4.金属自由电子论基础
(完整版)第四章金属自由电子理论
第四章 金属自由电子理论1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。
根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。
2.金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？解：金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面都是球形。
费米能量与电子密度和温度有关。
3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。
4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。
驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。
5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。
6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。
试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。
解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：dEdkdk dZ dE dZ E ⋅==)(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：dk Ldk dZ π=∆=k 2 …………………………（2） 又由于 mk E 222η=所以 mkdk dE 2η= …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：EmL E 22)(ηπρ= (4)（2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：11)(+=-TK E E B F eE f (5)于是，系统中的电子总数可表示为：⎰∞=)()(dE E E f N ρ (6)由于0=T K ，所以当0F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：⎰=)(FE dE E N ρ＝⎰0022FE dE E m L ηπ＝240FmE L ηπ由此可得： 222208mL N E Fηπ= (7)（3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞=0)()(1dEE E Ef N E ρ＝dE EmL E N FE 2210⎰⋅ηπ＝230)(232F E m N L ηπ＝022223124F E mL N =ηπ 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为)(2),(222y x y x k k mk k E +=η。
自由电子把金属原子和离子结合在一起
自由电子把金属原子和离子结合在一起
金属原子和离子是组成物质的原子结构的基础，是构建物质的重要组成部分。
但是，它们之间的分离很难，只有在特殊的情况下才可能实现。
因此，自由电子的出现对金属原子和离子的结合提供了一种新的技术。
自由电子是理想的金属离子材料，它具有与金属原子相近的性质，但是它们的构造仅比金属原子少一个电子，从而实现了金属原子和离子之间的分离。
在这种情况下，金属原子和离子之间没有一种牢固的把握，可以被自由电子吸引，它们就会形成一个稳定的键合关系。
然而，自由电子的使用不是没有风险的，它们的反应能力极强，在实际使用过程中可能会引起一些意外的问题。
例如，当处于高温环境时，自由电子可能会将离子释放，这会对操作过程产生一定的影响。
另外，自由电子也有一些有益的用途。
例如，它们可以用来增强材料的物理性能，因为自由电子能够改变材料的结构，使其具有更强的力学性能和抗拉强度。
同时，自由电子也能用于制造纳米材料，这种材料具有非常高的导电性能，可以用于电子器件和传感器的制造。
总之，自由电子是一种能够使金属原子和离子结合在一起的技术，但它们也有一些风险警告。
因此，在采取使用自由电子技术的决定时，必须要进行充分的风险评估，以便确保安全性和后续维护的可行性。
从长远来看，自由电子在很多方面都能发挥作用，尤其是在改善材料性能方面，它们都将起着重要的作用。
- 1 -。
固体物理学：第4章 金属自由电子论
1、费米分布的性质
FFD
1
FFD
1 e / kT
1
1T 0 f FFD 1
f
FFD 0
εf ε
T 0 时所有粒子排满费米能级以下的能级，
费米能级以上能级全空。
UESTC
FFD
1
（2）T 0
f
1 FFD 2
1/2
随着温度升高，有部分粒子
获得能量从 f以下能态跃迁到 f
0
1 p 1
p 1 f
n1
2
kT
