【100所名校】江苏省启东中学2017-2018学年高一下学期第一次月考数学试题(解析版)

江苏省启东中学2017-2018学年高一下学期第一次月考数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第I 卷（非选择题）一、填空题1．ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ， 60ab =，面积ABC S ∆= ABC ∆则c =________.2．若数列{}n a 满足()*1220n n n a a a n N++-+=∈，且122,4aa ==，则数列{}n a 的通项公式为n a =____________.3．在△ABC 中，BC =， 1AC =，且6B π=，则A =______．4．在等比数列{}n a 中，已知253432,4a a a a =-+=，且公比为整数，则9a =_______.5．若在,x y 两数之间插入3个数，使这五个数成等差数列，其公差为()110d d ≠，若在,x y 两数之间插入4个数，使这6个数也成等差数列，其公差为()220d d ≠，那么12dd =______．6．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则15a a += ___________．7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， ()7193S a a =+则的54a a 值为____________. 8．已知等比数列的前n 项和为n S ，若32:3:2S S =，则公比q = ．9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,sin ,a b B C +== sin 2C=______________.10．已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*n ∈N ，总有314n n n S T +=，则33a b = ． 11．各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n = ．12．在ABC ∆中，已知1,2,b c AD ==是A ∠的平分线，AD =，则C ∠=________. 13．在锐角三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.14．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 等于_______．二、解答题15．在ABC ∆中， ,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边， （1）若,,A B C 成等差数列，求cos cos A C +的取值范围；（2）若,,a b c 成等差数列，且4cos 5B =，求11tan tan A C+的值． 16．已知数列{a n }是首项为a 1=14，公比q=14的等比数列，设1423log n n b a +=（n ∈N *），数列{c n }满足c n =a n •b n （1）求证：{b n }是等差数列； （2）求数列{c n }的前n 项和S n ．17．已知数列{}n a 的首项为2，前n 项和为n S ，且()*1112.41n n n n N a a S +-=∈-. （1）求2a 的值； （2）设1nn n na b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（3）求数列{}n a 的通项公式；18．如图，半圆O 的直径为2， A 为直径延长线上的一点， 2OA =， B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，设AOB α∠= (0)απ<<.班级 姓名 准考证号 考场号 座位号（1）当α为何值时,四边形OACB 面积最大,最大值为多少； （2）当α为何值时， OC 长最大，最大值为多少．19．设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足2222623455,,a a a a a =+=+数列{}n b 的通项公式为311n b n =-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）将数列{}n a ,{}4n b +中的公共项按从小到大的顺序构成数列{}n C ，请直接写出数列{}n C 的通项公式； （3）记nn nb d a =，是否存在正整数,m n ()5m n ≠≠，使得5,,m n d d d 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．20．已知n 为正整数，数列{}n a 满足0n a >， ()221410n n n a na++-=，设数列{}n b 满足2n n n a b t=（1）求证：数列为等比数列； （2）若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值；（3）若数列{}n b 是等差数列，前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈，均存在*m N ∈，使得242211816n na S a nb -=成立，求满足条件的所有整数1a 的值.江苏省启东中学2017-2018学年高一下学期第一次月考数 学 答 案1．3【解析】由题意得11sin 60sin 22ABC S ab C C ∆==⨯⨯=sin C =． 设又ABC ∆外接圆的半径为r，则2sin cr C==，∴3c C ===． 答案：3 2．2n【解析】由递推公式可得： 211n n n n a a a a +++-=-，数列{}n a 是等差数列，故：()2112,12n d a a a a n d n =-==+-=.3．3π或23π【解析】在△ABC 中，由正弦定理得sin sin BC ACA B=，∴sin sin 6BC B A AC π⋅===，又BC AC >， ∴6A B π>=，∴3A π=或23A π=． 答案： 3π或23π4．