尺规作图的教学分析

[初中数学论文]尺规作图的教学分析尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容，由于其独特的知识结构，多年来在初中教学中未有深入的涉及和研究，对学生的教学要求，只局限于五种基本尺规作图法的理解和操作，随着新课程对学生能力培养的要求，对尺规作图的要求也提出了更高的要求：除了要熟练操作五种基本图形作法外，还要结合几何推理，对目标图形进行作图原理推究、作图方法探索。

这在一定程度上，对尺规作图的课堂教学带来了一定的挑战，在近段时间关于尺规作图的课堂教学教研活动中，笔者深有感触：尺规作图的教学在接轨于新课标的总思想和接轨于中考要求方面需要加大力度，笔者就课后交流和个人亲身教学体会，谈谈对尺规作图教学的一些想法。

1. 教材对尺规作图的基本要求任何一个知识点的学习，都离不开基本概念的理解和基本技能的掌握，三基是知识的根本点，对学生所学的相关知识及新知识结构起着固本作用，三基只有得到彻实有效的实施和应用，三基才能得到充分的发展和延伸。

我们对尺规作图这块内容的教学，同样需要熟练掌握五种基本图形的基本画法，正确理解它们的作图原理，在实际问题中能简单地应用。

教材（华师大版）对五种基本作图的内容编排，是浅显易懂，对课堂例题及训练题也是从绝大数学生的实际认知能力出发而设，以照顾全体学生在学习中都能获益为主要目标，在课后作业练习题中，也是对五种基本图形作法中稍加组合应用，注重的是基本作图法的理解、技能的掌握以及有条件类型题的作图，这类题学生能直接根椐条件，选择相应作图方法作图，主要目的都是巩固理解五种基本图形，虽然题目类型缺乏灵活性，但这些全是固本知识，是知识的根本点，能为学生作图方法的深入研究提供有效的保证。

新教材编写虽然浅显易懂，习题也简单，却需要教师补充一部分内容，这是新教材的一个特色，是给教师提供的一个弹性空间，可以根据学生具体情况，适当补充一些需要的题型，提升学生的能力。

2. 尺规作图应落实的教学尺度2.1尺规作图教练中的难度在学生的实际学习中，对五种基本作图法的单一应用是没有问题的，但部分学生由于几何意识薄弱，对稍加组合的基本图形作法的应用，思维发挥尚有一定差异，主要原因在于双基落实过程中，深度不够，也就是说几何推理+操作的综合能力不够到位，需要在教学过程中把握好难度分寸，给学生补充一些能激化思维、提升思维的内容，以达到对基本作图法的灵活应用。

笔者给学生做过这样一个试验，如例1，学生在解答时，因作图意向方法非常清楚，因此学生能很快画出角平分线和过点P的垂线，得二线交点Q。

但当笔者把题目作了适当变形时，学生选择作图方法，显得缺乏应有的章法，暴露出学生在受教过程中，对目标图形的几何分析和基本图形作法插入应用，缺乏应有理性认识。

若在平时能经常给学生训练例1类的变形题，学生对尺规作图的理性认识将上升一个台阶。

例1如图1-1，已知∠AOB，点P在OA上，找出点Q，使点Q到∠AOB两边距离相等，并且PQ⊥OA；变形1 有二条直线型公路AB 和CD ，如图1-2，因在点C 的左边有障碍物，因此公路要在点C 处开始转弯与公路AB 相接，要求画出连接二公路的圆弧，且圆弧与二公路是相切。

变形2 有二条直线型公路AB 和CD ，如图1-3，因在点C 的左边是障碍物，因此公路要修建一个圆弧连接公路AB 、CD ，要求画出圆弧的半径为r ，且圆弧与二公路是相切。

变形1只是对图1-1中的∠O 部分擦去，直线说成是公路，很多学生只能画出过点C的垂线，却不会去画二条公路延长线的夹角平分线。

变形2是对变形1改进，有了变形1的经验，学生只能画角平分线确定圆心所在的一条直线，画第二条确定圆心所在的直线有点困难，本题和变形1相比，难度稍有提高。

要求学生画一条与一公路平行且相距为r 的直线，直线与角平分线的交点即是圆心，也可以通过画二条直线分别与二条公路平行且相距为r ，二平行线交点即为圆心。

但事实上学生画平行线的想法更本没有或者是方法不当，原因是平时训练题中画平行线不多见，暴露出一个问题：学生注重的是基本作图法的具体操作，忽视了作图方法与几何推理的密切挂钩，不会通过目标图形的特征，用几何推理方法去探究作图方法，学会的只是基本作图方法，应用意识没有挖掘，思维没有打开，需要在课堂教学中提高教学要求，注重几何推理分析，在课后训练中适当补充思维型题目。

2.2 基本作图操练中的强度五种基本尺规作图法比较简单、易操作，教材的编写要求不高，中考中比分也不多，因此教师和学生在平时都不够重视，导致熟练程度不够，对尺规作图的深入研究存在缺陷。

在初三年考前，给学生测试例2，这是一个易理解、又有多种作法、注重双基思想的作图题，学生在选择方法时，思维显得比较单一，答案不能全部罗列出来，五种基本作图法应用的熟练程度不够到位。

例2 如图2，Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圆规和直尺作图，用两种以上方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形的等腰三角形。

