专题：五种基本作图的详细作图过程
五种基本作图
五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作已知线段的垂直平分线；
4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线；
1. 如下图，已知∠α及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ．
2. 如图（1），已知直线AB 及直线AB 外一点C ，过点C 作CD ∥AB （写出作法，画出图形）
3. 如下图，△ABC 中，a =5cm ，b =3cm ，c =3.5cm ，∠B =︒36，∠C =︒44，
请你从中选择适当的数据，画出与△ABC 全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．
．
4. 如下图，已知线段a ，b ，求作Rt △ABC ，使∠ACB =90°，BC =a ，AC =b （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．
5. 如图（1）所示，在图中作出点C ，使得C 是∠MON 平分线上的点，且AC =OC ．
6、如图作△ABC ，使得BC=a 、AC=b 、AB=c
7、如图，画一个等腰△ABC ，使得底边BC=a ，它的高AD=h
8、如图，已知∠AOB 及M 、N 两点，求作：点P ，使点P 到∠AOB 的两边距离相等，且到M 、N 的两点也距离相等。
c b a
a B O。
数学方法：初中几何五种作图的基本概念及技巧梳理汇总
数学方法：初中几何五种作图的基本概念及技巧梳理汇总一、基本概念1.尺规作图：在几何里，用没有刻度的直尺和圆规来画图，叫做尺规作图。
2.基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图。
3.五种常用的基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)平分已知角；(4)作线段的垂直平分线．(5)经过一点作已知直线的垂线4.掌握以下几何作图语句：(1)过点×、点×作直线××；或作直线××，或作射线××；(2)连结两点×、×；或连结××；(3)在××上截取××=××；(4)以点×为圆心，××为半径作圆（或弧）；(5)以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×；(6)分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点××；(7)延长××到点×，或延长××到点×，使××=××．5.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述就可以了，如：(1)作线段××=××；(2)作∠×××=∠×××；(3)作××（射线）平分∠×××；(4)过点×作××⊥××，垂足为×；(5)作线段××的垂直平分线××．二、五种基本作图方法演示：尺规作图的基本步骤和作图语言一、作线段等于已知线段：已知：线段a求作：线段AB，使AB＝a作法：。
五种基本的尺规作图
在建筑设计中，尺规作图被广泛 应用于绘制平面图、立面图和剖 面图等，以确保建筑的准确性和
美观性。
机械工程
在机械制图中，尺规作图是绘制精 确零件图和装配图的重要工具，有 助于提高机械制造的精度和效率。
艺术设计
在美术、设计等艺术领域，尺规作 图也被用于创作具有几何美感的作 品，展现出独特的艺术魅力。
技巧分享
分享一些在尺规作图中常用的技巧和注意事项，如如何准确确定切点、如何绘制 垂直直线等，以提高作图的准确性和效率。同时，也可以介绍一些在实际应用中 可能会遇到的特殊情况和处理方法。
06 综合应用与拓展
五种基本尺规作图的综合应用
作一条已知线段的垂直平分线
利用直尺和圆规，可以准确作出已 知线段的垂直平分线，这在几何作 图中非常有用。
技巧分享
在绘制大圆时，可以将圆规两脚间距离调整得稍大一些，以提高绘制效率；在绘制小圆时 ，则需要更加精细地调整圆规两脚间距离，以确保绘制出的圆足够准确。
注意事项
在实例演示和技巧分享中，要强调保持圆规两脚间距离不变的重要性，以及注意调整圆规 两脚间距离的方法。同时，还可以分享一些在绘制过程中可能遇到的问题和解决方法，例 如如何避免圆规针尖滑动导致绘制出的圆不准确等问题。
五种基本的尺规作图
目 录
• 五种基本尺规作图概述 • 直线与角平分线作图 • 垂直平分线与平行线作图 • 圆的作图 • 圆弧连接与切线作图 • 综合应用与拓展
01 五种基本尺规作图概述
定义与分类
定义
尺规作图是指使用无刻度的直尺和圆 规进行作图的方法，是几何学中的基 本作图技能之一。
分类
五种基本的尺规作图包括作一条线段 等于已知线段、作一个角等于已知角 、作已知角的平分线、作线段的垂直 平分线以及作已知线段的中点。
五种基本作图详细步骤
尺规作图的基本步骤和作图语言一、作线段等于已知线段已知：线段a求作：线段AB ，使AB ＝a 作法：1、作射线AC 2、在射线AC 上截取AB ＝a ，则线段AB 就是所要求作的线段二、作角等于已知角已知：∠AOB求作：∠A ′O ′B ′,使∠A ′O ′B ′=∠AOB.作法:(1)作射线O ′A ′.(2)以点O 为圆心,以任意长为半径画弧,交OA 于点C,交OB 于点D. (3)以点O ′为圆心,以OC 长为半径画弧,交O ′A ′于点C ′. (4)以点C ′为圆心,以CD 长为半径画弧,交前面的弧于点D ′. (5)过点D ′作射线O ′B ′. ∠A ′O ′B ′就是所求作的角.三、作角的平分线已知：∠AOB,求作：∠AOB 内部射线OC,使：∠AOC=∠BOC,作法：(1)在OA 和OB 上，分别截取OD 、OE ，使OD=OE ． (2)分别以D 、E 为圆心，大于的DE 21长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ． (3)作射线OC ．OC 就是所求作的射线．四、作线段的垂直平分线（中垂线）或中点已知：线段AB求作：线段AB 的垂直平分线 作法：(1) 分别以A 、B 为圆心，以大于AB 的一半为半径在AB 两侧画弧，分别相交于E 、F 两点 (2)经过E 、F ，作直线EF （作直线EF 交AB 于 点O ）直线EF 就是所求作的垂直平分线 （点O 就是所求作的中点）五、过直线外一点作直线的垂线. （1）已知点在直线外已知：直线a 、及直线a 外一点A.(画出直线a 、点A)求作：直线a 的垂线直线b ，使得直线b 经过点A. 作法：(1)以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交直线a 于点C 、D.(2)以点C 为圆心，以AD 长为半径在直线另一侧画弧.(3)以点D 为圆心，以AD 长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点B. (4)经过点A 、B 作直线AB.AB 就是所画的垂线b.(如图)（2）已知点在直线上已知：直线a 、及直线a 上一点A.求作：直线a 的垂线直线b ，使得直线b 经过点作法：(1) 以A 为圆心，任一线段的长为半径画弧， 交a 于C 、B 两点(2) 点C 为圆心，以大于CB (3) 以点B 为圆心，以同样的长为半径画弧， 两弧的交点分别记为M(4) 经过A 、M ，作直线AM 直线AMAO常用的作图语言：（1）过点×、×作线段或射线、直线；（2）连结两点××；（3）在线段××或射线××上截取××＝××；（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×；（6）延长××到点×，使××＝××。