256【解析】由等比数列的性质结合题意有： 25343432{4a a a a a a ==-+=，解得： 348{ 4a a ==-或438{ 4a a ==-，结合公比为整数可得： 43824a q a ===--， 则： ()()669342256a a q ==-⨯-=-.点睛：等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．5．54【解析】由题意得11,45y x y xd d --==， ∴1154d d =． 答案： 546．11【解析】由21n S n =+,得21112a =+= ,()()2255451419a S S =-=+-+=. 152911a a +=+=故.7．76【解析】∵()7193S a a =+， ∴()()1719732a a a a +=+，∴4576a a =， ∴5476a a =． 答案：76点睛：在等差数列的项与前n 项和的计算中，项的下标和的性质，即若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，常与前n 项和公式()12n n n a a S +=结合在一起，利用整体思想解题，可简化解题过程，提高运算的速度．8．112-或 【解析】试题分析：若1q =，必有3211:3:23:2S S a a ==，满足题意；若1q ≠，由等比数列的求和公式可得()()32113211::3:211a q a q S S q q --==--，化简可得212102q q q --=⇒=-，综上112q =-或．考点：等比数列的性质9．4【解析】由sin B C =及正弦定理得b =，又2a b =，∴a =．∴22CA B π==-. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a cA C=，∴sin cos 2sin cossin 22222ccC C C C Cπ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴sin24C ==． 答案：410．9 【解析】试题分析：由题意可知，111a b =，不妨设11a b t ==，{}{},n n a b 的公比分别为,p q ，则 221105142S t tq q T t tp p ++====++，222332128714S t tq tq q q T t tp tp p p ++++====++++，解得14p q =⎧⎨=⎩（舍去），或39p q =⎧⎨=⎩，所以23238199a tqb tp ===； 考点：1.等比数列的通项；2.等比数列的前n 项和； 11．12n - 【解析】试题分析：由2213a a a =，211a a -=及0n a >得()2131111124a a a a a +==++≥（当且仅当11a =时取等号），此时22a =，则12n n a -=．考点：等比数列通项公式，基本不等式. 12．090【解析】设ABC ∆中BC 边上的高为h ，则有11sin 2211sin 22ABD ADCAB AD BAD BD hS S AC AD CAD CD h ∆∆⋅⋅∠⋅⋅==⋅⋅∠⋅⋅，整理得2AB BD AC CD ==． 设22BD CD x ==，在,ABD ADC ∆∆中分别由余弦定理得22222222AB AD BD AC AD CD AB AD AC AD+-+-=⋅⋅⋅⋅，222222241x x+-+-=，解得x =． 在ADC ∆中由余弦定理得2221cos 0C +-==．又0180C ︒<<︒， ∴90C =︒． 答案： 90︒点睛：解答本题时首先根据三角形的面积公式得到三角形角平分线的性质，即三角形的角平分线分对边所成的两条线段与该角的两边对应成比例，利用此结论并结合余弦定理可得到三角形的为止边长，然后在根据要求解题即可．13．13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，【解析】∵22b a ac -=，∴22222cos b a ac a c ac B =+=+-， ∴2cos c a B a =+，由正弦定理得sin 2sin cos sin C A B A =+， 又()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， ∴()sin cos sin sin cos sin A A B A B B A =-=-，∵ABC ∆是锐角三角形， ∴A B A =-，∴2,3B A C A π==-，∴02{02 2032A A A ππππ<<<<<-<，解得64A ππ<<，∴232A ππ<<，即32B ππ<<．∵()sin 11cos cos sin cos cos sin tan tan sin sin sin sin sin sin B A A B B A B A A B A B A B A B ---=-==sin 1sin sin sin A A B B ==．又sin 12B <<，∴1sin B <<11tan tan A B -的取值范围为⎛ ⎝⎭． 答案：⎛ ⎝⎭点睛：解答本题时注意两点（1）注意“锐角三角形”这一条件的运用，由此可得三角形三个角的具体范围．（2）根据三角变换将11tan tan A B-化为某一角的某个三角函数的形式，然后再根据角的范围求出三角函数值的取值范围． 14．12【解析】由题意可得12131,2,23a d a a d d a a d d ==+==+=， 2222123,,b d b d q b d q ===．∴2222221232222212349141a a a d d d b b b d d q d q q q ++++==++++++， 又222123123a a ab b b ++++是正整数，公比q 是小于1的正有理数，令2141t q q =++， t是正整数，可得21410q q t ++-=，解得q =或q =（舍去）．对t 进行赋值可得，当8t =时， 12q =符合题意． 答案：1215．（1）1,12⎛⎤⎥⎝⎦；（2）2. 【解析】试题分析：（1）由A B C ，，成等差数列可得233B C A ππ==-，，于是 2cos cos cos cos sin 36A C A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据6A π+的范围可得所求结果．（2）由4cos 5B =，得3sin 5B =．