2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练课时规范训练2-2
高考领航高2020届高2017级一轮人教理科数学全书学案第四章
第一节平面向量的线性运算与基本定理教材细梳理知识点1平面向量的有关概念在数学中,把既有大小,又有方向的量叫做向量,把只有大小,没有方向的量称为数量. 思考1:两个不同的向量能比较大小吗？提示:不能,但向量的模可以比较大小.思考2:单位向量都为相等向量,对吗？提示:不对,两向量相等,不仅长度相等,而且方向相同.知识点2向量的线性运算提示:当a 与b 方向相反时,等号成立.思考2:|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)的几何意义是什么？提示:当a 与b 不共线时,几何意义是平行四边形中两邻边长的平方和的2倍等于两对角线长的平方和.[拓展] 向量线性运算的常用结论:(1)在△ABC 中,若D 是BC 的中点,则AD →＝12(AC →＋AB →);(2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0,;(3)四边形ABCD 中,若E 为AD 的中点,F 为BC 的中点,则AB →＋DC →＝2EF →.知识点3 向量共线定理向量a (a ≠0,)与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b ＝λa . 思考1:共线向量定理中为什么规定a ≠0,?提示:若不规定a ≠0,,则λ可能不存在,也可能有无数个. 思考2:a 与b 共线(a ∥b )的充要条件是什么？ 提示:a ∥b ⇔∃不全为零的x ,y ∈R,使xa ＋yb ＝0,. 知识点4 平面向量基本定理(1)基底e 1,e 2满足:必须是同一平面内的两个不共线向量且不是零向量.(2)基底给定,同一向量的分解形式唯一,如a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2⇒λ1＝μ1且λ2＝μ2. 知识点5 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ＋b ＝(x 1＋x 2,y 1＋y 2),a －b ＝(x 1－x 2,y 1－y 2),λa ＝(λx 1,λy 1),|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →＝(x 2－x 1,y 2－y 1),|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 思考1:若a ＝b ,则a 与b 坐标相同,对吗？提示:对,向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关,只与其相对位置有关. 思考2:设a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),那么a ∥b 的充要条件是什么？提示:a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.四基精演练1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若a ∥b ,b ∥c,则a ∥c.( )(2)向量AB →与向量CD →是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上.( ) (3)当两个非零向量a ,b 共线时,一定有b ＝λa ,反之成立.( ) (4)△ABC 中,D 是BC 的中点,则AD →＝12(AC →＋AB →).( )(5)若a ,b 是非零向量且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.( ) (6)若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×2.(知识点5)已知点A (0,1),B (3,2),向量AC →＝(－4,－3),则向量BC →＝( ) ⇐源自必修四P 101A 组T 7A.(－7,－4)B.(7,4)C.(－1,4)D.(1,4)解析:选A.AB →＝(3,1),AC →＝(－4,－3),BC →＝AC →－AB →＝(－4,－3)－(3,1)＝(－7,－4). 3.(知识点4)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC →＝3CD →,则( ) ⇐源自必修四P 92A 组T 11 A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析:选A.如图所示, 在△ABC 中,BC →＝AC →－AB →.又∵BC →＝3CD →,∴CD →＝13BC →＝13AC →－13AB →,∴AD →＝AC →＋CD →＝－13AB →＋43AC →.4.,(知识点3)已知向量a ＝(2,3),b ＝(－1,2),若ma ＋nb 与a －2b 共线,则mn ＝________. ⇐源自必修四P 119A 组T 9解析:由向量a ＝(2,3),b ＝(－1,2),得ma ＋nb ＝(2m －n,3m ＋2n ),a －2b ＝(4,－1).由ma ＋nb 与a －2b 共线, 得2m －n 4＝3m ＋2n －1,所以m n ＝－12. 答案:－125.,(知识点5)已知点A (1,－2),若向量AB →与a ＝(2,3)同向,|AB →|＝213,则点B 的坐标为________. ⇐源自必修四P 101练习T 6解析:设点B 的坐标为(x ,y ),则AB →＝(x －1,y ＋2), 因为向量AB →与a ＝(2,3)同向,所以x －12＝y ＋23＞0,①因为|AB →|＝213,所以(x －1)2＋(y ＋2)2＝52,②由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4，所以点B 的坐标为(5,4).答案:(5,4)大一轮复习·数学(理)第四章 平面向量、复数、算法考点一 平面向量的坐标运算[基础练通]1.,(2018·四川广元统考)已知点A (1,3),B (4,－1),则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析:选A.∵A (1,3),B (4,－1), ∴AB →＝(3,－4),∴|AB →|＝5,∴与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 2.,(2018·辽宁丹东模拟)已知OB 是平行四边形OABC 的一条对角线,O 为坐标原点,OA →＝(2,4),OB →＝(1,3),若点E 满足OC →＝3EC →,则点E 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－23，－23 B.⎝⎛⎭⎫－13，－13 C.⎝⎛⎭⎫13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23解析:选A.易知OC →＝OB →－OA →＝(－1,－1),则C (－1,－1),设E (x ,y ),则3EC →＝3(－1－x ,－1－y )＝(－3－3x ,－3－3y ),由OC →＝3EC →知⎩⎪⎨⎪⎧－3－3x ＝－1，－3－3y ＝－1，所以⎩⎨⎧x ＝－23，y ＝－23，所以E ⎝⎛⎭⎫－23，－23. 3.,(2018·北京西城区模拟)向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,若c ＝λa ＋μb (λ,μ∈R),则λμ等于( )A.1B.2C.3D.4解析:选D.以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),则A (1,－1),B (6,2),C (5,－1),∴a ＝AO →＝(－1,1),b ＝OB →＝(6,2),c ＝BC →＝(－1,－3).∵c ＝λa ＋μb ,∴(－1,－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2),即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2,μ＝－12,∴λμ＝4.向量坐标运算技巧向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.考点二 向量线性运算与基本定理[创新贯通][例1] [一题多解]在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ,BD →＝b ,则AF →＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b解析:解法一:如图,因为E 是线段OD 的中点,所以由平行四边形的性质得EF EA ＝DE EB ＝DF AB ＝13,所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13DC →＝(AO →＋OD →)＋13(OC →－OD →)＝23AC →＋13BD →＝23a ＋13b . 解法二:由题意易知AF →＝AD →＋13AB →,设AF →＝xAC →＋yBD →,因为AC →＝AD →＋AB →,BD →＝AD →－AB →,所以AF →＝(x ＋y )AD →＋(x －y )AB →,于是:⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝13，得⎩⎨⎧x ＝23，y ＝13，所以AF →＝23AC →＋13BD →＝23a ＋13b . 答案:B[例2] [一题多解]如图,在直角梯形ABCD 中,DC →＝14AB →,BE →＝2EC →,且AE →＝rAB →＋sAD →,则2r ＋3s 的值为________.解析:解法一:根据题中图形,由题意可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC→＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋14AB →)＝12AB →＋23AD →.因为AE →＝rAB →＋sAD →,所以r ＝12,s ＝23,则2r ＋3s ＝1＋2＝3.解法二:因为BE →＝2EC →,所以AE →－AB →＝2(AC →－AE →),整理,得AE →＝13AB →＋23AC →＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝12AB →＋23AD →,以下同解法一.解法三:如图,建立平面直角坐标系xAy ,依题意可设点B (4m,0),D (3m,3h ),E (4m,2h ),其中m ＞0,h ＞0.由AE →＝r AB →＋s AD →,得(4m,2h )＝r (4m,0)＋s (3m,3h ),所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms ，2h ＝3hs ，解得⎩⎨⎧r ＝12，s ＝23，所以2r ＋3s ＝1＋2＝3.答案:31.向量线性运算的应用技巧向量的线性运算集中体现在三角形中,可构造三角形,利用向量加、减法的三角形法则表示相关的向量,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,得出含相关向量的关系式.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决.(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用向量线性运算的常用结论.1.,(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC →解析:选A.作出示意图如图所示. EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →.故选A. 2.,在△ABC 中,点M ,N 满足AM →＝2MC →,BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →,则x ＝________;y ＝________.解析:由题中条件得MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →,所以x ＝12,y ＝－16.答案:12;－16考点三 共线向量定理、平面向量基本定理的综合[创新贯通][例3] (1)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2),b ＝(2,－2),c ＝(1,λ).若c ∥(2a ＋b ),则λ＝________.解析:由题意得2a ＋b ＝(4,2),因为c ＝(1,λ),c ∥(2a ＋b ),所以4λ－2＝0,解得λ＝12.答案:12(2)[一题多解]已知a ＝(1,0),b ＝(2,1),若AB →＝2a ＋3b ,BC →＝a ＋mb ,且A ,B ,C 三点共线,则实数m 的值为________.解析:解法一:AB →＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3),BC →＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1,m ). ∵A ,B ,C 三点共线,∴AB →∥BC →, ∴8m －3(2m ＋1)＝0,∴m ＝32.解法二:显然a 与b 不共线,由A ,B ,C 三点共线,可设AB →＝λBC →即2a ＋3b ＝λa ＋mλb ,又a 与b 不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，mλ＝3，即m ＝32.答案:32[例4] (1)在△ABC 中,AE →＝2EB →,AF →＝3FC →,连接BF ,CE ,且BF ∩CE ＝M ,AM →＝xAE →＋yAF →,则x －y 等于( )A.－112B.112C.－16D.16解析:因为AE →＝2EB →, 所以AE →＝23AB →,所以AM →＝xAE →＋yAF →＝23xAB →＋yAF →.由B ,M ,F 三点共线得23x ＋y ＝1 ①.因为AF →＝3FC →,所以AF →＝34AC →,所以AM →＝xAE →＋yAF →＝xAE →＋34yAC →.由C ,M ,E 三点共线得x ＋34y ＝1 ②.联立①②,解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝23，所以x －y ＝12－23＝－16.答案:C(2)[一题多解]如图,已知平面内有三个向量OA →,OB →,OC →,其中OA →与OB →的夹角为120°,OA →与OC →的夹角为30°,且|OA →|＝|OB →|＝1,|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ,μ∈R),则λ＋μ的值为________.解析:解法一:如图,作平行四边形OB 1CA 1,则OC →＝OB 1→＋OA 1→,因为OA →与OB →的夹角为120°,OA →与OC →的夹角为30°,所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △B 1OC 中,∠OCB 1＝30°,|OC |＝23, 所以|OB 1|＝2,|B 1C |＝4, 所以|OA 1|＝|B 1C |＝4,所以OC →＝4OA →＋2OB →,又OA →,OB →不共线. 所以λ＝4,μ＝2,所以λ＋μ＝6.解法二:以O 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A (1,0),B ⎝⎛⎭⎫－12，32,C (3,3).由OC →＝λOA →＋μOB →,得⎩⎨⎧3＝λ－12μ，3＝0＋32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6. 答案:6利用两向量共线的解题技巧1.一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量.2.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,则利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便.3.,(2018·长春模拟)已知向量a ＝(－1,2),b ＝(3,m ),m ∈R,则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.由题意得a ＋b ＝(2,2＋m ),由a ∥(a ＋b ),得－1×(2＋m )＝2×2,所以m ＝－6.当m ＝－6时,a ∥(a ＋b ),则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件.4.,(2018·河南郑州质检)已知△ABC 中,点D 满足2BD →＋CD →＝0,,过D 的直线l 与直线AB ,AC 分别交于点E ,F ,AE →＝λAB →,AF →＝μAC →.若λ＞0,μ＞0,则λ＋μ的最小值为________.解析:因为2BD →＋CD →＝0,,所以BD →＝13BC →,所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.因为D ,E ,F 三点共线,所以可设AD →＝xAE →＋(1－x )AF →＝xλAB →＋(1－x )μAC →,所以xλAB →＋(1－x )μAC →＝23AB →＋13AC →,根据平面向量基本定理,得xλ＝23,(1－x )μ＝13,所以x ＝23λ,1－x ＝13μ,所以23λ＋13μ＝1,所以λ＋μ＝13(λ＋μ)·⎝⎛⎭⎫2λ＋1μ＝13⎝⎛⎭⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223,当且仅当λ＝2μ＝2＋23时等号成立. 答案:3＋223坐标法在向量中的妙用向量具有代数和几何的双重特征,比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征;而引入坐标后,就可以通过代数运算来研究向量,凸显出了向量的代数特征,为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.在处理很多与向量有关的问题时,坐标化是一种常见的思路,利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷.[例5] 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →,它们的夹角为2π3.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动.若OC →＝xOA →＋yOB →,其中x ,y ∈R,则x ＋y 的最大值为________.解析:以O 为坐标原点,OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A (1,0),B ⎝⎛⎭⎫－12，32.设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3,则C (cos α,sin α). 由OC →＝xOA →＋yOB →,得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α,y ＝233sin α, 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6, 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3,所以当α＝π3时,x ＋y 取得最大值2.答案:2[素材库]1.,(2018·福州二模)已知向量AC →,AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示,若AC →＝λAB →＋μAD →,则λμ＝( )A.－3B.3C.－4D.4解析:选A.建立如图所示的平面直角坐标系xAy ,则AC →＝(2,－2),AB →＝(1,2),AD →＝(1,0),由题意可知(2,－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0),即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ－2＝2λ,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝3,所以λμ＝－3.故选A. 2.,已知点P ,Q 是△ABC 所在平面上的两个定点,且满足P A →＋PC →＝0,,2QA →＋QB →＋QC →＝BC →,若|PQ →|＝λ|BC →|,则正实数λ＝________.解析:∵P A →＋PC →＝0,,∴点P 是线段AC 的中点,∵2QA →＋QB →＋QC →＝BC →,∴2QA →＝BC →－QC →－QB →＝QC →－QB →－QC →－QB →＝2BQ →,∴点Q 是线段AB 的中点,∵|PQ →|＝λ|BC →|,∴λ＝12.答案:12限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1.,(2018·吉林白山模拟)AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线,AB →＝(2,4),AC →＝(1,3),则AD →＝( )A.(2,4)B.(3,7)C.(1,1)D.(－1,－1)解析:选D.∵BC →＝AC →－AB →＝(－1,－1), ∴AD →＝BC →＝(－1,－1).2.,(2018·保定模拟)若向量a ＝(1,1),b ＝(1,－1),c ＝(－1,2)则c ＝( )A.－12a ＋32bB.12a －32b C.32a －12b D.－32a ＋12b解析:选B.