最新初二数学 五种基本作图
初二数学 五种基本作图（一）基本概念1.尺规作图：在几何里，用没有刻度的直尺和圆规来画图，叫做尺规作图。
2.基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图。
3.五种常用的基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)平分已知角；(4)作线段的垂直平分线。
(5)经过一点作已知直线的垂线4.掌握以下几何作图语句：(1)过点×、点×作直线××；或作直线××，或作射线××；(2)连结两点×、×；或连结××；(3) 在××上截取××=××；(4)以点×为圆心，××为半径作圆（或弧）；(5)以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×；(6)分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点××；(7)延长××到点×，或延长××到点×，使××=××。
5.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述就可以了，如：(1)作线段××=××；(2)作∠×××=∠×××；(3)作××（射线）平分∠×××；(4)过点×作××⊥××，垂足为×；(5)作线段××的垂直平分线××。
专题02 尺规作图与最短路径(解析版)
专题02 尺规作图与最短路径几何中，用（无刻度）的直尺和圆规作图为尺规作图.一. 五种基本作图1. 作一条线段等于已知线段2. 作一个角等于已知角3. 作已知角的平分线（理论依据：SSS）4. 过一点（直线上或外）作已知直线的垂线5. 作已知线段的垂直平分线二. 尺规综合作图1. 已知三边作三角形2. 已知两边及夹角作三角形3. 已知两角及夹边作三角形三. 最短路径1. 单动点（P为直线l上一动点，P A+PB最小）2. 双动点（B、C为直线OM，ON上的动点，△ABC周长最小）其中，∠O=90°－12∠BAC. △ABC周长为A’A’’的长.3. 造桥选址【典例解析】【例1-1】（2020·庆云县月考）某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】解：如图所示：点P的位置就是饭馆的位置．【例1-2】（2019·舞钢市月考）小安的一张地图上有A，B，C3三个城市，地图上的C城市被墨污染了（如图），但知道∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，你能用尺规作图帮他在下图中确定C城市的具体位置吗？（不作法，保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】根据作一个角等于已知角的方法分别以AB为边，作∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，两个角的边的交点处就是C的位置．点C为所求的点.【变式1-1】（2020·丽水市莲都区教研室期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】A 【解析】解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；故答案为：A ．【变式1-2】（2019·河北南宫期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容：如图，已知AOB ∠，求作：DEF ∠，使DEF AOB ∠=∠．作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点P 、Q ；（2）作射线EG ，并以点E 为圆心，长为半径画弧交EG 于点D ； （3）以点D 为圆心，长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F ； （4）作，DEF ∠即为所求作的角．A ．表示点E B ．表示PQ C ．表示OQ D ．表示射线EF【答案】D【解析】作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点P 、Q ；（2）作射线EG ，并以点E 为圆心，OP 为半径画弧交EG 于点D ；（3）以点D 为圆心，PQ 长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F ；（4）作射线EF ，∠DEF 即为所求作的角．故答案为D ．【变式1-3】（2020·山东青岛期中）如图，AB 是某条河上的一座桥，现要在河的下游点C 处再建一座与AB 平行的桥CD ，请用直尺和圆规画出CD 的方向．【答案】见解析【解析】解：如图，线段CD 即为所求．【变式1-4】（2020·广州月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB ∠∠='''的依据是（ ）A ．S ．S ．SB ．S ．A ．SC ．A ．S ．AD ．A ．A ．S【答案】A 【解析】解：由作图知OC =O ’C ’，OD =O ′D '，CD =C ′D '，∴△OCD ≌△O ′C ′D ′，∴∠A ′O ′B ′=∠AOB ，判断依据为SSS ，故答案为：A ．【例2-1】（2020·曲阜月考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC 、AB 于点M 、N ；②分别以点M 和点N 为圆心、大于12MN 的长为半径作圆弧，在∠BAC 内，两弧交于点P ；③作射线AP 交边BC 于点D ，若CD =4，AB =15，则△ABD 的面积是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．60【答案】B 【解析】解：过D 作DE ⊥AB 于E ， AP 平分∠CAB ．∵AP 平分∠CAB ，∠C =90°，DE ⊥AB ，∴DE =DC =4，∴△ABD 的面积=12×AB ×DE =30 故答案为B ．【例2-2】（2020·广东广州月考）如图，△ABC 中，90C ∠=︒，AC =BC ．（1）用直尺和圆规作BAC ∠的平分线交BC 于点D （保留作图痕迹）（2）过点D 画△ABD 的边AB 上的高DE ，交线段AB 于点E ，若△BDE 的周长是5cm ，求AB 的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，AD 即为所作；（2）∵AD 平分∠BAC ，∠C =90°，DE ⊥AB ，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD AD CD DE=⎧⎨=⎩，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC，∵AC=BC，∴BC=AE，∵△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB，∴AB=5cm．【变式2-1】（2020·山东博山二模）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（）A．15°B．45°C．15°或30°D．