复数
第一章复数 在本章中，我们将要全面论述复数系的代数和几何结构。我们假设实数的各个对应性质是已知的。 1 加法与乘法
复数可以定义为一组有序实数对（x ，y ），正如实数x 可以认为是实数轴上的点一样，复数（x ，y ）可以解释为复平面中的点，其直角坐标为x 和y 。当实数看做实轴上的点（x ，0）时，则实数集是复平面的一个子集。形如（0，y ）的复数对应于轴上的点，则称为纯函数，称轴为虚轴。
习惯上用表示复数（x ，y ）所以
(,)z x y = (1-1)
x 和y ，分别称为复数的实部和虚部，记作 Re z x =,Im z y = (1-2)
复数111(,)z x y =和222(,)z x y =相等是指它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等。于是12z z =是指1z 和2z 对应复平面中相同的点。
两复数111(,)z x y =和222(,)z x y =的和12z z +以及乘积12z z 定义如下： 1122121
(,)(,)(,)x y x y x x y y +=++ (1-3) 1122121212(,)(,)
(,)
x y x y x x y y y x x y ?=-+ (1-4) 注意当限制到实数时，由方程(1-3)和(1-4)定义的运算成为通常的加法和乘法运算：
12
12(,0)(,0)(,0)
x x x x +=+ ()
121
2(,0),0(x x ,0)
x x ?=. 因此复数系是实数系的自然推广。
任何复数(,)z x y =可写成(,0)(0,y)z x =+且容易看出(0,1)(,0)(0,y)y ?=
因此 (,0)(0,1)(z x y =+?
并且如果我们把实数看成x 或(,0)x 并用i 表示虚数(0,1)（参见图1-1）
图1-1 则有
z x i y =+ （1-5）
通过约定2z z z =?，32z z z =?，等等，我们发现 2(0,1)(0,1)(1,0)i =?=- 或 21i =- （1-6）
根据表达式（1-5）定义（1-3）或(1-4)成为
1122121()()()()x i y x i y x x i y y +++=+++ (1-7) 1122
121
212()()()()x i y x i y x x y y i y x x y +?+=-++
(1-8) 注意到这些方程右边可以通过如下方程得到：即形式地把左边的每一项当成是实数进行运算，遇到2i 用-1代替。
2 基本代数性质
复数的加法和乘法的各种性质与实数的加法和乘法的各种性质相同。我们列举出其中最基本的代数性质，并证明它们中的一些基本代数性质。其它的代数基本性质在练习中证明。
交换律：1221z z z z +=+ ，1221z z z z = (2-1)
结合律：123123()()z z z z z z ++=++ ,123123()()z z z z z z =. (2-2)
容易从第1节中复数的加法和乘法的定义和实数运算满足的法则得出例如，如果
111(,)z x y =和222(,)z x y =则
12121221212(,)(,)z z x x y y x x y y z z
+=++=++=+
如上其余法则以及分配律
1212()z z z zz zz +=+ (2-3) 的证明是相似的。
根据乘法的交换律有iy yi =因此我们用z x yi =+代替z x iy =+.同样因为结合律，正如实数一样，不用括号的和123z z z ++或乘积123z z z 同样是有意义的。
实数的加法单位元0(0,0)=和乘法单位元1(1,0)=完全可以移到复数系中，即对每个复数z
0z z +=和1z z ?= (2-4)
此外，0和1是唯一满足此性质的复数
对每个复数z ，有一个相应的加法逆元
(,)z x y -=-- (2-5)
满足方程()0z z +-=，此外由方程(,)(,)(0,0)x y u v +=可以推出，
u x =-,v y =-对每个复数z ，有且只有一个相应的加法逆元，由于
()()()iy i y i y -=-=-，表达式（2-5）无疑也可以写成z x iy -=--。加法逆元可以
用来定义减法：
1212()z z z z -=+- (2-6)
因而，如果111(,)z x y =和222(,)z x y =那么（2-7）
对任何非零复数(,)z x y =，存在一个复数1z -满足11zz -=，这个乘法逆元没有加法逆元那么明显。为了找出这个乘法逆元，我们寻找实数u 和v 使得
(,)(,)(1,0)x y u v =
根据第1节定义两个复数的乘积的方程（1-4），u 和v 必须满足一对线性齐次方程
1x u y v -=
,0yu xv +=, 简单的计算得到唯一的解， 22x u x y =
+,22
+y
v x y -=
因而(,)z x y =的乘法逆元是 12222
(
,
)x y
z x y x y
--=++,（0z ≠）. （2-8）
当0z =时，乘法逆元1z -没有定义，事实上，0z =意味着220x y +=；这在表达式（2-8）中是不允许的。 练习
1 验证下列等式：
（a ）)(1)2i i i -=-;(b)(2,3)(2,1=-1,8--）（）
; (c) 11
(3,1)(3,1)(,)(2,1)510
-=.
2证明
(a) Re()Im iz z =-;(b) Im()Re iz z = 3证明
22(1)12i z z +=++
4验证两个复数1z i =±中的每一个满足方程2220z z -+=. 5证明乘法的交换律,即第2节方程（2-1）中的第二式。 6验证
（a ）加法的结合律，即第2节方程（2-2）中的第一式; （b ）第2节分配律(2-3).