设c ＝λ1a ＋λ2b ,则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1,－1)＝(λ1＋λ2,λ1－λ2), ∴λ1＋λ2＝－1,λ1－λ2＝2,解得λ1＝12,λ2＝－32,所以c ＝12a －32b .3.,(2018·唐山模拟)设a ,b 为不共线的非零向量,AB →＝2a ＋3b ,BC →＝－8a －2b ,CD →＝－6a －4b ,那么( )A.AD →与BC →同向,且|AD →|＞|BC →|B.AD →与BC →同向,且|AD →|＜|BC →|C.AD →与BC →反向,且|AD →|＞|BC →|D.AD →∥BD →解析:选A.AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝2a ＋3b ＋(－8a －2b )＋(－6a －4b )＝－12a －3b ,又BC →＝－8a －2b ,∴AD →＝32BC →.∵32＞0,∴AD →与BC →同向,且|AD →|＝32|BC →|＞|BC →|. ∴|AD →|＞|BC →|.4.,(2018·江门二模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m ＝(a ,3b )与n ＝(cos A ,sin B )平行,则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析:选B.因为m ∥n,所以a sin B －3b cos A ＝0,由正弦定理,得sin A sin B －3sin B cos A ＝0,又sin B ≠0,从而t a n A ＝3,由于0＜A ＜π,所以A ＝π3.5.,(2018·合肥模拟)已知a ,b 是不共线的两个向量,向量AB →＝λa ＋b ,AC →＝a ＋μb (λ,μ∈R),则A ,B ,C 三点共线的充要条件为( )A.λ＋μ＝2B.λ－μ＝1C.λμ＝1D.λμ＝－1解析:选C.∵向量a 和b 不共线,∴AB →和AC →为非零向量,则A ,B ,C 三点共线的充要条件为存在k (k ≠0),使得AB →＝kAC →,即λa ＋b ＝k (a ＋μb )＝ka ＋kμb ,∵a 和b 不共线,∴λ＝k ,1＝kμ,∴λμ＝1,故选C.6.,(2018·九江模拟)如图,在6×6的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量a ,b ,c 满足c ＝xa ＋yb (x ,y ∈R),则x ＋y ＝( )A.0B.1C.5 5D.135解析:选D.建立如图所示平面直角坐标系,设小方格的边长为1.则向量a ＝(1,2),b ＝(2,－1),c ＝(3,4), ∵c ＝xa ＋yb ,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝115，y ＝25.∴x ＋y ＝115＋25＝135.7.,(2018·河北保定质检)设M 是△ABC 所在平面上的一点,且MB →＋32MA →＋32MC →＝0,,D 是AC的中点,则|MD →||BM →|的值为( )A.13B.12C.1D.2解析:选A.∵D 是AC 的中点,∴DA →＋DC →＝0,.又∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0,,∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－32×2MD →,即MB →＝3DM →,故MD →＝13BM →,∴|MD →||BM →|＝13.故选A.8.,(2018·常州八校联考)在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝2CD ,M ,N 分别为CD ,BC 的中点,若AB →＝λAM →＋μAN →,则λ＋μ等于________.解析:因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →,所以AB →＝85AN →－45AM →,∴λ＝－45,μ＝85.所以λ＋μ＝45.答案:459.,(2018·银川模拟)已知D ,E ,F 分别为△ABC 的边BC ,CA ,AB 的中点,且BC →＝a ,CA →＝b ,给出下列命题:①AD →＝12a －b ;②BE →＝a ＋12b ;③CF →＝－12a ＋12b ;④AD →＋BE →＋CF →＝0,.其中正确命题的个数为________.解析:BC →＝a ,CA →＝b ,AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ,故①错误;BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ,故②正确;CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ,故③正确;∴AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0,.∴正确的命题为②③④. 答案:310.,(2018·济南模拟)已知非零向量e 1,e 2,a ,b 满足a ＝2e 1－e 2,b ＝k e 1＋e 2.给出以下结论: ①若e 1与e 2不共线,a 与b 共线,则k ＝－2; ②若e 1与e 2不共线,a 与b 共线,则k ＝2; ③存在实数k ,使得a 与b 不共线,e 1与e 2共线; ④不存在实数k ,使得a 与b 不共线,e 1与e 2共线. 其中正确的是________(只填序号).解析:若a 与b 共线,即a ＝λb ,即2e 1－e 2＝λk e 1＋λe 2,而e 1与e 2不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝2，λ＝－1，解得k ＝－2.故①正确,②不正确.若e 1与e 2共线,则e 2＝λe 1,有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝(2－λ)e 1，b ＝(k ＋λ)e 1，因为e 1,e 2,a ,b 为非零向量,所以λ≠2且λ≠－k ,所以12－λa ＝1k ＋λb ,即a ＝2－λk ＋λb ,这时a 与b共线,所以不存在实数k 满足题意.故③不正确,④正确.综上,正确的结论为①④. 答案:①④B 级 能力提升练11.,(2018·河南中原名校联考)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ＝2AD＝2DC ,E 为BC 边上一点,BC →＝3EC →,F 为AE 的中点,则BF →＝( )A.23AB →－13AD →B.13AB →－23AD →C.－23AB →＋13AD →D.－13AB →＋23AD →解析:选C.解法一:如图,取AB 的中点G ,连接DG ,CG ,则易知四边形DCBG 为平行四边形,所以BC →＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12AB →,所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝23AB →＋23AD →,于是BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝1223AB →＋23AD →－AB →＝－23AB →＋13AD →.解法二:BF →＝12(BA →＋BE →)＝－12AB →＋12×23BC →＝－12AB →＋13(AC →－AB →)＝－56AB →＋13(DC →－DA →)＝－56AB →＋13⎝⎛⎭⎫12AB →＋AD →＝－23AB →＋13AD →. 12.,(2018·烟台质检)在△ABC 中,N 是AC 边上一点,且AN →＝12NC →,P 是BN 上的一点,若AP →＝mAB →＋29AC →,则实数m 的值为( )A.19B.13C.1D.3解析:选B.如图,因为AN →＝12NC →,P 是BN →上一点,所以AN →＝13AC →,AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →.因为B ,P ,N 三点共线, 所以m ＋23＝1,所以m ＝13.13.,(2018·山西四校联考)在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC →＝3CD →,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →,则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 解析:选D.依题意,设BO →＝λBC →,其中1＜λ＜43,则有AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →,且AB →,AC →不共线,于是有x ＝(1－λ)∈⎝⎛⎭⎫－13，0,即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－13，0.14.,(2018·洛阳模拟)已知A ,B ,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心,动点P 满足OP →＝1312OA →＋12OB →＋2OC →,则点P 一定为△ABC 的( ) A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB 边的中点解析:选B.如图设AB 的中点为M ,则12OA →＋12OB →＝OM →,所以OP →＝13(OM →＋2OC →),即3OP →＝OM →＋2OC →⇒OP →－OM →＝2OC →－2OP →⇒MP →＝2PC →.又MP →与PC →有公共点P ,所以P ,M ,C 三点共线,且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点.15.,(2017·江苏卷)如图,在同一个平面内,向量OA →,OB →,OC →的模分别为1,1,2,OA →与OC →的夹角为α,且t a n α＝7,OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ,n ∈R),则m ＋n ＝________.解析:由t a n α＝7,得t a n ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝t a n α＋11－t a n α＝－43. 以O 为原点,OA 方向为x 轴正半轴建立坐标系(图略),则A 点坐标为(1,0).由t a n ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－43,OB →的模为1,可得B ⎝⎛⎭⎫－35，45.由t a n α＝7,OC →的模为2,可得C ⎝⎛⎭⎫15，75. 由OC →＝mOA →＋nOB →,代入A 、B 、C 点坐标可得,⎩⎨⎧m －35n ＝15，45n ＝75，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74.∴m ＋n ＝3. 答案:3C 级 素养加强练16.,(2018·天水模拟)如图,在等腰直角三角形ABC 中,点O 是斜边BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →(m ＞0,n ＞0),则mn 的最大值为________.解析:以A 为坐标原点,线段AC 、AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设△ABC 的腰长为2,则B (0,2),C (2,0),O (1,1).∵AB →＝mAM →,AC →＝nAN →, ∴M ⎝⎛⎭⎫0，2m ,N ⎝⎛⎭⎫2n ，0, ∴直线MN 的方程为nx 2＋my 2＝1,∵直线MN 过点O (1,1),∴m 2＋n2＝1,即m ＋n ＝2,∴mn ≤(m ＋n )24＝1,当且仅当m ＝n ＝1时取等号,∴mn 的最大值为1. 答案:1第二节 平面向量的数量积及应用教材细梳理知识点1 两个向量的夹角 向量夹角的定义和范围思考1:边长为1的正△ABC 中,AB ·BC 的值是多少？ 提示:AB →·BC →＝1×1×cos 120°＝－12.思考2:a 与b 的夹角是锐角的充要条件是什么？a 与b 的夹角是钝角的充要条件是什么？ 提示:a 与b 夹角是锐角的充要条件是a ·b ＞0且a 与b 不共线;a 与b 的夹角是钝角的充要条件是a ·b ＜0且a 与b 不共线.知识点2 向量的数量积(1)平面向量的数量积(内积)的定义a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角).(2)a ·b 的几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos 〈a ,b 〉的乘积. (3)平面向量数量积的性质设a ,b 为非零向量,它们的夹角为θ,则①设e 是单位向量,且e 与a 的夹角为θ,则e·a ＝a ·e ＝|a |cos θ; ②a ⊥b 的充要条件是 a ·b ＝0;③当a 与b 同向时,a ·b ＝|a ||b |;当a ,b 反向时,a ·b ＝－|a ||b |.特别地,a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a ·a ;④|a ·b |≤|a ||b |,当且仅当a 与b 共线,即a ∥b 时等号成立; ⑤cos θ＝a ·b |a ||b |.(4)数量积的运算律 ①交换律:a ·b ＝b ·a ;②分配律:对于向量a ,b ,c,(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c; ③结合律:对λ∈R,λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb ).思考1:向量b 与c 在向量a 方向的投影相同,那么b ＝c 对吗？提示:不对.从式子|b |cos 〈b ,a 〉＝|c|cos 〈c,a 〉看,b 与c 不一定相等,从几何意义看更直观. 思考2:当a ≠0,时a ·b ＝a ·c ⇒b ＝c 对吗？提示:不对,因为由a ·b ＝a ·c 得a ·(b －c)＝0,,即a ⊥(b －c)也就是向量的数量积不满足消去律,注意与实数运算的区别.(5)数量积的坐标运算 设a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则①a ⊥b 的充要条件是x 1x 2＋y 1y 2＝0;②模长公式|a |＝x 21＋y 21;③夹角公式cos 〈a ,b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2(x 21＋y 21)·(x 22＋y 22)四基精演练1.,思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0,或b ＝0,.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c).( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(知识点2)已知a ＝(2,1),b ＝(－1,k ),a ·(2a －b )＝0,则实数k ＝________. ⇐源自必修四P 105例4 答案:123.(知识点1、2)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |＝2,|b |＝1,则|a ＋2b |＝________. ⇐源自必修四P 108A 组T 6解析:∵a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×1×12＝1,∴|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4＋4＝2 3. 答案:2 34.,(知识点1、2)已知|a |＝5,|b |＝4,a 与b 的夹角θ＝120°,则向量b 在向量a 方向上的投影为________. ⇐源自必修四P 106练习T 3解析:由向量数量积的定义知,b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案:－25.,(知识点2)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是________. ⇐源自必修四P 119A 组T 9解析:∵(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)＝3e 21＋3λe 1·e 2－e 1·e 2－λe 22＝3－λ,|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝2,|e 1＋λe 2|＝(e 1＋λe 2)2＝e 21＋2λe 1·e 2＋λ2e 22＝1＋λ2,∴3－λ＝2×1＋λ2×cos 60°＝1＋λ2,解得λ＝33. 答案:33考点一 平面向量数量积的运算[基础练通]1.,(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ,b 满足|a |＝1,a ·b ＝－1,则a ·(2a －b )＝( ) A.4 B.3 C.2D.0解析:选B.a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b ＝2×1－(－1)＝3.2.,[一题多解]已知点A ,B ,C 满足|AB →|＝3,|BC →|＝4,|CA →|＝5,则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________.解析:解法一:如图所示,根据题意可得△ABC 为直角三角形,且B ＝π2,cos A＝35,cos C ＝45, 所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → ＝BC →·CA →＋CA →·AB →＝4×5cos(π－C )＋5×3cos (π－A ) ＝－20cos C －15cos A＝－20×45－15×35＝－25.解法二:由题易知AB →＋BC →＋CA →＝0,, 将其两边平方可得AB →2＋BC →2＋CA →2＋2(AB →·BC →＋AB →·CA →＋BC →·CA →)＝0,故AB →·BC →＋AB →·CA →＋BC →·CA →＝－12(AB →2＋BC →2＋CA →2)＝－25.答案:－253.,(2018·苏州模拟)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB →|＝6,|AD →|＝4,若点M ,N 满足BM →＝3MC →,DN →＝2NC →,则AM →·NM →等于( )A.20B.15C.9D.6解析:选C.如图,AM →＝AB →＋34AD →,NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →,∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2) ＝148(16×62－9×42)＝9,故选C.1.求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的线性运算或数量积的运算律化简再运算,但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.考点二 平面向量的模、夹角(垂直)问题 [探究变通][例1] (1)(2018·唐山二模)若非零向量a ,b 满足|a |＝223|b |,且(a －b )⊥(3a ＋2b ),则a 与b 的夹角为( )A.π4 B.π2 C.3π4D.π解析:设向量a 与b 的夹角为θ,|a |＝223|b |,因为(a －b )⊥(3a ＋2b ), 所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3|a |2－2|b |2－a ·b ＝83|b |2－2|b |2－223|b |2cos θ＝0,解得cos θ＝22,因为θ∈[0,π],所以θ＝π4. 答案:A(2)(2018·青岛模拟)已知非零向量m,n 满足4|m|＝3|n|,cos 〈m,n 〉＝13,若n 与t m －n 夹角为钝角,则实数t 的取值范围是( )A.t ＜4B.t ＜4且t ≠0C.t ≤4D.t ≤4且t ≠0解析:n 与t m －n 夹角为钝角等价于n·(t m －n)＜0 且n 与t m －n 不共线, 所以t m·n －n 2＜0且t ≠0, 即t ×34n 2×13－n 2＜0,且t ≠0,解得t ＜4且t ≠0. 答案:B[例2] (1)(2018·沈阳模拟)设向量a ,b 满足|a |＝2,|b |＝|a ＋b |＝3,则|a ＋2b |＝________. 解析:(1)因为|a |＝2,|b |＝|a ＋b |＝3,所以(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4＋9＋2a ·b ＝9,所以a ·b ＝－2,所以|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4－8＋36＝4 2. 答案:4 2(2)(2018·东北四市模拟)已知向量OA →＝(3,1),OB →＝(－1,3),OC →＝mOA →－nOB →(m ＞0,n ＞0),若m ＋n ＝1,则|OC →|的最小值为________.解析:由OA →＝(3,1),OB →＝(－1,3), 得OC →＝mOA →－nOB →＝(3m ＋n ,m －3n ).因为m ＋n ＝1(m ＞0,n ＞0),所以n ＝1－m ,且0＜m ＜1,所以OC →＝(1＋2m,4m －3),则|OC →|＝(1＋2m )2＋(4m －3)2＝20m 2－20m ＋10＝20⎝⎛⎭⎫m －122＋5(0＜m ＜1), 所以当m ＝12时,|OC →|min ＝ 5.答案: 51.利用向量数量积的定义,知cos θ＝a ·b|a ||b |,其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°,求解时应求出三个量:a ·b ,|a |,|b |或者找出这三个量之间的关系.2.把几何图形放到适当的坐标系中,写出有关向量的坐标,求向量的长度.