微专题4解析几何初步中几个易错问题(pdf版,无答案)-江苏省启东中学高一数学“空中课堂”学案
高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析
高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析一．考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.二．考试要求：(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.三．基础知识:(一)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+b x a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (二)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ace =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+by a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即ca y 2±=.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M（x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、ace =两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan ab=；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.5.椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>.6. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c+=(三)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (四)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a ce =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为x a by ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-by a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和ca x 2=.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.4.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.5.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.6. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.(五)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
高中数学：解析几何中几个常见错误剖析
解几中几个常见错误剖析解析几何是高中数学的重要内容，每年的高考中都占有较大的比重。
本文试图对解析几何中的一些常见错误作简单剖析，希望引起同学们的注意。
一、忽视斜率不存在导致错误例1 已知过点（－4，0）作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于A 、B 点， 弦AB 长为8，则直线l 的方程为_______________________________________错解 设直线l 的方程为y=k （x+4）即k x －y+4k=0，由题意得2(1)2431k kk ⨯--+=+解得512k =-，所以直线l 的方程为512200x y ++= 剖析 上述解法未考虑直线l 斜率不存在情形，从而导致错误。
事实上，直线l 斜率不存在时，弦AB 长也为8。
正解 （1）直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x =－4，符合题意。
（2）直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y=k （x+4）即k x －y+4k=0， 由题意得2(1)2431k kk ⨯--+=+解得512k =-，所以直线l 的方程为512200x y ++= 综上所述 直线l 的方程为：x =－4或512200x y ++=评注 使用斜率求直线方程，题目中未给出斜率存在与否，需对斜率分存在与不存在讨论。
二、忽视方程自身限制导致错误例2 直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程.错解 设直线方程为:1=+b y a x ,又过P(2,3),∴132=+ba ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0. 剖析 直线方程的截距式: 1=+b y a x 的条件是:a ≠0且b ≠0,本题忽略了0a b ==这一情形.正解 （1）当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203=--=k , ∴直线方程为y=23x （2）当直线不过(0,0)时，设直线方程为:1=+b y a x ,又过P(2,3),∴132=+b a ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0.综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=23x .