必修一2.1.2函数的表示法1(换元法、待定系数法、方程组法、配凑法)
整合 人教A版高中数学必修一 1-2-2 函数的表示法 素材
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(xx x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴)0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
人教A版高中数学必修1 .2函数的表示法课件
且 有 fx2f 1 x x1， 求 fx.
解 :因
为f
x
2
f
1 x
x 1，(1)用 x替 换 1 ，1 xx
替换
x，
又得f
1 x
2
f
x
1 1，( 2 ) x
将
( 2 ) 代 入 (1)消 去 f
1 x
，
得
f
x
4
f
x
2
f x 2 x 1 ， 又 因 为 x 1， ,
3、配凑法：已 知 f g x 的 解 析 式 ， 求 fx 的 解 析 式 .
例 5 、 f 已 x 1 x 知 2 x ， fx 的 求 .解
解:f
2
x1 x2 x x 2 x11
x12 1，
f xx2 1x1.
技巧：拆项、添项
人教A版高中数学必修1第一章1.2.2函 数的表 示法课 件
1.2.2函数的表示法
1、函数的常用表示方法:
（1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间 的对应关系。（1.2.1 实例1 P15）
（2）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对 应关系。（1.2.1 实例2 P15）
（3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的 对应关系。（1.2.1 实例 P16）
叫 做 A到 B的 函 数 ， 记 作 yfx.
判 A 求 正 弦 B 断
那 些
30 0
是
45 0
1 2
2 2
映
60 0
3
射
90 0
2 1
:
A 求 平 方 B
3
9
－324源自－211－1
A 开 平 方 B
人教版高中数学必修一1.2.2函数的表示法 (1)ppt课件
例5、下列映射是不是A到B的一一映射？
A
B
A
B
f
1
3
f
1
3
2
5
3
7
5 2
7
3
9
4
9
4
1
(1)
(2)
解：（1） 是
（2） 不是。由于B中元素1在集合A中没有原像
例6、 下列对应是不是A到B的映射？ 1 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9} ，f:乘2加1 2 A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数 3 A=R+，B=R，f:求平方根 4 A={x|0≤ x<1}，B={y|y≥1} f:取倒数
5 , 1 5 < x 2 0 , 2 1
图公交车票价.gsp
05
10
15
20
我们把上述两例中的函数叫做分段函数: 即分区间定义的函数. 分段函数的图象要分段作出!
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个，对于分几个 表示的函数，不是几个函数，而是一个函数,我们把它 分段函数.
（2） 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、 线、离散的点等等。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要表示方法;用 法表示函数时,必须注明函数的定义域.
2.图像法：用函数图像表示两个变量之间的对应关系。
如:心电图，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变 化的曲线，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
例如： 我国人口出生率变化曲线：
图像法的优点： 能直观形象的表示出函数的变化情况。
(1)对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数 (x,y)和它对应；
函数的表示法(公开课)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0
2x
0y 2
x
2
D
0
x
2
思索交流
x+2, (x≤－1)
5. 已知函数f (x)= x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x旳值是( D )
A. 1
B.
1或
3 2
C. 1,
3,
3 2
D. 3
怎样求函数解析式
一、【配凑法（整体代换法）】
若已知 f (g(x)) 旳体现式，欲求 f (x) 旳体现式， 可把 g(x)看成一种整体，把右边变为由 g(x) 构成 旳式子，再换元求出 f (x) 旳式子。
x
例3 、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函旳质量和相应旳邮资如表.
信函质量 (m)/g
0<m≤20
邮资(M)/元 1.20
20<m≤40 2.40
40<m≤60 3.60
60<m≤80 4.80
80<m≤100 6.00
画出图像,并写出函数旳解析式.
