自由电子与布洛赫电子的区别
布洛赫定理 近自由电子近似-山东大学固体物理
正格基矢
倒格基矢
a1、a 2、a 3 ,
b 1、b 2、b 3
例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二、 第三布里渊区。
aa
a1 ai a2 a j
a2 a j
aa
a1 ai
2π ( i j )
ai b j 2π ij
0 (i j)
b1 2π i a 2π
b2 j a
例3：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的
扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为 a，b。
解: a1 ai
a2 bj
2π (i j)
ai b j 2π ij
0 (i j)
b1 2π i a
b2 2π j
b
b
倒格仍为矩形。
a2 bj
a1 ai
a
2π
b
2π
a
j
i
第一区
第二区
目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波矢点的分 布是准连续的。一个波矢对应的体积为：
b1 ( b2 b3 ) Ω* (2π)3 (2π)3 N1 N2 N3 N N Ω VC
一个波矢代表点对应的体积为： (2π)3 VC
电子的波矢密度为：
Vc ( 2 π) 3
下面我们证明
(r
Rn
)
eikRn
(r)
k(r
2 Rn )
k(r) 2
可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面
波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述
电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。
5.1.2 k的取值和范围
设晶体在a1、a2、a3方向各有N
固体电子1---布洛赫理论
i k R m
完全不影响本征值(Rm)的值。
为了使k能与(Rm)的值一一对应，可将k限制在倒空间b1、b2、 b3形成的倒格子原胞之中，实际上最方便的办法是选在第一布 里渊区。 k的表达式：
k l l1 l b1 2 b 2 3 b 3 N1 N2 N3
代表k空间均匀分布的点，因为l1、l2、l3由周期性边界条件可知 为整数。每个点对应一个波矢取值，占据的k空间体积为：
如果忽略势能项U(r)，上面方程的解就是自由电子的平面 波波函数。 在一般情况下，晶格周期势场 U(r) 的形式比较复杂，求解 单电子薛定谔方程依然是十分困难的。因此在处理实际问题
时需要根据具体的情况采用不同的近似方法。
7
2 2 2 2 1 e2 U ( R , , R , ) U ( r , , r , , R , , R , ) (rj ,, R j ,) E (rj ,, R j ,) j n 0 1 n 1 j 1 n 2 m 2 M 2 4 r n j ' j ' j j 0 j ', j
(r R m ) T (R m ) (r) (R m ) (r)
作为电子波函数，(r)和(r+Rm)都要求满足归一化条件：
2 2 2 2 2 | ( r R ) | dr | ( R ) ( r ) | dr | ( R ) | | ( r ) | dr | ( R ) | 1 m m m m
即：
ei ( Rm Rn ) ei ( Rm ) ei ( Rn )
(R m R n ) (R m ) (R n )
上式仅当与Rn呈线性关系才能得到满足，取：
自由电子与布洛赫电子的区别
自由电子与布洛赫电子的区别-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1自由电子与布洛赫电子的区别（哈尔滨工业大学 材料科学与工程系1419002班）摘要：在1928年，布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体物理特性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill ，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet ，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov ，1892年）等独立地提出。
随后表产生了布洛赫电子的概念。
本文主要探讨自由电子与布洛赫电子的区别。
关键词：自由电子；布洛赫电子；区别1 基本概念1.1 自由电子 自由电子(free electron)按照电子的运动范围定义指不被约束在某一个特定原子内部的电子，在化学中是指在分子中与某个特定原子或共价键无关的电子。
当这种电子在受到外电场或外磁场的作用时，能够在物质（晶体点阵）中或真空中运动。
因此自由电子也叫做离域电子。