2n
1
1 22n1
2n
d 2n
d
2n f
p 1 f
2 2
6
4
4
9
UESTC
应用积分公式
E
3 5
NE
f
0
1
5
12
2
kT Ef0
2
电子平均能量
E
E N
3 5
EF 0
2
4
kT
kT EF 0
UESTC
4、费米面
k空间中，能量为EF，即半径为 KF
以上能态。但无论温度多高，
T=0 T >0
εf ε
在
能态被粒子占据的几率始终为 1
f
2
。
UESTC
2、电子能量
dE FFD g d
T = 0 电子总能量
EF0
1
5
E0
c
2 d
22 5 cEF0
0
UESTC
T ≠0
积分公式
E
0
e
1 EF / kT 1
c 1 / 2d
固体物理试题库(大全)
一、名词解释1。
晶态-—晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列,或称为长程有序.2。
非晶态-—非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。
3.准晶-—准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性.4.单晶-—整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体。
5。
多晶--由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的固体材料.6.理想晶体（完整晶体）——内在结构完全规则的固体，由全同的结构单元在空间无限重复排列而构成。
7.空间点阵（布喇菲点阵）--晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵。
8。
节点（阵点）-—空间点阵的点子代表着晶体结构中的相同位置，称为节点（阵点）。
9。
点阵常数（晶格常数)-—惯用元胞棱边的长度。
10。
晶面指数—描写布喇菲点阵中晶面方位的一组互质整数.11。
配位数—晶体中和某一原子相邻的原子数.12。
致密度—晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。
13.原子的电负性—原子得失价电子能力的度量；电负性＝常数（电离能＋亲和能）14.肖特基缺陷—晶体内格点原子扩散到表面，体内留下空位.15.费仑克尔缺陷——晶体内格点原子扩散到间隙位置，形成空位－填隙原子对。
16。
色心—-晶体内能够吸收可见光的点缺陷。
17.F心——离子晶体中一个负离子空位，束缚一个电子形成的点缺陷。
18。
V心——离子晶体中一个正离子空位，束缚一个空穴形成的点缺陷。
19.近邻近似-—在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用。
20。
Einsten模型-—在晶格振动中，假设所有原子独立地以相同频率ωE振动。
21.Debye模型—-在晶格振动中,假设晶体为各向同性连续弹性媒质,晶体中只有3支声学波，且ω=vq .22.德拜频率ωD──Debye模型中g（ω）的最高频率。
23.爱因斯坦频率ωE──Einsten模型中g（ω）的最可几频率。
(完整word版)阎守胜答案
固体物理基础习题解答第一章 金属自由电子气体模型思 考 题1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率?[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目1/)(+=-Tk E E BF e gn ,g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数11)(/)(+=-Tk E E BF e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量?[解答]晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数11/-=Tk i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?[解答]自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?[解答] 费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.5.为什么温度升高, 费密能反而降低?[解答]当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大?[解答]由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由(6.4)式3/120)3(πn k F =可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点从(6.5)和(6.3)式看得更清楚. 