°)范围内角的三角函数，转化为[0°，360°)范围内的角的三角函数(利用诱导公式一)，或先将负角转化为正角，然后再用诱导公式化到[0°，90°]范围内的三角函数的值．[解析] (1)sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32. (2)cos(－43π6)＝cos 43π6＝cos(7π6＋6π)＝cos 7π6＝cos(π6＋π)＝－cos π6＝－32.[点评] 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为[0°，360°)内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值)．解决条件求值问题策略解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．[解析] ∵sin(π＋α)＝－sin α，∴sin α＝13， ∴cos α＝±1－cos2α＝±1－(13)2＝±223又∵cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝±223. 命题方向2 三角函数式的化简问题三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．化简：(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；(2)sin2(α＋π)cos(π＋α)tan(π－α)cos3(－α－π)tan(－α－2π). [分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．[解析] (1)原式＝(－sin α)·cos(π＋α)·tan α＝－sin α·(－cos α)·sin αcos α＝sin2α.(2)原式＝(－sin α)2·(－cos α)(－tan α)·(－cos α)3·(－tan α)＝－sin2αcos α－tan2α·cos3α＝1. 命题方向3 三角函数式的证明问题三角函数关系式的证明方法证明简单的三角函数关系式常用的途径有(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．(2)证明左边＝A ，右边＝A ，则左边＝右边，这里的A 起着桥梁的作用．(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或左边右边＝1.设tan(α＋87π)＝m.求证：sin(157π＋α)＋3cos(α－137π)sin(20π7－α)－cos(α＋227π)＝m ＋3m ＋1. [分析] 本题主要考查诱导公式，从已知角的关系入手，将所求各角用α＋87π表示，然后用诱导公式和三角函数关系式求解．[解析]左边＝sin[π＋(87π＋α)]＋3cos[(α＋8π7)－3π]sin[4π－(α＋87π)]－cos[2π＋(α＋8π7)] ＝－sin(α＋8π7)－3cos(α＋8π7)－sin(α＋8π7)－cos(α＋8π7) ＝tan(α＋87π)＋3tan(π＋87π)＋1 ＝m ＋3m ＋1＝右边．∴等式成立．[点评] 本题是条件等式的证明，证明条件等式一般常用的方法有两种：一是从被证等式一边推向另一边，并在适当的时候，将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称为代入法；二是直接将条件变形，变形为被证等式，这种方法称为推出法或直接法．证明条件等式无论使用哪种方法，都要盯住目标，据果变形．。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式课件 新人教A版必修4.pptx
16
备课素材
1．诱导公式的记忆： (1)诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变” 是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“符号看 象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号． (2)诱导公式五和六可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是 指把函数名变为原函数的余名三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦．“符号看 象限”是把α看成锐角时原三角函数值的符号．
6
新课导入
问题 2：已知 sin 30°＝12，如何求 sin 210°，sin 330°，sin 150°的值？ 教师引导 能否求把 0°～360°之间的角的三角函数问题，化为我们熟悉的求 0°～ 90°之间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的 问题．
7
新课导入
[导入二] 引导学生观察、联想，导入课题，重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫． 提问1：试写出诱导公式一． sin(k·2π＋α)＝sin α，cos(k·2π＋α)＝cos α，tan(k·2π＋α)＝tan α(k∈Z)． 提问2：试说出诱导公式一的结构特征和作用． 结构特征：终边相同的角的同一三角函数值相等． 作用：把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题．
26
预习探究
拓展
已知 cos
α＝15，且
α
是第四象限角，则
π
cos(α＋ 2 )的值为________．
[答案]
26 5
[解析] ∵α 是第四象限角，且 cos α＝15，∴sin α＝－ 1－cos2α＝－
－2
5
6，∴cos(α＋π2 )＝－sinα＝25源自6 .1－215＝
备课素材