如若向量a ＝(x ,y ),求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可.3.当向量坐标无法表示时,利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解,关键是会把向量a 的模进行如下转化:|a |＝a 2.1.,(2018·杭州模拟)在△ABC 和△AEF 中,B 是EF 的中点,AB ＝EF ＝1,BC ＝6,CA ＝33,若AB →·AE →＋AC →·AF →＝2,则EF →与BC →的夹角的余弦值为________.解析:由题意得AB →·AE →＋AC →·AF →＝AB →·(AB →＋BE →)＋AC →·(AB →＋BF →)＝2,即AB →2＋AB →·BE →＋AC →·AB →＋AC →·BF →＝2,而AB →2＝1,AC →·AB →＝33×1×33＋1－362×33×1＝－1,BE →＝－BF →,所以1＋BF →·(AC →－AB →)－1＝2,∴BF →·BC →＝2, 设EF →与BC →的夹角为θ,则|BF →|×|BC →|×cos θ＝2, ∴cos θ＝23.答案:23★2.,(2017·浙江卷)已知向量a ,b 满足|a |＝1,|b |＝2,则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________,最大值是________.解析:设向量a ,b 的夹角为θ,由余弦定理有: |a －b |＝12＋22－2×1×2×cos θ＝5－4cos θ. |a ＋b |＝12＋22－2×1×2×cos (π－θ) ＝5＋4cos θ,则:|a ＋b |＋|a －b |＝5＋4cos θ＋5－4cos θ, 令y ＝5＋4cos x ＋5－4cos x , 则y 2＝10＋225－16cos 2 θ∈[16,20], 据此可得:(|a ＋b |＋|a －b |)m a x ＝20＝25, (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4,即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4,最大值是2 5. 答案:4;2 5考点三 向量的综合应用[创新贯通][例3] (2018·南昌模拟)在平行四边形ABCD 中,AD ＝1,∠BAD ＝60°,E 为CD 的中点.若AC →·BE →＝1,则AB 的长为________.解析:由题意,可知AC →＝AB →＋AD →,BE →＝－12AB →＋AD →.因为AC →·BE →＝1,所以(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝1, 即AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝1.①因为|AD →|＝1,∠BAD ＝60°,所以AB →·AD →＝12|AB →|,因此①式可化为1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1,解得|AB →|＝0(舍去)或12,所以AB 的长为12.答案:12[例4] (2018·青岛二模)已知点A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上运动,且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0),则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9解析:如图,由A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上,且AB ⊥BC ,知线段AC为圆的直径,设圆心为O ,故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0),设B (a ,b ),则a 2＋b 2＝1且a ∈[－1,1],PB →＝(a －2,b ),所以P A →＋PB →＋PC →＝(a －6,b ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12a ＋37, 所以当a ＝－1时,此式有最大值49＝7. 答案:B1.向量在平面几何中的应用用平面向量解决平面几何问题时,常常要建立平面直角坐标系,这样可以使向量的运算更简便一些.在解决这类问题时,共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用.2.,向量在解析几何中的应用工具作用:利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0;a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0,),可解决垂直、平行问题,特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到.[例5] (2018·无锡二模)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A 2，cos A 2,n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，－cos A 2,且2m·n ＋|m|＝22,AB →·AC →＝1. (1)求角A 的大小; (2)求△ABC 的面积S .解:(1)因为2m·n ＝2sin A 2cos A 2－2cos 2 A 2＝sin A －(cos A ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4－1, 又|m|＝1,所以2m·n ＋|m|＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝22, 即sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝12. 因为0＜A ＜π,所以－π4＜A －π4＜3π4,所以A －π4＝π6,即A ＝5π12.(2)cos A ＝cos5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋π4 ＝cos π6cos π4－sin π6sin π4＝6－24,因为AB →·AC →＝bc cos A ＝1,所以bc ＝6＋ 2. 又sin A ＝sin 5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝6＋24,所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12(6＋2)×6＋24＝2＋32.向量与三角函数交汇问题的解题策略1.若题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,可运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.2.若给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.3.(2018·江苏泰州中学质检)如图,在△ABC 中,O 为BC 中点,若AB＝1,AC ＝3,AB →与AC →的夹角为60°,则|OA →|＝________.解析:AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32,又AO →＝12(AB →＋AC →),所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2),即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134, 所以|OA →|＝132.答案:1324.,(2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ,sin x ),b ＝(3,－3),x ∈[0,π]. (1)若a ∥b ,求x 的值;(2)记f (x )＝a ·b ,求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解:(1)∵a ∥b ,∴－3cos x ＝3sin x ,∴t a n x ＝－33. 又∵x ∈[0,π],∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3cos x －3sin x ＝23⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6, ∵x ∈[0,π],∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6, 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 当x ＋π6＝π6,即x ＝0时,f (x )取得最大值为3;当x ＋π6＝π,即x ＝5π6时,f (x )取得最小值为－2 3.向量与函数、解析几何等交汇命题求最值(范围)问题数量积与函数、解析几何等交汇命题(求最值或范围)是高考的热点,综合性强,难度较大.解决这类问题的思路主要有:1.,利用函数思想求最值常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式,然后利用函数思想求最值,有时也常与三角函数知识结合求最值.2.,利用数形结合思想求最值要充分利用平面向量“形”的特征,充分挖掘向量的模所表示的几何意义,从图形上观察分析出模的最值.[例6] (1)[一题多解]已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A.－2B.－32C.－43D.－1解析:解法一:建立如图所示的平面直角坐标系,则A (0,3),B (－1,0),C (1,0),设P (x ,y ),则P A →＝(－x ,3－y ),PB →＝(－1－x ,－y ),PC →＝(1－x ,－y ),所以P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2＋2y 2－23y ＝2⎣⎡⎦⎤(x －0)2＋⎝⎛⎭⎫y －322－32,令x ＝0,y ＝32, 则[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝－32,故选B.解法二:设AB 的中点为D ,AC 的中点为E ,则|DE →|＝1, P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·PB →＋P A →·PC →＝⎝⎛⎭⎫PD →－12AB →·⎝⎛⎭⎫PD →＋12AB →＋⎝⎛⎭⎫PE →－12AC →·PE →＋12AC → ＝|PD →|2－14|AB →|2＋|PE →|2－14|AC →|2≥(|PD →|＋|PE →|)22－14|AB →|2－14|AC →|2≥|DE →|22－14|AB →|2－14|AC →|2,当且仅当P ,D ,E 三点共线且|PD →|＝|PE →|时两个等号同时成立,即[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝|DE →|22－14|AB →|2－14|AC →|2＝－32. 答案:B(2)(2018·浙江卷)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b满足b 2－4e·b ＋3＝0,则|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1C.2D.2－ 3解析:设e ＝(1,0),b ＝(x ,y ),则b 2－4e·b ＋3＝0⇒x 2＋y 2－4x ＋3＝0⇒(x －2)2＋y 2＝1如图所示,a ＝OA ,b ＝OB ,(其中A 为射线OA 上动点,B 为圆C 上动点,∠AOx ＝π3.)∴|a －b |min ＝|CD |－1＝3－1.(其中CD ⊥OA ). 答案:A[素材库]1.,(2018·东营三模)已知a 和b 是非零向量,m ＝a ＋tb (t ∈R),若|a |＝1,|b |＝2,当且仅当t ＝14时,|m|取得最小值,则向量a 、b 的夹角θ为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析:选C.|m|2＝(a ＋tb )2＝4t 2＋4t cos θ＋1＝(2t ＋cos θ)2＋sin 2 θ,由题意得,当t ＝14时,cos θ＝－12,则向量a 、b 的夹角θ为2π3,故选C.2.,(2018·武汉二模)已知△ABC 为等边三角形,AB ＝2,设点P ,Q 满足AP →＝λAB →,AQ →＝(1－λ)AC →,λ∈R,若BQ →·CP →＝－32,则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102D.－3±222解析:选A.解法一:∵BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →,CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →,又BQ →·CP →＝－32,|AB →|＝|AC →|＝2,〈AB →,AC →〉＝60°,AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝2,∴[(1－λ)AC →－AB →](λAB →－AC →)＝－32,即λ|AB |2＋(λ2－λ－1)AB →·AC →＋(1－λ)|AC →|2＝32,所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32,解得λ＝12.解法二:以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴,过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,设A (0,0),B (2,0),C (1,3),∴AB →＝(2,0),AC →＝(1,3),∴P (2λ,0),Q (1－λ,3(1－λ)),∵BQ →·CP →＝－32,∴(－1－λ,3(1－λ))·(2λ－1,－3)＝－32,化简得4λ2－4λ＋1＝0,∴λ＝12.限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1.,(2018·山东济南模拟)已知矩形ABCD 中,AB ＝2,BC ＝1,则AC →·CB →＝( ) A.1 B.－1 C. 6D.2 2解析:选B.设AB →＝a ,AD →＝b ,则a ·b ＝0,∵|a |＝2,|b |＝1, ∴AC →·CB →＝(a ＋b )·(－b )＝－a ·b －b 2＝－1.故选B.2.,(2018·陕西吴起高级中学质检)已知平面向量a ,b 的夹角为π3,且|a |＝1,|b |＝12,则|a －2b |＝( )A. 3B.1C.2D.32解析:选B.∵|a －2b |2＝|a |2＋4|b |2－4a ·b ＝1＋1－1＝1,∴|a －2b |＝1.故选B.3.,(2018·昆明检测)已知非零向量a ,b 满足a ·b ＝0,|a |＝3,且a 与a ＋b 的夹角为π4,则|b |＝( )A.6B.3 2C.2 2D.3解析:选D.因为a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a ||a ＋b |cos π4,所以|a ＋b |＝32,将|a ＋b |＝32两边平方可得,a 2＋2a ·b ＋b 2＝18,解得|b |＝3,故选D.4.,(2018·成都检测)已知平面向量a ＝(－2,3),b ＝(1,2),向量λa ＋b 与b 垂直,则实数λ的值为( )A.413 B.－413C.54D.－54解析:选D.因为a ＝(－2,3),b ＝(1,2),向量λa ＋b 与b 垂直,所以(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝－2λ＋1＋2(3λ＋2)＝4λ＋5＝0,解得λ＝－54.故选D.5.,(2018·江西三校联考)若|a |＝2,|b |＝4,且(a ＋b )⊥a ,则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.4π3D.－2π3解析:选A.∵(a ＋b )⊥a ,∴(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0,∴a ·b ＝－4,cos 〈a ,b 〉＝a ·b |a ||b |＝－42×4＝－12,∴〈a ,b 〉＝2π3,故选A.6.,△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,则下列结论正确的是( )A.|b |＝1B.a ⊥bC.a ·b ＝1D.(4a ＋b )⊥BC →解析:选D.因为BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b , 所以|b |＝2,故A 错误;由于AB →·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2a ·b ＝4＋2×1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝2, 所以2a ·b ＝2－4|a |2＝－2, 所以a ·b ＝－1,故B,C 错误;又因为(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0, 所以(4a ＋b )⊥BC →.7.,(2018·永州模拟)在△ABC 中,若A ＝120°,AB →·AC →＝－1,则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B.2 C. 6D.6解析:选C.∵AB →·AC →＝－1, ∴|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1, 即|AB →|·|AC →|＝2,∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6, ∴|BC →|min ＝ 6.8.,(2018·豫南九校联考)已知向量a ＝(m,2),b ＝(2,－1),且a ⊥b ,则|2a －b |a ·(a ＋b )的值为________.解析:∵a ⊥b ,∴2m －2＝0,∴m ＝1,则2a －b ＝(0,5),a ＋b ＝(3,1),∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5,|2a －b |＝5,∴|2a －b |a ·(a ＋b )＝55＝1.9.,(2018·江苏扬州质检)已知点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点,若AE →·DB →＝－2,则AE →·BE →＝________.解析:如图,以A 为坐标原点,分别以AB ,AD 所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2a (a ＞0),则A (0,0),E (a,2a ),B (2a,0),D (0,2a ),可得AE →＝(a,2a ),DB →＝(2a ,－2a ),若AE →·DB →＝－2,则2a 2－4a 2＝－2,解得a ＝1,所以BE →＝(－1,2),AE →＝(1,2),所以AE →·BE →＝3.答案:310.,在△ABC 中,AB →⊥AC →,M 是BC 的中点.(1)若|AB →|＝|AC →|,求向量AB →＋2AC →与向量2AB →＋AC →的夹角的余弦值;(2)若O 是线段AM 上任意一点,且|AB →|＝|AC →|＝2,求OA →·OB →＋OC →·OA →的最小值. 解:(1)设向量AB →＋2AC →与向量2AB →＋AC →的夹角为θ,。
《高考领航》2017届高三数学(理)二轮复习配套训练第1部分小题速解方略—争取高分的先机专题六解析几何第