由金属的电子云模型理论可以确定，金属晶体中存在自由电子。
自由电子的多少会影响晶体的导电性和导热性，自由电子愈多，电传导的能力愈强，而大部分的金属晶体都有较多的自由电子，所以金属都具有良好的导热性和导电性。
1.2 布洛赫定理晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波，即电子的波函数具有如下形式其中k 为电子的波矢，Rn 是晶格矢 上述理论称为布洛赫(Bloch)定理。
布洛赫定理的另一种表述为，存在以波矢 使得对属于布拉维格子的所有格矢 成立。
1.3 布洛赫电子用布洛赫函数描述的电子称为布洛赫电子。
)(e )(r u r k rk i k ⋅=ψ)()(r u R r u k n k =+k n R 332211a n a n a n R n ++=)(e )(r R r n R k i n ψψ⋅=+2 区别研究2.1周期性质晶体的平移周期性不仅仅是几何图形的周期性，而且每个原子胞的各种物理化学性质也是一样的，因此，所有单胞内电子的密度分布特性也是一样的。
布洛赫定理、一维近自由电子近似
布洛赫定理在固体物理、表面物 理等领域有广泛应用，是理解周
期性结构中粒子行为的基础。
一维近自由电子近似研究现状
1
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述 一维晶体中电子的运动。
2
在一维近自由电子近似中，电子被视为在周期性 势场中运动的粒子，其波函数具有一维周期性。
3
目前，一维近自由电子近似已被广泛应用于研究 一维晶体中的电子结构和物理性质，如电荷密度 波、自旋密度波等现象。
发展更精确的理论模型和计算方法，以更准确地 描述一维晶体中电子的运动和相互作用。
探索一维近自由电子近似在其他领域的应用，如 光子晶体、表面等离激元等。
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这一定理表明，在周期性势场中，电子的波函数具有与周期性势场相同的周期性 。
布洛赫定理对一维近自由电子近似的影响
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述在一维空 间中运动的电子的行为。这种近似忽略了电子之间的相互 作用以及更高阶的能量修正。
根据布洛赫定理，一维近自由电子近似中的波函数应该是 具有周期性的。这意味着，在计算电子的能量和波函数时， 需要考虑周期性势场的影响。
布洛赫定理指出，如果一个函数在一个区间内可积，那么这个函数在这个区间内的积分等于该函数在 区间内任意分割的子区间上的积分的极限。这个定理在数学分析、实变函数等领域有着广泛的应用。
02 一维近自由电子近似的基 本概念
1. 布洛赫定理的表述
布洛赫定理表述为：对于周期性势场， 电子运动的波函数具有Bloch函数的周期 性。即，对于晶体中的电子，其波函数 可以表示为：Ψ(r)=u(r)exp(ik·r)，其中 u(r)是周期性函数，k是波矢。
一、布洛赫定理
自由电子气和布洛赫电子的异同研究
自由电子气和布洛赫电子的异同研究张馨予1121900130哈尔滨工业大学 材料学院，材料科学与工程一班（1219001）摘 要：为了研究晶体中电子的运动状态，建立了多种理论和模型。
本文主要介绍自由电子气模型、布洛赫模型及原理的推导及特点，并比较其异同。
关键词：自由电子气模型；布洛赫模型；布洛赫原理1 自由电子气模型1.1 自由电子气模型假设（1）自由电子近似（Free electron approximation ）：忽略电子——离子的相互作用 独立电子近似（Independent electron approximation ）：忽略电子——电子之间的相互作用（2）电子之间的碰撞是瞬时的，经过碰撞，电子速度的改变也是突然的。
（3）电子在dt 时间所受碰撞的几率正比于dt/τ，τ通常被成为弛豫时间（Relaxation time ），相应的近似被成为弛豫时间近似（Relaxation time approximation ）。
（4）电子通过碰撞处于热平衡状态。
电子热平衡的获得被假定通过一个简单的途径达到，即碰撞前后的速度没有关联（电子对自己的速度历史没有记忆）。
电子热平衡分布满足Bolzmann 统计 （经典统计）。
1.2 金属的直流电导 1.2.1电导率由欧姆定律（Ohm ’s law ）：R I V ⋅=，欧姆定律更一般的形式（微分形式）：E J⋅=σ按照自由电子气模型分析：假定t 时刻电子的平均动量为p(t)，经过dt 时间，电子没有受到碰撞的几率为 1-dt/τ，那么这部分电子对平均动量的贡献为])()([1)(dt t F t p dt dt t p+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+τ （1）式中F(t)是电子所受的外力。
对于受到碰撞的电子对平均动量的贡献：这部分电子的比率为dt/τ，它们受到碰撞后无规取向（动量无规取向对平均动量无贡献）。