电子的平均动能E 正比与费密能0F E , 而费密能又正比与电子浓度3/2n:()3/222032πn mE F=,()3/2220310353πn mE EF ==.所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系?[解答]对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由(6.79)式)(00ε⋅∂∂+=v τe E f f f可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移)(0ε⋅∂∂v τe E f部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从(6.83)式xk Sxx ESv e j Fετπ∇=⎰d 4222和立方结构金属的电导率E S v e k S xF ∇=⎰d 4222τπσ看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗?[解答]电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为1F E 和2F E , 且1F E >2F E , 接触平衡后电势分别为1V 和2V . 则两金属接触后, 金属1中能量高于11eV E F -的电子将跑到金属2中. 由于1V 大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差? 为什么?[解答]两块同种金属, 温度分别为1T 和2T , 且1T >2T . 在这种情况下, 温度为1T 的金属高于0F E 的电子数目, 多于温度为2T 的金属高于0F E 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的能量要取最小值, 温度为1T 的金属高于0F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属. 温度未达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为1T 的金属失去电子, 带正电; 温度为2T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差.10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化?[解答]如果不存在碰撞机制, 当有外电场ε后, 电子波矢的时间变化率εe t -=d d k .上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有外电场ε时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场ε后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布. 11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高?[解答]电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径3/12)3(πn k F =.可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.12.电子散射几率与声子浓度有何关系? 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系?[解答]设波矢为k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为),',(θΘk k , 则),',(θΘk k 即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度.若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角θ与声子的平均波矢q 的关系为由于F k k k ==', 所以F F k q k q 222sin==θ.在常温下, 由于q <<k , 上式可化成F F k q k q ==θ.由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量q 成正比.13.低温下, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是何原因?[解答]按照德拜模型, 由(3.133)式可知, 在甚低温下, 固体的比热34)(512D B V T Nk C Θπ=.而声子的浓度⎰⎰-=-=mB mB T k pTk ce v eD V n ωωωωωωπωω0/2320/1d 231d )(1,作变量变换T k x B ω =,得到甚低温下333232T v Ak n p Bπ=,其中⎰∞-=021d xe x x A .