7 用加法结合律和分配律证明 123123()z z z z zz zz zz ++=++
8记(0,1)i =和(,0)y y =，证明()()()iy i y i y -=-=-
9（a ）记(,)(,)(,)x y u v x y +=指出复数0(0,0)=作为加法单位元是满足次性质的唯一加法单位元。
(b)记(,)(,v)(x,y)x y u =，证明复数110=（，）作为乘法单位元是满足此条件的唯
一乘法单位元。
10通过记
(,)(,)(,)
(1,0)x y x y
x y ++=
解关于和的线性齐次方程，解关于(,)z x y =的方程210z z ++= 提示：利用任何实数不满足给定的方程这一事实证明0y ≠。
3 其它性质
在这一节中，我们叙述一系列复数的加法和乘法的其它代数性质，这些性质能从第2节已经叙述的性质中推出。因为这样的性质对实数也成立，从而这样的性质对复数可预见也是有效的，读者可以直接跳过。
首先注意到乘法逆元的存在性使我们能证明：如果乘积120z z =是零，则因子1z 和2z 至少有一个是零，因为假设120z z =和逆元11z -存在根据乘法的定义任何复数乘以零等于零。
因此
1
11
2211
211211()()00
z z z z z z z z z ---=?===?= 即，如果120z z =或者10z =或者20z =或者1z 和2z 都等于零，说明这一结果的另一方法是：如果复数1z 和2z 都是非零复数，则它们的乘积也是非零复数。
除以一个非零复数的定义如下：
11
122
z z z z -= （20z ≠） (3-1) 如果111(,)z x y =和222(,)z x y =，此处的(3-1)和第2节的表达式(2-8)说明
1221212121
2
1122222222222222222(,)(,)(,)z x y x x y y y x x y x y z x y x y x y x y -+-==++++ 即,
11212121222
222()()
z x x y y i y x x y z x y ++-=
+ (20z ≠) (3-2) 虽然表达式（3-2）不容易记住，但可以通过写（参见练习7）
1112
22222
2()()
()()
z x i y x i y z x i y x i y +-=
+- (3-3) 然后把右边的分子和分母分别乘出得到，最后利用性质
11112
12
123
1323
3
33
()z z z z z z z z z z z z z z ---+=+=+=
+ (30z ≠) (3-4) 从方程（3-3）出发的动机在第5节说明。 涉及商的等式可以从如下关系得出
122
1
z z -= (20z ≠) (3-5) 这是当11z =时的方程（3-1）关系（3-5）使我们能把方程（3-1）写成形式
1122
1
()z z z z = （20z ≠） (3-6) 同样，注意到（参见练习3）
11
11
12121122()()()()
1z z z z z z z z ----=
= (10z ≠,20z ≠).
和1111212()z z z z ---=，我们能用关系（3-5）证明
111
12121212
111()()()z z z z z z z z ---=== (10z ≠,20z ≠). 另外一个有用的将在练习中导出的公式是
12123434
()()z z z z
z z z z = （30z ≠，40z ≠）. 例，现在验证如下的计算 111()()231(23)(1)15555(5)(5)52652626512626
i i i i i i i i i i i i i =-+-++=?-++=
+-+==+=+
最后，关于实数的二项式公式对复数仍然成立，即：如果z 1，z 2是两复数
12120()n
n
n k k k n z z z z k -=??
+= ???
∑ (1,2
n = ) (3-9)
其中
()!
k !
!n n k n k ??= ?-?? (1,2
,k n =)
且约定0！=1，其证明可用数学归纳法，留作练习。
练习
1把下面的量化作实数 (a)
122345i i i i +-+-;(b)5(1)(2)(3)
i
i i i ---;(c)4(1)i -. 2证明
(a)(1)z z -=-;(b)
1
1z z
= (0z ≠) 3用乘法的结合律和交换律证明 1234132()()
()()
z z z z z z z z =
4证明如果1230z z z =则三个因子中至少有一个是0（提示：重写为123()0z z z =且利用关于两个因子的类似结果）。
5利用第三节表达式（3-2）后描述的方法，导出关于商1
2z z
的第3节表达式（3-2） 6利用第3节关系（3-6）和（3-7）导出等式（3-8） 7利用第3节等式（3-8）导出消除律：
11
22
z z z z z z = （0z ≠，20z ≠）. 8用数学归纳法验证第3节二项式公式（3-9）具体的说，首先注意到这一公式当1n =时是成立的，然后假设这一公式当n m =时是成立的，其中m 表示任意正整数，证明1n m =+当时这一公式也必须成立. 4 模
对每个非零复数z x iy =+，很自然对应复平面一个从原点到点（x ,y ）(第1节)的有向线段或一个向量。事实上，我们常称z 为点z 或向量z 。在图4-1中z x iy =+和2i -+表示成点和半径向量。
图4-1
根据两复数111z x iy =+和222z x iy =+的和的定义，数12z z +对应点（12x x +，12y y +）
。它也对应其分量是它的分量的向量，因此12z z +可如图4-2显示的那样用平行四边形法则得到。差1212()z z z z -=+-对应向量1z 与2z -的和（图4-3）。
图4-2
图4-3
虽然两复数1z 与2z 的乘积本身也是复数，也可以用位于1z 与2z 所在平面中的向量表示，但这一乘积不是标量也不是 用普通的向量分析方法得到的向量。
在把实数的绝对值的概念推广到复数时，复数的向量表示特别有用，一个复数z x iy =+的模或绝对值定义为一个非负数且表示为z ；即，
z = （4-1）
几何上，数z 是点(,)x y 到原点的距离，或表示z 的向量长度，当0y =时，此数在实数系中通常的绝对值，注意除非1z 与2z 是实数，否则不等式12z z <无意义。12z z <表示1z 比2z 更靠近原点。
例1 由于32i -+=14i +=，所以点32i -+比14i +更靠近原点。
两点111z x iy =+和222z x iy =+之间的距离是12z z -，这从图4-3中可看出，由于12z z -是向量12z z -的长度；通过平移半径向量12z z -，可以把12z z -解释成点11(,)x y 到点22(,)x y 的有向线段。另外，这也可以从表达式
121212()()z z x x i y y -=-+-
和定义12z z -=
圆心在0z 半径为R 的圆周上的点与满足方程0z z R -=的复数z 是一一对应的，我们把这些点的集合简写为圆0z z R -=.
