自由电子论
1.8 自由电子气体模型的局限性
金属中自由电子理论的局限性，其根源主要在于把共
有化电子看作自由电子这一设想过于简单了。由于电子是
具有波粒二象性的微观粒子，且其平均De Broglie波长的 数量级与晶体中离子实的平衡间距相当，因此必须考虑离
子实晶格产生的静电势能场的周期性对电子运动所产生的
量子效应，正如光栅对光的传播所产生的影响不可忽略一 样。
4)无法解释金属的电导率随温度而变化的现象；
5)无法解释为什么电子能够在穿越数百个甚至数千个离子
实的较长行程中不与离子实发生碰撞的现象； 6)无法解释在室温区和低温区(几K)之间Lorenz数明显地随
温度而变化的现象； 7)无法解释Al、In等金属Hall系数的实验结果为负数的现 象； 8)无法解释金属的磁致电阻效应；
光栅对光的传播所产生的影响一样是不可忽略的。 所以，不能把金属中的共有化价电子简单地看作自由
电子，必须考虑离子实晶格所产生的静电势能场的周期性 起伏对金属中共有化价电子的运动所产生的量子效应。
9)无法解释碳原子形成的石墨晶体是导体而形成的金刚石
晶体却是绝缘体的现象； 10)无法解释固体材料有导体、半导体和绝缘体这三者之分 的现象； 上述种种困难，说明自由电子理论对金属中共有化电 子运动图像的描述是很不完善的。
究其原因，主要是把金属中共有化价电子看作自由电 子这一设想过于简单了。因为电子是具有波粒二像性的微
本章，在金属中存在大量自由电子这一设想的基础上， 通过对这些自由电子从经典理论到量子理论的描述，相当 成功地解释了金属材料中的许多物理现象和物理性质，尤 其对碱金属、贵重金属等简单金属的一些物理性质的解释
和计算是极其成功的。
成就：
1)碱金属、贵重金属等简单金属电子比热系数的计算结果
磁学 补充知识：固体能带论
f(E)
1
T=0
温度不为零时
N f ( E ) g ( E )dE
0
Ef
T=T
E
6、重要结论
电子比热：
U f ( E ) g ( E ) EdE
0
f (E) dU Cv g ( E ) EdE 0 dT dT 2k B 2 g ( E )T 3
2、能量
E ( k ) Ei J (0)
最近邻
J ( Rm )eik Rm
J ( Rm ) i *( r )V i ( r Rm )dr J取决于波函数的交迭程度
4s
3d
4s
3d
4s
3d
4sLeabharlann 3d4s3d4s
3d
4s
3d
4s
3d
4s
3d
4s
3d
4s
3d
4s
3d
Fe : 8(总) 0.6(4s) 7.4 4.8 2.6 2.2 4.8 2.6 7.4
自由电子
单电子近似
紧束缚近似
k2 E V 2m
0 k
2
k ( x) eikxu( x)
固体物理基础
引
言
在所有的金属元素中中，铁磁性：只出现在三个3d过 渡金属(Fe、Co和Ni)和稀土金属如Gd、Tb、Dy 中。 3d过渡金属有高的居里点并在室温下呈现铁磁性，其自 发磁化强度也很大。因此，在实际应用中，广泛使用含有这 些金属的合金作为磁性材料。 磁性的携带者，3d电子，远 离原子实而在原子间运动(或巡游)，而不是局限于单个原子 内。换言之，它们形成能带结构。 稀土金属中铁磁性的携带者是4f电子，它们位于原子内 的深层处，因而它们的磁矩完全局域于单个原子。
金属电子气体理论
一,金属自由电子气体模型1.1 经典电子论特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设11.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。
2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。
外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。
）特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设23.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。
4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne Sj E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩r1.2.经典模型的另一困难：传导电子的热容根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。
1.3 Sommerfeld 的自由电子论1925年：泡利不相容原理1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。
金属能量释放 物理
金属能量释放物理
金属释放能量的物理机制主要涉及其中的自由电子在受到外部激发时吸收能量，并在返回低能级时释放出多余的能量。
具体来说：
1. 能量吸收：当金属受到热、电流或其他形式的外部激发时，金属中的自由电子会吸收这些能量。
2. 电子跃迁：吸收了能量的自由电子会发生能级跃迁，即从低能级状态跳跃到高能级状态。
3. 能量释放：当这些处于高能级的电子回到低能级时，它们会释放出之前吸收的多余能量。
这部分能量可能会以光或热的形式辐射出来，表现为发光现象或其他形式的能量释放。
此外，在金属物理性质的研究中，自由电子论提供了一个直观的模型来解释金属的导电性和导热性等性质。
尽管后来的能带论以更严格的数学处理提供了更加精确的描述，但自由电子论仍然是理解金属电子行为的重要基础。
总的来说，金属中的能量释放是一个复杂的物理过程，涉及到电子的能级跃迁和能量转换。
这些过程不仅关系到材料的基本物理性质，如导电性和导热性，还涉及到材料的实际应用，例如在光电器件中的应用。
量子自由电子理论
§2.2 量子自由电子理论
ψ ( x, y , z ) = f ( x ) g ( y ) h( z )
d2 g d 2h h2 d2 f gh 2 + hf + fg 2 = E ( fgh) 2 dx 2m0 dy dz
h2 2m0
1 d2 f 1 d 2 g 1 d 2h f dx 2 + g dy 2 + h dz 2 = E
ψψ *dxdydz = A 2 L3 = 1 ∫∫∫
32
1 ik r 1 ψ n1n2n3 (x, y, z ) = exp i(k x x + k y y + k z z ) = e V L