这部分电子对平均动量的贡献在于受到碰撞前从外场获得的动量，由于碰撞发生在t+dt 时刻或之前，因此对平均动量的总贡献小于dt t F dt ⋅⋅)()/(τ，这里涉及dt 的二次项，是个二阶小量，可以略去。
固体物理基础参考解答
当 T > 0 K 时，费米分布函数有
⎧
⎪1
f
(ε
)
=
⎪ ⎨0
⎪ ⎪
1
⎩2
ε << µ ε >> µ
ε =µ
下图给出了在基态 T=0K 和较低温度下 T > 0 K 时的费米分布函数。
基态和较低温度下的费米分布函数
从
− ∂f ∂ε
=
1 kBT
1 e(ε −µ ) kBT
1 + 1 e-(ε −µ ) kBT
对于自由电子气体，能量为
εn (k ) =
2k 2 2m
∇kεn (k )
=
2
m
k
；
k
=
1
(2mε
)
1 2
三维下，对应等能面为球面，所以单位体积的能态密度为：
∫ g (ε ) = 2
n
(2π )3
dsε
=2
4π k 2 =
1
(2m3
)
1 2
ε
1 2
∇k εn (k ) 8π 3 2k / m π 2 3
米波矢、费米能量、费米速度、费米温度等。
5. 如何理解金属自由电子气体的简并性？
答 ：在 统 计 物 理 中 ，把 体 系 与 经 典 行 为 的 偏 离 ，称 为 简 并 性 (degeneracy)。在
绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。按照经
典 的 自 由 电 子 气 体 (Drude)的 模 型 ，电 子 在 T=0 时 的 平 均 能 量 为 零 。因 此 ，在 T=0K
如此对全部电子气来说要出现沿磁感应强度 B 方向的净磁矩，因而，出现了泡利
4.1布洛赫定理、一维近自由电子近似
试求电子在该态的波矢。 解: 根据 Bloch 定理, 而
π
ψ k ( x + na) = eiknaψ k ( x)
a π
ψ k ( x + na) = sin ( x + na)
π = sin x + nπ = sin a a
所以
=e
inπ
sin
πx
a
x cos nπ
V (ξ )d ξ = Vn
否则
k ' |V | k = 0
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
根据这个结果, 波函数考虑一级修正后可写成
ψ k = ψ k0 +ψ k(1)
= Vn 1 ikx e +∑ 2 L n ℏ 2 2π k − k + 2m a 1 e 2 L n
Tα f (r ) = f (r + aα ), α = 1, 2,3
其中 a1, a2, a3 为晶格三个基矢
显然这些算符是相互对易的
Tα Tβ f (r ) = Tα f (r + a β ) = f (r + a β + aα )
= Tβ Tα f (r )
或
Tα Tβ − Tβ Tα = 0
它具有晶格周期性
ℏ2 2 Tα Hf (r ) = − ∇ r + aα + V (r + aα ) f (r + aα ) 2m ℏ2 2 = − ∇ r + V ( r ) f ( r + aα ) 2m
= HTα f (r )
金属中的电子气的理论
金属中的电子气的理论金属中的自由电子并非真正自由，而是要受到金属离子的周期势场的作用，因此一些自由电子理论并不能解释金属的全部性质。
由F。
布洛赫和L。
—N。
布里渊确立的单电子能带论解释了金属导电性与绝缘体和半导体的差别（见能带理论，半导体），并能定量计算金属的结合能,在考虑了金属离子的热运动的影响后，在描述金属的导电和导热等输运过程方面均取得了很大成功。
金属中自由电子之间有很强的相互作用,在低温下考虑了电子通过晶格推动相互耦合就能很好地解释单电子理论无法解释的超导电性。
近年来，研究合金中电子运动规律的合金电子理论也是金属电子论中的重要内容。
一、托马斯-费米近似方法在相互作用强度很大的情况下，相互作用能在系统能量中占主导地位，相比之下,处于基态的系统的粒子由于受到非常强的相互排斥作用，其运动范围受到了限制,因此，动能就会远小于相互作用能。
这时候，哈密顿量中的动能就可以忽略掉,被称为托马斯—费米(Thomas—Fermi）近似。
一维定态GP 方程变为则玻色子的密度分布为同时玻色子密度分布的边界满足，在外势为简谐势的情况我们得到凝聚体的半径为则系统的粒子数为将上式变换一下，得到化学势μ 满足其中单粒子基态的特征半径为边界R 满足化学势u 和边界R 都是随着粒子个数N 和相互作用强度U 1的增加而增加的.在处理多电子原子问题中，、通常采用Hartree-Fook 近似方法比较好，但是计算比较繁复,工作量大,在电子计算机使用以后，可以帮助人们进行大量的计算,减轻人们的负担,但用电子计算机计算有一个缺点，就是计算机只能进行数值计算，而不能解出一般形式，我们希望能找出一个普遍形式,这样对各种具体问题都能适用。
费米模型认为将金属中电子看作限制在边长为a 的立方体盒子中运动。
盒子内部势能为0。