专题六综合提升训练(六)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·广东实验中学测试)若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a＝()A．1 B.1 4C．2 D.1 2解析：选B.因为抛物线方程为x2＝1a y，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，14a，则有14a＝1，a＝14，所以选B.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为()A.x25－y220＝1 B.x225－y220＝1C.x220－y25＝1 D.x220－y225＝1解析：选A.因为圆x2＋y2－10x＝0的圆心为(5,0)，所以c＝5，又双曲线的离心率等于5，所以a＝5，b＝25，故选A.3．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为9π，则p＝()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B.∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3，又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝p2，∴p2＋p4＝3，解得p＝4.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝23，右焦点F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)在( ) A ．圆x 2＋y 2＝2上 B ．圆x 2＋y 2＝2内 C ．圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情况都有可能解析：选B.由题意知e ＝23，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba x 1x 2＝－ca，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a2＋2c a＝a 2－c 2a 2＋43＝73－c 2a 2＝179＜2，∴点P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内． 5．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝－bxa 对称，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B.52 C ．2D. 2解析：选A.由题意，过F 2(c,0)且垂直于y ＝－bx a 的直线方程为y ＝ab (x －c )，它与y＝－bx a 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，－ab c ，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c －c ，－2ab c ，∵点P 在双曲线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c －c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ab c 2b 2＝1，整理得c 2＝5a 2，∴c 2a 2＝5，∴e ＝c a＝5，选A. 6．(2016·山东聊城实验中学三诊)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C.由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·b sin B ＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.7．(2016·山东德州一模)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．5x ±3y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选A.抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，由n 2＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)，可得9a 2－24＝1(a ＞0)，解得a ＝35，故双曲线的渐近线方程为y ＝±53x ，即5x ±3y ＝0.故选A.8．(2016·重庆巴蜀中学月考)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为( ) A ．9,7 B ．8,7 C ．9,8D ．17,8解析：选B.由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )(－3≤x ≤3)，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，所以EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝x 29＋7，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8，故选B.9．(2016·河北唐山摸底)已知双曲线P ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交P 于B ，C 两点，记∠BAC ＝θ，若P 的离心率为2，则( ) A ．θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B ．θ＝π2 C ．θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，πD ．θ＝3π4解析：选 B.∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，∴b 2＝c 2－a 2＝a 2，∴双曲线方程可变形为x 2－y 2＝a 2.设B (x 0，y 0)，由对称性可知C (－x 0，y 0)，∵点B (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 20－y 20＝a 2.∵A (a,0)，∴AB →＝(x 0－a ，y 0)，AC →＝(－x 0－a ，y 0)，∴AB →·AC →＝(x 0－a )·(－x 0－a )＋y 20＝a 2－x 20＋y 20＝0， ∴AB →⊥AC →，即θ＝π2.故B 正确．10．(2016·甘肃张掖二模)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率为( ) A. 2 B. 5 C. 3D. 6解析：选B.取双曲线的其中一条渐近线：y ＝b a x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝bax ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pa 2b 2，y ＝2pab ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pa 2b 2，2pa b ，∵点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，∴p 2＋2pa 2b 2＝p ，∴a 2b 2＝14，∴双曲线C 2的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，故选B.11．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，且P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的倾斜角为120°，则|PF |＝( ) A ．2 B. 3 C ．4D.3＋1解析：选C.设A (xA ，yA )，P (xP ，yP )，易知xA ＝－1，依题意，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以tan 120°＝yA－1－1，所以yA ＝2 3.因为P A ⊥l ，所以yP ＝yA ＝23，代入抛物线方程y 2＝4x 中，得x P ＝3，所以|PF |＝|P A |＝3－(－1)＝4.故选C.12．已知双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，F 为其右焦点，A 1，A 2分别是实轴的左、右端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x ＝a 分别交于M ，N 两点，若FM →·FN →＝0，则a 的值为( ) A.169B.95C.259D.165解析：选B.∵双曲线x 29－y 216＝1，右焦点F (5,0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设P (x ，y )，M (a ，m )，N (a ，n )， ∵P ，A 1，M 三点共线，∴m a ＋3＝yx ＋3，m ＝y (a ＋3)x ＋3， ∵P ，A 2，N 三点共线，∴n a －3＝yx －3，∴n ＝y (a －3)x －3. ∵x 29－y 216＝1，∴x 2－99＝y 216，∴y 2x 2－9＝169.又FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －5，y (a ＋3)x ＋3，FN →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y (a －3)x －3，∴FM →·FN →＝(a －5)2＋y 2(a 2－9)x 2－9＝(a －5)2＋16(a 2－9)9，∵FM →·FN →＝0，∴(a －5)2＋16(a 2－9)9＝0，∴25a 2－90a ＋81＝0，∴a ＝95.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________．解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝414．已知椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝2，则∠F 1PF 2的正弦值为________．解析：在椭圆x 29＋y 22＝1中，a 2＝9，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝7，所以a ＝3，c ＝7.因为|PF 1|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6－2＝4，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝22＋42－(27)22×2×4＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°，sin ∠F 1PF 2＝sin 120°＝32.答案：3 215．已知过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点的直线m的斜率为ab，若原点到直线m的距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线的距离的2倍，则ab＝________.解析：设双曲线的右焦点为(c,0)，得直线m的方程为y＝ab(x－c)，即ax－by－ac＝0，原点到直线m的距离d1＝|－ac|a2＋b2＝a.右焦点到双曲线的一条渐近线y＝ba x的距离d2＝bca2＋b2＝b.因为d1＝2d2，所以a＝2b，ab＝2.答案：216．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，若△F1AB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝________.解析：由双曲线的定义有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，两式相加得|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a，又|AF1|＝|AB|，所以|BF1|＝4a，|AF1|＝22a，|AF2|＝22a－2a.在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝(22a)2＋(22a－2a)2，解得e2＝c2a2＝5－2 2. 答案：5－2 2。
《高考领航》2017届高三数学(文)二轮复习滚动训练2Word版含答案
专题一～三 滚动训练(二)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{－2,0,2}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N ＝( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{1}D ．{0}解析：选D.由x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，所以N ＝{0,1}，所以M ∩N ＝{0}，故选D.2．设i 是虚数单位，则复数z ＝5＋i1－i 的共轭复数z 为( )A ．2－3iB ．－2－3iC ．－2＋3iD ．2＋3i解析：选A.因为z ＝5＋i 1－i ＝(5＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选A. 3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝513，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－717 B.177 C.717D ．－177解析：选C.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π所以cos α＝－1213，所以tan α＝－512，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－512＋11＋512＝717，故选C.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选D.由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.5．已知O 是坐标原点，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点，则目标函数z ＝－x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．1C ．3D ．4解析：选D.作出点M (x ，y )满足的平面区域，如图所示，由图知当点M 为点C (0,2)时，目标函数z ＝－x ＋2y 取得最大值，即为－1×0＋2×2＝4，故选D. 6．阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的表达式为( )A ．i ≤3B ．i ≤4C ．i ≤5D ．i ≤6解析：选B.第一次循环，得S ＝3，i ＝2；第二次循环，得S ＝7，i ＝3；第三次循环，得S ＝15，i ＝4；第四次循环，得S ＝31，此时满足题意，输出的S ＝31，所以①处可填i ≤4，故选B.7．若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )解析：选B.由函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象可知，a ＝3，所以y ＝3－x ，y ＝(－x )3＝－x 3及y ＝log 3(－x )均为减函数，只有y ＝x 3是增函数，选B. 8．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －cos x ，则f (x )在0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象，可以看到其在0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在0,2π]上的零点个数为3，故选C. 9．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥1”是“x 2＋y 2≥2”的( )A ．即不充分又不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．充分不必要条件解析：选D.当x ≥1，y ≥1时，x 2≥1，y 2≥1，所以x 2＋y 2≥2；而当x ＝－2，y ＝－4时，x 2＋y 2≥2仍成立，所以“x ≥1且y ≥1”是“x 2＋y 2≥2”的充分不必要条件，故选D.10．已知等边△ABC 的边长为2，若BC →＝3BE →，AD →＝DC →，则BD →·AE →等于( ) A ．－2 B ．－103 C ．2D.103解析：选 A.如图所示，BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13AC →－13AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝16AC →2－23AB →2＝16×4－23×4＝－2，故选A.11．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －3)f ′(x )≤0，则必有( ) A ．f (0)＋f (6)≤2f (3) B ．f (0)＋f (6)＜2f (3) C ．f (0)＋f (6)≥2f (3) D ．f (0)＋f (6)＞2f (3)解析：选A.由题意知，当x ≥3时，f ′(x )≤0，所以函数f (x )在3，＋∞)上单调递减或为常数函数；当x ＜3时，f ′(x )≥0，所以函数f (x )在(－∞，3)上单调递增或为常数函数，所以f (0)≤f (3)，f (6)≤f (3)，所以f (0)＋f (6)≤2f (3)，故选A. 12．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∃x 2∈2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤0D ．a ≥0解析：选C.由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3≥g (x )min (x ∈2,3])，因为f (x )min ＝4，g (x )min＝4＋a ，所以4≥4＋a ，即a ≤0，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，x 12，x ＞0.若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是________．解析：在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝1，如图所示，它们相交于(－1,1)和(1,1)两点，由f (x 0)＞1，得x 0＜－1或x 0＞1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)14．(2016·陕西咸阳质检)观察下列特殊的不等式： 52－225－2≥2×72， 45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723， 98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125， 910－51095－55≥2×75， …由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b sa r －b r ≥________ .解析：52－225－2≥2×72＝21×⎝⎛⎭⎪⎫5＋222－1， 45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723＝52×⎝⎛⎭⎪⎫4＋325－2， 98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125＝83×⎝⎛⎭⎪⎫9＋228－3， 910－51095－55≥2×75＝105×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋5210－5，由以上特殊不等式，可以猜测，当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b s a r －b r ≥s r ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r. 答案：s r ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r15．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ，若a ＝－c cos(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是________．解析：由题意，得a ＝c cos B ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b22ac ，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形16．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，都有|f (x )|＜m ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，π6，所以 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈(－3，1]，所以|f (x )|＝|2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3|＜3，所以m ≥ 3.答案：3，＋∞)。
2017届高三数学(文)一轮复习课时活页作业2 含解析
课时活页作业(二）［基础训练组]1．(2015·高考山东卷)若m∈R，命题若“m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根,则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[解析]由逆否命题定义可得答案为D。
[答案] D2．(2016·温州调研）已知a，b∈R,则“a＝b”是“错误!＝错误!”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件［解析]已知a，b∈R，若a＝b＝－1，则错误!＝－1，错误!＝1,∴错误!≠错误!;反过来,若错误!＝错误!，则错误!2＝ab,（a＋b）2＝4ab，∴（a－b)2＝0，∴a＝b，因此，“a＝b”是“错误!＝错误!”的必要不充分条件．故选B。
[答案］ B3．(2014·新课标高考全国卷Ⅱ)函数f（x）在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0，q：x ＝x0是f（x）的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件[解析］函数在x＝x0处有导数且导数为0,x＝x0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x＝x0为函数的极值点,则函数在x＝x0处的导数一定为0，所以p是q的必要不充分条件．[答案] C4．命题“任意x∈[1,2］，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5[解析]命题“任意x∈[1,2］，x2－a≤0"为真命题的充要条件是a≥4。