例2 方程132z i -+=表示中心在0(1,3)z =-，半径为2R =的圆周. 从定义4.1得到实数z ， Re z x =,Im z y =满足方程 2
22(Rez)(Im )z z =+ （4-2）
Re Re z z z ≤≤和Im Im z z z ≤≤ （4-3）
现回到三角不等式，此不等式对两个复数1z 与2z 的模给出一个上界. 1212z z z z +≤+ （4-4）
如图4-3，这个不等式几何上的重要性是明显的，因为它说明了三角形的一边的长度小于或等于另外两边长度的和，当1z 与2z 是共线时，从图4-3中看出不等式4-4实际上是等式，另外，严格的代数证明在第5节的练习16中给出。
三角不等式的一个直接结果是
1212z z z z +≥- （4-5）
为了导出不等式4-5，可以写
1122122()()z z z z z z z =++-≤++- 这说明
1212z z z z +≥- (4-6)
当12z z ≥时，这就是不等式4-5，如果12z z <，只需在不等式4-6中交换1z 与2z 的位置，得到
1212()z z z z +≥--
这就是所希望的结果，当然不等式4-5说明三角形的长度大于或等于另外两边长度之差。
因为22z z -=，在不等式4-4和4-5中可以用2z -代替2z ，我们把这些结果概括成特别有用的形式
1212z z z z ±≤- (4-7)
1212z z z z ±≥- (4-8)
例3 如果点z 在圆心为零的圆周1z =上，则
1223z z -≤+= 且 1221z z -≥-=
三角不等式4-4用数学归纳法可以推广到有限项和： 1212n n z z z z z z ++
+≤+++ （2,3
n =）. （4-9）
为了在这里给出归纳法的详细证明，注意当2n =时不等式4-9就是不等式4-4，进一步，如果不等式4-9假设当n m =时成立，则当1n m =+时不等式4-9也必定成立，这是因为，根据不等式4-4
12112
1
()m m m m z z z z z z z z ++++
++≤++++ 121()m m z z z z +≤++++
练习
1 当（a ）12z i =,22
3
z i =
-;(b)1(z =,2z =;(c) 1(3,1)z =-;2(1,4)z =;(d) 111z x iy =+,111z x iy =-时，用向量标出数12z z +和12z z -的位置。 2验证第4节关于Re z ，Im z ，z 的不等式4-3
3Re Im z z ≥+（提示：把不等式变为2()0x y +≥）. 4在如下情况下，画出满足给定条件的点集的草图 （a ）11z i -+=;(b) 3z i +≤; (c) 44z i -≥。
5利用12z z -表示两点之间的距离，给出如下的几何证明: (a) 4410z i z i -++= 表示其焦点是（0，4±）的椭圆； （b ）1z z i -=+表示通过原点斜率为-1的直线。 5 共轭复数
一个复数z x iy =+的共轭复数或简称共轭，定义为复数x iy -，表示为z ；即
z x iy =- （5-1）
用点（x,-y ）表示复数z ，这是表示z 的点（x,y ）关于实轴的反射（图5-1）
图5-1 注意到对任意z ，有
z z =和z z =如果111z x iy =+和222z x iy =+，则
1212121122()()()()
z z x x i y y x iy x iy +=+-+=-+-
因此和的共轭等于共轭的和：
1212z z z z +=+ （5-2） 类似的，易证
1212z z z z -=- （5-3） 1212z z z z
=? （5-4） 和1122
(
)z z
z z = （20z ≠） （5-5） 复数z x iy =+和它的共轭z x iy =-的和是实数2x,差是纯虚数2iy 。因此
Re 2
z z z +=
，Im 2z z
z i -=- （5-6）
复数z x iy =+的共轭与它的模有一个重要的等式 2
z z z = （5-7）
其中每边都等于22x y +。这给出了决定第3节表达式3-3中的商12z z 的一个方法，这方法是将12z z 的分子和分母同时乘以2z 从而使分母变成实数。 例1 作为例子
213(13)(25555
12(2)(2)5
2i i i i i i i i i i -+-++-+-+====-+--+-）， 也可参见第3节末的例子。
在从如上所述的共轭复数的性质得到模的性质中，等式（5-7）特别有用，我们叙述
1212z z z z = （5-8） 和
11
22
z z z z = （5-9） 记住模是非负的，通过写
2
2
2
2121212121211221
212()()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z z z =====性质5-8就
可以得到，性质5-9可通过类似的方式证明。
例2 性质5-8告诉我们2
2z z =和3
3z z =，因此如果z 位于中心在原点，半径为2的圆中，则2z <，从第4节中的广义三角不等式5-9得到 3
23232132125z z z z z z +-+≤+++<。 练习
1利用第5节建立的共轭和模的性质证明 （a ）33z i z i +=-; (b) iz iz =-
(c) 2(2)34i i +=-;
(d) (2)5z i z +=+. 2 画出由给定条件决定的点集的草图 （a ）Re()2z i -=; (b) 24z i -=. 3验证第5节关于共轭的性质5-3和5-4 4利用第5节关于共轭的性质5-4验证 （a ）123123z z z z z z =??; (b)4
4
z z = 5验证第5节关于模的性质5-9
6利用第5节的结果，当3z 与2z 是非零复数时，证明： （a ） 112323(
)z z z z z z = ; (b) 11
2323
z z z z z z = 7证明：当1z ≤时，有
3Re(2)4z z ++≤
8利用已经建立的模的性质证明：当34z z ≠时，有
1212
3434
z z z z z z z z ++≤+- 9在第3节已证明：如果120z z =，则1z 和2z 中至少有一个是零，根据实数的相应的结果和第5节恒等式5-8，对这一结果给出另一证明。
10 通过把4243z z -+分解成两个二次因子和利用第4节不等式5-8，证明：如果z 位于圆周2z =上，则
42
11
433
z z ≤-+
11证明：
(a)z 是一个实数的充要条件是z z =；
(b)z 是一个实数或纯虚数的充要条件是2
2z z =. 12根据数学归纳法，证明2,3n =时
(a) 1212n n z z z z z z +++=++
+
(b) 12
12n n z z z z z z =??
?.