可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比. 按照§6.7纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动量的平方成正比. 可见, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是出自声子平均动量的平方上. 这一点可由(6.90)式得到证明. 由(6.90)可得声子平均动量的平方286220/240/3321d 1d )(T v v Bk e v e v q s p B T k s T k p D B D B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎰⎰ωωωωωωωω ,其中⎰⎰∞∞--=02031d 1d x xe x x e x x B 。
4. 金属的电导率--Drude模型
动量的增量 ，而碰撞使得电子失去这种பைடு நூலகம்量，
它相当于是一个平均的阻力，正比于
。
它限制在外力作用下 的无休止增大，导致一种稳 定的状态。考虑了上述碰撞机制，电子动力学唯象方 程写成：
上面左边第一项为粒子加速项，而后一项代表碰撞效 应。
对于自由电子模型， 方程为
vd为电子在外场和碰撞下的平均速度，也成为漂移速 度。用它去处理固体中的输运过程称为漂移速度理论。 对于恒定电场的定态情况：
由欧姆定律得到电导率为上述理论描述的自有气体的简单唯象理论对于布洛赫电子必须考虑到能带结构不是所有电子都具有相同的有效质量和驰豫时间它们都和电子的状态k有关必须考虑电子状态按照能量的分布
第四节 Drude模型
1. 电导率的Drude模型
从电子的准经典运动方程出发，得到“违背实验”的 结果（布洛赫振荡）。实验上，加一个恒定的电场总 得到一个恒定的电流。其原因在于准经典运动方程是 一个无碰撞机制的弹道方程。
原子核也无相互作用 碰撞是瞬间发生的，它改变电子的速度 电子的碰撞概率为：1/τ(即散射概率) 电子只能通过碰撞达到热平衡。
金属的典型室温电阻率为 1 μΩcm
电子浓度n：1022~1023 cm-3 弛豫时间τ：10-14~10-15 s (1~10 fs)
平均自由程为 λ: 0.1~ 1 nm
总的比热 晶格 电子
实际金属的电子比热与温度的关系
即使在室温下，Drude模型的电子比热数值 要比实验大很多（大两个数量级），因为它 认为所有电子都贡献比热。
Sommerfeld对此考虑了费米分布，只有费米 面附近电子才贡献比热，从而得到了正确的 比热与温度关系。
3. 电子热导率和Wiedemann-Franz公式
经典自由电子论
2 m
2 T eΒιβλιοθήκη 2 3k Bne 2 2m
3.1.3 Drude模型的局限
Drude模型最成功之处在于解释了维德曼-弗兰茨定律。 与很多更精致、更复杂的理论得出的值相差不多。 但后来固体物理证明，Drude模型关于维德曼-弗兰茨 定律的证明是建立在两个大错误的互相抵消上，即室 温下的电子比热容高估了100倍，而电子的平均速度 低估了100倍。 电子热容问题：比热和温度无关，结果过大（100倍） 电导率与温度的关系T1/2（实际上T） 不能解释一、二价金属的导电能力的问题。
第2章 金属电子理论 （固体电子理论）
3.1 经典自由电子论
引言
为什么研究固体从金属开始？ 自然界最基本的物质状态之一，元素周期表中 有2/3的元素属于金属。应用广泛（电导、热 导、光泽、延展），当时对金属的了解比其它 固体多。
当时人们对金属的了解有多少？ 有良好的导电，导热性能 有较好的延展性和可塑性 维德曼-弗兰茨定律（Wiedemann-Franz law）
1 j nvx T x vx T x vx 2 d dT d 1 nvx x 2vx dT dx dx 2 d 3 dT 2 cv nvx cv kB dT 2 dx
1 1 eE vd vd a 2 2 2m
电流密度——单位时间内通过单位面积的电荷量。
ne 2 E nevd 2m 2 ne j E, 2m
电导率
其中，n为单位体积内的电子数（电子浓度），m为电子 质量，e为电子电荷量。 欧姆定律
2021届江苏省高考化学一轮复习专题演练：专题8《物质结构与性质》35《晶体结构与性质》(苏教版)
课时35 晶体结构与性质(本课时对应同学用书第158~161页) 【课时导航】复习目标1. 了解NaCl型和CsCl 型离子晶体的结构特征，能用晶格能解释典型离子化合物的某些物理性质。
2. 了解原子晶体的特征，能描述金刚石、二氧化硅等原子晶体的结构与性质的关系。
3. 能用金属键的自由电子理论解释金属的某些物理性质。
4. 知道金属晶体的基本积累方式，了解常见金属晶体的晶胞结构特征。
5. 知道分子晶体的含义，了解分子间作用力的大小对物质某些物理性质的影响。
6. 了解分子晶体与原子晶体、离子晶体、金属晶体的结构微粒、微粒间作用力的区分。