三、忽视题目隐含条件导致错误例3 已知在ABC ∆中，BC=8,另两边长之差为6，求顶点A 的轨迹方程错解 以边BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为68AB AC BC -=<=，所以点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，21697b =-=，故顶点A 的轨迹方程为22197x y -= 剖析 上述解法忽视了A 、B 、C 为三角形的三个顶点，即A 、B 、C 三点不能共线这一限制，从而导致结果错误正解 以边BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为68AB AC BC -=<=，所以点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，21697b =-=，又由A 、B 、C 三点不能共线知点A 不能落在x 轴上， 所以顶点A 的轨迹方程为221(0)97x y y -=≠ 评注 解轨迹问题时，求出轨迹方程后，一定要考虑轨迹上的每一个点是不是都符合题意，即考虑轨迹方程的纯粹性，有没有多余的点.四、忽视曲线自身范围的制约导致错误例4 设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率23=e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的最远距离是11，求这个椭圆的方程。
苏教版数学高一必修3素材 3.3几何概型易错点和易忽略点导析
3.3 几何概型易错点和易忽略点导析几何概型是高中数学的新增内容,由于一些同学对几何概型的定义和性质等理解不到位,解题时常常错误不断,举例如下:一.易忽略点：忽视对基本事件“等可能性”的判断易忽略点导析：在应用几何概型的概率计算公式时，一定要先判断模型是否为几何概型一般而言，同学们对判断无限性较易掌握，但对于“等可能性”的判断难以掌握．因此，在确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，并注意判断基本事件的等可能性.例1 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任意作一条射线CM交AB边于点M，求AM≤AC的概率．错解：在AB上截取AN=AC,连接CN，在∠ACB内作射线CM，看作是在线段AB上任取一点M,过点C和M作射线CM,则满足题意的事件概率为22 AN ACAB AB==.错解分析：错解的原因，主要是由于“过点C和任意取的点所作的射线是不均匀的”．因此，不能将“等可能取点”看作“等可能地作射线”．在确定基本事件时，一定要注意选择好观察的角度，注意判断基本事件发生的等可能性，同时，更要注意不能与长度型几何概率混为一谈．正确解法：在AB上截取AN=AC，连接CN，则∠CAN=∠ANC,在△CAN中，因为∠A=450,所以∠ACN=67.50,所以满足题意的事件概率为67.50.75 90=.二.易错点和易忽略点：审题不清,忽略隐含条件易错点和易忽略点导析：几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积”与“试验总的基本事件所占总面积”之比来表示．例2 在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．错解：设三条线段的长度分别为x, y,l-x-y,因为1,21,x yx y⎧+>⎪⎨⎪+<⎩所以12<x+y<1. 所以11212P==.错解分析：本题没有建立正确的数学模型．正确解法：设三条线段的长度分别为x，y，1-x-y，则01,01,011,xyx y<<⎧⎪<<⎨⎪<--<⎩即01,01,xy x<<⎧⎨<<-+⎩建立如图所示的直角坐标系，直线x=0, y=0, y=-x+l围成如图所示的三角形区域G,每一对(x,y)对应着G内的点(x,y)，由题意知，每一个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形当且仅当1,1,11,x y x yx xy+>--⎧⎪->⎨⎪->⎩即1,21,21,2y xxy⎧>-+⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩因此图中的阴影区域g就表示“三条线段能构成三角形”，易求得g的面积为18,G的面积为12，则P(三条线段能构成三角形)=14gG=的面积的面积.。
解析几何易做易错题
高考解析几何易做易错题选一、选择题： 1. 若双曲线22221x y ab-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A916X Y ±= B0169X Y ±= C 034X Y ±= D43X Y ±=解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是解 答：D 易错原因：短轴长误认为是b3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对 解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +->4．设双曲线22221(0)x y a b ab-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 4，则双曲线的离心率为A 2B 23解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
6．若曲线y =(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A 01k≤≤ B 304k ≤≤C 314k-<≤D 10k -<≤解 答：C易错原因：将曲线y =转化为224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
7． P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR ︱＋︱RQ ︱最小，则m=（ ）A 21 B 0 C –1 D -34正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。