15°或45°【答案】D【解析】解：（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，∴∠AOP=∠AOB=30°（2）两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC＝15°或45°，故答案为：D．【变式2-2】（2020·广东）如图，在锐角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm．（1）尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，DE为所作；（2）∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5（cm）．【变式2-3】（2020·山东省陵城区月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB=________．【答案】125°【解析】解：由题意可得：AD平分∠CAB，∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°，∴∠CAD=∠BAD=35°，∴∠ADB=180°﹣20°﹣35°=125°．故答案为125°．【变式2-4】（2020·长春月考）如图，依据尺规作图的痕迹，计算=α∠（ ）A ．56︒B ．68︒C ．22︒D ．34︒【答案】A 【解析】解：如图所示，AE 平分∠DAC ，EF ⊥AC ，∵∠ACB =68°，∴∠DAC =68°，∵AE 平分∠DAC ，∴∠DAE =∠EAC =34°，∵EF ⊥AC ，∴∠AEF ==α∠90°-34°=56°．故答案为A .【例3】（2020·禹城市期末）如图，等边ABC 中，D 为BC 边中点，CP 是BC 的延长线．按下列要求作图并回答问题：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（1）作ACP ∠的平分线CF ；（2）作60ADE ∠=︒，且DE 交CF 于点E ；（3）在（1），（2）的条件下，可判断AD 与DE 的数量关系是__________；请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）（2）尺规作图，如下图；（3）AD =DE ，连接AE ，∵等边△ABC 中，D 为BC 边中点，∴BD =CD ，∠ADB =∠ADC =90°，∵∠B =∠ADE =60°，∴∠BAD =∠EDC =30°，∵∠ACP =120°，CE 为∠ACP 的平分线，∴∠ACE =∠ECP =60°，∴∠DEC =30°，∴CE =CD =BD ，∴△ABD ≌△ACE ，∴AE =AD ，又∵∠ADE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AD =DE .【变式3-1】（2020·福建学业考试）如图，ABC ∆为一钝角三角形，且90BAC ∠>︒∆和等腰Rt EAC（要求：尺规作图，不写作法，保留作（1）分别以AB，AC为底向外作等腰Rt DAB图痕迹）⊥并证明．（2）已知P为BC上一动点，通过尺规作图的方式找出一点P，连接PD，PE，使得PD PE【答案】见解析.【解析】解：（1）如图所示；（2）如图所示，作线段BC的垂直平分线交BC于点P，则P点为所求．证明：延长DP使PF=PD，连接FC，EF∵P为BC中点，∴PB=PC又∵PD=PF，∠DPB=∠CPF∴△BDP≌△CFP∠AD =BD =CF ，∠PBD =∠PCF∴BD ∥CF∵AE =CE延长DG ，FC 交于点G∵BD ∥CF∴∠FGD =90°又∠AEC =90°∴∠EAG =∠ECG∴∠DAE =∠ECF又AE =CE ，AD =CF∴△AED ≌△CEF∴EF =ED∵P 为DF 中点∴DP ⊥PD【变式3-2】（2020·南京师范大学附属中学月考）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交BC 于点D ，则下列说法中：①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S =．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】解：①连接NP ，PM ，易证∠ANP∠∠AMP则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故∠正确；②∵∠C=90°，∠B=30°∠∠CAB=60°∠AD是∠BAC的平分线∠∠BAD=∠CAD=30°∠∠ADC=∠BAD+∠B=60°，故∠正确；③∵∠BAD=∠CAD=30°∠∠BAD=∠B∠AD=BD，即D在AB的垂直平分线上，故∠正确；④∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°∴AD=2CD∴BC=BD+CD=1.5AD，S△DAC=12AC·CD=14AC·AD∴S△ABC=12AC·BC=12AC·32AD=34AC·AD∴S△DAC：S△ABC=1：3，故④正确故答案为：D．【例4-1】（2020·长沙月考）在∠ABC中，∠A=50°，点O为∠ABC内一点，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N，点P为AM上一动点，点Q为AN上一动点，连接OP，OQ，PQ，当∠OPQ的周长最小时，∠POQ的度数为______度．【答案】80°【解析】解：作点O关于AC的对称点O’，作点O关于AB的对称点O’’，连结O’O’’，易知当O ’，P ，Q ，O ’’四点共线时，△OPQ 周长最小，最小值为O ’O ’’的长此时，∠A =90°－12∠POQ ∴∠POQ =180°－2∠A =80°；故答案为：80°.【例4-2】（2020·重庆期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6AB =，BD 是ABC 的角平分线，点P ，点N 分别是BD ，AC 边上的动点，点M 在BC 上，且1BM=，则PM PN +的最小值为___________．【答案】52． 【解析】解：作点M 关于BD 的对称点M ’，连接PM ’，则PM =PM ’，BM =BM ’=1，易知，当N ，P ，M ’共线时，且M ’N ⊥AC 时，PN +PM ’的最小值为线段M ’N 的长由∠A =30°，知M ’N =12AM ’=52， 故答案为：52.【变式4-1】（2020·江苏无锡二模）如图，一面镜子斜固定在地面OB 上，且60AOB ∠=︒点P 为距离地面OB 为8cm 的一个光源，光线射出经过镜面D 处反射到地面E 点，当光线经过的路径长最短为10cm 时，PD 的长为___________．【答案】4【解析】解：作点P 关于AO 的对称点P ’，当P ’E ⊥OB 时，光线经过的路径长最短，∠P ’E =10，过P 作PF ⊥P ’D 于F ，则P ’F =2，又∠AOB =60°∴∠ODE =30°，∴∠P ’DA =∠PDA =30°，∠P ’DP =60°，PD =P ’D∴△PP ’D 为等边三角形，∴P ’F =DF =2，PD =P ’D =4故答案为：4.【变式4-2】（2020·宜兴市月考）如图，P 为AOB ∠内一定点，M ，N 分别是射线,OA OB 上的点，当PMN周长最小时，80MPN ∠=︒，则AOB ∠=_________．【答案】50°【解析】解：作P 关于OA ，OB 的对称点P 1、P 2，连接OP 1，OP 2，P 1P 2．则当M ，N ，P 1、P 2共线时，△PMN 的周长最小．