学问网络问题思考问题1准晶体是一种无平移周期序，但有严格准周期位置序的独特晶体，通过什么方法可以区分晶体、准晶体和非晶体?问题2NaCl、CsCl、金属晶体、金刚石、干冰晶体的配位数是多少?【自主学习】考点1常见晶体与晶体类型的推断【基础梳理】1. 晶胞：是描述晶体结构的基本单元，晶胞是从晶体中“截取”出来具有代表性的重复单位。
晶胞在晶体中的排列呈“无隙并置”。
2. 常见晶体晶体类型分子晶体原子晶体金属晶体离子晶体构成粒子分子原子金属离子和自由电子粒子间的作用力金属键(简单的静电作用)硬度较小大有的较小，有的较大较大熔、沸点较低高有的较低，有的较高较高常见晶体及结构举例CO2 SiO2 Na NaCl结构【举题说法】例题1(2011·海南高考)(1) 一种铜金合金晶体具有面心立方最密积累结构，在晶胞中Cu原子处于面心，Au原子处于顶点，则该合金中Cu原子与Au原子数量之比为；该晶体中原子之间的作用力是。
(2) 上述晶体具有储氢功能，氢原子可进入到由Cu原子与Au原子构成的四周体空隙中。
若将Cu原子与Au 原子等同看待，该晶体储氢后的晶胞结构与CaF2(见右图)的结构相像，该晶体储氢后的化学式应为。
【答案】(1) 3∶1金属键(2) H8AuCu3【解析】(1) 由于是面心立方最密积累，晶胞内N(Cu)=6×12=3，N(Au)=8×18=1。
金属导电的微观解释
金属导电的微观解释涉及到金属的电子结构和电子运动。
金属的导电性质主要归因于其特殊的电子排布和电子运动方式。
1. 自由电子模型：金属的电子结构可以通过自由电子模型来描述。
在金属晶格中，金属原子的外层电子几乎是自由移动的，形成了被称为“电子海”的电子云。
这些自由电子不受特定原子核束缚，可以在整个金属结构中自由移动。
2. 电子的漂移：当外部电场施加在金属上时，自由电子将受到电场的作用力。
根据牛顿的第二定律，受力的电子将产生加速度。
然而，由于金属中电子的质量非常小，所以在实际情况下，电子受到的阻尼较小，加速度较大。
3. 电子的碰撞：自由电子在金属晶格中会与金属离子和其他自由电子发生碰撞。
这些碰撞会导致电子的散射，但由于电子海中有大量自由电子，导致整体上电流的流动方向保持不变。
4. 导电性的来源：由于自由电子的高度流动性，它们可以在电场作用下形成电流。
这就是金属的导电性质的基本来源。
而金属晶格中的离子网络对电子的碰撞提供了一些阻力，但这种阻力相对较小，不会阻止电流的形成。
综合来看，金属导电的微观解释可以概括为：在金属中，存在大量自由移动的电子，它们受到外部电场的作用，形成电流，而金属晶格中的离子提供了一些散射阻力，但整体上电子仍能在金属中自由传导，从而表现出良好的导电性。
四川大学 固体物理学试题(2)
(3)霍耳效应：如电流沿 x 方向，并在 z 方向加上磁场，只在 y 方向出现电势差 的现象叫霍尔效应。
(4)布里渊区：重要的是检阅布里渊区，它是到空间的威格纳-赛茨元胞。其具体 做法是，以任意到格点为原点，作其近邻各点连线，再作此连线的垂直平分面， 其围成的体积如等于倒元胞体积则为简约布里渊区。
2. 金属自由电子论与经典理论对金属热电子发射的功函数的微观解释有何不同， 为什么？
经典理论认为，金属热电子发射时，需克服的势垒高度即功函数为 W = Χ−ε0， 其中Χ是真空势垒，ε0 是电子气的基态能级；金属自由电子论认为，金属热电子发射 时，需克服的势垒高度即功函数为 W = Χ−εF，εF 是电子气的费米能级。其差别源于
三、问答：（每小题 10 分，共 20 分）
1. 何谓倒逆过程，它对晶体热阻有何影响。
声子 q1、q2 间的相互作用应遵从动量守恒和能量守恒，q1+q2 = q3；如果 q3 位于第一布里渊区以外，则在第一布里渊区内能找到一点 q3’，使得 q3’ + Gh = q3， 即 q1+q2 =q3’ + Gh，此过程即为倒逆过程。由于 q3’与 q3 的方向大致相反，因此 倒逆过程会阻碍热的传播，形成热阻。
四、（20
分）离子晶体相互作用能为
E(R) = −N ( αe2 − 4πε 0 R
A ) ，N Rn
是离子数， α
是马德隆常数。 （1）求平衡时原子间距 R0。
由
dE dR
=
0 ，可以求得平衡时原子间距 R0
=
( 4nAπε 0 αe 2
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第四章金属自由电子论材料科学与程学院
材料科学与工程学院
凌涛
内容提纲
内容提
1.经典自由电子论
2.量子自由电子论3
3.金属的比热
4.功函数与接触电势差
内容提纲
内容提
1.经典自由电子论
2.量子自由电子论3
3.金属的比热
4.功函数与接触电势差
4.1经典自由电子论-特鲁德模型
特鲁特(Drude)模型
当金属原子凝聚在一起时，原子封闭壳层内的电子和原
子核一起在金属中构成不可移动的离子实；原子封闭壳核起在金中构成移动的离实闭壳
层外的电子会脱离原子而在金属中自由地运动。
这些电
子构成自由电子气系统，可以用理想气体的运动学理论
进行处理。
该模型有如下假设：
(1)电子在没有发生碰撞时，电子与电子、电子与离子之()
间的相互作用完全被忽略。
电子的能量只是动能。
4.1经典自由电子论-特鲁德模型
(2)电子只与离子实发生弹性碰撞，电子与离子的碰撞过