1．诱导公式的记忆： (1)诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变” 是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“符号看 象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号． (2)诱导公式五和六可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是 指把函数名变为原函数的余名三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦．“符号看 象限”是把α看成锐角时原三角函数值的符号．
6
新课导入
问题 2：已知 sin 30°＝12，如何求 sin 210°，sin 330°，sin 150°的值？ 教师引导 能否求把 0°～360°之间的角的三角函数问题，化为我们熟悉的求 0°～ 90°之间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的 问题．
7
新课导入
[导入二] 引导学生观察、联想，导入课题，重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫． 提问1：试写出诱导公式一． sin(k·2π＋α)＝sin α，cos(k·2π＋α)＝cos α，tan(k·2π＋α)＝tan α(k∈Z)． 提问2：试说出诱导公式一的结构特征和作用． 结构特征：终边相同的角的同一三角函数值相等． 作用：把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题．
26
预习探究
拓展
已知 cos
α＝15，且
α
是第四象限角，则
π
cos(α＋ 2 )的值为________．
[答案]
26 5
[解析] ∵α 是第四象限角，且 cos α＝15，∴sin α＝－ 1－cos2α＝－
－2
5
6，∴cos(α＋π2 )＝－sinα＝25源自6 .1－215＝
高中数学人教A版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式
x 2k
sin(x) sin sin sin sin cos(x) cos cos cos cos tan tan tan tan tan
例1.利用公式求下列三角函数值
(1) cos 225 0
(2) sin 11 3
(3) sin( 16) 3
1.3 三角函数的诱导公式(1)
一、复习 请你说说三角函数的定义（用单位圆）
请你说说关于x轴、y轴、坐标原点对称的点的 坐标之间有何关系？
请你说说三角函数的诱导公式一
公式一： sin(2k ) sin cos(2k ) cos
tan(2k ) tan
y P(x,y)
o Q(-x,-y)
x
公式二：
sin sin cos cos tan tan
公式三：
sin sin cos cos tan tan
P(-x,y)
y P(x,y)
O
x
公式四：
sin sin cos cos
tan( ) tan
函数名不变,符号看象限
Y=x
y Q(y,x)
P(x,y)
o
x
公式五： 公式六：
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
cos(
) sin
2
奇变偶不变,符号看象限
y o
x
例3.证明： (1).sin 3 cos 2
(2).cos 3 sin
例4.化简
2
sin2
cos
c os
2
c
os
11
2
cos sin3 sin sin 9
2016-2017学年人教A版必修4三角函数的诱导公式-第一课时-课件(31张)
＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；
(3)cos 1196π＝cos20π－π6 ＝cos－π6
＝cos
π6 ＝
3 2.
第13页，共31页。
数学 必修4
第一章 三角函数
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
[归纳升华]
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
第14页，共31页。
数学 必修4
第一章 三角函数
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．求下列三角函数值： (1)sin 960°；(2)cos－436π.
第15页，共31页。
数学 必修4
第一章 三角函数
学案·新知自解
教案·课堂探究
解析： (1)sin 960°＝sin(960°－720°)
＝sin 240°(诱导公式一)
答案： A
第9页，共31页。
数学 必修4
第一章 三角函数
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
3．化简：cos（－siαn）（tπan＋（α7）π＋α）＝________．
解析：
原式＝cos－αsintanαα＝－ssiinn
α α＝－1.
答案： －1
第10页，共31页。
数学 必修4
第一章 三角函数
cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝ 1－sin2α＝232.
第28页，共31页。
数学 必修4
第一章 三角函数
学案·新知自解
(2)∵α＋π3 －α－5π 3 ＝2π，
∴sinα－5π 3 ＝sinα＋π3 －2π
＝sinα＋π3 ＝－12.
1.3 三角函数的诱导公式 课件(共19张PPT)高中数学人教A版必修四
2k (k Z)、 、 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函
数值的符号。
14
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
15
利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面 步骤进行：
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数
用公式一
锐角的三角 用公式二 0～2π的角
函数
或公式四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
16
课堂小结： 1.小结使用诱导公式化简任意角的三 角函数为锐角的步骤.
2.体会数形结合、对称、化归的思想. 3.“学会”学习的习惯.