解：邮资是信函质量旳函数，函数图像如图。
函数旳解析式为
7.0
9.4
10.0
11.0
y 9 x 32 5
解析法
(6)某气象站测得本地某一天旳气温变化情况如图所示：
温度
8
T （℃）
6
4
２
0
２
时间
２ ４ ６ ８1
1
1
1
1
2
2
t2
( 时
北师大版数学必修一《函数的表示法》教学课件
m (3)可设 f(x)＝kx，g(x)＝ (k≠0，m≠0)， x m 则 φ(x)＝kx＋ . x 1 由 φ( )＝16，φ(1)＝8， 3 1 k＋3m＝16， 得 3 k＋m＝8，
k＝3， ∴ m＝5.
5 ∴φ(x)＝3x＋ . x
作函数的图象
作出下列函数的图象.
2a＋b＝b＋1， ∴ a＋b＝1，
1 a ＝ 2， 1 b＝2.
1 1 ∴f(x)＝ x2＋ x. 2 2
(1)中解法为直接变换法或称为配凑法，通过观察、分析，
将右端“x2－3x＋2”变为接受对象“x＋1”的表达式，即变为含(x＋1)的表 达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求. (2)中解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象 “
2.2 函数的表示法
1.两个函数相同是指它们的 定义域 相同，且 对应关系
完全一致.
2.在函数定义域中，任意的x∈A，在f的作用下，在B中都有唯一确定的
f(x)与之对应.这可概述为： 存在性
和 唯一性 .
3 3. f ( x) 2x 3 7 x 的定义域为 ,7 2
1 (2)方法一：设 t＝ ， x 1 则 x＝ (t≠0)， t 1 x 代入 f( )＝ ， x 1－x2 1 t t 得 f(t)＝ ＝2 ， 1 t －1 1－( )2 t x 故 f(x)＝ 2 (x≠0). x －1 1 x 方法二：∵f( )＝ ＝ ， x 1－x2 1 2 ( ) －1 x x ∴f(x)＝ 2 (x≠0). x －1 1 x
每个函数都可以用列表法、图象法、解析式法三种形式表示吗？
【提示】 不一定，如函数y＝x，x∈R，就无法用列表法表示.
求函数解析式
人教版高一数学必修一函数的表示法课件PPT
4.每次在课堂上给学生布置任务时,要事先想好如何应对 那些很快就完成任务的学生。同时,要注意提醒那些动作 缓慢,迟迟没有动手的学生。
5.做好准备。备课时就要准备妤课堂材料。这样,在讲 课的时候,才能顺利地从一个主题过渡到下一个主题,不会 因冷场而出现空闲时间。
课题导入
1.已知f (x) 2x 1,求f (3) 2.已知f (x 1) 2x 1,求f (2) 思考第二个问中，可以通过条件 得到f (x)的解析式么？
1.2.2函数的表示法
第二课时 抽象函数的解析式求法
目标引领
1.掌握解析式的几种求法 2.理解在解决函数问题中的整体代换的思
想。
独立自学
1.2.2函数的表示法
第二课时 抽象函数的解析式求法
目标引领
1.掌握解析式的几种求法 2.理解在解决函数问题中的整体代换的思
想。
独立自学
想一想： 已知f (2x 1) x2 x 1，求f (x)
引导探究
1.换元法求函数解析式
例 1.已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)．
2.用配凑法求解析式
3.待定系数法求函数解析式
例4.若f{f[f(x)]}=27x+26,求一次函数f(x) 的解析式。
已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1， f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
4.用消去法求函数解析式
例5.已知3f(x)+2f(-x)=2x,求f(x)
1.若3 f (1 ) 2 f (x) 2x, 求f(x) x
1.求解抽象函数解析式的方法 （1）换元法 （2）配凑法 （3）待定系数 （4）消去法 2.理解函数问题中整体代换的思想
当堂诊学
苏教版数学高一必修1学案 2.1.2函数的表示方法
2．1．2函数的表示方法1．在实际情境中，会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数．2．理解同一函数可以用不同的方法表示．1．函数的表示方法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法，这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．(3)图象法：用图象来表示两个变量之间函数关系的方法．1．列表法表示函数的优点在于不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．这种方法常应用到实际生产和生活中．2．图象法表示函数的优点是通过图象可以直接观察出函数的变化趋势．气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象及股市走向图等，就是用图象法表示函数关系的．3．用解析法表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．【做一做1－1】客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了0．5 h，然后以80km/h的速度匀速行驶1 h到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是__________．答案：③【做一做1－2】某种杯子每只0．5元，买x只，所需钱数为y元，分别用列表法、图象法、解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．解：(1)列表法：(2)图象法(如下图)．(3)解析法：y＝0．5x，x∈{1,2,3,4}．2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数而不是几个函数．生活中有很多可以用分段函数描述实际问题的模型，如出租车的计费、个人所得税纳税额等．分段函数的图象由几个不同部分组成，作分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1的定义域为{x |x ＞0}．分段函数定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集，在作图时，要特别注意每段端点的虚实．