4π 2h 2 2 h2 2 2 2 2 E n1n2 n3 = k x + k y + k z2 = n1 + n2 + n3 2m0 2m0 L2
f (x ) = A1e
ik x x
ψ ( x + L, y , z ) = ψ ( x, y , z )
f (x + L ) = f (x )
2m0 E1 k = h2
2 x
e
ik x L
=1
ψ (x, y, z ) = A exp[i (k x x + k y y + k z z )] = A exp(ik r )
§2.2 量子自由电子理论
3. 金属中自由电子的能量和波矢特征总结 (1)自由电子的能量量子化，即能量不能连续变化。 — 传统的金属材料能级准连续 — 金属的尺寸对于自由电子态有影响，其中： 纳米尺度下，相邻能级间隔明显加大，产生量子化效应 金属尺度趋于无穷大时，能级间隔趋于零——完全自由电子 (2) 金属中自由电子的波矢也是量子化的，形式为： 2ni π (i = 1, 2 ,3 ) n i = 0 , ± 1, ± 2 , ± 3 ，… kx =
金属的费米-- 索末菲电子理论
温度高于0K时电子分布情况 温度高于0K时电子分布情况 0K
E EF , f ( E ) = 0 E > EF 1 E − Ev ≤ kT , f ( E ) < 2
E EF , f ( E ) = 1 E < EF EF − E ≤ kT , f ( E ) < 1
金属的费米-1.2 金属的费米-- 索末菲电子理论
电子理论最初来自金属，然后才发展到其它材料。 电子理论最初来自金属，然后才发展到其它材料。对 固体电子能量结构和状态的认识， 固体电子能量结构和状态的认识，始于对金属电子状 态的认识。 态的认识。 金属的电子理论是为了解释金属的良好导电性建立起 来的，是液态和固态等凝聚态的理论基础。 来的，是液态和固态等凝聚态的理论基础。
美国物理学家。生于意大利罗马。 美国物理学家。生于意大利罗马。 1922年获比萨大学博士学位。 年获比萨大学博士学位。 年获比萨大学博士学位 1923年前往德国。在玻恩的指导下从事研究 年前往德国。 玻恩的指导下从事研究 年前往德国 工作。 工作。 1925年一月至 年一月至1926年秋季在佛罗伦萨大学 年一月至 年秋季在佛罗伦萨大学 工作，开始研究费米-狄拉克统计问题 狄拉克统计问题。 工作，开始研究费米 狄拉克统计问题。 1929年任意大利皇家科学院院士。 年任意大利皇家科学院院士。 年任意大利皇家科学院院士 1934年用中子轰击原子核产生人工放射现象。 年用中子轰击原子核产生人工放射现象。 年用中子轰击原子核产生人工放射现象 开始中子物理学研究。被誉为“ 开始中子物理学研究。被誉为“中子物理学 恩利克•费米 恩利克 费米 之父” 之父”。 1936年出版的热力学讲义。成为后人教学用 （Enrico Fermi 年出版的热力学讲义。 年出版的热力学讲义 书的著名蓝本。 书的著名蓝本。 1938年由于 “通过中子照射展示新的放射性元素的存在， 年由于 通过中子照射展示新的放射性元素的存在， 以及通过慢中子核反应获得的新发现获得诺贝尔物理奖。 以及通过慢中子核反应获得的新发现获得诺贝尔物理奖。 1941年底，费米在哥伦比亚大学主持建造了世界上第一座原 年底， 年底 子反应堆 他于1954年去逝。100号化学元素镄就是为纪念他而命名的 他于 年去逝。 号化学元素镄 年去逝 号化学元素
自由电子_精品文档
自由电子引言自由电子是指在材料中能够自由移动的带负电的粒子。
自由电子是电流的基本携带者，是电子学和半导体物理学中的关键概念。
本文将探讨自由电子的起源、特性以及在现代科技和工程中的应用。
一、自由电子的起源自由电子最早是由英国科学家约瑟夫·约翰·汤姆逊于1897年通过电子的阴极射线实验证实的。
他使用了一种特殊的装置，将高电压施加于阴极表面，观察到电子从阴极表面发射出来，并在一个具有正电荷的阳极上产生荧光。
汤姆逊的实验结果表明，阴极射线是由带负电的粒子组成的，这些带负电的粒子后来被命名为“电子”。
自由电子的起源可以追溯到原子结构中，它们来自于原子中最外层的电子壳层。
在原子中，电子被绑定在原子核周围的能级上，当外部能量作用于原子时，其中的电子可以被激发或获得足够的能量以克服原子核的吸引力而脱离原子，从而形成自由电子。
二、自由电子的特性自由电子具有许多特性，这些特性是理解电子学和半导体物理学的基础。
1. 带负电荷：自由电子带有负电荷，通常用“-e”表示。
电子的电量等于元电荷e的负值，即-1.6 ×10^-19库仑。
2. 质量和自旋：电子具有一定的质量，约为9.11×10^-31千克，是原子中最轻的带电粒子。
此外，电子还具有自旋，自旋可以理解为电子围绕自身轴线旋转所产生的现象。
电子的自旋可以是正号或负号，分别表示为↑和↓。
3. 运动特性：自由电子在材料中具有运动的能力。
它们能够自由地在材料中移动，并且能够以一定的速度进行导电。
自由电子的运动受到材料的结构和电场等因素的影响。
三、自由电子的应用自由电子在现代科技和工程领域中有着广泛的应用。
1. 电流传导：自由电子是电流的基本携带者。
在导体中，自由电子可以自由地在原子间移动，因此导体具有良好的导电性。
电流的传导是通过电子的移动而实现的。
2. 电子器件：各种电子器件，如晶体管、集成电路等，利用了电子的特性来实现信号放大、开关控制等功能。
黄昆固体物理课后习题答案6
第六章 自由电子论和电子的输运性质思 考 题1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目1/)(+=-T k E E B F e g n ,g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数11)(/)(+=-T k E E B F e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量[解答]晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数11/-=T k i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的[解答]自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近.4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化[解答]费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.5.