盒外势能为无限大，这样通过解定态薛定谔方程,可得出金属中电子的许多性质，如电子能级，电子的最高能量，电子的平均能量，电子气的压强，电子气的能级密度和磁化率,而且费米气体模型在固体理论中和原子核结构上也有很大用处，可以推出原子核的质量公式，跟实验结果比较符合得很好.对于多电子原子应用如下的近似方法,即托马斯——费米方法，这是一个统计方法。
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自由电子与布洛赫电子的区别
（哈尔滨工业大学 材料科学与工程系1419002班）
摘要：在1928年，布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体物理特性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill ，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet ，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov ，1892年）等独立地提出。
随后表产生了布洛赫电子的概念。
本文主要探讨自由电子与布洛赫电子的区别。
关键词：自由电子；布洛赫电子；区别
1 基本概念
1.1 自由电子 自由电子(free electron)按照电子的运动范围定义指不被约束在某一个特定原子内部的电子，在化学中是指在分子中与某个特定原子或共价键无关的电子。
当这种电子在受到外电场或外磁场的作用时，能够在物质（晶体点阵）中或真空中运动。
因此自由电子也叫做离域电子。
由金属的电子云模型理论可以确定，金属晶体中存在自由电子。
自由电子的多少会影响晶体的导电性和导热性，自由电子愈多，电传导的能力愈强，而大部分的金属晶体都有较多的自由电子，所以金属都具有良好的导热性和导电性。
1.2 布洛赫定理 晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波，即电子的波函数具有如下形式
其中k 为电子的波矢，Rn 是晶格矢 上述理论称为布洛赫(Bloch)定理。
布洛赫定理的另一种表述为，存在以波矢 使得
对属于布拉维格子的所有格矢 成立。
1.3 布洛赫电子
用布洛赫函数描述的电子称为布洛赫电子。
)(e )(r u r k
r k i k ⋅=ψ)()(r u R r u k n k =+k n R 3
32211a n a n a n R n ++=)(e )(r R r n R k i n ψψ⋅=+
2 区别研究
2.1周期性质
晶体的平移周期性不仅仅是几何图形的周期性，而且每个原子胞的各种物理化学性质也是一样的，因此，所有单胞内电子的密度分布特性也是一样的。
因此要求布洛赫电子的周期函数的表达形式与布洛赫函数的形式是一样的。
并且由于波函数何以相差任意一个模量为1的复数因子，所以何以确定的是布洛赫电子应当具有和晶体平移周期一致的周期特性。
由于自由电子模型的定义中明确了晶格内部的能量势场对自由电子没有影响效果。
因此自由电子并没有影响其周期性的晶格内在影响因素，即自由电子并没有周期特性。
2.2 电子速度
自由电子热运动的平均速度与温度有关，当导体的温度越高时自由电子的热运动速率就越大。
而当导体两端加上电压后，自由电子受电场力作用而定向漂移，由于电场的传播速率等于光速，因此几乎在导体两端加上电压的同时，导体中就建立了电场，导体中的自由电子就受到电场力作用同时做定向移动而形成电流，所以电流的速度等于光速，但电流的速度不代表自由电子的速度。
布洛赫电子在准经典的情况下，电子在正格子中运动的平均速度可以用布洛赫电子的群速度来描述。
与之相关的仅仅只有电子的频率。
当由含有时间变量的布洛赫函数来描述电子的波函数是可以看出电子的平均速度强烈的依赖于其空间等能面的形状。
并且由于晶体的内部的等能面也存在周期性（与晶体的倒格矢成周期性关系）所以布洛赫电子的平均速度也应具备周期性，并且倒格矢G为其周期。
并且速度在空间中会有反演周期性，即K和-K两个状态的电子速度的大小相等，方向相反。
2.3有效质量与惯性质量
有布洛赫波函数以及经典力学中的牛顿第二定律何以定义电子的有效质量。
在准经典近似下，布洛赫电子有效质量是二阶张量，有电子能级在K空间的各向异性决定的，显然不同于电子的有效质量并且有布洛赫波函数的复杂性，有效质量可正可负。
另外加速度的方向与外加力场的方向在一般情况下是不同的。
此影响在于两个方面。
一是布洛赫电子的准动量并不是布洛赫电子的真是动量，直塞电子与其他粒子相互作用是具有的动量的属性。
二是由于电子除了受到外场的作用还会受到晶体内的场的作用，所以布洛赫电子的有效质量是在形式上描述外场作用对布洛赫电子准动量的影响，与经典力学类比的有效质量。
而自由电子则不考虑外场对其的影响作用，所以对于自由电子而言，它的有效质量就等于其惯性质量。
参考文献：
[1]费维栋.《固体物理（Solid State Physics）》[M].哈尔滨工业大学出版社,2014.。