【做一做2】在实际问题中，常常使用表格，有些表格描述了两个变量的函数关系，比如，国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：解：图象如图． 解析式为：0.80,020,1.60,2040,2.40,4060,3.20,6080,4.00,80100.m m M m m m <≤⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪<≤⎪⎩1．如何求函数解析式？剖析：对于基本初等函数，通过待定系数法求之，即利用方程思想．对于实际应用问题，通常是研究自变量、函数与其他量之间的等量关系，从而将函数用自变量和其他量之间的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．如已知等腰三角形的周长为12，则底边长x 与腰长y 之间的函数关系是y ＝6－12x ，其中x ∈(0,6)．2．如何理解分段函数？剖析：(1)分段函数的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系不是只满足一个式子，而是在不同范围内有不同的对应法则，这样的函数关系是分段函数．(2)分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，这一点与函数y ＝x －1＋1＋x 的定义域的求法不相同．(3)作分段函数的图象时，特别注意端点处点的虚实，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0的图象为(4)分段函数的表示法是解析法的一种形式．函数y ＝⎩⎨⎧22－6x ，0<x <11，－44，x ≥11不能写成y ＝22－6x,0＜x ＜11或y ＝－44，x ≥11．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以其图象也是由几部分组成的，可以是由光滑的曲线段组成，也可以是孤立的点或几段线段组成；求分段函数的函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一区间，就用哪一区间上的解析式．题型一 求函数解析式【例1】(1)已知函数f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x 2)；(3)已知函数y ＝f (x )满足2f (x )＋1()f x＝2x ，x ∈R 且x ≠0，求f (x )； (4)已知一次函数f (x )满足f ［f (x )］＝4x －1，求f (x )．分析：求解析式的方法较多，如配凑法、换元法、方程法、待定系数法等，关键在于弄清对于“x ”而言，“f ”是怎样的对应法则，至于选择什么符号表示自变量没有关系．要特别注意正确确定中间变量的取值范围，如(2)中设x ＋4＝t ≥4，否则就不能正确确定f (x )的定义域．解：(1)方法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，代入得f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2， ∴f (t )＝t 2－5t ＋6，即f (x )＝x 2－5x ＋6． 方法二(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6．(2)方法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16，∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)． ∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． 方法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4， 则x ＝t －4，x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16． ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． (3)(方程法)∵x ∈R ，且x ≠0， 由2f (x )＋1()f x＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x换成x ，得12()f x＋f (x )＝2x ．②①×2－②，得3f (x )＝4x －2x ，即f (x )＝4x 3－23x．(4)(待定系数法)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f ［f (x )］＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1．∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．反思：对于已知f ［g (x )］的表达式，求f (x )的表达式的问题，一般方法是换元法，即设g (x )＝t ，解出用t 表示x 的表达式，代入求得f (x )的解析式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t 的取值范围．若题目中已知函数f (x )的函数类型，一般采用待定系数法，如第(4)小题，由于已知函数f (x )是一次函数，故可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．题型二 分段函数的图象与应用【例2】试作出函数y ＝|x －1|和y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象．分析：y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－2，3，－2<x <1，2x ＋1，x ≥1.解：y ＝|x －1|的图象如图(1)． y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象如图(2)．反思：画带绝对值符号的简单函数的图象的基本方法是先求函数的定义域，然后化简函数解析式，就是去绝对值符号．(1)带一个绝对值符号的函数，根据绝对值的意义去绝对值符号．(2)带两个或两个以上绝对值符号的问题，常用“零点分段法”去绝对值符号，从而把函数写成分段函数的形式，然后作图．如本题(2)，令x －1＝0，得x ＝1；令x ＋2＝0，得x ＝－2．－2和1把数轴分成三部分(如下图所示)．