相互独立事件乘积的概率与贝努里概型
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伯努利概型与全概公式
全概公式是概率 论中一个重要的 公式，用于计算 在有限次试验中 某一事件发生的
概率
全概公式是伯 努利概型中唯 一一个能计算 出所有可能概
率的公式
推导过程
定义：全概公式是伯努利概型的一种特殊情况，即当试验次数趋于无穷大时，事 件A发生的概率的极限。
推导：全概公式可以通过伯努利概型和概率极限定理推导得出，具体过程涉及到 概率论和数理统计的基本概念和公式。
汇报人：XX
伯努利概型与全 概公式
汇报人：XX
目 录
01 添 加 目 录 项 标 题
03 全 概 公 式
05
伯努利概型与全概 公式的应用实例
02 伯 努 利 概 型
04
伯努利概型与全 概公式的联系
PART 01 添加章节标题
PART 02 伯努利概型
定义
伯努利概型是一种概率模型，其中事件的发生概率仅依赖于前n次试验中事件发生的次 数。
应用场景
用于描述独立重复试验的 概率模型
概率论与数理统计中的基 本概念
在保险、彩票、赌博等领 域有广泛应用
在统计学、数据分析、可靠 性工程等领域也常被提及
PART 03 全概公式
定义
全概公式是伯Biblioteka 努利概型中所 有可能结果的概率之和
全概公式表示在 n次试验中，事 件A发生k次的
概率为 P(nA)=C(n,k)P( A)k(1−P(A))n−k
概率计算中的区别
伯努利概型：单个试验的结果只有两种， 成功或失败，概率为p。
全概公式：考虑多个试验的结果，计算总 概率。
联系：全概公式可以看作是伯努利概型 的推广，当试验次数趋于无穷时，伯努 利概型的结果可以用来计算全概公式。
事件的独立性
p( Ai ) 1 p( A1 ) p( A2 ) p( An ) 1 p( Ai )
i 1 i 1
n
n
第 一章 随机事件及其概率
课后作业： 习题一
P21
23 ；24 ；26 ；27.
小
1. A,B两事件相互独立
结
p(AB)=p(A)p(B) p(AB)=p(A)p(B) p(AC)=p(A)p(C)
2. A,B,C三事件相互独立
p(BC)=p(B)p(C) p(ABC)=p(A)p(B) p(C)
3. A,B相互独立
A 与B , A与 B ，A与 B 相互独立
4. A1, A2, …, An 相互独立 p(A1A2…An)=p(A1)P(A2)…P(An)
故A与 B独立． （2）设A=“点数小于4”, B=“点数为奇数”, 则有 p(A)=1/2, p(B) =1/2, p(AB)=1/3
由于p(AB)≠ p(A)p(B) 故A与 B不独立．
第 一章 随机事件及其概率
例3 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A=“抽到K”, B=“抽到的牌是黑色的”.问事件A、
所以A∪B 与C相互独立.
第 一章 随机事件及其概率
一般地，有 p(A)+p(B)-p(AB)
P(A∪B)= p(A)+p(B) , AB=Ø时 p(B） , AB时 1 p( A) p( B) , A,B独立时 p(A)-p(AB) P(A-B)= p( AB) p(A)-p(B) , BA时 0 ， AB时 p( A) p( B) , A,B独立时
第 一章 随机事件及其概率 定义3 设A1, A2,…, An是n个事件, 若对任意 整数k和 2≤i1<i2<· · · <ik≤n, 满足
贝努力概型
3 2
等价于 : ( p 1) (3 p 2) 0
2
所以 : p 2
3
例巴拿赫火柴盒问题）某数学家有两盒火柴， 每盒有ｎ根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取 一盒并从中任取一根。试求他首次摸到空盒时另 一个盒中还有ｒ根火柴的概率。 (1 r n)
解：假设两盒火柴分别为甲盒，乙盒。将拿火柴盒作为 一次试验，每次试验只有两个结果，或者拿到甲盒，或 者拿到乙盒，而且每次试验是相互独立的。所以本题是 贝努利概型。 假设他首次摸到的空盒为甲盒时。这时共用2n-r根火柴， 共拿火柴盒2n-r+1次。也就是做2n-r+1次试验，第2nr+1次拿的是甲盒，前2n-r次试验拿甲盒ｎ次，每次都从 甲盒中拿了一根火柴。
随机事件Ａ＝｛首次摸到空盒为甲盒时乙盒中还有ｒ根火柴｝， 随机事件Ｂ＝｛首次摸到空盒时另一盒中还有ｒ根火柴｝，则
P( A) C
n 2nr
1 n 1 nr 1 ( ) ( ) 2 2 2
同理，可得他首次摸到的空盒为乙盒时甲盒还有ｒ根火 柴的概率，所以：
P( B) 2C
n 2nr
1 n 1 nr 1 1 2 n r n ( ) ( ) C2 n r ( ) 2 2 2 2
下页Biblioteka 一、贝努里概型:重复地进行n次独立试验,各次试验条件相同.每次 试验成功的概率都是 p,失败的概率都是 q=1-p. 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验， 简称贝努里试验或贝努里概型.