13设01,,(1)n a a a n ≥是实数，z 是任意复数，利用练习12的结果证明：
22012012n n n n a a z a z a z a a z a z a z ++++=++++
14证明中心在0z 半径为R 的圆的方程0z z R -=可以写成
2
2
2002Re()z zz z R -+=
15利用第5节关于Rez 和Imz 的表达式5-6，证明双曲线221x y -=可以写成 222z z +=
16按以下步骤推导三角不等式（第4节），给出一个代数证明 1212z z z z +≤+ （a ）证明
2
12121212
121222
()()()z z z z z z z z z z z z z z +=++=+++. (b) 指出为什么
121212122R e ()
2z z z z z z z z +=≤. (c) 利用(a)和(b)的结果得到不等式 2
21212()z z z z +=+， 且注意如何导出三角不等式。 6 指数形式
设r 和θ是与一个非零复数z x iy =+对应的点（x,y ）的极坐标，由于
cos x r θ=和sin y r θ=，数z 可写成极坐标形式
(c o s s i n z r i θθ=+ （6-1）
如果0z =坐标θ是无定义的；因此当讨论arg z 时，总认为0z ≠。
在复分析中，实数r 不许为负数，它是向量z 的长度，即r z =，实数θ表示度量向量z 的角度，即当z 看做向量（图6-1）时，z 与正实轴的夹角，在计算中θ
有无穷多个可能的值包括负数，它们相差2π的整数倍，这些值可由方程tan y
x
θ=
决定，其中包含对应点z 的象限必须指定，θ的每一个这样的值称为z 的幅角，
所以这样的值的集合表示为arg z ，arg z 的主值用Argz 表示，它是满足πθπ
-<≤的唯一的值θ，注意arg 2z Argz n π=+ （0,1,2n =±±） （6-2）
当z 是一个负实数时，Argz 有值π而不是π-
图6-1
例1 在第3象限的复数1i --有主值34
π
-，即
3(1)4
Arg i π
--=-
由于θ的主值的限制πθπ-<≤，必须强调的是5(1)4
Arg i π
--=是不成立的。 根据方程6-2
3a r g (1
)24
i n π
π--=-+ （0,1,2n =±±） 注意方程右边的项可以用它的任意指定的值代替，例如可以写成
5arg(1)24i n π
π--=+ （0,1,2n =±±）
符号i e θ或exp()i θ通过欧拉公式
c o s s i n i e i θθθ=+ （6-3）
来定义，其中θ是向量与正实轴的夹角，它可使我们把极坐标形式（6-1）用指
数形式写成更紧密的形式
i z re θ= （6-4）
符号i eθ的选取将在后面的第28节得到启示，然而第7节中的应用表明这种选择
是自然而合理的。
例2 在例1的复数1i
--有指数形式
3
1()]
4
i i
π
--=-
约定()
i i
e e
θθ
--
=，这也可以写成34
1i
iπ
-
--=，表达式当然是1i
--的指数形式
的无穷个可能的数之一：
3
1(2n)]
4
i i
π
π
--=-+（0,1,2
n=±±）
注意到表达式6-4中r=1告诉我们数i eθ位于中心在原点，半径为1的圆周上，如图6-2所示，i eθ的值不用参照欧拉公式，可直接从图中得出。
图6-2
例如，在如下几何上是明显的
1
i
eπ=-，2i e i
π
-=-，41
i
eπ-=.
注意到方程Re i
zθ
=（02
θπ
≤≤）（6-7）
是中心在原点，半径为R的圆周z R
=的参数表上，当参变量θ从0
θ=增加到2
θπ
=时，点z从正实轴开始，沿着圆周逆时针方向转动一周，更一般地，中心
在
z点，半径为R的圆周
z z R
-=有参数表示
Re i
z zθ
=+（02
θπ
≤≤）（6-8）
这可以从向量图中看出（图6-3），注意当点z沿着圆周
z z R
-=逆时针方向环
绕一周时，对应用固定向量
z与一个长为R倾斜角θ从0
θ=到2
θπ
=变化的向
量的和。
图6-3 7 指数形式的乘积和商
简单的三角函数知识告诉我们，正如微积分中的指数函数一样， i e θ具有加法性质：
12121122121212121212()
(cos sin )(cos sin )(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )cos()sin()i i i e e i i i i e θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+=++=-++=+++=
于是，如果 1
11i z re θ=和222i z r e θ=，乘积12z z 有指数形式 1212()121212i i i z z rr e e rr e
θθθθ+== （7-1） 此外
12121212()()111102222
i i i i i i i z r r r e e e e
z r e e r e r θθθθθ-θθθ---=?=?= （7-2） 因为01i e =，从表达式7-2得到任意一个非零复数i z re θ=的逆是
111i z e z r
θ
--=
= （7-3） 通过对实数和x e 应用通常的代数规则，表达式（7-1）（7-2）和（7-3）当然容易记住，表达式6-1产生关于幅角的一个重要的恒等式：
1212arg()arg arg z z z z =+ （7-4）
它可解释成如果这三个（多值）幅角中的两个值被确定，则存在第三个幅角使得方程成立。
设1θ和2θ分别表示1arg z 和2arg z 中的一个值，我们来验证说明（7-4）表达
式7-1则告诉我们1θ+2θ，是12arg()z z 中的一个值（参见图7-1），另一方面，如果12arg()z z 和1arg z 的值被指定，则这些值对应于表达式
1212arg()()2z z n θθπ=++ （0,1,2n =±±）
111arg 2z n θπ=+ （0,1,2n =±±）
中特别指定的n 和n 1,由于
121121()2(2)[2()]n n n n θθπθπθπ++=+++-， 当值 221a r g 2()
z n n θπ=+- 被选好后，则方程7-4成立。当12arg()z z 和2arg z 的值被指定后，由于对称性也可验证7-4.
