高中数学 球的体积、表面积
8.3.2.2球的体积和表面积+教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
“球的体积和表面积”教学设计一、教学内容解析本节课的内容是人教A版《普通高中教科书数学必修第二册》（以下统称“教材”）“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，学习另一种几何体——球体的体积与表面积.研究球的体积方向很多，教材介绍了“分割、求近似值、再由近似求和转化为球体的体积”的极限思想方法，这也是球的体积的教学重点.从知识结构上讲，球是进一步研究空间组合体结构特征的基础，具有承上启下的作用；从思想方法上讲，在球的体积公式的教学中充分运用极限思想，为以后学习导数做好铺垫.这节课在章节、模块甚至数学课程的角度全面整合教材，突出学科知识的系统性和教学的方向性，形成有生命、有灵魂的整体的知识.本节课教学重点：研究球的体积和表面积.二、教学目标设置结合课标要求，本节课制定如下教学目标：1.通过类比研究圆的周长和面积的方法，能得出研究球的体积和面积的方法，发展数学抽象、直观想象等核心素养；2.通过应用祖暅原理，能推导出球的体积公式，提高数学建模、逻辑推理等核心素养；3.通过探究球的体积的过程，发展研究数学问题的思维体系.三、学生学情分析(一)已具备的认知基础1.在学习本节课内容之前，通过柱体、锥体、台体的体积和表面积的探究和学习，学生已具备了一定的空间想像能力、综合分析、归纳总结的能力；2.通过小学研究了圆的周长和面积，已经初步具备了极限、等价转化、分割的思想或方法.（二）可能存在的认知困难对球体的研究已经超越了学生能把握的直观化对象，是教材中学生最难理解的内容之一.极限法怎样分割？应用祖暅原理怎样进行等价转化？因此，本节课难点：极限法的分割方式;应用祖暅原理怎样构造组合体. 四、教学策略分析本节课贯彻以“学生为主体，教师为主导”的理念，采用主动探究、合作交流、“设置问题序列”的方式，引导学生独立思考.利用小组实验、学生讲解等方式，调动学生学习的积极性.本节课倡导学生主动参与，在师生互动、生生互动中，完成了对球体积和表面积的研究，以及公式的推导.安排学生在课前查阅资料，类比探究出球的不同切割方法.充分发挥多媒体的优势，生动形象地演示了各种研究球体积的方法，突破了传统教学不好解决的教学重、难点，实现了教学目标.五、教具准备各种球模型（实心球、空心球）、橙子、圆葱、马铃薯、自制圆形切割模板、圆规、多媒体课件、geogebra软件.六、教学过程设计（一）复习引入、提出问题1.复习引入前面我们研究了柱、锥、台体的体积和表面积，这节课我们来研究球的体积和表面积. 我们知道“半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体”. 那么我们能否借鉴研究圆的周长和面积的方法来研究球的体积和表面积呢？2.提出问题问题1：通过前期的学习和查阅资料，发现了有哪些方法可以研究圆的周长？预设回答1：测量法求周长.预设回答2：极限法求周长.【设计意图】1.通过查阅资料，让学生回顾以直代曲，转化的思想，为测量法研究球的体积做铺垫；2.引入极限思想，为极限法研究球的体积做好铺垫.问题2：你们又发现了哪些研究圆面积的方法呢？预设回答：极限法求面积.a) 如图1所示.图1b) 如图2所示.图2c) 如图3所示.图3【设计意图】自主探究圆的不同切割方法，通过对圆的面积无限分割，体现极限思想，为研究球的体积做好铺垫.（二）自主探究、合作交流问题3：刚刚同学们展示了圆的周长和面积的研究方法，那么我们能不能类比研究圆的方法来研究球的体积和表面积呢？下面请同学们分小组讨论.预设回答1：测量法求球的体积.预设回答2：极限法求球体积.a) 如图4所示.图4b) 如图5所示.图5c) 如图6所示.图6【设计意图】1.让学生动手实验，如切割实物马铃薯和橙子及多媒体动画展示，化抽象为具体. 帮助学生提升直观想象的核心素养；2.通过小组合作，培养学生合作交流的能力，增强团队意识.（三）数学建模、公式推导以上有两名同学通过分割的方法，将球的体积等价转化为可求体积的几何体，这种等价转化的方法，我国古代数学家祖暅已经给我们提供了理论依据.祖暅原理告诉我们这样一个事实：幂势既同，则积不容异.如图7所示.图7祖暅给出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年，在欧洲，直到17世纪，意大利数学家卡瓦列里才给出上述结论. 卡瓦列里提出线是由点构成的、面是由线构成的、体是由面构成的无限细分积零为整的概念，并把面积称为体积的不可分量.卡瓦列里原理不难用现代的微积分理论给出严格证明，但是作为一名中学生，还没有学习微积分时，如果作为直观上的显然结果，而承认这个原理，就能解决许多求体积的问题.只用初等数学方法，而不需用微积分方法.师：怎样通过祖暅原理求球的体积？师：根据祖暅原理构造几何体的要点是？