易知，∠AOB =90°－12∠MPN =50°. 故答案为：50°.【习题专练】1. （2020·南京月考）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有_________________个．【答案】4【解析】解：如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个． 故答案为4．2.（2020·江阴市月考）在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，且顶点在格点上，在ABC △内部有E 、F 、G 、H 四个格点，到ABC △三个顶点距离相等的点是（ ）A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B【解析】解：∠到∠ABC三个顶点距离相等，∠该点是三角形三边垂直平分线的交点，根据网格作AC、BC的垂直平分线，可得交点为F，故答案为：B．3.（2020·洛阳市二模）如图，在ABC中，AB＝4，AC＝9，BC＝11，分别以点A，B为圆心，大于12 AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则MAN的周长为（）A．9B．10C．11D．13【答案】C【解析】解：由作图可知，DE垂直平分线段AB，PQ垂直平分线段AC，∠MA＝MB，NA＝NC，∠∠AMN的周长＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝11．故答案为：C ．4.（2020·河南一模）如图，在平行四边形ABCD 中，6AB =，8AD =，120BAD ∠=︒，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点P 、Q ，作直线PQ ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，则CF 的长为_______．【答案】2.【解析】解：由题意可得，AB ⊥OP ，AE =BE =3∵BC =AD =8，∠B =60°∴∠BFE =30°，∠BEF =90°∴BF =2BE =6∴CF =8-6=2故答案为：2.5．（2020·宜兴市月考）如图，在∠ABC 中，AB ＞AC ．按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；作直线MN 交AB 于点D ；连结CD ．若AB =6，AC =4，则∠ACD 的周长为 ．【答案】10．【解析】解：易知直线MN 是线段BC 的垂直平分线，∴BD =CD ，∴BD +AD =CD +AD =AB ，∵AB =6，AC =4，∴△ADC 的周长=（CD +AD ）+AC =AB +AC =6+4=10．故答案为10．6.（2020·商城县第二中学月考）如图，已知∠AOB（1）尺规作图：作出∠AOB的角平分线OP，补充完整作图步骤，（保留作图痕迹）①____________________________分别交OA、OB于F，E两点；②____________________________，两条圆弧交于点P；③____________________________即为所求．（2）过点F作FD∥OB交OP于点D，FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD．【答案】见解析.【解析】解：(1)如下图所示：①以O点为圆心，任意长为半径作圆弧分别交OA、OB于F，E两点；②分别以E、F为圆心，大于二分之一EF长为半径作两段圆弧两条圆弧交于点P；③作射线OP，则射线OP即为所求．故答案为：以O点为圆心，任意长为半径作圆弧；分别以E、F为圆心，大于二分之一EF长为半径作两段圆弧；作射线OP，则射线OP；(2)根据题意，作出如下图所示：由(1)知，OP是∠AOB的角平分线，∴∠2=∠3，又FD∥OB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴△FMO≌△FMD．7．（2019·广东阳山期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，王师傅开车在一条公路上经过点B和点C处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向AB相同．已知第一次的拐角为∠ABC，请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角∠BCD．【答案】见解析．【解析】解：由题意得：AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC则∠BCD即为所求作．8．（2020·陕西清涧期末）如图，直线AB与BC相交于点B，D是直线BC上一点，请用尺规求作一点E，DE AB，且点E到B，D两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）使直线//【答案】见解析【解析】解：如图，点E即为所求．9．（2020·北京月考）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∠l作法：如图∠在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．∠连接AC，AB，延长BA到点D；∠作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线根据小星同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∠AB＝AC，∠∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）∠∠DAC是∠ABC的外角，∠∠DAC ＝∠ABC +∠ACB （填推理的依据）∠∠DAC ＝2∠ABC∠AP 平分∠DAC ，∠∠DAC ＝2∠DAP∠∠DAP ＝∠ABC∠AP ∠l （填推理的依据）【答案】见解析．【解析】解：（1）如图所示，直线AP 即为所求．（2）证明：∠AB ＝AC ，∠∠ABC ＝∠ACB （等边对等角），∠∠DAC 是∠ABC 的外角，∠∠DAC ＝∠ABC +∠ACB （三角形外角性质），∠∠DAC ＝2∠ABC ，∠AP 平分∠DAC ，∠∠DAC ＝2∠DAP ，∠∠DAP ＝∠ABC ，∠AP ∠l （同位角相等，两直线平行），故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．10．（2020·辽宁昌图期末）已知三角形的两角及夹边，求作这个三角形（保留痕迹，不写作法） 已知：,αβ∠∠ ， 线段c ，求作ABC ∆，使,,A B AB c αβ∠=∠∠=∠=【答案】见解析．【解析】解：∠ABC为所求作11．（2020·北京期末）尺规作图之旅下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．（作图原理）在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的画×．（1）过一点作一条直线．()（2）过两点作一条直线．()（3）画一条长为3㎝的线段．()（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．()（回顾思考）还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程． 