当arg 用Arg 代替时，有时等式7-4也是成立的（参见练习7），但下列例子说明一般不是这样。
图7-1 例1 当11z =-和2z i =时
12Arg()Arg()2z z i π
=-=-
但是123Argz Argz 22
π
π
π+=+
=
。然而，如果我们取1
arg z 和2arg z 为已取的值且选取12arg()z z 的值为123Arg()2222
z z ππ
ππ+=-+=则我们
发现等式7-4是成立的。 等式7-4告诉我们 111
12122
arg(
)arg()arg arg()z z z z z z --==+ 且可从表达式7-3中看出
122arg()arg z z -=- （7-5） 因此 1
122
arg(
)arg arg z z z z =- （7-6） 等式7-5当然可以解释成左边的值的集合等于右边的值的集合，然后如同等式7-4，等式7-6用同样的方法可以解释成左边的值的集合等于右边的值的集合。 例2 当
z =
时，注意到
arg arg(2)arg(1)z =--，找出Argz 的主值。
因为 (2)Arg π-=和(13
Arg π
+=
，arg z 的值之一是
23π，且因为23
π在π-和π之间，我们发现23
Argz π
=
，对i z re θ=形式地应用实数规则，可以得到另一个重要的结果
n n in z r e θ= （0,1,2
n =±±） （7-7）
对整数n 用数学归纳法容易证明，具体来说，首先注意到当1n =时，它为i z re θ=，下一步，假设当n m =时，它是成立的，其中m 是任意一个正整数，根据指数形式的两个非零复数的乘积的表达式7-1，对1n m =+：
11(m 1)m m i m im m i z zz re r e r e θθθ+++===它是成立的，表达式7-7对任何正整数n
成立，如果约定00z =，则它对0n =也是成立的，另一方面，如果1,2n =--用
z 的逆相乘，并令
1()n m z z -=其中1,2,m n =-=
那么，由表达式7-7对正整数幂成立，由1z -的指数形式7-3得到
()()()()111
[]()()n i m m im n i n n in z e e e r e r r r
θθθθ-----==== （1,2
n =--）
表达式7-7对所有整数幂成立。
注意当1r =时，表达式变成
()i n in e e θθ= （0,1,2n =±±） （7-8）
当写成如下形式时
(cos sin )cosn sinn n i i θθθθ+=+ （0,1,2
n =±±） （7-9）这称为棣莫
弗公式。
甚至当复数是用直角坐标系给出且所希望的形式也用直角坐标系给出时，表
达式7-7对找出复数的幂也是有用的。
例3 为了把7)i 写成直角坐标形式，只要
77
7
7
666
6)(2)2(2)(2))i
i
i
i i e e e e i π
ππ
π
====-
练习
1当（a ）22i
z i
=
--, (b) 6z )i =时，找出主值Argz 2证明（a ）1i e θ=; (b)i i e e θθ-= 3,运用数学归纳法证明 1212
()
n n i i i i e e e e θθθ+
θθθ++= （2,3,n =）
4 运用模1i e θ-是点i e θ到点1的距离这一事实，找出满足方程1i e θ-=2的在区间02θπ≤≤的值θ并给出一个几何证明。 5运用棣莫弗公式导出下面三角恒等式：
（a ）32cos3cos 3cos sin θθθθ=-; (b)23sin33cos sin sin θθθθ=-
6通过把左边的单个因子写成指数的形式，做必要的运算，最后回到直角坐标系，证明
（a ）(1)2(1)i i =;(b)5122i
i i =++;
(c) 7(1)8(1)i i -+=-+ ;(d) 1011(1)2(1)--=-. 7证明如果1Re 0z >且2Re 0z >则 1212(z z )Arg Argz Argz =+
其中12(z z )Arg 表示12(z z )arg 的主值，其他的符号也如此表示。 8，设z 是一个非零复数且n 是一个负整数（1,2
n =--），又令i z re θ=且
1,2,
m n =-=用表达式
m m i m z r e θ=和1()1
()i z e r
θ--=
验证11()()m m z z --=，因此在第7节的定义1()n m z z -=可以用另一种方式写成
1()n m z z -=
9证明两个非零复数1z 和2z 有相同模的充要条件是存在复数1c 和2c 使得112z c c =且212z c c =。
高考数学各地试题知识点分类汇编复数
1. 【2016高考新课标1文数】设()()12i i a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 考点：复数的概念及复数的乘法运算 【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. 2.【2016高考新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ） （A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】 试题分析：由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C. 考点： 复数的运算，共轭复数. 【名师点睛】复数(,R)a bi a b +∈的共轭复数是(,R)a bi a b -∈，两个复数
是共轭复数，其模相等. 3. [2016高考新课标Ⅲ文数]若43i z =+，则 || z z ＝（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）43i 55 + （D ） 43i 55 - 【答案】D 【解析】 试题分析： 43i ||55 z z ==-，故选D ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模． 【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 4.【2016高考四川文科】设i 为虚数单位，则复数2(1)i +=( ) (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 考点：复数的运算. 【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可． 5.【2016高考北京文数】复数 122i i +=-（ ） A.i B.1i + C.i - D.1i -
数学·复数的认识
数学·复数的认识 一：什么是“复数”？ 复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足、四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。 二：复数的定义 数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。 定义：形如z=a+bi的数称为复数(complex number)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1（a，b是任意实数） 我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部（real part)记作Rez=a 实数b称为复数z的虚部（imaginary part)记作 Imz=b. 已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数 当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 定义：对于复数z=a+bi，称复数z'=a-bi为z的共轭复数。 定义：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣ 即对于复数z=a+bi，它的模 ∣z∣=√(a^2+b^2)
复数的集合用C表示，显然，R是C的真子集 复数集是无序集，不能建立大小顺序。 共轭复数有些有趣的性质：︱x+yi︱=︱x-yi︱(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2 三：四则运算法则 四则运算法则 若复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈R，则 z1±z2=（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i， （a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i， （a+bi）÷(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)i/(c^2+d^2) 其实两复数相除，完全可以转化为两复数相乘：（a+bi）÷(c+di)= （a+bi）/(c+di)，此时分子分母同时乘以分母c+di的共轭复数c-di即可。复数的加法乘法运算律 z1+z2=z2+z1 （z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) z1z2=z2z1 z1(z2z3)=(z1z2)z3 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 虚数单位i的乘方 i^(4n+1)=i,i^(4n+2)=-1,i^(4n+3)=-i,i^4n=1(其中n∈Z） 加法法则 复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两 个复数， 则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的 虚部是原来两个虚部的和。 复数的加法满足交换律和结合律， 即对任意复数z1,z2,z3,有： z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
复数的知识点总结与题型归纳
复数的知识点总结与题型归纳 一、知识要点 1．复数的有关概念 我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位． 全体复数所成的集合C 叫做复数集． 复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式． 对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部． 说明： (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b 而非b i. (3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等 在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d . 3．复数的分类 对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下： 复数z ????? 实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数). 说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