故其充分不必要条件是集合[4,＋∞)的真子集,正确选项为C.［答案］ C5．（2016·日照模拟)已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2:ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为（）A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行D．若a≠1或a≠－1,则直线l1与l2平行[解析］命题“若A，则B"的否命题为“若¬A，则¬B”，显然“a＝1或a＝－1"的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行"的否定为“直线l1与l2不平行”．[答案] A6．若“x2＞1"是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．[解析］由x2＞1，得x＜－1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a"的必要不充分条件，知由“x＜a"可以推出“x2＞1”,反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.［答案]－17．若“x∈［2,5］或x∈｛x｜x＜1或x＞4}"是假命题，则x的取值范围是________．［解析］x∉［2，5]且x∉｛x|x＜1或x＞4}是真命题．由｛x＜2或x＞51≤x≤4，得1≤x＜2。
课时规范训练2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练2-8
课时规范训练[A 级 基础演练]1．(2016·湖南株洲一模)函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图像是( )解析：函数y ＝x sin x 是偶函数，所以其图像关于y 轴对称，排除D ；由x ＝π时，y ＝0，排除C ；由x ＝π2时，y ＝π2，排除B ，故选A.答案：A2．(2015·高考安徽卷)函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0解析：函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图像知－c ＞0， ∴c ＜0.令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图像知f (0)＞0，∴b ＞0. 令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图像知－ba ＞0，∴a ＜0.故选C. 答案：C3．(2016·江南十校联考)已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2＋|f 1(x )－f 2(x )|2，若a ，b ∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2＞0恒成立，则b －a 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：当f 1(x )≥f 2(x )时， g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2＋ f 1(x )－f 2(x )2＝f 1(x )；当f 1(x )＜f 2(x )时， g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2＋f 2(x )－f 1(x )2＝f 2(x )． 综上，g (x )＝ ⎩⎨⎧f 1(x )，f 1(x )≥f 2(x )f 2(x )，f 1(x )＜f 2(x ). 即g (x )是f 1(x )，f 2(x )两者中的较大者．在同一坐标系中，画出函数f 1(x )与f 2(x )的图像，则g (x )的图像如图中实线部分所示．由图可知g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (x )在[a ，b ]上单调递增，∴a ，b ∈[0,5]，故b －a 的最大值为5.答案：D4．函数f (x )＝|4x －x 2|－a 有四个零点，则a 的取值范围是________．解析：令y 1＝|4x －x 2|，y 2＝a ，则当a ＝4时，函数图像恰有三个不同的交点，如图所示，当a ∈(0,4)时，有四个不同的交点．答案：(0,4) 5．已知下列曲线：以下是编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号为________． 解析：按图像逐个分析，注意x ，y 的取值范围． 答案：④②①③6．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为________．解析：①f (x )＝x |x |＋c ＝⎩⎨⎧x 2＋c (x ≥0)－x 2＋c (x <0)，如图①，曲线与x 轴只有一个交点，所以方程f (x )＝0只有一个实数根，正确．②c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，显然是奇函数． ③当c ＝0，b <0时，f (x )＝x |x |＋bx ＝⎩⎨⎧x 2＋bx (x ≥0)－x 2＋bx (x <0).如图②，方程f (x )＝0可以有三个实数根．综上所述，正确命题的序号为①②. 答案：①②7．作出下列函数的图像 (1)y ＝2x ＋1－1；(2)y ＝x ＋2x －1解析：(1) 由y ＝2x 向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1.如图(1)．(1)(2)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图像，如图(2)．8．(2016·郑州模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式．解：(1)证明：设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图像上任一点， 则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)． 因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)]＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0， 所以P ′也在y ＝f (x )的图像上．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称． (2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 所以f (－x )＝－2x －1. 又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]． 当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]， 所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7，而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]． 所以f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].[B 级 能力突破]1．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 解析：由f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2得f (2－x ) ＝⎩⎨⎧2－|2－x |，x ≥0，x 2，x <0，所以y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎨⎧2－|x |＋x 2，x <0，4－|x |－|2－x |，0≤x ≤2，2－|2－x |＋(x －2)2，x >2，即y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ＋2，x <0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x >2.因为y ＝f (x )－g (x )＝f (x )＋f (2－x )－b ，所以y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点等价于方程f (x )＋f (2－x )－b ＝0有4个不同的解，即函数y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像有4个交点．如图所示，作出函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像．由图像可知，当b <74时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像没有交点； 当b ＝74时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像只有两个交点； 当74<b <2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像有4个交点；当b ＝2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像有无数个交点；当b >2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像只有两上交点． 所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2.选D.答案：D2．(2015·高考北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：根据图像知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃烧效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．答案：D3．不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，则a 的取值范围为( )A ．[165，94] B ．[165，94)C ．(1，165]D ．(1，94]解析：不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a >1，其整数解集为{}2，3，4，则应满足⎩⎨⎧log a 4>(4－1)2，log a 5≤(5－1)2，得165≤a <94，故选B. 答案：B4．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________．解析：如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)5．(2015·高考湖北卷)a 为实数，函数f (x )＝|x 2－ax |在区间[0,1]上的最大值记为g (a )．当a ＝__________时，g (a )的值最小．解析 对a 分类画出函数f (x )的图像，由图像确定函数的单调性，由单调性确定最大值g (a )，求出函数g (a )的解析式后，再确定g (a )最小时对应的a 的值．(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，函数f (x )在区间[0,1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝1. (2)当a <0时，函数f (x )的图像如图(1)所示，函数f (x )在区间[0,1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝1－a .(3)当0<a <1时，函数f (x )的图像如图(2)所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24，f (1)＝1－a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)＝a 24－(1－a )＝(a ＋2)2－84.①当0<a <22－2时，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)<0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<f (1)，所以g (a )＝f (1)＝1－a ；②当22－2≤a <1时，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)≥0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≥f (1)，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24.(4)当1≤a <2时，函数f (x )的图像如图(3)所示，因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，1上单调递减，故g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24.(5)当a ≥2时，函数f (x )的图像如图(4)所示，因为函数f (x )在区间[0,1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝a －1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，a <22－2，a 24，22－2≤a <2，a －1，a ≥2，当a <22－2时，g (a )>g (22－2)＝3－22；当22－2≤a <2时，g (a )≥g (22－2)＝3－22； 当a ≥2时，g (a )≥g (2)＝1>3－2 2. 综上，当a ＝22－2时，g (a )min ＝3－2 2. 答案：22－26．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是________．解析：f (x )＝⎩⎨⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x ＞0.作出函数f (x )的图像，如图所示．由图可知，当0＜m ＜14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，147．已知函数y ＝f (x )同时满足以下五个条件： (1)f (x ＋1)的定义域是[－3,1]； (2)f (x )是奇函数； (3)在[－2,0)上，f ′(x )>0； (4)f (－1)＝0；(5)f (x )既有最大值又有最小值．请画出函数y ＝f (x )的一个图像，并写出相应于这个图像的函数解析式． 解：由(1)知，－3≤x ≤1，－2≤x ＋1≤2，故f (x )的定义域是[－2,2]． 由(3)知，f (x )在[－2,0)上是增函数．综合(2)和(4)知，f (x )在(0,2]上也是增函数，且f (－1)＝－f (1)＝0，f (0)＝0. 故函数y ＝f (x )的一个图像如图所示，与之相应的函数解析式是f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1 －2≤x <00 x ＝0x －1 0<x ≤2.。
高考领航高2020届高2017级一轮人教理科数学全书学案第十一章
第一节 坐标系教材细梳理知识点1 伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ＞0)，y ′＝μ·y ，(μ＞0)，其中点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′). 知识点2 极坐标系与点的极坐标在如图极坐标系中,点O 是极点,射线O x 是极轴,θ为极角(通常取逆时针方向),ρ为极径(表示极点O 与点M 的距离),点M 的极坐标是M (ρ,θ).知识点3 直角坐标与极坐标的互化设M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x ,y )和(ρ,θ),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρc os θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).[拓展]常见曲线的极坐标方程1.(知识点3)下列极坐标方程表示圆的是( ) ⇐源自选修4－4P 15习题T 1 A.θ＝π2B.ρsin θ＝1C.ρ(sin θ＋cos θ)＝1D.ρ＝1答案:D2.(知识点3)已知点M 的直角坐标是(－1,3),则点M 的极坐标为______________. ⇐源自选修4－4P 15习题T 3答案:⎝⎛⎭⎫2，23π 3.(知识点3)在极坐标系中,圆ρ＝8sin θ 上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值是________. ⇐源自选修4－4P 15习题T 5答案:6考点一 伸缩变换[基础练通]1.曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y 后,对应曲线的方程为:x ′2＋y ′2＝1,求曲线C 的方程.解:曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，①后,对应曲线的方程为:x ′2＋y ′2＝1 ②,把①代入②得曲线C 的方程为x 24＋9y 2＝1.2.在同一平面直角坐标系中,求直线2x －y ＝4变成x ′－y ′＝2的伸缩变换.解:设其伸缩变换为φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)，则λx －μy ＝2,2λx －2μy ＝4,于是⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2，－2μ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝12.所以φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y . 故将直线2x －y ＝4上的所有点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的12,可得直线x ′－y ′＝2.3.求正弦曲线y ＝sin x 按φ:⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的函数解析式.解:(1)设点P (x ,y )为正弦曲线y ＝sin x 上的任意一点,在变换φ:⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′).即φ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′，代入y ＝sin x 得2y ′＝sin 3x ′,所以y ′＝12sin 3x ′,即y ＝12sin 3x 为所求.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x ),得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ,整理之后得到y ′＝h (x ′),即为所求变换之后的方程.[提醒] 应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x ,y )与变换后的坐标(x ′,y ′).考点二 极坐标与直角坐标的互化[探究变通][例1] (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程;(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.解:(1)由x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0),半径为2的圆.由题设知,C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时,点A 到l 1所在直线的距离为2,所以|－k ＋2|k 2＋1＝2,故k ＝－43或k ＝0.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点;当k ＝－43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k ＋2|k 2＋1＝2,故k ＝0或k ＝43.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点;当k ＝43时,l 2与C 2没有公共点.综上,所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.1.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程:将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.(2)极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.2.极角的确定由tan θ确定角θ时,应根据点P 所在象限取最小正角.(1)当x ≠0时,θ角才能由tan θ＝yx按上述方法确定.