已知：∠AOB ．求作：A O B '''∠使A O B AOB '''∠=∠作法：（1）如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；（3）以点C '为圆心，____________________；（4）过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠．说理：由作法得已知：,,OC O C OD O D CD C D ''''''===求证：A O B AOB '''∠=∠证明：OC O C OD O D CD C D ''''=⎧⎪=⎨⎪=''⎩OCD O C D '''∴∆≅∆( )所以A O B AOB '''∠=∠( )（小试牛刀）请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线l 与直线外一点A ．求作：过点A 的直线l '，使得//l l '．（创新应用）现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．【答案】见解析．【解析】解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作；（2）过两点作一条直线．可以求作；（3）画一条长为3cm的线段．不可以求作；（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；故答案为：√，√，×，√；[回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’；（3）以点C′为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．说理：由作法得已知：OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，求证：∠A′O′B′＝∠AOB．证明：在∠OCD 和∠O ′C ′D ′中, OC O C OD O D CD C D ''''⎧⎪'⎪'⎨⎩＝＝＝，∠∠OCD ∠∠O ′C ′D ′（SSS ），∠∠A ′O ′B ′＝∠AOB （全等三角形的对应角相等），故答案为：以C ′为圆心，CD 长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D ′，SSS ，全等三角形的对应角相等；[小试牛刀]：如图，直线l ′即为所求（方法不唯一），；[创新应用]：如图所示（答案不唯一）.．12．（2020·山东安丘月考）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点坐标分别是()2,3A -，()1,1B m -，()1,2C -，点B 关于x 轴的对称点P 的坐标为()3,2n --．（1）求m ，n 的值；（2）画出ABC ，并求出它的面积；（3）画出与ABC 关于y 轴成轴对称的图形111A B C △，并写出111A B C △各个顶点的坐标． （4）在y 轴上找一点Q ，使QA QB +最小（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【解析】解:（1）B 、P 两点关于x 轴对称，∠1321m n -=-⎧⎨-=-⎩，解得：21m n =-⎧⎨=⎩． （2）()1111125435212222ABC S =⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=△． （3）如图， ()12,3A ，()13,1B ，()1,2C --．（4）连结A 1B 交y 轴于点Q ，则Q 为求．13.（2020·宜兴市月考）现有三个村庄A ，B ，C ，位置如图所示，线段AB ，BC ，AC 分别是连通两个村庄之间的公路．现要修一个水站P ，使水站不仅到村庄A ，C 的距离相等，并且到公路AB ，AC 的距离也相等，请在图中作出水站P 的位置．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）【答案】见解析【解析】解：如图所示：14.（2020·滨州渤海中学月考）尺规作图：如图，某地有两个工厂M、N和两条相交又的公路a，b现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两个工厂的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．(保留作图痕迹)．【答案】见解析.【解析】解：如图所示：点P、P′即为所求．15.（2020·南京师范大学附属中学树人学校月考）如图，已知ABC（AC AB BC），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）；∠=∠；（1）如图1，在AB边上寻找一点M，使AMC ACB+=．（2）如图2，在BC边上寻找一点N，使得NA NB BC【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：（1）；（2）．16.如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交AC 于M ． （1）若70B ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）连接MB ，若8AB cm =，MBC △的周长是14cm ．∠求BC 的长；∠在直线MN 上是否存在点P ，使由P ，B ，C 构成的PBC 的周长值最小？若存在，标出点P 的位置并求PBC 的周长最小值；若不存在，说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠AB ＝AC ，∠∠B ＝∠C ＝70°，∠∠A ＝180°－70°－70°＝40°∠MN 垂直平分AB 交AB 于N∠MN ∠AB , ∠ANM ＝90°，在∠AMN 中，∠NMA ＝180°－90°－40°＝50°；（2）∠如图所示，连接MB ，∠MN 垂直平分AB 交于AB 于N∠AM ＝BM ，∠∠MBC 的周长＝BM ＋BC ＋CM ＝AM ＋BC ＋CM ＝BC ＋AC ＝14cm又∠AB＝AC＝8cm，∠BC＝14 cm－8 cm＝6cm；∠如图所示，∠MN垂直平分AB，∠点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点P与点M重合；∠∠MBC的周长就是∠PBC周长的最小值，∠∠PBC周长的最小值＝∠MBC的周长＝14 cm．。
中考复习----五种基本尺规作图
D
A
C
B
l
②.如图，如果点C不在直线l上，应采取怎样的步骤，过 点C画出直线l的垂线？
图 24.4.10
A D
B
五种基本作图：
►做一条线段等于已知线段
►做一个角等于已知角
►做一条线段的垂直平分线
►做一个角的角平分线
►过一点做已知线段的垂线
构扒初中
魏利
做一条线段等于已知线段
做一个角等于已知角
五种 基本 作图
做一条线段的垂直平分线
做一个角的角平分线
过一点做已知线段的垂线
1.作一条线段等于已知线段
已知：线段AB． 求作：线段A′B′， 使A′B′＝AB． 作法与示范：
A B
A′
B′
C′
2、作一个角等于已知角
已知： ∠AOB。
求作： ∠A`O`B`,使∠A`O`B`= ∠AOB。
B
D D`
B`
O
C
A
O`
C`
A`
3、画已知线段的垂直平分线
已知：线段AB。
求作：O.