离实碰撞离碰撞程用平均自由时间τ和平均自由程l来描述。
τ表示一个电子与离子实相继作两次碰撞所间隔的平均时间；l是电子在平均两次相继碰撞之间的平均飞行距离。
(3)电子气是通过和离子实的碰撞达到热平衡的，碰撞前
后电子速度毫无关联，运动方向是随机的，速度是和碰撞发生处的温度相适应的，其热平衡分布遵从波尔兹曼统计。
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1.经典自由电子论
2.量子自由电子论3
3.金属的比热
4.功函数与接触电势差
4.2量子自由电子论
索末菲模型
金属中自由电子的运动应服从量子力学规律和相应的
能量分布规律。
价电子在金属内恒定势场中彼此独立
地自由运动，只是在金属表面处被势垒反射。
求解电地自由运动只是在金属表面处被势垒反射
子运动的薛定谔方程，得到电子所允许的波函数和能
量分布状态。
量分布状态
4.2量子自由电子论-电子的波函数
周期性边界条件：假设在三维空间有无限多个三维限度都是L 的势井相连接在各个势井的相应位置上电子波函数相等的势井相连接，在各个势井的相应位置上，电子波函数相等。
总的边界条件为：
(0,,)(,,)0y z L y z ψψ=⎫
⎪
(,0,)(,,)(,,0)(,,)x z x L z x y x y L ψψψψ=⎬
⎪=⎭
空间电子态空间电子态：由波矢K 所代表的自由电子可能的空间运动状态。
体积为V c 的金属，在K 空间中单位体积区域内所含有的空间电子态数目为：
33
31
()228)c
V L πππ==(L
4.2量子自由电子论-波矢空间与电子能量分布
等能面
等能面：从自由电子的能量表达式可以得到:
2222mE
K K K ++=2
x
y
z
=
这是K 空间中以
2
2mE K ==
为半径，以原点为球心的球面方程。
我们称K 空间K 自由电子在半径为K 厚度为d K 的薄壳中
状态数确定
中具有相同能量的K 值所构成的曲面为等能面。
4.2量子自由电子论-波矢空间与电子能量分布
在能量E ～E+dE 之间的区域是K 空间中半径为K 和K+dK 的两个等能球面之间的球壳，其体积为4πK 2dK 。
在该球壳中的量子态数为：
V 2
G dK
K K dZ C 344)(ππ
⋅=dE
E h m V E dZ C 2
12
3224)(⋅⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛⋅=π自由电子在半径为K 厚度为d K 的薄壳中
状态数确定
4.2量子自由电子论-费米分布
(
)
(
=
dN)
g
dE
E
f
E
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1.经典自由电子论
2.量子自由电子论3
3.金属的比热
4.功函数与接触电势差
金
4·3 金属的比热
※在金属电子论的早期发展中，引起最大困难的问题之一是传导电子的热容量。
※洛伦兹把金属中的自由电子看作类似于理想气体的分子，服从经典的统计力学规律。
按照玻耳兹曼统计的能量均分定理：
/2，“N个自由电子有3N个自由度，它们对热容量的贡献应是3Nk
B
该数值同晶格振动的贡献相比是同数量级的。
”但是，实验表明，金属在室温条件下的电子比热只有这个数值的1%左右。
※问题的原因在于，金属中电子的能量分布并不服从经典的麦克斯韦—玻耳兹曼统计分布，而应服从费米—狄喇克分布。
常温或温度大于德拜温度时电常温或温度大于德拜温度时，电
子比热很小可以忽略。
低温时，
电子比热不容忽略。
3C ⎛20524ve B D vl F k T Z C E T θπ⎞=⋅⋅⎜⎟⎝⎠
ve C 表明随着温度的下降比值增加电子对金属比热的贡表明随着温度的下降，比值增加，电子对金属比热的贡
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1.经典自由电子论
2.量子自由电子论3
3.金属的比热
4.功函数与接触电势差
的金属自由电子理论
本章小结
本章介绍了经典的和量子的金属自由电子理论。
1.两种理论的比较
两种理论都认为：金属中存在自由电子，它们在金属内的恒定势场中彼此独立地自由运动；自由电子与离子实相“碰撞”，在一定温度下达到平衡，因而电子具有平均自由程(l )和平均自由时间(τ)；在外电场下电子漂移运动产生电流在温度场中电子的流动伴随着能量电场下电子漂移运动产生电流，在温度场中电子的流动伴随着能量传递，因而金属有好的导热性。
两种理论的不同在于：经典理论认为电子服从波尔兹曼统计规律；而量子理论认为自由电子应服从薛定谔方程、泡利不相容原理和费米-狄拉克分布。
3德拜温度为试求习题
0534*10k −3.
已知锂的密度为，德拜温度为344K ，试求(1) 室温下电子比热；330.534*10kg m ⋅(2) 在什么温度下锂的电子比热和晶格比热有相同值？432.08 2.57 mJ/mol K
v C T T =+⋅4.在低温下金属钾的摩尔比热的实验结果可写为
若一个摩尔钾有N=6*1023个电子，试求钾的费米温度和德拜温度。