师：半球更容易稳定的放置在桌面上，球是关于轴截面对称的几何体，如图8所示，我们研究半球的体积V与半径R的关系，就可以得到球的体积V与半径R的关系.图8问题4：能否用已经学过的几何体组合成一个新的几何体来代替半球的体积？这个新的组合体应该怎样组合？如图9所示.图9师：为什么挖去的倒置圆锥截面圆半径为h？如图10所示.图10师：用动画演示，来更好的理解等高下截面积相等. 如图11所示.图11师：请同学们一起推导球体积与半径的关系，由学生代表到黑板前演示推导过程.生：12V球=V柱−V锥=23πR3，所以V球=43πR3.师：我们运用祖暅原理得到了球体积与半径之间的关系V球=43πR3，通过之前推导出的球体积和表面积的关系，可以得到球表面积S球=4πR2.师：还有哪些构造与球等体积的几何体的方式？可以课下再进行研究. 如图12所示.图12师：我们今天能够推导出球的体积公式，都要归功于祖暅.让我们怀着敬意，一起来回顾祖暅的生平.【设计意图】利用祖暅原理，推导出球的体积公式，进而得到球的表面积公式.介绍祖暅原理蕴含的数学思想方法. 通过介绍中国古代优秀的数学家，增强民族文化自信，激发学生勤奋好学的斗志.（四）知识总结、心得体会1.师生共同进行知识总结2.学生谈体会和收获（五）作业布置、拓广探索1.复习巩固：教材119页练习2,3,4题；2.拓广探索：教材120页9题；3.合作探究：查阅资料，试着用微积分的方法推导球的体积公式.结束语：学习是无止境的，科学探索的道路是充满艰辛、充满乐趣的，希望同学们能勤于钻研、勇于创新，创造出属于我们更加卓越的未来.。
高中数学知识点精讲精析 球的表面积和体积
球的表面积和体积（1）将一个底面半径R 高为R 的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎.剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等.等出它们体积相等的结论.而那个被挖体的体积好求.就是半球体积了.V ＝2/3πR^3 .因此一个整球的体积为4/3πR^3 球是圆旋转形成的.圆的面积是S=πR^2，则球是它的积分，根据积分公式可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^3（2）球的表面积公式，依照纬线把球分成许多个圆台，所有圆台侧面积之和即球的表面积：4πr2.例1.（04 年辽宁卷.10）设A .B .C .D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）A B C D解析：由已知可得，A .B .C .D 在球的一个小圆上.∵ AB =BC =CD =DA =3， ∴ 四边形ABCD 为正方形. ∴ 小圆半径点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质 R 2 = r 2 + h 2 ，体积和表面积公式.例2.推导球的表面积公式. 解析：设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“ 小锥体”的底面积可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高.因此，第i 个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“ 小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积为：π68π664π224π272323=r A.68)6(34346,)2()223(23222222所以选球的体积解得得由πππ===∴=+=+=R V R R R h r R ,,,,21i S S S ∆∆∆.21 +∆++∆+∆=i S S S S i S ∆i h i i i h V S 31∆⋅=（例2题图）点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的半径OA 作n 等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”， 这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和. 探究的关键都是先极限分割，然后求和.例3. A.B.C 是球面上三点，已知弦AB=18cm ，BC=24cm ，AC=30cm ，平面ABC 与球心O 的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．（例3题图）解析：AB 2+BC 2=AC 2，ABC 为直角三角形， ABC 的外接圆O 1的半径r=15cm ， 因圆O 1即为平面ABC 截球O 所得的圆面，因此有R 2=（）2+152， R 2=300，S 球=4R 2=1200（cm 2）.∆∴∆∴2R ∴∴ππ。
人教版高中数学课件-球的表面积和体积
球的體積
已知球的半徑為R,用V表示球的體積.