（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）本题可以采用五种尺规作图中的画线段、画线段的垂直平分线、画角平分线、画角中任何一个基本作法都可以完成目标图形，是学生复习巩固和灵活体验五种基本作图方法的一个好题，但学生大都采用的方法是画线段的垂直平分线和角平分线这二种方法，对其它基本作图方法熟视无睹，没有作图意向，询问学生能不能用别的方法作图时，学生还要疑惑一下，可见对五种作图法的熟练和功能理解不够深入，基本作图法还停留在一种记忆意识，没深入到理性的应用意识，存在着知识的应用盲点，一旦出现象例2一类作法开放的作图题时，就会暴露出基本作图法应用不够熟练的弱点，需要增加训练量，熟练每种作图方法和作图原理。

建议在尺规作图教学过程或课后作业中，补充条件开放和结论开放类型的作图题，加强训练强度，活化基本作图方法，激化学生的应用意识，让学生对每种基本图形作法有一个思维发散的空间。

3.尺规作图应用中的数学思想在尺规作图中，有很多题目是不能一下子想到作图方法的，需要运用数学思想展开分析，其中类比思想结合熟悉题型展开分析比较广泛。

而尺规作图应用的几何知识中，应用比较多的是轴对称、二点间线段最短，三角形二边之和大于第三边、二平行线间距离恒值等知识，这些知识是学生平时接触中最简单、最熟悉的几何知识，在作图题中由于题型发生了变化，接触的形式不一样，让学生有时感到有点不适应，需要学生懂得应用类比思想结合几何推理，探究作图方法。

图2 图1-1 图1-2 图1-3如例3，学生在没有提示的条件下，学生一下子很难想到作图方法，找不到作图的突破口，其实是学生找不到学过知识中的对应模型，一旦提示学生：小球的运动路线类似于学过知识的什么图形和现象时，学生就很快地能想到作图方法，显示用类比思想在作图中的作用。

例3台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理学、几何学知识，图3-1是一个台球桌，目标球F 与本球E 之间有一个G 球阻挡．击球者想通过击打E 球，让E 球先撞击球台的AB 边，经过一次反弹后再撞击F 球，他应将E 球打到AB 边上的哪一点？请在图3-1中用尺规作出这一点H ，并作出E 球的运行路线；(不写画法，保留作图痕迹)本题从几何图形角度看，可用轴对称知识解决；从物理现象看，可类比于光的反射，从入射角等于反射角入手，应用轴对称知识找到AB 边上的击点。

例4我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”。

利用下面的作图4-1，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD 中，取对角线BD 的中点O ，连结OA 、OC 。

显然，折线AOC能平分四边形ABCD 的面积，再过点O 作OE ∥AC 交CD 于E ，则直线AE 即为一条“好线”。

（1）试说明直线AE 是“好线”的理由；（2）如下图4-2，AE 为一条“好线”，F 为AD 边上的一点，请作出经过F 点的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)。

本题以图4-1的作法引导学生理解“好线”的作法，让学生探求隐含的理论依据是等底等高的二个三角形面积相等，然后让学生去探索图4-2的作法。

显然本题若没有⑴的引导学生是很难想到作图方法的，有了⑴，学生就可以运用类比思想，根据平行线特征，得到作图方法：连接EF ,作AM ∥EF ,交CD 于M ,连接FM ，则FM 就是所求的“好线”。

在作图中要让学生灵活运用数学思想探求作图方法，需要在平时教学中，多接触典型作图题，主要是思想方法运用的典型、几何知识运用的典型，以培养学生运用数学思想结合几何推理探究作图原理的能力。

4. 尺规作图对思维的促进功能尺规作图是建立在几何推理上的一种作图方法，每一种基本作图法都可以用几何论证明其正确性，尺规作图有其严密的逻辑性，在应用中，除了培养学生合作探究、动手操作能力外，对学生几何思维的训练有着非常大的促进，因为尺规作图比纯粹的几何明题在几何思维训练上，具有更高的推理要求。

如例5充分说明轴对称知识应用对学生几何思维的促进作用，在没有告诉学生应用轴对称知识作图时，学生在解决例5时，在探求作图方法时是何等得绞尽脑汁，能探得作图原理只有少数几个学生，当提示学生应根据图形特点，构造学过的图形如三角形、四边形等图形，结合几何知识去推理、探求图形特征，然后结合对应的作图方法作图时，学生才算探到了作图的门道，领略了几何推理和尺规作图密切结合的意境，这种意境对学生几何思维的促进，应该超过单纯的几何证明题。

例4如图 5-1 ，凸四边形 ABCD ，如果点P 满足∠APD ＝∠APB =α。

且∠B P C ＝∠CPD＝β，则称点P 为四边形 ABCD 的一个半等角点．( l )在图5-3 正方形 ABCD 内画一个半等角点P ，且满足α≠β。

( 2 )在图5-4 四边形 ABCD 中画出一个半等角点P ，保留画图痕迹（不需写出画法）。

图3-1图4-1 图4-2( 3 )若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图5-2 ），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点。

本题是轴对称知识的应用，与例3相比更具有几何推理的特征，让学生感受到同一知识不同思维角度，对学生的几何思维有着提升作用。

作法：如⑵，连接AC，过B点作AC 的轴对称点B1,连接DB1其延长线交AC于点P,则点P就是所求的点。

尺规作图的教练中，应重视几何原理解释，用几何推理解释每个操作步骤。

要让学生理解目标图形的完成是作法操作和几何推理有机结合的结果，从而充分发挥尺规作图对学生几何思维的促进作用，提升学生的综合思维能力。

目前尺规作图的功能主要体现在实践应用、样板图纸的绘制上及美术图案上，尺规作图作为教学内容，在取材方面建议还可以增加一些可让学生感兴趣的、需用尺规作图法完成的科技产品、生活实用图案等，以激发学生的学习兴趣，增强他们的探索欲望，提高学生的几何思维能力和实践操作能力。