【例3】设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是__________．解析：因f (1)＝12－4×1＋6＝3，所以原不等式可化为f (x )＞3．作出原函数的图象，如下图所示．再作出直线y ＝3，其交点坐标分别为(－3,3)，(1,3)和(3,3)，从图象观察即得． 答案：(－3,1)∪(3，＋∞)反思：作为填空题，可利用数形结合的方法求解不等式，此方法直观、简洁、准确．题型三 实际应用问题【例4】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力，f (x )的值越大，表示接受的能力越强，x 表示提出和讲授概念的的讲授时间(单位：分钟)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的讲授时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？解：(1)开讲10分钟后，学生的接受能力值为59，达到最强，并维持6分钟． (2)f (5)＝－0.1×52＋2.6×5＋43＝53.5； f (20)＝－3×20＋107＝47，所以开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强一些．(3)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0．1x 2＋2．6x ＋43＝－0．1(x －13)2＋43＋16．9，f (x )ma x ＝f (10)＝59．令55≤f (x )≤59，解得6≤x ≤10．所以6≤x ≤10时，f (x )∈［55,59］，即开讲后10分钟里，学生只有后4分钟接受能力在55以上，然后有6分钟接受能力维持在59；当16＜x ≤30时，f (x )＝－3x ＋107．令f (x )≥55，解得x ≤523，即在这段时间里，学生只有43分钟接受能力维持在55以上．综上所述，开讲后学生共有4＋6＋43＝343分钟接受能力在55以上，故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．反思：实际问题往往都有一个陌生的情境，它需要我们仔细阅读题意．如果题中给的数量比较多，可以逐个理解和研究，然后把实际问题转化为数学问题，建立函数关系进行求解．1设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为__________． 解析：因为f (2)＝22＋2－2＝4，所以1f (2)＝14，1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1()4f ＝1－21()4＝1516． 答案：15162某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每走1 km 加价0.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了12 km ，他应交费______元．解析：把收费y 元看成所走路程x km 的函数， 当0＜x ≤3时，应交6元；当3＜x ≤10时，应交6＋(x －3)×0.5＝4.5＋0.5x (元)；当x ＞10时，应交4.5＋0．5×10＋(x －10)×0．8＝1.5＋0.8x (元)． ∴当x ＝12时，y ＝1.5＋0．8×12＝11.1(元)． 答案：11.13某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0．5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0．4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (千米)之间的函数关系式是__________．解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式， 由题意，得当0＜x ≤100时，y ＝0.5x ，当x ＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x ．答案：y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0<x ≤100，10＋0.4x ，x >100已知函数h (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，1()163h =＝16，h (1)＝8，求h (x )及其定义域．分析：本题中已知函数的模型，用待定系数法求解析式． 解：设f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝k 2x (k 2≠0)，则h (x )＝k 1x ＋k 2x．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 13＋3k 2＝16，k 1＋k 2＝8.解得123,5k k ⎧⎨⎩＝，＝．所以h (x )＝3x ＋5x，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．5已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >0，1，x ＝0，－1x，x <0.(1)画出函数的图象； (2)求f (1)，f (－1)的值．分析：分别作出f (x )在x ＞0，x ＝0，x ＜0各段上的图象，合在一起得函数的图象． 解：(1)如图所示．(2)f (1)＝12＝1，f (－1)＝－1－1＝1．。
高中数学(必修1) 专题12 函数的表示方法
16 4b c c 4 2b c 2
，解得
b c
4 2
，所以
f
(x)=x2
4x
2
．
（2）方法一（配凑法）：因为 f (x+1)=x2 3x 2=(x 1)2 5(x 1) 6 ，所以 f (x)=x2 5x 6 ．
方法二（换元法）：设 t x+1，则 x t 1，所以 f (t)=(t 1)2 3(t 1) 2 t2 5t 6 ，
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2 021/5/ 22021/ 5/2May 2, 2021
f (x)=1 (x)(x 1) 1 x(x 1) ，所以 f (x)=x2 +x 1 ．
1、函数的三种表示方法；
2、函数的三种表示方法的优点与缺点；
3、根据不同的问题、不同的要求，选择 恰当的表示方法，以便研究函数的性质.