A
A
r3
O
C2
r2
B2
O
r1
r1
R2 R,
r2
R2 (R)2 , n
r3
R2 (2R)2 . n
球的體積 A
ri
O
R (i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的半径：
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2, n. n
球的體積
1.3.2球的表面積和體積
球
人類的家－－地球
人類未來的家－－火星
探索火星的航太飛船
實際問題
如果用油漆去塗一個乒乓球和一個籃球，且塗 的油漆厚度相同，問哪一個球所用的油漆多？為 什麼？
實際問題
一個充滿空氣的足球和一個充滿空氣的籃球， 球內的氣壓相同，若忽略球內部材料的厚度，則 哪一個球充入的氣體較多？為什麼？
(n
1) n (2n 6
1) ]
12 22 (n 1)2 (n 1)n(2n 1)
6
R 3[1
1 n2
(n
1)(2n 6
1) ]
球的體積
1
1
(1 )(2 )
V半球 R 3 [1
n
n]
6
当n 时, 1 0. n
V半 球
2 R3
3
从而V 4 R3 .
3
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3
解： 3設球 2的 內徑是2xcm，那麼球的品質為：
7.9 4 50 517054 (g) 3
x 11239.42, 3
解得： x 22.4.
2x 44.8.
高中数学《球的表面积和体积》课件
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
答案
例 3 过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，截面面积是 48π cm2，求球的表面积．
[解] 如图所示，设 O′为截面圆圆心，则 OO′⊥O′A，O′A 为截 面圆的半径，OA 为球的半径 R.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
7.3 球的表面积和体积
[学习目标] 1.了解球的截面． 2.掌握球的表面积和体积公式． 3. 会运用这些公式进行简单的有关计算.
课前自主学习
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
【主干自填】
1．球的表面积公式：S 球面＝_□0_1__4_π_R_2_(R 为球的半径)．
2．球的体积公式：V 球＝__□0_2_43__π_R_3 (R 为球的半径)．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
【即时小测】 1．思考下列问题 (1)用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半 径之间有什么关系？
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图 中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．
提示：V＝43πR3 S＝4πR2 这两个公式说明球的体积和表面积都由球的 半径 R 唯一确定．其中球的体积是半径 R 的三次函数，球的表面积是半径 R 的二次函数，并且表面积为半径为 R 的圆面积的 4 倍．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
2．球的表面积扩大 2 倍，球的体积扩大( ) A．2 倍 B. 2倍 C．2 2倍 D．3 2倍
高中数学必修2第1章第3节《球的体积和表面积》
=
πR2 R- 1πR2 R=
3
2 3
πR3
V球
=
4 3
πR3
R
R
l lR
O
(1)
r
Rl O
R
(2)
球的表面积（分割）
设想一个球由许多顶点
在球心,底面在球面 上的“准锥体” 组成,这些准锥体 的底面并不是真 的多边形,但只要 其底面足够小,就 可以把它们看成 真正的锥体.
s3
s2
R
s1
O
V球
实验方法
实验：排液法测小球的体积（曹冲称象）
它
H h
排 开 液 体 的 体
等 于
小 球 的 体 积
积
球的体积（祖暅定理）
一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上 底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所 得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体 积相等。
R
R O
R
R O
用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环 面
=
4 3
πR3
=
1 3
RS1
+
1 3
RS2
+
1 3
RS3
+...
=
1 3
R(S1 +
S2
+
S3
+ ...)
=
1 3
RS球表
S球表=4πR2
s3 s2
R s1
O
知识要点
球的体积公式：
思考：球的体积、表面积的
V 4π R3 3
求解由哪个量来决定的？ 球半径R
球的表面积公式：
S4πR2
解惑一
新人教A版必修高中数学第一章空间几何体《球的体积和表面积》
3
3
3
3
方法技巧 由与球有关的三视图求简单组合体的表面积或体积时,最重 要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,根 据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.
即时训练2-1:(1)一个几何体的三视图(单位:m)如图所示,则该几何体的
体积为
m3.