C A B
D
4、平分已知角
►已知： ∠AOB。
►求作：射线OC，使
∠
AOC= ∠ BOC。
B
E
C
O
D
A
5.过定点作已知直线的垂线
中考数学题型解析与技巧点拨 专题五 尺规作图解题技巧(教师版学生版）
专题五 中考数学中的尺规作图解题技巧只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹.从各省市的中考来看，尺规作图题在选择题填空题和解答题都有考到，题目比较丰富，占的分值有3分，4分或者6分。
难度一般。
熟记下面五种基本的尺规作图，此类问题可破解。
五种基本尺规作图作一条线段等于已知线段步骤：1.作射线OP ； 2.在OP 上截取OA=a ，OA 即为所求线段作角的平分线步骤：1.以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点N 、M ； 2.分别以点M 、N 为圆心，大于21MN 的长为半径作弧，相交于点P ；3.画射线OP,OP 即为所求角平分线作线段的垂直平分线步骤：1.分别以点A 、B 为圆心，以大于21AB 的长为半径，在AB 两侧作弧；2.连接两弧交点所成直线即为所求线段的垂直平分线作一个角等于已知角步骤：1.在∠α上以点O 为圆心、以适当的长为半径作弧，交∠α的两边于点P 、Q ； 2.作射线O′A ；3.以O′为圆心、OP 长为半径作弧，交O′A 于点M ；4.以点M 为圆心，PQ 长为半径作弧，交前弧于点N ；5.过点N 作射线O′B ，∠BO′A 即为所求角 过一点作已知直线的垂线过直线外一点作已知直线的垂线步骤：1.在直线另一侧取点M ； 2.以P 为圆心，以PM 为半径画弧,交直线于A 、B 两点； 3.分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，交M 同侧于点N ；4. 连接PN,则直线PN 即为所求垂线过直线上一点作已知直线的垂线步骤：1.以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，交直线于A、B两点；2.分别以点A、B为圆心，以大于21AB长为半径向直线两侧作弧，交点分别为M、N；3.连接MN，MN即为所求垂线类型一：选择题中的尺规作图【例题展示】例题1（2017深圳市）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．【点评】基本作图；线段垂直平分线的性质．例题2（2018江苏省南通市）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC 于点E 、F ，再分别以E 、F 为圆心，大于21EF 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ，若∠ACD=110°，则∠CMA 的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．70°D ．45°【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出∠CAM=∠BAM=35°，即可得出答案． 【解答】解：∵AB ∥CD ，∠ACD=110°， ∴∠CAB=70°，∵以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ，再分别以E 、F 为圆心，大于21EF 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ， ∴AP 平分∠CAB ， ∴∠CAM=∠BAM=35°， ∵AB ∥CD ，∴∠CMA=∠MAB=35°． 故选：B ．【点评】此题主要考查了基本作图以及平行线的性质，正确得出∠CAM=∠BAM 是解题关键．例题3（2018湖北省襄阳市）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于21AC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 分别交BC ，AC 于点D ，E ．若AE=3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的周长为（ ）A ．16cmB ．19cmC ．22cmD ．25cm【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题． 【解答】解：∵DE 垂直平分线段AC ，∴DA=DC ，AE=EC=6cm ， ∵AB+AD+BD=13cm ， ∴AB+BD+DC=13cm ，∴△ABC 的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm ， 故选：B ．【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．例题4（2018山东省潍坊市）如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是：（1）作线段AB,分别以A,B 为圆心,以AB 长为半径作弧,两弧的交点为C ； （2）以C 为圆心,仍以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D ； （3）连接BD,BC下列说法不正确的是( )A.∠CBD=30°B.C. 点C 是△ABD 的外心D.【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；【解答】解：由作图可知：AC=AB=BC ， ∴△ABC 是等边三角形， 由作图可知：CB=CA=CD ，∴点C 是△ABD 的外心，∠ABD=90°， BD= AB ， ∴S △ABD = AB 2， ∵AC=CD ， ∴S △BDC = AB 2， 故A 、B 、C 正确，243AB S BDC =∆1cos sin 22=+D A 32343故选D ．【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【跟踪训练】1.（2018湖北省宜昌市）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2.（2018贵州省安顺市） 已知△ABC(AC<BC)，用尺规作图的方法在BC 上确定一点，使PA+PC=BC ，则符合要求的作图痕迹是（ ）A. B.C. D.3.（2018河南省）如图，已知平行四边形AOBC 的顶点O （0，0），A （﹣1，2），点B 在x 轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA ，OB 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于21DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点F ；③作射线OF ，交边AC 于点G ，则点G 的坐标为（ ）A ．（5﹣1，2）B ．（5，2）C ．（3﹣5，2）D ．（5﹣2，2）4．（2018云南省昆明市）如图，点A 在双曲线xky =（x ＞0）上，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，分别以点O 和点A 为圆心，大于21OA 的长为半径作弧，两弧相交于D ，E 两点，作直线DE 交x 轴于点C ，交y 轴于点F （0，2），连接AC ．若AC=1，则k 的值为（ ）A ．2B ．2532 C ．534 D ．5252+ 5.（2018浙江省台州市）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2，BC=3．以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点P ，Q 为圆心，大于21PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA 的延长线于点E ，则AE 的长是（ ）A ．21 B ．1 C ．56 D ．23 6．（2018江苏省南通市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，按下列步骤作图：步骤1：分别以点C 和点D 为圆心，大于21CD 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点； 步骤2：作直线MN ，分别交AC ，BC 于点E ，F ； 步骤3：连接DE ，DF ．若AC=4，BC=2，则线段DE 的长为（ ）A ．35 B ．23 C ．2 D ．34 7.（2018四川省巴中）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B 为圆心，适当长为半径画弧，与AB ，BC 分别交于点D ，E ；②分别以D ，E 为圆心，大于21DE 的长为半径画弧，两弧交于点P ；③作射线BP 交AC 于点F ；④过点F 作FG ⊥AB 于点G ．下列结论正确的是（ ）A ．CF=FGB ．AF=AGC ．