A A A A
1 2 k
k n k A p ( 1 p ) k 1 n
即事件A在指定的k次试验中出现，且在其余的(n-k)次试验 中不出现的概率为 pk (1-p) n-k。而这种指定方式共有Cnk 种，且
等价于 : ( p 1) (3 p 2) 0
2
所以 : p 2
3
例巴拿赫火柴盒问题）某数学家有两盒火柴， 每盒有ｎ根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取 一盒并从中任取一根。试求他首次摸到空盒时另 一个盒中还有ｒ根火柴的概率。 (1 r n)
解：假设两盒火柴分别为甲盒，乙盒。将拿火柴盒作为 一次试验，每次试验只有两个结果，或者拿到甲盒，或 者拿到乙盒，而且每次试验是相互独立的。所以本题是 贝努利概型。 假设他首次摸到的空盒为甲盒时。这时共用2n-r根火柴， 共拿火柴盒2n-r+1次。也就是做2n-r+1次试验，第2nr+1次拿的是甲盒，前2n-r次试验拿甲盒ｎ次，每次都从 甲盒中拿了一根火柴。
随机事件Ａ＝｛首次摸到空盒为甲盒时乙盒中还有ｒ根火柴｝， 随机事件Ｂ＝｛首次摸到空盒时另一盒中还有ｒ根火柴｝，则
P( A) C
n 2nr
1 n 1 nr 1 ( ) ( ) 2 2 2
同理，可得他首次摸到的空盒为乙盒时甲盒还有ｒ根火 柴的概率，所以：
P( B) 2C
n 2nr
1 n 1 nr 1 1 2 n r n ( ) ( ) C2 n r ( ) 2 2 2 2
下页Biblioteka 一、贝努里概型:重复地进行n次独立试验,各次试验条件相同.每次 试验成功的概率都是 p,失败的概率都是 q=1-p. 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验， 简称贝努里试验或贝努里概型.
A A A A
1 2 k
k n k A p ( 1 p ) k 1 n
即事件A在指定的k次试验中出现，且在其余的(n-k)次试验 中不出现的概率为 pk (1-p) n-k。而这种指定方式共有Cnk 种，且
概率论笔记1
概率复习重点归纳 一、随机事件与概率 重点难点： 重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式 难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes 公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算 常考题型： （1）事件关系与概率的性质 （2）古典概型与几何概型 （3）乘法公式和条件概率公式 （4）全概率公式和Bayes 公式 （5）事件的独立性 （6）贝努利概型 概念辨析1，互不相容（互斥）事件同逆（对立）事件互不相容事件：AB =Φ 逆事件：,A B AB ⋃=Ω=Φ事件互逆指的是非此即彼，即事件之一必定发生；而不相容仅指不能同时发生，但是是可以同时不发生的。
2，独立与互不相容（互斥）对事件A 及B ，若P(A)P(B)>0，且P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 及B 互相独立；事件独立同事件互斥是两套不同的概念，不能进行比较；须知独立性针对的是事件概率存在上面的等式关系；而互斥是指事件的不可同时发生，两者之间不存在必然关系。
3、条件概率同乘积概率P(AB)是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，而P(A | B)是在试验中增加了新条件B 发生 后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率。
虽然A 、B 都发生，但两者是不同的，一般说来，当A 、B 同时发生时，常用P(AB)，而在有包含关系或明确的主从关系时，用P(A | B) .例：袋中有9 个白球1 个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2 次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（ 2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个乘积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.4、全概率公式同贝叶斯公式 全概率公式：要求事件A 的概率（通常直接不太好求），将其分成几个比较容易计算的概率之和。
在分析问题的过程中，A 可视为B1∪B2∪B3∪…∪Bn 的子事件，或者把Bi 看成A 发生的原因，A 是结果，而及较易求出，从而可由“因”求出“果”。
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第一章
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第7页
例3 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命 中率分别为 0.6 和 0.7，现已知目标被击中，求它是甲 击中的概率.。
解:设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以 P(A|C) = P(AC)/P(C) = P(A)/[P(A)+P(B)P(A)P(B)] = 0.6/0.88 = 15/22
P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ， 所以A、B相互独立．
第一章
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第6页
例2 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率 分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率. 解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所 以 解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98. 解法ii) 用对立事件公式 P(C) = P(AB) 1 P( AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98.