解析:(1)由三视图可知,几何体上部为长方体,长、宽、高分别为 6,3,1.
答案:36π
方法技巧 球的表面积和体积仅与球半径有关,因此求球的表面积和体积 的问题可转化为求球半径的问题.
即时训练1-1:已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动 点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ) (A)36π (B)64π (C)144π (D)256π
2
答案:(2)3π
变式探究:若将上面(1)中的三视图中的俯视图改成如图的图形,又如何呢?
解:此时这个几何体上面是一个球,下面是一个正四棱锥.球的半径是 1,正四棱
锥的高是 15 ,底面正方形的边长是 2,故所求几何体的体积是 4 π×13+ 1 ×
3
3
4× 15 = 4 π+ 4 15 .即所求几何体的体积是 4 π+ 4 15 .
1.3.2 球的体积和表面积
课标要求:1.了解球的表面积和体积计算公式.2.会求与球有关的简单组 合体的体积和表面积.
自主学习
知识探究
1.球的表面积与体积公式
(1)球的体积
设球的半径为R,则球的体积V= 4 πR3.
(2)球的表面积
3
设球的半径为R,则球的表面积S=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
球的表面积和体积高中数学北师大版2019必修第二册
3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的
体积为Байду номын сангаас )
4π
2
A. 3
B. 3 π
C. 23π
π D.6
A [由题意得，球的直径为正方体的棱长，即球的半径为1，所 以V球＝43π×13＝43π.]
4．用一个平面截半径为25
cm的球，截面圆的面积是225π
cm2，则球心到截面的距离为________ cm.
20 [由题意知，球的半径R＝25(cm)，易知截面圆的半径r＝ 15(cm)，则球心到截面的距离d＝ 252－152＝20(cm)．]
合作探究 提素养
类型一：球的体积与表面积
【例1】 (1)球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，
1．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积； (2)已知球的体积为1038π，求它的表面积．
[解] (1)因为直径为2，所以半径R＝1， 所以表面积S球＝4πR2＝4π×12＝4π， 体积V球＝43πR3＝43π×13＝43π. (2)因为V球＝43πR3＝1308π， 所以R3＝27，R＝3，所以S球＝4π×32＝36π.
则圆锥侧面积与球面面积之比是________．
5 (1)B (2) 2 16π.
[(1)
4 3
πR3＝
32 3
π，故R＝2，球的表面积为4πR2＝
(2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，
则由题意得31πr2·h＝43πR3， r＝2R，
∴13π(2R)2·h＝43πR3，∴R＝h，r＝2h，
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2
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来 的几倍? 8倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,求这个球的体积.
32 3
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7
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球 切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各 顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面
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8
变式1.一种空心钢球的质量是142g,外径 是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
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4
1.一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球 的质量是 7.9 [ 4 ( 5 )3 4 x 3 ] 142 3 2 3 5 3 142 3 3 x ( ) 11 .3 2 7.9 4 由计算器算得:
2
2
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
R R i 1 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2, n n n n
2
R 2 ri R [ (i 1)] , i 1,2,, n n 3
2
V半球 V1 V2 Vn R 3 12 22 (n 1) 2 [n ] 2 n n
R 3 1 (n 1) n (2n 1) [n 2 ] n n 6 1 ( n 1)( 2n 1) 3 R [1 2 ] n 6
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3
4 3 定理:半径是R的球的体积 V R 3
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 3 4 5 3 125 3 V R ( ) cm 3 3 2 6
球的体积、表面积
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1
问题:已知球的半径为 R, 用 R 表示球的体积 . A A
ri
O O.
R 2 r2 R ( ) , n 2R 2 2 r3 R ( ) , n
2
Ci C2 O
Bi B2
r1 R R,
2
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R 2 ri R [ (i 1)] , i 1,2, n n
1.一种方法: “分割,求和,取极限”的数学方法. 2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观 点. 4 3 3.一个公式:半径为R的球的体积是V R
3
4.解决两类问题:两个几何体相切和相接
作适当的轴截面
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两个几何体相切:一个几何体的各个面与另 一个几何体的各面相切. 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上
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x 2.24 2 x 4.5
5
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答:空心钢球的内径约为4.5cm.
例1.钢球直径是5cm,求它的体积. (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中,至少要用多大的纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体
侧棱长为5cm
S侧 6 5 150cm
2
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