AF=CFD ．AG=FG8.（2018云南省曲靖市）如图，在正方形ABCD 中，连接AC ，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 、AC 于点M ，N ，分别以M ，N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，两弧交于点H ，连结AH 并延长交BC 于点E ，再分别以A 、E 为圆心，以大于AE 长的一半为半径画弧，两弧交于点P ，Q ，作直线PQ ，分别交CD ，AC ，AB 于点F ，G ，L ，交CB 的延长线于点K ，连接GE ，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE ∥AB ，③tan ∠CGF=LBKB，④S △CGE ：S △CAB =1：4．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④类型二：填空题中的作图题【例题展示】1.（2018江苏省南京市）如图，在△ABC 中，用直尺和圆规作AB 、AC 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于点D 、E ，连接DE ．若BC=10cm ，则DE= cm ．【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出DE 是△ABC 的中位线，进而得出答案． 【解答】解：∵用直尺和圆规作AB 、AC 的垂直平分线， ∴D 为AB 的中点，E 为AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=BC=5cm ．故答案为：5．【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确得出DE 是△ABC 的中位线是解题关键．2.（2018山东省东营市）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，以顶点C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于21EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线CP 交AB 于点D ．若BD=3，AC=10，则△ACD 的面积是 ．【分析】作DQ ⊥AC ，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得． 【解答】解：如图，过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，由作图知CP 是∠ACB 的平分线， ∵∠B=90°，BD=3， ∴DB=DQ=3， ∵AC=10， ∴S △ACD =21AC •DQ=21×10×3=15， 故答案为：15．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．3.（2018江苏省淮安市）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A 、B 为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ，则CD 的长是 ．【分析】连接AD 由PQ 垂直平分线段AB ，推出DA=DB ，设DA=DB=x ，在Rt △ACD 中，∠C=90°，根据AD 2=AC 2+CD 2构建方程即可解决问题； 【解答】解：连接AD ．∵PQ 垂直平分线段AB ， ∴DA=DB ，设DA=DB=x ，在Rt △ACD 中，∠C=90°，AD 2=AC 2+CD 2， ∴x 2=32+（5﹣x ）2， 解得x=517， ∴CD=BC ﹣DB=5﹣517=58， 故答案为58． 【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4.（2018吉林省长春市）如图，在△ABC 中，AB=AC ．以点C 为圆心，以CB 长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点D ，连结BD ．若∠A=32°，则∠CDB 的大小为 度．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC 中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD 中可求得∠CDB=∠CBD=21∠ACB=37°． 【解答】解：∵AB=AC ，∠A=32°， ∴∠ABC=∠ACB=74°， 又∵BC=DC ， ∴∠CDB=∠CBD=21∠ACB=37°． 故答案为：37．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．【跟踪训练】1.（2018辽宁省葫芦岛市）如图，OP 平分∠MON ，A 是边OM 上一点，以点A 为圆心、大于点A 到ON 的距离为半径作弧，交ON 于点B 、C ，再分别以点B 、C 为圆心，大于21BC 的长为半径作弧，两弧交于点D 、作直线AD 分别交OP 、ON 于点E 、F ．若∠MON=60°，EF=1，则OA= ．2.（2018辽宁省抚顺市）如图，平行四边形ABCD 中，AB=7，BC=3，连接AC ，分别以点A 和点C 为圆心，大于21AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交CD 于点E ，连接AE ，则△AED 的周长是 ．3.（2018内蒙古通辽市）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，以大于21AC 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，连接AD ．若AB=BD ，AB=6，∠C=30°，则△ACD 的面积为 ．4.（2018湖北省枣阳市一模）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=32°．分别以A 、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交于点D 和E ，连接DE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠AFC 的度数为 ．类型三：解答题中的作图题 【例题展示】例题1（2018广东省 6分）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，∠CBD=75°，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF ，求∠DBF 的度数．【分析】（1）分别以A 、B 为圆心，大于21AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据∠DBF=∠ABD ﹣∠ABF 计算即可； 【解答】解：（1）如图所示，直线EF 即为所求；（2）∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=21∠ABC=75°，DC ∥AB ，∠A=∠C ． ∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°， ∴∠C=∠A=30°， ∵EF 垂直平分线线段AB ， ∴AF=FB ，∴∠A=∠FBA=30°，∴∠DBF=∠ABD ﹣∠FBE=45°．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．例题2（2018深圳市8分）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE 中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C 为圆心，以任意长为半径作AD ，再分别以点A 和点D 为圆心，大于21AD 长为半径作弧，交EF 于点B ，AB ∥CD ．（1）求证：四边形ACDB 为△FEC 的亲密菱形； （2）求四边形ACDB 的面积．【分析】（1）根据折叠和已知得出AC=CD ，AB=DB ，∠ACB=∠DCB ，求出AC=AB ，根据菱形的判定得出即可；（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可． 【解答】（1）证明：∵由已知得：AC=CD ，AB=DB ， 由已知尺规作图痕迹得：BC 是∠FCE 的角平分线， ∴∠ACB=∠DCB ， 又∵AB ∥CD ， ∴∠ABC=∠DCB ， ∴∠ACB=∠ABC ， ∴AC=AB ，又∵AC=CD ，AB=DB ，∴AC=CD=DB=BA ∴四边形ACDB 是菱形，∵∠ACD 与△FCE 中的∠FCE 重合，它的对角∠ABD 顶点在EF 上， ∴四边形ACDB 为△FEC 的亲密菱形； （2）解：设菱形ACDB 的边长为x ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CE ，∴∠FAB=∠FCE ，∠FBA=∠E ， △EAB ∽△FCE则：CE ABFC FA =， 即6x 612x -=， 解得：x=4，过A 点作AH ⊥CD 于H 点， ∵在Rt △ACH 中，∠ACH=45°， ∴AH=222=AC，∴四边形ACDB 的面积为：428224=⨯．