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 May 02, 2021
1.王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习成绩比较稳定而 且成绩优秀.
2. 张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动， 而且波动幅度较大.
3. 赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升 趋势，表明他的数学成绩稳步提高.
例2.某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5}) 个笔
所以 f (x)=x2 5x 6 ．
例 4.求下列函数的解析式： （3）若对于任意 x，满足 3 f (x) 2 f (x) 2(x 1) ，求 f (x) 的解析式； （4）设 f (x) 是 R 上的函数，且满足 f (0)=1，并且对任意的实数 x，y 都有
f (x y) f (x) y(2x y 1) ，求 f (x) 的解析式． 解：（3）（方程组法）因为 3 f (x) 2 f (x) 2(x 1) ①，以 x 代 x ，
高中数学：第2章 第2章 2.1.2 函数的表示方法
2.1.2 函数的表示方法1．会用列表法、图象法、解析法来表示一个函数．2．会求一些简单函数的解析式．(重点)3．理解分段函数的含义，能分析其性质．(重点)4．会作一些简单函数的图象．(难点)基础·初探]教材整理1函数的表示方法阅读教材P38～P39“例1”以上部分，完成下列问题．1．列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．2．图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法．3．解析法(公式法)如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．()(2)任何一个函数都可以用解析法表示．()(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()【答案】(1)×(2)×(3)×2．下列图形可表示函数y ＝f (x )图象的只可能是()A B C D【解析】 借助函数的定义可知，函数的图象应保证对定义域内的任意一个x 有唯一的y 与之对应，故选D.【答案】 D教材整理2 分段函数阅读教材P 42“分段函数”～P 43“例5”以上的内容，完成下列问题．在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，0，x ＝0，x ＋1，x <0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋1＝12.【答案】 A小组合作型]函数的表示法(1)函数f (x )＝x ＋|x |x 的图象是( )(2)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【精彩点拨】 (1)对x 进行讨论将函数f (x )＝x ＋|x |x 转化为所熟知的基本初等函数即可作图．(2)函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000，9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示，分析题意得到表示y 与x 关系的解析式，注意定义域．【自主解答】 (1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1，故图象为直线f (x )＝x ＋1(x ＞0的部分)；当x ＜0时，f (x )＝x －1，故图象为直线f (x )＝x －1(x ＜0的部分)； 当x ＝0时，f (x )无意义即无图象．综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0的图象为直线y ＝x ＋1(x ＞0的部分)和y＝x －1(x ＜0的部分)，即两条射线，故选C.【答案】 C (2)①列表法如下：x (台) 1 2 345y (元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x (台) 678910y (元)18 000 21 000 24 000 27 000 30 000③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线.再练一题]1．购买某种饮料x听，所需钱数y元．若每听2元，试分别用列表法、解析法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数，并指出函数的值域.【导学号：60210035】【解】解析法：y＝2x，x∈{1,2,3,4}，则y∈{2,4,6,8}．列表法：x/听123 4y/元2468图象法：求函数的解析式(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝________；(2)已知函数y ＝f (x )是一次函数，且f (x )]2－3f (x )＝4x 2－10x ＋4，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________.【精彩点拨】 (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．【自主解答】 (1)法一 换元法：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．法二 配凑法：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)． (2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (x )]2－3f (x )＝(kx ＋b )2－3(kx ＋b )＝k 2x 2＋(2kb －3k )x ＋b 2－3b ＝4x 2－10x ＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，2kb －3k ＝－10，b 2－3b ＝4，解得k ＝－2，b ＝4，或k ＝2，b ＝－1， 故f (x )＝－2x ＋4，或f (x )＝2x －1.