4．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应 复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模 (1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． 说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数． 6．复数的加、减法法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)， 则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律 设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义 设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→ 的终点并指向OZ 1――→ 的向量所对应的复数． 它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
动词复数的变化规则
1 名词变复数 一．名词变复数规则变化及发音： 1、绝大多数的可数名词在词尾加上s ； eg：book→books；desk→desks；pen→pens；car →cars s遇t读浊辅音[ts]，遇d读清辅音[dz] eg：friend→friends; cat→cats; 2.、以s、x、ch、sh结尾的单词，在该词末尾加上-es；读音规则：读[iz]； eg：bus→buses; box →boxes; watch→watchches; dish→dishes 3、以辅音字母+y结尾的名词，要把y变为i，再加-es；读音规则：读[z]。 eg：fly→flies; baby →babies; 元音字母加y结尾的单词直接加s；eg：toy→toys；boy→boys； 4、以-f或-fe结尾的名词，要将-f或-fe变为-v，再加es；读音规则：读[vz]； eg：knife→knives；leaf→leaves； 5、以-o结尾的名词，初级阶段只有三个单词要加-es，其余都加-s；读音规则：读[z]。eg：tomato→tomatoes西红柿; potato→potatoes土豆; hero→heroes 英雄; Negro—Negroes 口诀：“黑人英雄喜欢吃土豆和西红柿”其余eg：zoo→zoos; hippo→hippos；二．名词变复数不规则变化： 1.单词内部发生变化：口诀―oo常常变ee，男人女人a变e‖ eg：foot→feet脚；tooth→teeth牙齿；man→men男人；woman→women女人； 2.单复数相同：―羊鱼小鹿无变化，单数复数是一家‖ eg：sheep→sheep绵羊；fish→fish鱼；deer →deer鹿； 3.不规则变化：child→children孩子；mouse→mice老鼠；German→Germans德国人； ⒈不可数名词概念：不可以数的名词叫做不可数名词。包括物质名词（表示无法分为个体的物质）和抽象名词（表示抽象概念的词）。 ⒉不可数名词特点： ⑴不可数名词没有复数形式，也不能与a, an及数词连用，常作单数看待。例： water There’s some water in the bottle. food My favorite food is noodles. ⑵不可数名词如表数量，常和a bottle of, a glass of等名词词组连用。如表示复数，只把量词改为复数。 例：a bottle of pop一瓶汽水 , two glasses of orange juice 两杯桔子汁， three cups of tea 三杯茶，a piece of paper一张纸 ⑶有些物质名词有时可数，有时不可数，要根据上下文决定，其意义也有所不同。 A glass is made of glass.玻璃杯是玻璃制成的。（玻璃杯可数，玻璃不可数。） I bought a melon yesterday. I want to eat some melon. 四．特殊名词的讲解： ⑴people 作“人们，人民”解时，只有复数形式，谓语动词作复数。作“民族”解时，单复数不同，复数要在词尾加s。 There are five people in my family. 我家有五口人。 There are fifty-six peoples in our country.我们国家有56个民族。 ⑵clothes，pyjamas（睡衣；宽长裤）等属于无单数形式的复数名词，谓语作复数。例：My favorite clothes are pants. These pyjamas are too small. ⑶ pants , shoes , glasses ,shorts，scissors等名词，由两部分构成，常以复数形式出现，谓语动词要用复数。要表示单数常用a pair of表示，此时如作主语，谓语要作单数看待。 例：Your pants are blue. This pair of pants is mine. ⑷集体名词看作整体时，谓语用单数; 指成员时，谓语用复数。 His family is a large family. His family like animals. 指整体指成员⑸有的名词单复数意思不同：
高考数学复数习题及答案
高考复习试卷含答案 一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．(2017·山东)复数3－i 1－i 等于 ( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i 答案：C 解析：3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i 2＝2＋i.故选C. 2．(2017·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝ ( ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i 答案：D 解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13－－13i 13＝i ＋i ＝2i. 3．(2017·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋2 1－i 是实数，那么z 等于 ( ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 答案：D 解析：由题意得z ＝a i.(a ∈R 且a ≠0)． ∴ z ＋21－i ＝(2＋a i)(1＋i)(1－i)(1＋i) ＝2－a ＋(a ＋2)i 2， 则a ＋2＝0，∴a ＝－2.有z ＝－2i ，故选D. 4．(2017·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( ) A ．2i B ．0 C ．－2i D ．－2 答案：B 解析：依题意，f (i)＝i 3－i 2＋i －1＝－i ＋1＋i －1＝0，选择B. 5．(2017·北京朝阳4月)复数z ＝2－i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 解析：z ＝2－i 1＋i ＝12－3 2 i ，它对应的点在第四象限，故选D. 6．(2017·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为 ( ) A ．－2 B ．－12 C ．2 D.1 2 答案：A 解析：2＋i i ＝1－2i ，把它表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为－2，故选A. 7．(2017·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 答案：B 解析：z ＝tan45°－i·sin60°＝1－32i ，z 2＝1 4 －3i ，故选B. 8．(2017·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B ．－π6
高中数学-复数的基础知识
复数 基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++=， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，
集合名词教你分清名词单复数
集合名词-教你分清名词单复数 集合名词 第一类 形式为单数，但意义可以用为单数或复数这类集合名词包括family(家庭)family，team(队)，class(班)，audience(听众)等， 其用法特点为：若视为整体，表示单数意义；若考虑其个体成员，表示复数意义。 比较并体会：His family is large. 他的家是个大家庭。 His family are all waiting for him. 他的一家人都在等他。 This class consists of 45 pupils. 这个班由45个学生组成。 This class are reading English now. 这个班的学生在读英语。 这个班的学生在读英语。
第二类 形式为单数，但意义永远为复数这类集合名词包括cattle(牛，牲畜)cattle，people(人)，police(警察)等， 其用法特点为：只有单数形式, 但却表示复数意义，用作主语时谓语用复数；不与a(n) 连用，但可与the连用(连用)。 如：People will laugh at you. 人们会笑你的。 The police are looking for him. 警察在找他。 Many cattle were killed for this. 就因为这个原因宰了不少牲畜。 注：表示牲畜的头数，用单位词head(单复数同形)。如：five head of cattle 5头牛，fifty (head of) cattle 50头牛 第三类 形式为复数，意义也为复数这类集合名词包括goods(货物), clothes(衣服)等， 其用法特点是：只有复数形式(当然也表示复数意义，用作主语时谓
单复数变化规则