高考数学解析几何的易错知识点归纳-高考数学解析几何
高考数学解析几何的易错知识点归纳|高考数学
解析几何
1.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况?
2.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。
3.解决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达。
(①设出变量，写出目标函数②写出线性约束条③画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解⑦应用题一定要有答。
)
4.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?
5.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题?
6.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。
(想一想在双曲线中的结论?)
7.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零?椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制。
(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行)。
8.解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗?
题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系?
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解析几何容易出错的问题
1．已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1、F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若12PF e PF =，则e 的值为：A ．3 B ．2 C ．2 D ．3（ ） 2．若双曲线22221x y a b-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y±= 答：C 易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
3．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是解 答：D 易错原因：短轴长误认为是b4．设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L，则双曲线的离心率为A 2 B 2解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为A y 2=2x B y 2=2x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y C y 2=4x D y 2=4x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y正确答案：D 错因：学生只注意了抛物线的定义而疏忽了射线。
6．设双曲线22a x －22b y ＝1与22by －22a x ＝1（a ＞0,b ＞0）的离心率分别为e 1、e 2，则当a 、b 变化时，e 21+e 22最小值是（ ）A 4 B 42 C 2 D 2 正确答案：A 错因：学生不能把e 21+e 22用a 、 b 的代数式表示，从而用基本不等式求最小值。
7．双曲线92x －42y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ）A 8x-9y=7B 8x+9y=25C 4x-9y=16D 不存在正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。
高中数学解析几何易错点评析专题辅导
高中数学解析几何易错点评析同学们在解答题时，往往由于对概念掌握得不太准确或不全面而出错，也会由于考虑问题不全面而造成漏解。
现举例如下：例1 求过点P （2，－1）且倾斜角的正弦值为135的直线方程。
易错分析：本题主要考查倾斜角的概念及直线点斜式方程的有关知识。
考查学生根据已知条件熟练求出直线方程的能力和三角函数式变形的能力。
培养学生考虑问题的缜密性、思维的严谨性，使同学们了解解析几何的基本思想——用方程表示曲线的思想。
本题易错在丢掉直线方程)2x (1251y --=+，即02y 12x 5=++。
产生错误的原因是对直线倾角范围α（πα<≤0）不明确，由于本题给出的sin α为正极，因此满足过P （2，－1）的直线倾角有两个，故所求直线的方程应有两个。
若结果只有一个显然是不对的。
正确解法：设所求直线的倾斜角为α，则由题设知135sin =α因为πα<≤0，所以1312sin 1cos 2±=-±=αα。
所以125cos sin tan ±==ααα，则所求直线方程为)2x (1251y -±=+ 即02y 12x 5022y 12x 5=++=--或为所求例2 等腰三角形的顶点是A （4，2），底边一个端点是B （3，5），求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么。
易错分析：C 的轨迹方程易错解为10)2y ()4x (22=-+-，点C 的轨迹是以A （4，2）为圆心，以10为半径的圆。
造成错误的原因是没有认真考虑题目要求的几何条件，实际上点C 满足：①A 、B 、C 三点组成三角形；②A 、B 、C 三点组成的是等腰三角形。
有同学在解题过程中只是根据②|AC|=|AB|，将轨迹的条件转化为对应的含x 、y 的方程。
因此所求出的方程保证满足条件②而无法保证满足条件①，解题后没认真检验结果，而造成“解”的不严密。