(3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，f (－x )－2f (x )＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.【答案】 (1)x 2－4x ＋3(x ≥1) (2)－2x ＋4或2x －1 (3)23x －1求函数解析式的四种常用方法1．待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．2．换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可． 3．配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．4．方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．再练一题]2．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.【解析】 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，得f (x )＝23x ＋13. 【答案】 23x ＋13分段函数已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.若f (x )>2，求x 的取值范围．【精彩点拨】 分段求解，再求并集．【解】 当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2，由f (x )>2，得x ＋2>2，解得x >0，故x >0；当x <－2时，f (x )＝－x －2，由f (x )>2，得－x －2>2，解得x <－4，故x <－4.∴x 的取值范围是{x |x >0或x <－4}．求解分段函数问题的注意点(1)求f f (a )]的值时，应从内到外依次取值，直到求出值为止． (2)已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．(3)已知f (x )，解关于f (x )的不等式时，要先在每一段内求交集，最后求并集．再练一题]3．本题中解析式不变求f (－3)，f (f (－3))，f (f (f (－3)))的值． 【解】 f (－3)＝－(－3)－2＝1， f (f (－3))＝f (1)＝1＋2＝3， f (f (f (－3)))＝f (3)＝3＋2＝5.探究共研型]作函数的图象探究1 【提示】 列表，描点，连线．探究2 作一次函数与二次函数的图象时，要注意哪些事项？【提示】作一次函数与二次函数的图象时，应标出某些关键点．如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈0,3))．【精彩点拨】解答本题可根据函数的定义域及图象中的关键点，通过描点、连线画出图象．【自主解答】(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．1．画函数图象时首先要考虑函数的定义域．2．要标出关键点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．3．要掌握常见函数的特征．4．函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．再练一题]4．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．【解】(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．1．下列表示函数y＝f(x)，则f(11)＝()x 0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y 234 5A．C．4 D．5【解析】由表可知f(11)＝4.【答案】 C2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是()A．f(x)＝x2＋6xB．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10【解析】法一设t＝x－1，则x＝t＋1，∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，即f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.法二∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x.∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x，故选A.【答案】 A3．f (x )＝|x －1|的图象是( )【导学号：60210036】【解析】 ∵f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，当x ＝1时，f (1)＝0，可排除A 、C.又x ＝－1时，f (－1)＝2，排除D.【答案】 B4．如图2-1-4，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (f (2)))＝________.图2-1-4 【解析】 由题意f (2)＝0，f (0)＝4，f (4)＝2， 所以f (f (f (2)))＝f (f (0))＝f (4)＝2. 【答案】 25．已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2)． (1)画出f (x )图象的简图； (2)根据图象写出f (x )的值域． 【解】 (1)f (x )图象的简图如图所示．(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是－1,3]，即f(x)的值域是－1,3]．。
人教版高一数学必修一求函数解析式方法课件