(2)当x ＝0时,tan θ没有意义,这时可分三种情况处理:当x ＝0,y ＝0时,θ可取任何值;当x ＝0,y ＞0时,可取θ＝π2;当x ＝0,y ＜0时,可取θ＝3π2.1.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1,则曲线C 的直角坐标方程为( ) A.3x ＋y －2＝0 B.x －3y －2＝0 C.3x －y －2＝0D.x ＋3y －2＝0解析:选D.由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1, 即ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π3＋sin θsin π3＝1, 也就是ρcos θ＋3sin θ＝2. 即x ＋3y ＝2.故选D.2.在极坐标系中,直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ,B 两点,求|AB |. 解:因为x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,所以直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0. 因为ρ＝2cos θ,所以ρ2(sin 2 θ＋cos 2 θ)＝2ρcos θ, 所以x 2＋y 2＝2x .所以圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. 因为圆心(1,0)在直线x －3y －1＝0上, 所以AB 为圆的直径,所以|AB |＝2.考点三 极坐标方程的应用[创新贯通][例2] (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM |·|OP |＝16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值. 解:(1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ＞0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1＞0). 由题设知|OP |＝ρ,|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB ＞0),由题设知 |OA |＝2,ρB ＝4cos α,于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时,S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.判断位置关系和求最值问题的方法1.已知极坐标方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程,化陌生为熟悉再进行解答.2.已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,比直角坐标系中求最值的运算量小.提醒:在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性.3.在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程;(2)直线OP :θ＝π6(ρ∈R)与圆C 交于点M ,N ,求线段MN 的长.解:(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为 x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0, 故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0.(2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0,得ρ2－2ρ－5＝0, 所以ρ1＋ρ2＝2,ρ1ρ2＝－5,所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝2 6.极坐标系下极径、极角的几何意义的应用极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形,从而求边长,求距离,求直线倾斜角等.[例3] 在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB |＝10,求l 的斜率.解:(1)由x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程 ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α,ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2 α－44. 由|AB |＝10得cos 2 α＝38,tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1.在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1,M ,N 分别为曲线C 与x 轴,y 轴的交点. (1)写出曲线C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐标; (2)设M ,N 的中点为P ,求直线OP 的极坐标方程. 解:(1)∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1, ∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.∴12x ＋32y ＝1.即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 令y ＝0,则x ＝2;令x ＝0,则y ＝233.∴M (2,0),N ⎝⎛⎭⎫0，233.∴M 的极坐标为(2,0),N 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)∵M ,N 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33, ∴P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R).2.在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x ＝－2,圆C 2:(x －1)2＋(y －2)2＝1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求C 1,C 2的极坐标方程;解:因为x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2,C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.3.(2018·安徽合肥二模)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程;(2)已知圆C 与x 轴交于A ,B 两点,直线l :y ＝2x 关于点M (0,m )(m ≠0)对称的直线为l ′,若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°,求实数m 的最大值.解:(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ,故x 2＋y 2－4x ＝0,即圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)l :y ＝2x 关于点M (0,m )的对称直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m ,易知AB 为圆C 的直径,故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点,故|4＋2m |5≤2,于是,实数m 的最大值为5－2.B 级 能力提升练4.圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4,且圆C 经过极点. (1)求圆C 的极坐标方程.(2)求过圆心C 和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.解:(1)圆心C 的直角坐标为(2,2),则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝r 2,依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4,故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4,化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sin θ＋cos θ)＝0,即ρ＝22(sin θ＋cos θ).(2)在圆C 的直角坐标方程x 2＋y 2－22(x ＋y )＝0中,令y ＝0,得x 2－22x ＝0,解得x ＝0或22,于是得到圆C 与x 轴的交点坐标(0,0),(22,0),由于直线过圆心C (2,2)和点(22,0),则该直线的直角坐标方程为y －0＝2－02－22(x －22),即x ＋y －22＝0.化为极坐标方程得ρcos θ＋ρsin θ－22＝0.5.(2018·洛阳模拟)在极坐标系中,曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ,ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数.(2)过极点O 作动直线与曲线C 2相交于点Q ,在OQ 上取一点P ,使|OP |·|OQ |＝2,求点P 的轨迹,并指出轨迹是什么图形.解:(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1,它表示圆心为(－1,0),半径为1的圆,C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0,所以曲线C 2为直线,由于圆心到直线的距离为d ＝32＞1,所以直线与圆相离,即曲线C 1和C 2没有公共点.(2)设Q (ρ0,θ0),P (ρ,θ),则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ，①因为点Q (ρ0,θ0)在曲线C 2上, 所以ρ0cos ⎝⎛⎭⎫θ0＋π3＝1,② 将①代入②,得2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1, 即ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程,化为直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝1, 因此点P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫12，－32为圆心,1为半径的圆.6.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π).解:(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t ,消去参数t ,化为普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25,即C 1:x 2＋y 2－8x－10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ,代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1,或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4,⎝⎛⎭⎫2，π2. 第二节 参数方程教材细梳理知识点1 曲线的参数方程在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F (x ,y )＝0叫普通方程. 知识点2 参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程:利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数.(2)普通方程化参数方程:如果x ＝f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y＝g (t ),则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).知识点3 常见曲线的参数方程与普通方程1.参数方程化普通方程(1)常用技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等. (2)常用公式:cos 2 θ＋sin 2 θ＝1,1＋tan 2 θ＝1cos 2 θ.2.直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1,M 2是l 上的两点,其对应参数分别为t 1,t 2,则(1)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ,则t ＝t 1＋t 22,中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.(3)若M 0为线段M 1M 2的中点,则t 1＋t 2＝0.四基精演练1.(知识点1)若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ⎝⎛⎭⎫参数θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2, ⇐源自选修4－4P 25例3则曲线C ( )A.表示直线B.表示线段C.表示圆D.表示半个圆答案:D2.(知识点2)已知点P (3,m )在以F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数) ⇐源自选修4－4P 39习题T 1上,则|PF |等于( ) A.4 B.3 C.2 D.5答案:A3.(知识点3)曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t (t 为参数)交点的个数为________. ⇐源自选修4－4P 39习题T 1答案:24.(知识点3)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________. ⇐源自选修4－4P 25例4答案:⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2 θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)考点一 参数方程与普通方程的互化[基础练通]1.把下列参数方程化为普通方程,(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数).(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ(θ为参数). 解:(1)由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1⇒0＜x ≤1或－1≤x ＜0.由⎩⎨⎧x ＝1t①，y ＝1tt 2－1 ②，①式代入②式得x 2＋y 2＝1.⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤1，0≤y ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0. (2)由x ＝2＋sin 2 θ,0≤sin 2 θ≤1 ⇒2≤2＋sin 2 θ≤3⇒2≤x ≤3,⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2 θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2 θ，y ＝－1＋1－2sin 2 θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2 θy ＝－2sin 2θ⇒2x ＋y －4＝0.(2≤x ≤3) 2.把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数),化为普通方程.解:因为x ＝2t 21＋t 2,所以y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t 2＝4－3x .又因为x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2＝2－21＋t 2∈[0,2),所以x ∈[0,2),所以所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2)). 3.将下列参数方程化为普通方程.(1)⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t)，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数).(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2 θ，y ＝2tan θ(θ为参数). 解:(1)由参数方程得e t ＝x ＋y ,e －t ＝x －y ,所以(x ＋y )(x －y )＝1,即x 2－y 2＝1. (2)因为曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2 θ ①，y ＝2tan θ ②，由y ＝2tan θ,得tan θ＝y2,代入①得y 2＝2x .考点二 参数方程的应用[探究变通][例1] (2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 解:(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时,l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α, 当cos α＝0时,l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α,故2cos α＋sin α＝0,于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.1.应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时,要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值,否则参数不具备该几何含义.2.圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.1.(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数),过点(0,－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 解:(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时,l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时,记tan α＝k ,则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1,解得k ＜－1或k ＞1,即α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2或α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. 综上,α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin αt 为参数,π4＜α＜3π4.设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P ＝t A ＋t B2,且t A ,t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α,t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ,y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数,π4＜α＜3π4).考点三 极坐标方程与参数方程的应用[创新贯通][例2] 在直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1:ρ2－4ρcos θ＋3＝0,θ∈[0,2π],曲线C 2:ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ,θ∈[0,2π]. (1)求曲线C 1的一个参数方程;(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ,B 两点,求|AB |的值.解:(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0可知:x 2＋y 2－4x ＋3＝0,所以(x －2)2＋y 2＝1. 令x －2＝cos α,y ＝sin α;所以C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α∈R).