为什么温度升高, 费密能反而降低[解答]当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大[解答]由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由式3/120)3(πn k F =可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点从和式看得更清楚. 电子的平均动能E 正比与费密能0F E , 而费密能又正比与电子浓度3/2n :()3/22232πn m E F =,()3/2220310353πn m E E F ==.所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系[解答]对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由式)(00ε⋅∂∂+=v τe E f f f可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移 )(0ε⋅∂∂v τe E f部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从式x k S x x E S v e j F ετπ∇=⎰d 4222和立方结构金属的电导率 E S v e k S x F ∇=⎰d 4222τπσ 看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗[解答]电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为1F E 和2F E , 且1F E >2F E , 接触平衡后电势分别为1V 和2V . 则两金属接触后, 金属1中能量高于11eV E F -的电子将跑到金属2中. 由于1V 大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差 为什么[解答]两块同种金属, 温度分别为1T 和2T , 且1T >2T . 在这种情况下, 温度为1T 的金属高于0F E 的电子数目, 多于温度为2T 的金属高于0F E 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的能量要取最小值, 温度为1T 的金属高于0F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属. 温度未达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为1T 的金属失去电子, 带正电; 温度为2T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差.10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化[解答]如果不存在碰撞机制, 当有外电场ε后, 电子波矢的时间变化率 εe t -=d d k .上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有外电场ε时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场ε后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布.11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高[解答]电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径3/12)3(πn k F =.可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.12.电子散射几率与声子浓度有何关系 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系[解答]设波矢为k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为),',(θΘk k , 则),',(θΘk k 即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度.若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角θ与声子的平均波矢q 的关系为由于F k k k ==', 所以F F k q k q 222sin==θ.在常温下, 由于q <<k , 上式可化成 F F k q k q ==θ.由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量q 成正比. 13.低温下, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是何原因[解答]按照德拜模型, 由式可知, 在甚低温下, 固体的比热 34)(512D B V T Nk C Θπ=.而声子的浓度⎰⎰-=-=m B m B T k p T k ce v e D V n ωωωωωωπωω0/2320/1d 231d )(1 ,作变量变换 T k x B ω =,得到甚低温下 333232T v Ak n p Bπ=, 其中 ⎰∞-=021d x e x x A .可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比.按照§纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动量的平方成正比. 可见, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是出自声子平均动量的平方上. 这一点可由式得到证明. 由可得声子平均动量的平方286220/240/3321d 1d )(T v v Bk e v e v q s p B T k s T k p D B D B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎰⎰ωωωωωωωω ,其中⎰⎰∞∞--=02031d 1d x x e x x e x x B 。