名词的单复数变化规律 一，可数名词不规则的单数变复数 1，完全不变 A: sheep, fish , people, Chinese, Swiss,deer, Japanese 请注意单复数相同的计数单位 dozen 一打，十二个,score 二十，这两个词后面不接of结构。 比如：24个鸡蛋2 dozen（=24） eggs 80个学生4 score（=80） students B:head 头这个词也不用复数形式 比如：5头猪 5 pigs或5 head of pigs,这个head不能加s 2, 名词末尾加en ox→oxen children men women 3,词中间变化 brother→brothers brother →brethren(这个也是对的) 如果还有别的变化，通常都属于外来词汇。 4,以O结尾的 A:辅音+ O：加es [z] : hero→heroes tomato→tomatoes 注意：有些以辅音O 结尾的名词，也是直接加S。 B:元音+ O：加s [z] photo,bamboo,piano,solo直接加s 注意：以Y和O结尾的都发[Z] zoo,radio 5, 以th结尾的名词，直接加S，但是读音则看音标 如th在长元音后面，发音：咬舌z加不咬舌z, Path th就要发咬舌z,不能发成咬舌z。后面一个s发不咬舌的z（一定是在长元音后） 如th在短元音后面，发音：咬舌s加不咬舌s. mouth th就要发咬舌s，后面一个s发不咬舌的s 注意：二者在发音时不同的地方 二，不可数名词单数变复数
１，物质名词和抽象名词通常没有复数形式，其中物质名词可以借助量词来表示： 如果是可以做可数名词的抽象名词，那么就有复数形式。 比如：water→waters 水域 There are 5 waters 而抽象名词有时候也可以借助量词来达到可数的作用 2，集体名词的复数： 基本上，如果集体名词表示整体，那么没有复数形式。 e.g This is a great family. 如果集体名词表示许多个体，那么有复数形式： e.g There are 50 families. 注意，有些集体名词在变成复数的时候，意思会发生变化。 还要注意：有些时候，就算集体名词表示整体，也用复数——表示多个整体。 通常见到的集体名词：class,group ,company, club,army,enemy. 三个最常见的“只用复数动词”的集体名词：people,cattle,police. e.g The police are on the way to the park. 3, 专有名词的复数： 通常不变，但要注意：人名和地名（尤其是山,谓语动词要用单数形式）有时会出现复数的情况。例如：There is 4 Emei mountains in China.(要用is，不用are.)因为山一般不会有同名，特别是名胜古迹，都是独一无二的。而人名和地名常有同名。 There are 5 Jhons in my team. 如果是人名，则表示很多个相同姓氏的人。后面的动词用复数。 4,复合名词的数： passer-by→passers-by 过路人 looker-on→ lookers-on旁观者(复数加在前一个词上) man writer→ men writers man doctor→ men doctors woman cook→ women cooks 如果以man woman开头的复合名词，变复数时两个词都要变成复数 非实意名词单复数的使用相对比较灵活，现在多倾向于用复数 比如： opportunities Look forward to more opportunities of cooperation. 显得你对合作非常期待，而且欢迎各种合作 如果表示没有什么机会了，就说 less opportunity 而不说 few opportunity ——可见，单复数形式的选用与语义语境有很大关系 类似的还有：potential, possibility, attitude 等等
高中数学复数专题知识点整理
专题二 复数 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解
复数的有关概念
复数的有关概念 教学目标 (1)掌握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。 (2)正确对复数进行分类,掌握数集之间的从属关系; (3)理解复数的几何意义,初步掌握复数集c和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。 (4)培养学生数形结合的数学思想,训练学生条理的逻辑思维能力. 教学建议 (一)教材分析 1、知识结构 本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件,接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念. 2、重点、难点分析 (1)正确复数的实部与虚部 对于复数,实部是,虚部是.注意在说复数时,一定有,否则,不能说实部是,虚部是,复数的实部和虚部都是实数。
说明:对于复数的定义,特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。 (2)正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系 分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一。根据上述原则,复数集的分类如下: 注意分清复数分类中的界限: ①设,则为实数 ②为虚数 ③且。 ④为纯虚数且 (3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意: ①化为复数的标准形式 ②实部、虚部中的字母为实数,即 (4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注意: ①任何一个复数都可以由一个有序实数对( )唯一确定.这就是说,复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对( )叫做复数的. ②复数用复平面内的点z( )表示.复平面内的点z的坐标是( ),而不是( ),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是.由于
(完整版)复数变化规则
名词复数变化规则（详细） 一、绝大多数的可数名词的复数形式，是在该词末尾加上后辍-s。 读音变化：结尾是清辅音读[s]，结尾是浊辅音或元音读[z]。 例：friend→friends; cat→cats; style→styles; sport→sports; piece→pieces 二、凡是以s、z、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加上后辍-es构成复数。 读音变化：统一加读[iz]。 例：bus→buses; quiz→quizzes; fox→foxes; match→matches; flash→flashes 三、以辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加-es。 读音变化：加读[z]。 例：candy→candies; daisy→daisies; fairy→fairies; lady→ladies; story→stories 四、以-o结尾的名词，如果不是外来词或缩写，就加-es，否则加-s构成复数。 读音变化：加读[z]。 例：tomato→tomatoes; potato→potatoes; torpedo→torpedoes; bingo→bingoes 反例：silo→silos; piano→pianos（外来词）; photo→photos; macro→macros（缩写词） 五、以-f或-fe结尾的名词，多为将-f或-fe改变为-ves，但有例外。 读音变化：尾音[f]改读[vz]。 例：knife→knives; life→lives; leaf→leaves; staff→staves; scarf→scarves 反例：roof→roofs 六、以-us结尾的名词（多为外来词），通常将-us改变为-i构成复数。 读音变化：尾音[Es]改读[ai]，其中[kEs]要改读为[sai]，[gEs]要改读为[dVai]。 例：fungus→fungi; abacus→abaci; focus→foci; cactus→cacti; cestus→cesti 七、以-is结尾的名词，通常将-is改变为-es。 读音变化：尾音[is]改读[i:z]。 例：axis→axes; basis→bases; naris→nares; hypothesis→hypotheses; restis→restes 八、以-ix结尾的名词，通常将-ix改变为-ices，但有例外。 读音变化：尾音[iks]改读[isi:z]。 例：matrix→matrices; directrix→directrices; calix→calices; appendix→appendices 反例：affix→affixes 九、以-um结尾的名词，将-um改变为-a。 读音变化：去掉鼻尾音[m]。 例：forum→fora; stadium→stadia; aquarium→aquaria; datum→data; vacuum→vacua 十、以-a结尾的名词，在该词末尾加上后辍-e。 读音变化：尾音[E]改读[i:]。 例：larva→larvae; formula→formulae; ala→alae; media→mediae; hydra→hydrae 十一、部分单词的复数形式不变。 读音变化：保持原音。 例：fish→fish; sheep→sheep; cattle→cattle; deer→deer; salmon→salmon 十二、极少数单词，其复数形式没有任何规律。 读音变化：没有规律。 例：man→men; woman→women; child→children; person→people; ox→oxen 十三、一些单数词得加en才能变成复数词： 例：ox→oxen; child→children; brother→brethren 十四、一些单数词得改头换面一番,才能变成复数词 例：analysis→analyses分析; basis→bases基础; datum→data数据; foot→feet; formula→formulae/formulas公式; goose→geese; louse→lic e虱子; man→men mouse→mice; medium→media/mediums媒介; memorandum→memoranda/memorandums备忘录; parenthesis→parentheses 圆括号; phenomenon→phenomena现象; radius→radii 半径 tooth→teeth; woman→women 十五、有些名词是单数、复数不分的
2020高考复习数学：复数(附答案)