Hale Waihona Puke 8页 第一章 §1.4 事件的独立性与伯努利概型 例4 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，从两批种子 中各随机地抽取一粒，求：
（1）两粒都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率 。 解 设以A、B分别表示取自甲、乙两批种子中的某粒种子发芽 这一事件，则所求的概率为
P( B)[1 P( A)] P( A)P(B).
所以 A 和B相互独立．
第一章
贝努里概型
(1) 恰有k粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； (3) 要保证出苗率为98% ，应每穴至少播几粒？
解 恰有k粒种子出苗的概率为
P6 (k) C6k 0.67k0.336k , (k 0,1, 2, 3, 4, 5, 6).
K P6(k)
0
0.0013
1
0.0157
2
0.0798
其中 p + q = 1。
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
证明 n次试验中事件A在某k次发生， 在其余 n-k次
不发生，由试验的独立性，有
P Ai1Ai2 L Aik Ai,k1L Ain pk (1 p)nk pk qnk .
在n次试验中，A发生k次的方式有Cnk 种。且任何两种 方式都是互不相容的，于是有
将E独立地重复n次的试验，称为n重贝努里试验。
如：掷硬币，射击，种子发芽，投篮等。
3. 贝努里公式
定理1 在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中发 生的概率为p，0＜p＜1，则在n次试验中事件A恰好发 生k次（0≤k≤n）的概率为
Pn(k) Cnk pk qnk , k 0, 1, 2, , n
加了人寿保险，在一年里每人死亡的概率为0.002，每个参加保
险的人一年付120元保险费，而在死亡之时家属可在公司里领取
20000元，问（不计利息）
（1）A={保险公司亏本}的概率是多少？
（2）B={保险公司每年获利不少于100000元}的概率是多少？
解 若一年死亡X人，则保险公司支出20000X（元），一年 中保险公司收入为2500×120=300000（元），于是
1 P( A1 A2 An ) 1 (1 r)n 1, (n )
解 恰有k粒种子出苗的概率为
P6 (k) C6k 0.67k0.336k , (k 0,1, 2, 3, 4, 5, 6).
K P6(k)
0
0.0013
1
0.0157
2
0.0798
其中 p + q = 1。
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
证明 n次试验中事件A在某k次发生， 在其余 n-k次
不发生，由试验的独立性，有
P Ai1Ai2 L Aik Ai,k1L Ain pk (1 p)nk pk qnk .
在n次试验中，A发生k次的方式有Cnk 种。且任何两种 方式都是互不相容的，于是有
将E独立地重复n次的试验，称为n重贝努里试验。
如：掷硬币，射击，种子发芽，投篮等。
3. 贝努里公式
定理1 在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中发 生的概率为p，0＜p＜1，则在n次试验中事件A恰好发 生k次（0≤k≤n）的概率为
Pn(k) Cnk pk qnk , k 0, 1, 2, , n
加了人寿保险，在一年里每人死亡的概率为0.002，每个参加保
险的人一年付120元保险费，而在死亡之时家属可在公司里领取
20000元，问（不计利息）
（1）A={保险公司亏本}的概率是多少？
（2）B={保险公司每年获利不少于100000元}的概率是多少？
解 若一年死亡X人，则保险公司支出20000X（元），一年 中保险公司收入为2500×120=300000（元），于是
1 P( A1 A2 An ) 1 (1 r)n 1, (n )
概率论与数理统计第6节 随机事件的独立性和伯努利概型
P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.6 0.7 0.6 0.7 0.88;
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
1-7 独立性和贝努里概型
证明: 容易算出 P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=1/2, P(AB)=1/4, P(AC)=1/4, P(BC)=1/4, P(ABC)=0.