【点评】本题考查了菱形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出四边形ABCD 是菱形是解此题的关键．例题3（2018甘肃省定西市6分 ）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°．（1）作∠ACB 的平分线交AB 边于点O ，再以点O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O ；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC 与⊙O 的位置关系，直接写出结果．【分析】（1）首先利用角平分线的作法得出CO ，进而以点O 为圆心，OB 为半径作⊙O 即可； （2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可． 【解答】解：（1）如图所示：（2）相切；过O 点作OD ⊥AC 于D 点， ∵CO 平分∠ACB ， ∴OB=OD ，即d=r ， ∴⊙O 与直线AC 相切，【点评】此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键．例题4（2018山东省威海市 8分 ）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°． （1）作出经过点B ，圆心O 在斜边AB 上且与边AC 相切于点E 的⊙O （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O 与边AB 交于异于点B 的另外一点D ，若⊙O 的直径为5，BC=4；求DE 的长(如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成(2)问)【答案】解：(1)⊙O 如图所示；(1)作OH ⊥BC 于H ．是的切线， ，，四边形ECHO 是矩形，，， 在中，， ，， ，，∽，， ，．【解析】作的角平分线交AC 于E ，作交AB 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径画圆即可解决问题； 作于首先求出OH 、EC 、BE ，利用∽，可得，解决问题；本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【跟踪训练】1.（2018四川省达州市）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ．点E 为CD 边上一点，AE 与BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线．（1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形ABCD 是平行四边形，并证明你的结论； （2）作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，并以AB 为直径作⊙O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，⊙O 交边AD 于点F ，连接BF ，交AE 于点G ，若AE=4，sin ∠AGF=54，求⊙O 的半径．2.（2018广东省潮州市一模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC交于点E（保留作图痕迹，不写作法，请标明字母）；（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，CD的长是.3.（2018广东省东莞市一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．（1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E （不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）的条件下，连接AD，求证：△ABC∽△EDA．4.（2018广东省普宁市一模）如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；①以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交边BC于点E，连接AE；②作∠DAE的平分线交CD于点F；③连接EF；（2）在（1）作出的图形中，若AB=8，AD=10，则tan∠FEC的值为．5.（2018广西贵港市一模）根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD是BA边的延长线．（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作AC边的垂直平分线，与AM交于点E，与BC边交于点F；（3）联接AF，则线段AE与AF的数量关系为．6.（2018广东省南海市一模）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由．。
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尺规作图的基本步骤和作图语言
一、作线段等于已知线段
已知：线段a
求作：线段AB ，使AB ＝a 作法：1、作射线AC 2、在射线AC 上截取AB ＝a ，则线段AB 就是所要求作的线段
二、作角等于已知角
已知：∠AOB
求作：∠A ′O ′B ′,使∠A ′O ′B ′=∠AOB.
作法: (1)作射线O ′A ′. (2)以点O 为圆心,以任意长为半径画弧,交OA 于点C,交OB
于点D. (3)以点O ′为圆心,以OC 长为半径画弧,交O ′A ′于点C ′.
(4)以点C ′为圆心,以CD 长为半径画弧,交前面的弧于点D ′. (5)过点D ′作射线O ′B ′.∠A ′O ′B
三、作角的平分线
已知：∠AOB,
求作：∠AOB 内部射线OC,使：∠AOC=∠BOC,
作法：(1)在OA 和OB 上，分别截取OD 、OE ，使OD=OE ． (2)分别以D 、E 为圆心，大于的
DE 2
1
长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ． (3)作射线OC ．OC 就是所求作的射线．
四、作线段的垂直平分线（中垂线）或中点
已知：线段AB
求作：线段AB 的垂直平分线 作法：
(1)分别以A 、B 为圆心，以大于AB 的一半为半 径在AB 两侧画弧，分别相交于E 、F 两点 (2)经过E 、F ，作直线EF （作直线EF 交AB 于 点O ）直线EF 就是所求作的垂直平分线 （点O 就是所求作的中点）
A
O
五、过直线外一点作直线的垂线. （1）已知点在直线外
已知：直线a 、及直线a 外一点A.(画出直线a 、点A) 求作：直线a 的垂线直线b ，使得直线b 经过点A. 作法：
(1)以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交直线a 于点C 、D.
(2)以点C 为圆心，以AD 长为半径在直线另一侧画弧.
(3)以点D 为圆心，以AD 长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点B. (4)经过点A 、B 作直线AB.直线AB 就是所画的垂线b.(如图)
（2）已知点在直线上
已知：直线a 、及直线a 上一点A.
求作：直线a 的垂线直线b ，使得直线b 经过点A. 作法：
(1) 以A 为圆心，任一线段的长为半径画弧， 交a 于C 、B 两点
(2) 点C 为圆心，以大于CB 一半的长为半径画弧； (3) 以点B 为圆心，以同样的长为半径画弧， 两弧的交点分别记为M
(4) 经过A 、M ，作直线AM 直线AM 就是所求作的垂线b
常用的作图语言：
（1）过点×、×作线段或射线、直线； （2）连结两点××；
（3）在线段××或射线××上截取××＝××；
（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；
（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×； （6）延长××到点×，使××＝××。
二：作图题说明
在作图中，有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。
（1）作线段××＝××； （2）作∠×××＝∠×××； （3）作××（射线）平分∠×××；
（4）过点×作××⊥××，垂足为点×； （5）作线段××的垂直平分线××
B
D
C
A
a
M
C
B
a
A。