(2)C 2:4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3, 所以4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3,即2x －23y －3＝0,因为直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ,B 两点, 因为圆心到直线的距离为d ＝14,所以|AB |＝2·1－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152.极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略1.求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标系方程,然后求解.2.判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程,然后再作出判断.3.求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程,利用直角坐标方程来研究问题.2.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt ，(t 为参数),直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k ，(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.解:(1)①消去参数t 得直线l 1的普通方程为y ＝k (x －2), 消去参数m 得直线l 2的普通方程为x ＝－2＋ky , 消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0),所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0). ②l 3的直角坐标方程为x ＋y ＝2,联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x 2－y 2＝4，得⎩⎨⎧x ＝322，y ＝－22.所以ρ2＝x 2＋y 2＝184＋24＝5,所以l 3与C 的交点M 的极径为 5.引参、消参、用参数方程解决问题对于曲线方程f (x 、y )＝0,引入参数t 后,令x ＝g (t ),y ＝q (t )起到减元的作用,使问题更容易解决.[例3] 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率e ＝32,点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7,求椭圆的方程并求椭圆上到点P 距离等于7的点的坐标.解:设椭圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a ＞b ＞0,0≤θ＜2π),由e 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝34,∴b a ＝12得a ＝2b .设椭圆上点(x ,y )到P 的距离为d ,则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝a 2cos 2 θ＋⎝⎛⎭⎫b sin θ－322＝4b 2cos 2 θ＋b 2sin 2 θ－3b sin θ＋94＝3b 2(1－sin 2 θ)－3b sin θ＋b 2＋94＝－3b 2⎝⎛⎭⎫sin θ＋12b 2＋4b 2＋3 若12b ＞1,即b ＜12时,(7)2＝⎝⎛⎭⎫b ＋322,b ＝7－32＞12,不符. 若12b ≤1,即b ≥12时,此时sin θ＝－12b,d 2有最大值, 故有(7)2＝4b 2＋3,解得b ＝1,a ＝2.即椭圆方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12,cos θ＝±32,知所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，－12,⎝⎛⎭⎫3，－12.本题主要是应用椭圆的参数方程，将最值问题转化为二次函数在给定区间上的最值求解.限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1.(2018·湖南五市十校高三联考)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ－6sin θ,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数).(1)写出圆C 的直角坐标方程,并求圆心的坐标与半径;(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点P ,Q ,且|PQ |＝4,求直线l 的斜率. 解:(1)由ρ＝4cos θ－6sin θ,得ρ2＝4ρcos θ－6ρsin θ,将ρ2＝x 2＋y 2,ρcos θ＝x ,ρsin θ＝y 代入,可得x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0,即(x －2)2＋(y ＋3)2＝13,所以圆心的坐标为(2,－3),半径为13.(2)由直线l 的参数方程知直线l 过定点(4,0),且由题意知,直线l 的斜率一定存在. 设直线l 的方程为y ＝k (x －4). 因为|PQ |＝4,所以|2k ＋3－4k |k 2＋1＝3,解得k ＝0或k ＝－125.所以直线l 的斜率为0或－125. 2.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ,θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l :y ＝3x ＋2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.解:(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数,0≤t ≤π).(2)设D (1＋cos t ,sin t ).由(1)知C 是以G (1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan t ＝3,t ＝π3.故D 的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3,即⎝⎛⎭⎫32，32. 3.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＋2x －4＝0,曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t (t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)求曲线C 1与C 2交点的极坐标,其中ρ≥0,0≤θ＜2π.解:(1)依题意,将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2x －4＝0,可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t ，得y 2＝x ,将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式化简得ρsin 2 θ＝cos θ,故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0,曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2 θ＝cos θ. (2)将y 2＝x 代入x 2＋y 2＋2x －4＝0,得x 2＋3x －4＝0,解得x ＝1或x ＝－4(舍去), 当x ＝1时,y ＝±1,即C 1与C 2交点的直角坐标为A (1,1),B (1,－1). ∵ρA ＝2,ρB ＝2,tan θA ＝1,tan θB ＝－1,ρ≥0,0≤θ＜2π, ∴θA ＝π4,θB ＝7π4,故曲线C 1与C 2交点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫2，π4,B ⎝⎛⎭⎫2，7π4. 4.(2018·四川成都七中期中)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 上两点M ,N 的极坐标分别为(2,0),⎝⎛⎭⎫233，π2.(1)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的直角坐标方程; (2)判断直线l 与圆C 的位置关系.解:(1)M ,N 的直角坐标分别为(2,0),⎝⎛⎭⎫0，233,于是点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，33,所以直线OP 的直角坐标方程为y ＝33x ,即x －3y ＝0. (2)直线l 的方程为x ＋3y －2＝0, 圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝4, 圆心C (2,－3)到l 的距离d ＝32＜2,所以直线l 与圆C 相交.B 级 能力提升练5.(2018·河北承德实验中学期中)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数),在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)设直线l 与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,P 是圆C 上任一点,求A ,B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值.解:(1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t消去参数t ,得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2,所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2. 由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1,得ρcos θ－ρsin θ＝－2, 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴,y 轴的交点分别为A (－2,0),B (0,2),化为极坐标为A (2,π),B ⎝⎛⎭⎫2，π2, 设P 点的坐标为(－5＋2cos t,3＋2sin t ),则P 点到直线l 的距离d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝⎛⎭⎫t ＋π42,所以d min ＝42＝22,又|AB |＝22, 所以△P AB 面积的最小值为12×22×22＝4.6.(2018·广西桂林综合模拟金卷)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,圆C 的极坐标方程为ρ＝a sin θ,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数).(1)若a ＝2,M 是直线l 与x 轴的交点,N 是圆C 上一动点,求|MN |的最小值; (2)若直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍,求a 的值. 解:(1)当a ＝2时,圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ,可化为ρ2＝2ρsin θ, 化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0,即x 2＋(y －1)2＝1.直线l 的普通方程为4x ＋3y －8＝0,与x 轴的交点M 的坐标为(2,0), ∵圆心(0,1)与点M (2,0)间的距离为5, ∴|MN |的最小值为5－1. (2)ρ＝a sin θ可化为ρ2＝aρsin θ,∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a24. ∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍, ∴圆心到直线l 的距离为圆C 半径的一半,∴⎪⎪⎪⎪32a －842＋32＝12×|a |2,解得a ＝32或a ＝3211. 7.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数,t ≠0,其中0≤α＜π).在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ＝2sin θ,C 3:ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.解:(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(23cos α,α).所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时,|AB |取得最大值,最大值为4. 8.(2019·东北三省四市教研联合体模拟)在平面直角坐标系中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋4cos θ，y ＝4＋4sin θ(θ为参数),直线l 1的方程为kx －y ＋k ＝0,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 2的极坐标方程为cos θ－2sin θ＝4ρ. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 2的直角坐标方程;(2)若l 1与C 交于不同的两点M ,N ,MN 的中点为P ,l 1与l 2的交点为Q ,l 1恒过点A ,求|AP |·|AQ |. 解:(1)由曲线C 的参数方程消去参数,得曲线C 的普通方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝16,由cos θ－2sin θ＝4ρ,得ρcos θ－2ρsin θ＝4, 将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入,得直线l 2的直角坐标方程为x －2y －4＝0.(2)设M ,N ,Q 所对应的参数分别为t 1,t 2,t 3,由题意得直线l 1恒过点A (－1,0),故l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数), 代入曲线C 的普通方程得t 2＋4t (cos α－2sin α)＋4＝0,则t 1＋t 2＝4(2sin α－cos α), 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x －2y －4＝0, 整理得t 3＝5cos α－2sin α, 则|AP |·|AQ |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22·|t 3|＝2|2sin α－cos α|·⎪⎪⎪⎪5cos α－2sin α＝10.。
(新课标)高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2-2 函数的单调性与最值课时规范练 理(
2-2 函数的单调性与最值课时规X 练(授课提示：对应学生用书第219页)A 组 基础对点练1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( B ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( C ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |3．下列函数中，既是奇函数且在定义域内是增函数的为( D ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．ln 2＋x 2－x4．函数f (x )＝ln(x 2－3x ＋2)的递增区间是( D ) A ．(－∞，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(2，＋∞)解析：令t ＝x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)＞0，求得x ＜1或x ＞2，故函数的定义域为{x |x ＜1或x ＞2}，f (x )＝ln t ，由复合函数的单调性知本题即求函数t 在定义域内的增区间．结合二次函数的性质可得函数t 在定义域内的增区间为(2，＋∞)． 5．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( B ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)7．(2017·某某模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( C ) A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)8．(2018·某某二模)已知实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( D )A ．tan x ＞tan yB ．ln(x 2＋2)＞ln(y 2＋1) C.1x >1yD ．x 3＞y 3解析：根据题意，实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则x ＞y ，依次分析选项：对于A ，因为y ＝tan x 在其定义域上不是单调函数，故tan x ＞tan y 不一定成立，不符合题意；对于B ，若x ＞y ，则x 2＋2＞y 2＋2不一定成立，故ln(x 2＋2)＞ln(y 2＋1)不一定成立，不符合题意；对于C ，当x ＞y ＞0时，1x ＜1y，不符合题意；对于D ，函数y ＝x 3在R 上为增函数，若x ＞y ，必有x 3＞y 3，符合题意．9．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为( D ) A ．(－∞，1] B ．[1,2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)11．(2017·某某模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a的取值X 围是( B ) A ．(0,1)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥1，得13≤a <1. 12．函数f (x )＝x ＋2x －1的最小值为 12.解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.13．已知y ＝f (x )是定义在(－2,2)上的增函数，若f (m －1)<f (1－2m )，则m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，23.解析：依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2<m －1<2－2<1－2m <2m －1<1－2m⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－12<m <32m <23⇒－12<m <23.14．(2018·城关区校级模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋2，x ≥1，e x－1，x <1，若m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝f (f (ln 2))，则1m ＋2n的最小值为 3＋2 2.解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋2，x ≥1，e x－1，x <1，m ＋n ＝f [f (ln 2)]＝f (e ln 2－1)＝f (2－1)＝log 33＝1，则1m ＋2n＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2mn＝3＋22， 当且仅当n ＝2m 时，取得最小值3＋2 2.15．(2018·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤2，log 2x －1，x >2，则f (f (4))＝ 1 ；函数f (x )的单调递减区间是 [1,2] ． 解析：f (4)＝log 24－1＝1， ∴f (f (4))＝f (1)＝－12＋2×1＝1.x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ，对称轴为x ＝1，∴f (x )在[1,2]上单调递减． ∴f (x )的单调递减区间为[1,2]．B 组 能力提升练1．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 12a ≤2f (1)，则a 的取值X 围是( C )A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．3．(2017·某某阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( B ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数4．(2018·某某一模)已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0；②对定义域内任意x ，都有f (x )＝f (－x )，则符合上述条件的函数是( A )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x－xC ．