正确解法：设另一端点C 的坐标为（x,y ）依题意，得|AC|=|AB|由两点间距离公式，得2222)52()34()2y ()4x (-+-=-+-两边平方，得2222)52()34()2y ()4x (-+-=-+-整理，得10)2y ()4x (22=-+- 这是以点A （4，2）为圆心，以10为半径的圆，如图。
解析几何八大典型易错点的纠正与剖析
ʏ广东省惠州仲恺中学 陈伟流解析几何是高中数学几何与代数主线中的重要内容,其内容涵盖点㊁直线㊁曲线等多种基本概念,涉及对斜率㊁长度㊁面积等多种几何量的求解,在直线与直线㊁直线与曲线㊁曲线与曲线的位置关系情境中考查同学们对基本方法㊁基本思想的有效掌握及灵活应用㊂但在实际学习中,不少同学却在基本概念㊁方法技能㊁解题思维等方面出现理解偏差㊁考虑不周㊁思维定式等不良现象,远未达到深度理解并有效掌握的本质性要求㊂为此,笔者以解析几何中八大典型易错点为例,在错解纠正剖析的基础上,进一步点拨相关题型的求解方法,旨在促进同学们对基本概念㊁方法技能及解题思维能有更本质㊁更全面的认知理解,从而促进高考备考中的提质增效㊂一㊁斜率与倾斜角关系辨识不清例1 设某直线的斜率为k ,且k ɪ-3,33,则该直线的倾斜角α的取值范围是( )㊂A .π3,5π6B .π6,2π3C .0,π3 ɣ5π6,πD .0,π6 ɣ2π3,π 错解:由k ɪ-3,33,结合t a n 2π3=-3,t a nπ6=33,得π6<α<2π3㊂剖析:没有正确认识直线的斜率与倾斜角的关系,认为y =t a n α在(0,π)上是递增函数,出现思维定式的误判㊂正解:如图1,函数y =t a n α在0,π2上图1递增,在π2,π上递增㊂结合t a n 2π3=-3<t a n α<33=t a nπ6,得αɪ0,π6ɣ2π3,π㊂故选D ㊂点拨:对于直线斜率与倾斜角的关系判断或范围求解问题,要用函数思想㊁数形结合思想等进行指导解题,确保思维的严密性㊂二㊁平行关系判断中忽略充分性验证例2 已知直线x +2a y -1=0与直线(a -2)x -a y +2=0平行,则a =( )㊂A .-23 B .-23或0C .0或32 D .32错解:由两直线平行得-a =2a (a -2),解得a =0或a =32㊂故选C ㊂剖析:应用两直线的平行关系进行必要性判断,最后忽略了充分性验证,产生增根㊂正解:由两直线平行得-a =2a (a -2),2ʂ-(a -2),解得a =0或a =32,a ʂ0,所以a =32㊂故选D ㊂点拨:对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则l 1ʊl 2⇔A 1B 2=A 2B 1且A 1C 2ʂA 2C 1;l 1ʅl 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0,由此可知平行关系判断中需进行A 1C 2ʂA 2C 1的充分性验证,避免两直线重复产生增根,垂直关系中则无需验证㊂三㊁忽略直线方程的适用范围,产生漏解例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截23 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年11月距之和为0的直线方程㊂错解:设直线方程为x a +y -a=1,因为直线过点(2,4),所以2a +4-a =1,解得a =-2,代入直线方程得x -y +2=0㊂剖析:截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形,错解中没有考虑截距为0的情形,导致漏解㊂正解:当直线的截距均为0时,直线过原点,易得其方程为y =2x ;当直线的截距均不为0时,同错解得直线方程为x -y +2=0㊂综上可得,所求的直线方程为2x -y =0或x -y +2=0㊂点拨:在截距相等(反)㊁截距绝对值相等或截距成倍数的情境中应用截距式方程,应考虑截距为0及不为0的特殊与一般的情形㊂同样的,两点式方程也不适用于斜率为0和斜率不存在的情形,所以应用直线方程时应充分考虑方程的适用范畴,避免因思维不严密而出现漏解㊂四㊁忽略圆方程成立的必要条件例4 若过点A (4,2)可以作两条直线与圆C :(x -3m )2+(y -4m )2=25(m +4)2相切,则点A 在圆C 的(填 外部 内部 上面 ),实数m 的取值范围是㊂错解:易知点A (4,2)在圆C 的外部,代入圆C 的方程可得(4-3m )2+(2-4m )2>25(m +4)2,解得m <-1912㊂剖析:忽略圆的半径需大于0的必要条件,产生思维漏洞㊂正解:易知点A (4,2)在圆C 的外部,代入圆C 的方程得(4-3m )2+(2-4m )2>25(m +4)2,且25(m +4)2>0,解得m <-1912且m ʂ-4,故实数m 的取值范围是(-ɕ,-4)ɣ-4,-1912㊂点拨:对于圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2中的r >0及一般方程x 2+y 2+D x +E y +F =0中的D x +E y +F >0的必要条件是解题过程中容易忽略的点㊂五㊁轨迹方程求解中忽略几何图形存在的必要条件例5 在әA B C中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a ,c ,b 依次成等差数列,且a >c >b ,|A B |=2,求顶点C 的轨迹方程㊂图2错解:由a ,c ,b 依次成等差数列得a +b =2c =4,即|C A |+|C B |=4>|A B |,故顶点C 的轨迹为椭圆,如图2,以A B 的中点为原点建立平面直角坐标系,则易求得椭圆方程为x 24+y23=1㊂剖析:求解中忽略了边长的大小关系及A ,B ,C 三点不共线的前提条件㊂正解:因为a >b ,所以|C B |>|C A |,故轨迹只能取椭圆在y 轴左侧的部分,且A ,B ,C 三点不共线,需挖去椭圆的左顶点(-2,0),故顶点C 的轨迹方程为x 24+y 23=1(-2<x <0)㊂点拨:在求解动点轨迹方程时,除了要注意圆锥曲线成立的前提条件,还需注意动点在某些特殊位置是否与题意的几何条件产生矛盾,从而明晰变量的取值范围,培养思维的严密性㊂六㊁对直线与圆锥曲线的位置关系理解有偏差例6 