17
作业布置：
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
10
问题4：公式中的角 仅是锐角 吗？
11
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边
有什么关系？
那么它们之间的三角函
数值有什么关系？
y
α的终边
P(x，y)
公式三：
o
Q(x，-y)
x
sin( ) sin
1
（一）回顾旧知
问题1： （1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数？ （2） 终边相同的角的三角函数之间有什么关系？
2
温故而知新
1、任意角的三角函数的定义
sin y
y
α的终边
cos x tan y (x 0)
x
诱导公式 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1
1
LOGO
y P (x ,y )
1 1 1
1
α
O
y P (x ,y )
1 1 1
P4(x4,y4)
α
x
P2(x2,y2)
180°＋α∈(180°,270°)
O
α
x
O
x
P3(x3,y3)
360°－α∈(270°,360°)
－α
180°－α∈(90°,180°)
问题4：(1)作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什
tan(α+2kπ)=tanα k∈Z
sin cos 1
sin
( k , k Z )
tan
2
cos
2
2
研究思路：利用单位圆，从角的数量关系→坐标间的关系→三角函数函数值
的关系得到了公式（一）.
引 入
LOGO
问题3：能否再把0°～ 360°间的角的三角函数求值，化为我们熟悉
cosα=x cos(-α)=x
y
y
tan- tan
作用：
x
x
公式三
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
y P (x,y)
1
O
α
-α x
P3(x,-y)
将负角化为正角
函数名不变，符号看象限
把α看成锐角时的符号
探究新知
LOGO
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z)
sin - α cosα
2
π
cos - α sinα
1
LOGO
y P (x ,y )
1 1 1
1
α
O
y P (x ,y )
1 1 1
P4(x4,y4)
α
x
P2(x2,y2)
180°＋α∈(180°,270°)
O
α
x
O
x
P3(x3,y3)
360°－α∈(270°,360°)
－α
180°－α∈(90°,180°)
问题4：(1)作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什
tan(α+2kπ)=tanα k∈Z
sin cos 1
sin
( k , k Z )
tan
2
cos
2
2
研究思路：利用单位圆，从角的数量关系→坐标间的关系→三角函数函数值
的关系得到了公式（一）.
引 入
LOGO
问题3：能否再把0°～ 360°间的角的三角函数求值，化为我们熟悉
cosα=x cos(-α)=x
y
y
tan- tan
作用：
x
x
公式三
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
y P (x,y)
1
O
α
-α x
P3(x,-y)
将负角化为正角
函数名不变，符号看象限
把α看成锐角时的符号
探究新知
LOGO
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z)
sin - α cosα
2
π
cos - α sinα
高中数学人教A版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(一)
3
3
42 8
2.已知cos(α -75°)=- 1 ,且α 为第四象限角,求
3
sin(105°+α )的值. 【解题指南】由于105°+α =180°+(α -75°),故欲求 sin(105°+α ),需利用条件求出sin(α -75°).该三角函 数式只需用平方关系即可求得.
【解析】因为cos(α-75°)=- <1 0,且α为
(3)注意“1”的应用:1=sin2α +cos2α =tan .
4
【拓展延伸】三角函数式化简的思路以及含有kπ ±α 形式的处理方法 (1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α 的三角函 数转化. (2)含有kπ ±α 形式的化简时需对k分是偶数还是奇数 来确定选用的公式.
【变式训练】化简 scio n s(( 4 4 ))scio ns(2 5( ))cso in s2 2(( 3 )).
sin(2m )cos［2m 1 ］ sin［2m 1 ］cos(2m )
sin()cos( ) sin(cos) 1. sin( )cos sincos
k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),
原式sin［s2im n(2m 2］ c)cooss［ (2m 2m 1)］
提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决 问题的关键.
【补偿训练】1.已知 sin(－)＝1，
3
2
求cos2(α - )·sin ( 2 ＋ ) 的值.
3
3
【解析】cos2()sin(2＋ )
33
＝cos2[－(－)]sin[－(－)]
3
3