f (x )＝ln|x ＋1|D ．f (x )＝cos x解析：由题意得f (x )是偶函数，在(0，＋∞)递增，对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1＞0，故f (x )在(0，＋∞)递增，符合题意；对于B ，函数f (x )是奇函数，不合题意；对于C ，由x ＋1＝0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不合题意；对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)无单调性，不合题意．5．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值X 围是( B ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32C ．[1,2)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：由题意知f ′(x )＝2x －12x＝2x ＋12x －12x ，易知函数f (x )在x ＝12处取得极值，所以有k －1<12<k ＋1，且k －1≥0，得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 6．(2018·铁东区校级一模)指数函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)在R 上是减函数，则函数g (x )＝a －2x 2在其定义域上的单调性为( C ) A ．单调递增 B ．单调递减C ．在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减D ．在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增 解析：∵指数函数f (x )＝a x在R 上是减函数， ∴0＜a ＜1，∴－2＜a －2＜－1，函数y ＝1x2在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．∴g (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增． 7．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a ＞1)，则( C ) A ．sgn[g (x )]＝sgn x B ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )] C ．sgn[g (x )]＝－sgn x D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]8．若f (x )＝e x －a e －x为奇函数，则f (x －1)＜e －1e 的解集为( A )A ．(－∞，2)B ．(－∞，1)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝lg(a x－b x)＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( B ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,10)D ．(10，＋∞)10．(2018·兴庆区校级三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1－b ，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1(a ＞0，a ≠1)，在其定义域上单调，则ab 的值不可能的是( D ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：由于函数f (x )在R 上单调，当x ＞1时，函数f (x )＝－log 2(x ＋1)单调递减，则当x ≤1时，函数f (x )＝a x －1－b 单调递减，所以0＜a ＜1，且a1－1－b ≥－log 2(1＋1)，即1－b ≥－1，解得b ≤2.当0＜b ≤2时，0＜ab ＜2；当b ≤0时，则ab ≤0.因此，ab ≠2，故选D.11．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x)＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( B ) A ．2 B ．4 C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x＋13x ＋2≥23x·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B.12．(2018·某某二模)已知函数f (x )＝(x ＋2 012)(x ＋2 014)(x ＋2 016)(x ＋2 018)，x ∈R ，则函数f (x )的最小值是 －16 解析：令x ＋2 012＝t ，t ∈R ，则y ＝t (t ＋2)(t ＋4)(t ＋6)＝(t 2＋6t )(t 2＋6t ＋8)＝(t 2＋6t )2＋8(t 2＋6t )＝(t 2＋6t ＋4)2－16，当t 2＋6t ＋4＝0，即t ＝－3±5时，取得最小值－16.13．(2017·某某东营广饶一中模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x ＞1是R 上的减函数，则a 的取值X 围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 . 解析：由函数f (x )为单调递减函数可得g (x )＝(3a －1)x ＋4a 在(－∞，1]上单调递减，函数h (x )＝log a x 在(1，＋∞)上单调递减，且g (1)≥h (1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，7a －1≥0，∴17≤a ＜13. 14．已知函数f (x )＝则f (f (3))＝ －3 ，函数f (x )的最大值是1 . 解析：f (3)＝3＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－(－1)2－2＝－3. 当x ＞1时，f (x )＝x 为减函数，可得f (x )<0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，最大值为1. 15．(2017·模拟)已知函数f (x )＝xx 2＋1，关于f (x )的性质，有下列四个结论：①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12； ③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中正确结论的个数是 3 . 解析：对于①，∵函数f (x )＝xx 2＋1，∴f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，故①正确； 对于②，当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x，若x ＞0，则0＜f (x )≤12，若x ＜0，则－12≤f (x )＜0；当x ＝0时，f (x )＝0，故f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，故②正确； 对于③，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，故③正确； 对于④，f ′(x )＝1－x2x 2＋12，令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜1，令f ′(x )＜0，解得x ＞1或x ＜－1，∴f (x )在区间(0,2)上先增后减，故④错误． 综上可知，正确结论的个数是3.。
《高考领航》2017届高三数学(理)二轮复习配套训练第2部分大题规范方略—抢占高考制高点专题一三角函数与
专题一 规范滚动训练(一)(用时40分钟，满分80分)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ＋b 的值．解：(1)由题意得3a 2c ＝sin A ，由正弦定理得3sin A 2sin C ＝sin A ，又sin A ≠0，∴sin C ＝32，又0°＜C ＜90°，∴C ＝60°.(2)∵S △ABC ＝12ab sin 60°＝3，∴ab ＝4.又c ＝2，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，即4＝a 2＋b 2－2ab ·12，即4＝(a ＋b )2－2ab －ab ， ∴(a ＋b )2＝4＋3ab ＝16，∴a ＋b ＝4.2．已知函数f (x )＝2cos πx ·cos 2φ2＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求φ的值及图中x 0的值；(2)将函数f (x )的图象上的各点向左平移16个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝2cos πx ·cos 2φ2＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ＝cos πx ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ2－1－sin πx ·sin φ＝cos πx ·cos φ－sin πx ·sin φ＝cos(πx ＋φ)．由题图可知，cos φ＝32，又0＜φ＜π2，所以φ＝π6.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6， 所以x 0＝53.(2)由(1)可知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，将图象上的各点向左平移16个单位长度得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍后得到g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象． 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π6≤πx ＋π3≤2π3. 所以当πx ＋π3＝0，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当πx ＋π3＝2π3，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b ，1)，n ＝(2a －c ，cos C )，且m ∥n .(1)若b 2＝ac ，试判断△ABC 的形状；(2)求y ＝1－2cos 2A 1＋tan A的值域． 解：(1)由已知，m ∥n ，则2b cos C ＝2a －c ，由正弦定理，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )－sin C ，即2sin B cos C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －sin C ，在△ABC 中，sin C ≠0，因而2cos B ＝1，则B ＝π3. 又b 2＝ac ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，因而ac ＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即(a －c )2＝0， 所以a ＝c ，△ABC 为等边三角形．(2)y ＝1－2cos 2A 1＋tan A＝1－2(cos 2A －sin 2A )1＋sin A cos A＝1－2cos A (cos A －sin A )＝sin 2A －cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4，其中A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3. 因而所求函数的值域为(－1，2]．4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，若A ＝π4，c ＝2，且锐角C 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6＝12，求△ABC 的面积S . 解：(1)由题意得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)由(1)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6－π3 ＝sin C ，所以sin C ＝12，又角C 为锐角，所以C ＝π6.由正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝sin π4sin π6＝2212＝2， 又c ＝2，所以a ＝2 2.又sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×22×2×6＋24＝1＋ 3.。
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课时规范训练[A 级 基础演练]1．(2016·济南质检)函数y ＝x (x －1)＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：由题意得⎩⎨⎧ x (x －1)≥0x ≥0，即⎩⎨⎧x ≤0或x ≥1，x ≥0.所以{x |x ≥1}∪{0}． 答案：C2．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：由已知有⎩⎨⎧0≤2x ≤2x －1≠0，得0≤x ＜1，∴定义域为[0,1)． 答案：B3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝2； 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4. 答案：C 4．函数y ＝1－x 2－3x ＋4＋ln(x ＋1)的定义域为________．解析：由⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.答案：(－1,1)5．函数y ＝x －x (x ≥0)的值域为________． 解析：y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，∴y max ＝14.故值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，146．函数y ＝f (x )的图像如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．解析：由图像知，函数y ＝f (x )的图像包括两部分，一部分是以点(－3,2)和(0,4)为两个端点的一条曲线段，一部分是以(2,1)为起点，到(3,5)结束的曲线段，故其定义域是[－3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]，只与x 的一个值对应的y 值的取值范围是[1,2)∪(4,5]．答案：[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 7．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝1－x －x ； (2)y ＝log 2(x 2－2x ＋1)； (3)解：(1)要使函数有意义，则⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0.∴0≤x ≤1，函数的定义域为[0,1]． ∵函数y ＝1－x －x 为减函数， 由1≥ x ≥0，得－1≤－ x ≤0， 又0≤1－x ≤1，所以－1≤y ≤1.∴函数的值域为[－1,1]． (2)要使函数有意义， 则x 2－2x ＋1>0，∴x ≠1， 函数的定义域为{x |x ≠1，x ∈R }， ∵x 2－2x ＋1∈(0，＋∞)， ∴函数的值域为R .(3)函数的定义域为{0,1,2,3,4,5}， 函数的值域为{2,3,4,5,6,7}．8．某公司招聘员工，连续招聘三天，应聘人数和录用人数符合函数关系y＝⎩⎨⎧4x ，1≤x ≤102x ＋10，10<x ≤100，1.5x ，x >100其中，x 是录用人数，y 是应聘人数．若第一天录用9人，第二天的应聘人数为60，第三天未被录用的人数为120.求这三天参加应聘的总人数和录用的总人数．解：由1<9<10，得第一天应聘人数为4×9＝36. 由4x ＝60，得x ＝15∉[1,10]； 由2x ＋10＝60，得x ＝25∈(10,100]； 由1.5x ＝60，得x ＝40<100. 所以第二天录用人数为25.设第三天录用x 人，则第三天的应聘人数为120＋x . 由4x ＝120＋x ，得x ＝40∉[1,10]； 由2x ＋10＝120＋x ，得x ＝110∉(10,100]； 由1.5x ＝120＋x ，得x ＝240>100. 所以第三天录用240人，应聘人数为360.综上，这三天参加应聘的总人数为36＋60＋360＝456， 录用的总人数为9＋25＋240＝274.[B 级 能力突破]1．函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)解析：∵16－4x ≥0且4x >0，∴0≤16－4x <16， ∴0≤16－4x <4，故选C. 答案：C2．(2014·高考上海卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]解析：∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.答案：D3．(2016·龙岩质检)已知函数f (x )＝log 12(4x －2x ＋1＋1)的值域是[0，＋∞)，则它的定义域可以是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]解析：依题意得0<4x －2x ＋1＋1≤1，即0<(2x －1)2≤1，∴－1<2x －1≤1且2x －1≠0，即0<2x ≤2且2x ≠1，∴x ≤1且x ≠0，可排除C 、D ；对于B ，当x ∈(0,1)时，f (x )∈(0，＋∞)，故选A.答案：A4．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b 为整数)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，得0≤|x |≤2.满足条件的整数数对有(－2,0)、(－2,1)、(－2,2)、(0,2)、(－1,2)，共5个．答案：55．(2016·北京东城测试)已知定义域为D 的函数y ＝f (x )，若对于任意x ∈D ，存在正数K ，都有|f (x )|≤K |x |成立，那么称函数y ＝f (x )是D 上的“倍约束函数”．已知下列函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4；③f (x )＝x 3－2x 2＋x ；④f (x )＝x 2x 2＋x ＋1(x >0)．其中是“倍约束函数”的是________．(将你认为正确的函数序号都填上) 解析：对于①，f (x )＝2x ，|2x |≤K |x |⇒K ≥2，故存在正数K ，对任意x ∈R ，都有|f (x )|≤K |x |成立，故①满足；对于②，如图，由函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4和y ＝K |x |的图像可知，无论K 取何正值，总存在x ∈(0，x 0)不满足不等式成立，故②不满足；对于③，若|f (x )||x |＝|x 2－2x ＋1|≤K 恒成立，需K ≥|x 2－2x ＋1|max ，但|x 2－2x ＋1|无最大值，故K 不存在，③不满足；对于④，|f (x )||x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2＋x ＋1|x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x 2＋x ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＋1x ＋1≤13，只需K ≥13即可，故④满足．综上，满足题意的为①④.答案：①④6．设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在[0,3]上的值域为________．解析：设x 1∈[0,1]，f (x 1)＝x 1＋g (x 1)∈[－2,5]．∵函数g (x )是以1为周期的函数，∴当x 2∈[1,2]时，f (x 2)＝f (x 1＋1)＝x 1＋1＋g (x 1)∈[－1,6]， 当x 3∈[2,3]时，f (x 3)＝f (x 1＋2)＝x 1＋2＋g (x 1)∈[0,7]． 综上可知，当x ∈[0,3]时，f (x )∈[－2,7]． 答案：[－2,7]7．(创新题)已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )． (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0， ∴2a 2－a －3＝0，∴a ＝－1或a ＝32. (2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0. ∴－1≤a ≤32. ∴a ＋3>0，∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32.∵二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.。