求函数解析式一、配凑法配凑法是一种常用的求函数解析式的方法，是根据同一函数的意义求函数解析式的，如3)1(2)1(++=+x x f 与32)(+=x x f 是同一函数.例表达式求)(,32)1(x f x x f +=+解：12)(1)1(2)1(32)1(2)1(3)11(2)1(+=∴++=+∴+-+=++-+=+x x f x x f x x f x x f 例.)(,12)(的表达式求已知函数x f x x f -=解：)0(12)(1)(2)(22≥-=∴-=x x x f x x f二、待定系数法对于常见的函数类型，我们都先设出一般式，再通过待定系数的方法一一求解出系数，从而得到函数表达式.①一次函数：)0()(≠+=k b kx x f②反比例函数：)0()(≠=k xk x f ③二次函数：)0()(2≠++=a c bx ax x f○4指数函数：）且1a 0()(≠>=a a x f x○5对数函数：)10(log )(≠>=a a x x f a 且 ○5幂函数：a x x f =)(例.),19))(()(表达式（求为一次函数，且满足x f x x f f x f +=解：213)(413)(213413191919))(())(()()())(()0(,)(222--=+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=∴+=++∴+=++=∴++=+=∴≠+=x x f x x f b k b k b kb k x b kb x k x x f f bkb x k x f f bb kx k b x kf x f f k b kx x f 或或解得又设 例.)(,32)1()(,)(2表达式求为二次函数x f x x f x f x f +=-+解：23)(2311320)(22232)1()(2)(22)1()()1()1()1()0()(22222++=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=∴+=-++-+-+=-+∴+-+-=-∴≠++=x x x f c b a c b a a b a x x f x f cb a x a b ax x f x f cx b x a x f a c bx ax x f 解得又设例.)(,3)8()(表达式求为对数函数且x f f x f =解：xx f a a a f a a x x f a a 2333log )(22838log 3)8()10(log )(=∴=∴=∴=⇔==≠>=即且设三、换元法换元法是初高中常用的一种方法，在求函数解析式时我们也可以用换元法，但在用换元法时要注意自变量的取值范围的变化，所谓“换元必换线”. 例.)(,12)1(表达式求已知x f x x f -=-解：)1(142)()1(142)()1(1242)()1(1)1(2)()1(1,122222-≥++=∴-≥++=∴-≥-++=∴-≥-+=∴+=∴-≥=-x x x t f t t t t f t t t t f t t t f t x t t x 则令 例.)(,11)11(22表达式求已知x f x x x x f +-=+- 解：12)(12224)1(1212)1(1212)11(1)11(1)(111-122222222222+=∴+=+=++-++++-+-++=+-++--=∴+-=∴=+x xx f t t t t t t t t t t t t t t t t t t t f t t x t xx 令四、奇偶性法奇偶性是函数具有的一种对称性，若)()(x f x f -=-则称函数为奇函数，若)()(x f x f =-则称函数为偶函数.利用奇偶性求求函数解析式主要是求分段函数的解析式.例.)(,)(0)(2的表达式求时，上的奇函数，当是x f x x x f x R x f -=≥解：⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=∴--=∴+=-=-∴+=-⨯--=-∴>-<0,20,2)()(2)()()(2)(2)()(00222222x x x x x x x f xx x f xx x f x f x f xx x x x f x x 为奇函数又时，当例.)(,2)(0)(3的表达式求时，上的偶函数，当是定义在x f x x x f x R x f -=≤ 解：⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=∴=-∴+-=-⨯--=-∴<->0,20,2)()()()(2)(2)()(003333x x x x x x x f x f x f x f xx x x x f x x 是偶函数又时，当五、方程组法方程组法是通过替换，构造二元一次方程组，求解出)(x f 表达式的一种方法. 例.)(,2)(2)(表达式求已知x f x x f x f =--解：x x f x f xx x f x x f x f xx f x f xx 32)()(2)(2)(2)(2)(2)(2)(-=-⎩⎨⎧-=--=--∴-=--∴=-得消去令 例.)(),0(1)(3)1(表达式求已知x f x xx f x f ≠=- 解：x x x f x f x x f x f x x f x f x xf x f x x8183)()1()1(3)(1)(3)1()1(3)(,1--=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-∴=-=得消去则令六、赋值法赋值法主要是求抽象函数的解析式用的一种方法，看清函数的定义域，通过赋值，巧妙地求出)(x f 表达式..)(),53()(2)()(22的表达式求上的函数，且是例已知x f y x y y x x f y x f R x f +-+-=-+ 解：x x x f xx x f x x x f f x y f f f y x 252)(54)(2)54()(2)0(0)0(0)0(2)0(022+=∴--=-∴+-=--==∴=-∴=-=得令令。
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1
列表法
图像法
可以直观地表示函数 的局部变化规律，进 而可以预测它的整体 趋势 有些函数的图像难以 精确作出
解析法
一是简明、全面地概括了变 量间的关系；二是可以通过 解析式求任意一个函数值。 三是能便利研究函数性质。 不够形象、直观， 一些实际问题难以找到它的 解析式
优 不必通过计算就能 点 知道两个变量之间 的对应关系，比较 直观 缺 只能表示有限个元 点 素间的函数关系
1.如何检验一个图形是否是一个函数的图像？写出你的 检验法则。下图中的四个图形都是函数图像吗？哪些是，哪 些不是，为什么？
×
2.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函 ［－ 3,3 ］ ［－ 2,2 ］ 数的定义域是 ，值域是 .