已知过点(0,3)的直线与双曲线x 22-y 2=1有唯一公共点,则这样的直线有条㊂错解:设所求直线方程为y =k x +3,联立x 22-y 2=1,y =k x +3,消去y 整理得(1-2k 2)x 2-12k x -20=0,由Δ=(-12k )2+80(1-2k 2)=0得k =ʃ5,故满足题意的直线有2条㊂剖析:错解中混淆了直线与双曲线相切和有一个公共点的逻辑关系㊂正解:当直线与双曲线的渐近线平行时,33解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年11月其方程为y =ʃ22x +3,分别与双曲线的一支有一个公共点,符合题意;当直线与渐近线不平行时,设其方程为y =k x +3k ʂʃ22,同错解得k =ʃ5,故满足题意的直线有4条㊂点拨:在判断直线与圆锥曲线的关系位置中,若直线与封闭曲线(圆及椭圆)相切,则二者只有一个公共点;若直线与双曲线只有一个交点,则直线与曲线相切或平行于双曲线的一条渐近线㊂七㊁忽略根的判别式的适用范围例7 已知圆(x -a )2+y 2=4与抛物线y 2=6x 没有公共点,求a 的取值范围㊂错解:联立(x -a )2+y 2=4,y 2=6x ,消去y 整理得x 2+(6-2a )x +a 2-4=0,可知方程无实数解,故Δ=(6-2a )2-4(a 2-4)<0,解得a >136,故a 的取值范围为136,+ɕ㊂剖析:根的判别式只适用于直线与曲线的位置关系的判断,并不适用于曲线与曲线的位置关系的判断,错解忽略了根的判别式的适用范围㊂正解:易知圆的圆心为(a ,0),半径为2,抛物线的顶点为(0,0)㊂当圆与抛物线内切时,a =2;当圆与抛物线外切时,a =-2㊂要使两者无交点,则需a >2或a <-2,故a 的取值范围为(-ɕ,-2)ɣ(2,+ɕ)㊂点拨:在判断两个曲线的位置关系时,可通过几何图形的临界状态(曲线相切),以形助数找到参数的临界值,再对图形进行动态分析,从而进一步明确参数的取值范围㊂八㊁运算路径㊁方法不恰当,导致运算受阻或产生困难例8 已知椭圆C :x 23+y 2=1,过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,直线A E 与直线x =3交于点M ㊂试判断直线B M 与直线D E 的位置关系,并说明理由㊂错解:设直线A B 的方程为y =k (x -1)(k ʂ1),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线A E 的方程为y -1=y 1-1x 1-2(x -2)㊂令x =3,得M 3,x 1+y 1-3x 1-2,则k B M =x 1+y 1-3x 1-x 2-y 23-x 2㊂联立y =k (x -1),x 2+3y 2=3,消去y 整理得(1+3k )x 2-6k 2x +3k 2-3=0,则x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k2㊂所以k B M=y 1+x 1-3x 1-2-y 23-x 2=k (x 1-1)+x 1-3-k (x 2-1)(x 1-2)(3-x 2)(x 1-2)=2k (x 1+x 2)-k x 1x 2+x 1-3(k +1)-x 1x 2+2(x 1+x 2)+x 1-6=12k 31+3k 2-3k 3-3k1+3k2+x 1-3(k +1)-3k 2-31+3k 2+12k21+3k2+x 1-6=x 1-3x 1-3=1=k D E ,所以B M ʊD E ㊂剖析:在错解中忽略了直线斜率存在的前提条件,同时没有遵循先特殊后一般的求解逻辑,一旦后续求解出现卡壳就会使解题停滞不前,继续引发解题失败㊂正解:当直线A B 的斜率不存在时,可知A 1,63 ,B 1,-63,故直线A E 的方程为y -1=1-63(x -2),得M 3,2-63,所以k B M =1=k D E ,故B M ʊD E ㊂当直线A B 的斜率存在时,同错解得k B M =1=k D E ,故B M ʊD E ㊂综上可得,直线B M 与直线D E 平行㊂点拨:在解析几何的定值㊁定点㊁位置关系判断等问题的求解中,可优先通过直线斜率不存在(或斜率为0)等特殊条件对问题进行必要性的结论探索,再通过一般性证明结论的完整性,以减少运算方向的不明确性和阻碍性,提升运算效益㊂(责任编辑 王福华)43 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年11月。
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微专题4解析几何初步中几个易错问题
一、斜率与倾斜角之间范围互化致误
例1、（1）直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为.
（2）直线x cosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是.
例2、求过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10
10的直线方程.
二、求直线的方程时漏解致误
（1）用截距式设方程,漏掉过原点的情形
例3、过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.
（2）用点斜式设直线方程，忘记讨论斜率不存在情形
例4、（1）直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________.
（2）经过点P(2,4)的圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线方程为________.
（3）过点M(4，－8)作直线l与圆C:x2＋y2－4x＋2y－3＝0的割线交圆于A、B两点，若|AB|＝4，求直线l的方程.
二、“两直线平行”与“斜率相等”等价吗？
例5、（1）已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，求a的值．。