利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！ 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.如果复数2i 1i 2+-b （其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互 为相反数，那么b 等于 A.2 B. 3 2 C.－3 2 D.2 解析：2i 1i 2+-b =5 2i)-i)(12(b -=5 i )4(22+--b b ∴2－2b =b +4，b =－3 2. 答案：C 2.当3 2＜m ＜1时，复数z =(3m －2)+(m －1)i 在复平面上对应的 点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：z 对应的点为(3m －2，m －1)， ∵3 2＜m ＜1， ∴0＜3m －2＜1，－3 1＜m －1＜0. 答案：D 3.在下列命题中，正确命题的个数为 ①两个复数不能比较大小; ②z 1、z 2、z 3∈C ，若(z 1－z 2)2+(z 2－z 3)2=0，则z 1=z 3; ③若(x 2－1)+(x 2+3x +2)i 是纯虚数，则实数x =±1; ④z 为虚数的一个充要条件是z +z ∈R ;
⑤若a 、b 是两个相等的实数，则(a －b )+(a +b )i 是纯虚数; ⑥复数z ∈R 的一个充要条件是z =z . A.0 B.1 C.2 D.3 解析：①错，两个复数如果都是实数则可比较大小;②错，当z 1、 z 2、z 3不全是实数时不成立，如z 1=i ，z 2=1+i ，z 3=1时满足条件， 但z 1≠z 3;③错，当x =－1时，虚部也为零，原数是实数;④错，此条件是必要非充分条件;⑤错，当a =b =0时，原数是实数;⑥对. 答案：B 4.设f (n )=(i 1i 1-+)n +(i 1i 1+-)n (n ∈Z )，则集合｛x ｜x =f (n )｝中元素的 个数是 A.1 B.2 C.3 D.无穷多个 解析：∵f (n )=i n +(－i)n ， ∴f (0)=2，f (1)=i －i=0，f (2)=－1－1=－2，f (3)=－i+i=0. ∴｛x ｜x =f (n )｝=｛－2，0，2｝. 答案：C 5.已知复平面内的圆M ：|z －2|=1，若1 1+-p p 为纯虚数，则与复数 p 对应的点P A.必在圆M 上 B.必在圆M 内 C.必在圆M 外 D.不能确定
高中数学复数
第1章：复数与复变函数 §1 复数 1．复数域 形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。记为 z x Re =， z y Im = 虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数，z 的共轭复数记为z 。 设 ，复数的四则运算定义为 加（减）法： 乘法： 除法： 相等： 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+ ②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ?=? ④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ??=?? ⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ?+?=+? 全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示。
例 设i 3,i 5221+=-=z z ，求 2 1 z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。 解 为求 2 1 z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=??=z z z z z z z 2．复平面 一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点 所引的矢量 与复数z 也构成一一对应 关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如： 这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3． 复数的模与辐角 向量 的长度称为复数 的模或绝对值，即：
复数集内一元二次方程的解法
复数集内一元二次方程的解法 一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭， 1．判定下列方程根的情况，并解方程 （1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x （2）0122=+-x x 答：4 71i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值． |x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9． 3．已知实系数一元二次方程2x 2 ＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值． 二、复系数一元二次方程 虚根不一定成对，成对也不一定共轭。 1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？） 求方程x 2-2ix-7=0的解 解方程：x 2-4ix+5=0； 解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5 351,221-==（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，） 2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0． 2511 22=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 2311 22=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题 1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解．
名词的复数变化形式
英语名词单数变复数主要有以下规则： 一、绝大多数的可数名词的复数形式，是在该词末尾加上后辍-s。 读音变化：结尾是清辅音读[s]，结尾是浊辅音或元音读[z]。 例：friend→friends; cat→cats; style→styles; sport→sports; piece→pieces 二、凡是以s、z、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加上后辍-es构成复数。 读音变化：统一加读[iz]。 例：bus→buses; quiz→quizzes; fox→foxes; match→matches; flash→flashes box →boxes; watch →watches; actress →actresses; class →classes; coach（长途车）→coaches; dress →dresses; sandwich →sandwiches; toothbrush →toothbrushes; waitress（女侍者）→waitresses 三、以辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加-es。
读音变化：加读[z]。 例：candy→candies; daisy（雏菊）→daisies; fairy→fairies; lady→ladies; story→stories strawberry →strawberries; baby →babies; puppy →puppies; library →libraries; dictionary →dictionaries; cherry →cherries; activity →activities 四、以-o结尾的名词，如果不是外来词或缩写，就加-es，否则加-s构成复数。（有生命的加es，无生命的加s） 读音变化：加读[z]。 例：tomato→tomatoes; potato→potatoes; torpedo(鱼雷)→torpedoes; bingo（彩票式游戏）→bingoes 反例：silo（青贮塔）→silos; piano→pianos（外来词）; photo→photos; macro（宏指令，计机算语言）→macros（缩写词）
高考数学复数知识点总结及解题思路方法
高考数学复数知识点总结及解题思路方法 考试内容： 复数的概念． 复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充． 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． §15. 复数知识要点 1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即1 =. i2- ⑵复数及其相关概念： ①复数—形如a + b i的数（其中R ，）； b a∈ ②实数—当b = 0时的复数a + b i，即a； ③虚数—当0≠b时的复数a + b i； ④纯虚数—当a = 0且0≠b时的复数a + b i，即b i. ⑤复数a + b i的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意 a，b都是实数） ⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ⑶两个复数相等的定义：
00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数] 2若21z z ，则021 z z -.（√） ②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件. （当22)(i b a =-， 0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=. 其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0 z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程： ） （00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②2 1 z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③21212 1202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为 a 的椭 圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）. ④ ）， （2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的 双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式： 设21z z ，是不等于零的复数，则 ① 2 12121z z z z z z +≤+≤-.