由余弦定理得22285b a c ac =+-，又由2a c b +=，可得22224a c ac b ++=，于是得256ac b =，所以25sin sin sin 6A C B =．由三角变换得11cos cosCtan tan sin sin A A C A C+=+625sin B== 试题解析： （1）∵A B C ，，成等差数列， ∴2A C B += ， ∴233B C A ππ==-，， ∴2cos cos cos cos sin 36A C A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又203A π<<， ∴5666A πππ<+<， ∴1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭． ∴cos cos A C +的取值范围是112⎛⎤⎥⎝⎦，． （2）△ABC 中，由4cos 5B =，得3sin 5B ==． 由余弦定理得2222282cos 5b ac ac B a c ac =+-=+-．①∵a b c ，，成等差数列， ∴2a c b +=，∴22224a c ac b ++=②，由①②得256ac b =， 由正弦定理得25sin sin sin 6A CB =， ∴11cos cosC cos sin cosCsin sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin A A C A A C B A C A C A C A C A C +++=+=== 625sin B==． 16．（1）见解析；（2）()1*21281334n n n S n N ++⎛⎫=-⨯∈ ⎪⎝⎭.【解析】试题分析：（1）由等比数列通项公式可得14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是()1413log 232,*4nn b n n N ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，根据等差数列的定义可证明结论成立．（2）由（1）可得()1324nn c n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，用错位相减法求和即可．试题解析：（1）由题意知， 1111444n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()1413log 232,*4nn b n n N ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，∴()()1312323n n b b n n +⎡⎤-=+---=⎣⎦， 又13121b =⨯-=．∴数列{b n }是首项b 1=1，公差为3的等差数列．（2）由（1）知， ()1,32,*4nn n a b n n N ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭，∴()1324nn c n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭．∴()()23111111147353244444n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①∴()()23411111111473532444444nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①-②得()234131111113324444444nn n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211111441133214414n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯⎪⎝⎭-()1113224n n +⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，∴1232334n n n S ++=-⋅． 点睛：错位相减法求和的适用条件及关注点(1)适用条件：如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前n 项和可用此法来求．即求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．(2)关注点：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式． 17．（1）2143a =；（2）414n n b -=；（3）823n n a -=. 【解析】试题分析：（1）根据递推关系可得求得2a ．（2）由条件可得可得11241n n n n n a a S a a ++-=-，于是111241n nn n n a a S a a ----=-，以上两式相减变形可得1111n n n n n n a a a a a a -+--=--，即()112n n b b n --=≥，于是可得数列{}n b 为等差数列，并可求得其通项．（3）由（2）可得1414n n n a n a a +-=-，可得14341n n a n a n ++=-，根据累乘法可得数列{}n a 的通项公式．试题解析： (1)∵12a =，且12111241a a S -=-， ∴2112224217a -==⨯- 解得.(2)由()*111241n n n n N a a S +-=∈-，可得11241n n n n na a S a a ++-=-，∴， 2n ≥∴()()14141n n S S ----=，，∴，∴，化为:，即()112n n b b n --=≥，又11212314423a b a a ===--，数列是首项为34，公差为1的等差数列．.(3)由(2)可得:1414n n n a n a a +-=-，∴14341n n a n a n ++=-， ∴()14+3241n n a n n a n -=≥-，，又12a =满足上式．()*n N ∈.点睛：累乘法求通项的注意点当数列的递推关系满足()1n na f n a +=且()f n 可求积时，可用累乘法求出数列的通项公式n a ，即13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅．由于上式成立的条件是2n ≥，故在求得n a 后需要验证1a 是否满足，否则将通项公式写成分段函数的形式． 18．（1）当56απ=，最大2+（2）当23απ=时， OC 有最大值3. 【解析】试题分析：（1）由题意可得四边形OABC 的面积为2sin 3AOB ABC S S S πα∆∆⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭，又0απ<<，故2333πππα-<-<，所以当32ππα-=，即56απ=时，四边形OABC 的面积最大，且最大值为2+（2）由题意先求得cos OAC ∠=OC =然后结合α的取值范围求得当23απ=时， OC 有最大值，且OC 的最大值为3. 试题解析：(1) OAB∆中， 254cos AB α=-， 又sin AOB S α∆=，2ABC S AB α∆== ∴四边形OABC 的面积为sin 2sin 3AOB ABC S S S πααα∆∆⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭∵0απ<<， ∴2333πππα-<-<， ∴当32ππα-=，即56απ=时，四边形OABC 的面积最大，且最大值为2+ （2）在OAB∆中，sin sin OB AOB OAB AB ∠∠==cos OAB ∴∠==()cos cos 60OAC OAB ∴∠=∠+=在OAC ∆中，由余弦定理得2222cos OC OA AC OA AC OAC =+-⋅⋅∠=2cos 54sin 56πααα⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，∴()()0OC απ=∈， ∵5666πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， ∴当62ππα-=，即23απ=时， OC 有最大值，且OC 的最大值为3. 点睛：解决三角函数最值问题的常用方法，根据题意将所求最值问题转化为求形如()()sin f x A x ωϕ=+的函数的最值问题处理，解题时要注意求出变量x 的取值范围，然后将x ωϕ+作为一个整体进行求解，必要时可借助函数图象的直观性解题．19．（1）27n a n =-（2）61n C n =+（3）存在正整数m ＝11，n ＝1；m ＝2，n ＝3；m ＝6，n ＝11使得b 2，b m ，b n 成等差数列【解析】试题分析:(1)利用基本元的思想,将已知条件转化为1,a d 的形式,解方程组求得1,a d 的值,并求得n a 的通项公式.(2)由于n a 是首项为5-,公差为2的等差数列,且77a =,而431n b n +=+是,首项为4,第二项为7的等差数列,故n c 是首项为7,公差为6的等差数列,故通项公式为61n c n =+.(3) 31127n n d n -=-,先假设存在这样的数,m n ,利用5,,m n d d d 成等差数列,化简得到92132m n =--,利用列举法求得,m n 的值. 试题解析:（1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得()()43433d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由65a =得155a d +=，解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-(2) 61n C n =+(3),假设存在正整数m 、n ，使得d 5，d m ，d n 成等差数列，则d 5＋d n ＝2d m ． 31127n n d n -=-所以43＋31127n n --＝311227m m -⨯-， 化简得：2m ＝13－92n -．当n －2＝－1，即n ＝1时，m ＝11，符合题意； 当n －2＝1，即n ＝3时，m ＝2，符合题意 当n －2＝3，即n ＝5时，m ＝5(舍去) ； 当n －2＝9，即n ＝11时，m ＝6，符合题意．所以存在正整数m ＝11，n ＝1；m ＝2，n ＝3；m ＝6，n ＝11 使得b 2，b m ，b n 成等差数列．【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求数列的通项公式,考查两个数的最小公倍数,考查存在性问题的求解方法.对于题目已知数列为等差数列的题目,要求通项公式或者前n 项和公式,可以考虑将已知条件转化为1,a d ,列方程组来求解,当已知条件为等比数列时,则转化为1,a q 来求解.20．（1）见解析；（2）4t =；（3）见解析. 【解析】试题分析： （1）由()221410n n n a na++-=，可得22141n n a a n n +=⋅+，2=，于是证得数列为等比数列．（2）由（1112n a -=⋅，故112n n a a -=⋅，从而可得数列{}n b 的通项公式，根据等差数列可得2132b b b =+，由此求得4t =或12t =，然后分别验证可得4t =符合条件．（3）由题意可得有()24421111811684ma a n n a n ⋅+-=⋅成立，即214na m =对任意的*n N ∈，均存在*m N ∈成立，且1a 为正整数，然后将1a 分为奇数和偶数两种情况讨论，最后可得*12,a k k N =∈时符合题意．试题解析：(1)证明：∵()221410n n n a na ++-=，∴22141n n a a n n+=⋅+， 又0n a >，2=，数列是首项为，公比为2的等比数列．(2)解:由(1)112n a -=⋅，∴112n n a a -=⋅∴数列{}n b 是等差数列， ∴2132b b b =+，，解得4t =或12t =． 当4t =时，，是关于n 的一次函数，因此数列{}n b 是等差数列；当12t =时，，由于，不是常数，因此数列{}n b 不是等差数列．综上可得4t =．(3)解:由(2)得，对任意的*n N ∈，均存在*m N ∈，使得成立，即有()24421111811684ma a n n a n ⋅+-=⋅，化简得214na m =，当*12,a k k N =∈时，，对任意的*n N ∈，符合题意；当*121,a k k N =-∈时，若，则 不符合题意.对任意的*n N ∈，也不符合题意.综上可得，当*12,a k k N =∈，对任意的*n N ∈，均存在*m N ∈， 使得成立.。