从而具有等式 P(AB)=P(A)P(B); P(AC)=P(A)P(C); P(BC)=P(B)P(C)
所以A,B,C两两独立. 容易看出 P(ABC)=0≠P(A)P(B)P(C)
定理 设A，B是两事件，且P(A)>0(P(B)>0)，则A，B相 互独立的充要条件是
P(B|A)=P(B) (或 P(A|B)=P(A))。
2、三个事件的独立性
定义1 设A，B，C是三事件，如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C).
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=rn+rn-r2n=RⅠ
Ⅱ 第一对元件可靠性
P(A1∪B1)=P(A1)+P(B1)-P(A1)P(B1)=2r-r2， 第二对元件的可靠性
P(A2∪B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2, ……
第n对元件的可靠性 P(An∪Bn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2
设E为贝努里试验，将E独立地重复进行n次，（这里 的“重复”是指试验E在相同条件下进行）而且每次试 验中结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重 复贝努利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n重 贝努里试验。总之，n重贝努里试验有下面四个约定：
（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一, （2）A在每次试验中出现的概率p保持不变, （3）各次试验相互独立, （4）共进行了n次.
条件概率
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5、10根签中有3根彩签，设首先由甲、然后由乙各抽一签，求下列事件的概率
（1）甲、乙都中彩；（2）乙中彩。
6、如图：三个元件a、b、c安置在线路中，各个元件发生故障是相互独立的，且概率分别为0.3、0.2、0.1，求线路由于元件发生故障而中断的概率。
7、某类电灯泡，使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000小时后，最多只有一个坏了的概率。
8、已知某产品的优质品率为5﹪，攻关小组要想找一件优质品进行分析研究，问需要检验多少件产品，才能以90﹪的概率保证至少找到一件优质品？
姓名
班级
学号
时间
课题
相互独立事件乘积的概率与贝努里概型
设计
一、方法点拨：
1、理解相互独立事件的概念，掌握独立事件乘积的概率乘法公式；
2、掌握贝努里概Βιβλιοθήκη Pn（k）＝ ，并会用来解决有关的实际问题。
二、知能达标：
1、甲口袋内有大小相等的8个红球和4个白球，乙口袋内有大小相等的9个红球和3个白球，从两个口袋内各摸出一个球，那么 等于（）
A、两个求都是白球的概率；B、两个求恰好有一个白球的概率；
C、两个求都不是白球的概率；D、两个求不都是白球的概率；
2、10颗骺子同时掷出，共掷5次，则至少有一次全部出现一个点的概率是（）
A、 B、 C、 D、
3、某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击4次，至少击中3次的概率是。
4、三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为 则能够将此密码译出的概率为。
（1）甲、乙都中彩；（2）乙中彩。
6、如图：三个元件a、b、c安置在线路中，各个元件发生故障是相互独立的，且概率分别为0.3、0.2、0.1，求线路由于元件发生故障而中断的概率。
7、某类电灯泡，使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000小时后，最多只有一个坏了的概率。
8、已知某产品的优质品率为5﹪，攻关小组要想找一件优质品进行分析研究，问需要检验多少件产品，才能以90﹪的概率保证至少找到一件优质品？
姓名
班级
学号
时间
课题
相互独立事件乘积的概率与贝努里概型
设计
一、方法点拨：
1、理解相互独立事件的概念，掌握独立事件乘积的概率乘法公式；
2、掌握贝努里概Βιβλιοθήκη Pn（k）＝ ，并会用来解决有关的实际问题。
二、知能达标：
1、甲口袋内有大小相等的8个红球和4个白球，乙口袋内有大小相等的9个红球和3个白球，从两个口袋内各摸出一个球，那么 等于（）
A、两个求都是白球的概率；B、两个求恰好有一个白球的概率；
C、两个求都不是白球的概率；D、两个求不都是白球的概率；
2、10颗骺子同时掷出，共掷5次，则至少有一次全部出现一个点的概率是（）
A、 B、 C、 D、
3、某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击4次，至少击中3次的概率是。
4、三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为 则能够将此密码译出的概率为。