【解析】由图象可看出 －3≤x≤3，－2≤y≤2
例 1 作函数 y=
2、图像法
人的心脏跳动强度是时间的函数。医学上常用心电图，就是利 用仪器记录心脏跳动的强度（函数值）随时间变化的曲线图。
定义域？ 值域？
像这样，用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，
称为图像法。
图像法的优点：能形象直观的表示出函数的局部变化规律；可从图 中读出 。 图像法的缺点：只能近似求出自变量所对应的函数值，而且有时误 差较大。
0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 24：00
时刻 温度/(OC)
-2
-5
4
9
8.5
3.5
-1
像这样，用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法， 称为列表法。
列表法的优点：不必通过计算就能知道两个变量之间的 对应关系，比较直观; 。 列表法的缺点：它只能表示有限个元素间的函数关系。
变式训练 3 课本 P41 练习 A-T3.
例4 (1)已知 f( x＋ 1)＝x－2 x，则 f(x)＝________；
(2)已知函数 y＝ f(x) 是一次函数，且 [f(x)] － 3f(x) ＝ 4x －10x＋ 4，则 f(x)＝________； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)－2f(－ x)＝1＋2x， 则 f(x)＝ ________.
2. 求解析式的方法：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法
作业：同步训练P19-P21
正比列函数 y kx(k 0)
k y (k 0) x
反比列函数 一次函数 y kx b(k 0) 二次函数 y ax2 bx c(a 0) y x2 5x 6
析式）表示出来，这种方法称为解析法。
y 3x 2 y x y 2 x 15
思考交流
已知函数 f(x)，g(x) 分别由下表给出： x f ( x) 1 2 2 3 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1
1 ； 当g(f(x))＝2时，x＝________. 1 则f(g(1))＝________ 解析 由题意知，g(1)=3， f(g(1))= f(3) =1 ∵g(2)＝2， ∴f(x)＝2， ∴x＝1.
函 数 解 析 式
一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式（简称解
解析法的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可 以通过解析式求任意一个函数值。三是能便利研究函数性质。
解析法的缺点：不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式。
例 3 已 知 函 数 y=f(n), 满 足 f(0)=1, 且 f(n)=nf(n-1),n N+. 求 f(1),f(2),f(3),f(4),f(5).
2 2
跟踪练习 4
f ( x 1) 5x 3, 求f ( x), f (3), f ( x 1) ； （1） 已知函数 3 f ( x 1) f ( x) 2x 9, 求f ( x). （2）已知f ( x)是一次函数，且满足
1 已知2 f ( ) f ( x) x( x 0), 求f ( x). x （3）
在研究函数的过程中,采用不同的方法表示函数,可以从 不同的角度帮助我们理解函数的性质,是研究函数的重要手 段. 初中我们学习过,函数的表示方法通常有
三
种,它们是
列表法
、
图像法ห้องสมุดไป่ตู้
和
解析法
。
1、列表法
在实际问题中常常使用表格，有些表格描述了两个变量间 的函数关系。比如，某天一昼夜温度变化情况如下表 定义域？ 值域？
x 的图像.
变式训练 1 课本 P42 练习 A-T5.
例2 设x是任意一个实数，y 是不超过x的最大整数，试问x和 y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图像. 变式训练2 课本P42练习A-T4.
3、解析法
把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做 函数的解析表达式，简称解析式。