中考数学17题专题练习

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中考数学复习专题17：三角形及其性质(含中考真题)

专题17 三角形及其性质☞解读考点知识点名师点晴三角形的重要线段中线、角平分线、高线理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线三角形的中位线理解并掌握三角形的中位线的性质三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理三角形的外角三角形的外角的性质能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明☞2年中考【题组】1．（崇左）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C．【解析】试题分析：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故选C．考点：三角形三边关系．2．（来宾）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C．【解析】试题分析：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．考点：三角形的外角性质．3．（柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D ．考点：三角形的外角性质．4．（南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．5，6，10B ．5，6，11C ．3，4，8D ．4a ，4a ，8a （a ＞0）【答案】A ．【解析】试题分析：A ．∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确； B ．∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； C ．∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； D ．∵4a+4a=8a ，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A ．考点：三角形三边关系．5．（宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（） A ．9 B ．12 C ． 7或9 D ．9或12 【答案】B ．【解析】试题分析：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；所以这个三角形的周长是12．故选B ．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（）A ．5B ．7C ．5或7D ．10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．7．（绵阳）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A ．118°B ．119°C ．120°D ．121° 【答案】C ．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE ，CD 是∠B 、∠C 的平分线，∴∠CBE=21∠ABC ，∠BCD=21∠BCA ，∴∠CBE+∠BCD=21（∠ABC+∠BCA ）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C ．考点：三角形内角和定理．8．（广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（）A ．10B ．14C ．10或14D ．8或10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．9．（北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（） A ．内心 B ．外心 C ．中心 D ．重心【答案】D ．【解析】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D ．考点：三角形的重心．10．（百色）下列图形中具有稳定性的是（）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【答案】A ．【解析】试题分析：∵三角形具有稳定性，∴A 正确，B ．C 、D 错误．故选A ．考点：三角形的稳定性．11．（百色）△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A ．4B ．4或5C ．5或6D ．6 【答案】B ．【解析】试题分析：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么a=24S ，b=212S ，c=2S h ，又∵a ﹣b ＜c ＜a+b ，∴22222412412S S S S Sh -<<+，即2233S S Sh <<，解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故选B ．考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．三角形的面积；3．三角形三边关系；4．综合题．12．（广安）下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．考点：三角形的角平分线、中线和高．13．（宜昌）下列图形具有稳定性的是（）A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．直角三角形【答案】D ．【解析】试题分析：直角三角形具有稳定性．故选D ．考点：1．三角形的稳定性；2．多边形．14．（长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】试题分析：为△ABC 中BC 边上的高的是A 选项．故选A ．考点：三角形的角平分线、中线和高．15．（鄂尔多斯）如图，A ．B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（）A ．256B ．51C ．254D ．257【答案】A ．考点：1．概率公式；2．三角形的面积．16．（淄博）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=12AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（）A．17 B ．16 C．15 D．14【答案】C．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的面积；3．三角形中位线定理；4．综合题．17．（淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．【答案】75°．【解析】试题分析：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB ∥CD ，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．18．（宜宾）如图，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC= ．【答案】80°．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．19．（巴中）若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足229(2)0a b -+-=，则第三边c 的取值范围是．【答案】1＜c ＜5．【解析】试题分析：由题意得，290a -=，20b -=，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c ＜5．故答案为：1＜c ＜5．考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根． 20．（南充）如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD ，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是度．【答案】60．【解析】试题分析：∵∠ACD=∠B+∠A ，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°，∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=60°，故答案为：60．考点：三角形的外角性质．21．（佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．【答案】10．【解析】试题分析：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．故答案为：10．考点：三角形三边关系．22．（广东省）如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若ABC 12S =△，则图中阴影部分的面积是．【答案】4．考点：1．三角形的面积；2．综合题．23．（长春）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为．【答案】5．【解析】试题分析：过E 作EM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC=CD=AB ，∴EM=AD ，BM=CE ，∵△ABE 的面积为8，∴12×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE=22BC CE +=2243+=5，故答案为：5．考点：1．正方形的性质；2．三角形的面积；3．勾股定理．24．（昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．【答案】53 2．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．25．（临沂）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则OBOD = ．【答案】2．【解析】试题分析：∵△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，∴点O 是△ABC 的重心，∴OBOD =2．故答案为：2．考点：1．三角形的重心；2．相似三角形的判定与性质．26．（六盘水）如图，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A ⊥l2，A 为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B 在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．【答案】理由见试题解析．考点：1．平行线之间的距离；2．三角形的面积．27．（达州）化简2221432a a a a a a +⋅----，并求值，其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数．【答案】13a -，1．【解析】试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a 的值代入计算即可求出值．考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．28．（青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）n 7 8 9 10m你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2m【问题应用】：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型．【题组】1.（福建南平）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可：A、1+1=2，不能组成三角形，故此选项错误；B、1+2＞2，能组成三角形，故此选项正确；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、1+2＜4，能组成三角形，故此选项正确．故选B．考点：三角形的三边关系．2.（浙江台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm【答案】D．考点：三角形的中位线．3．（•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C．【解析】试题分析：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×5=10．故选C．考点：三角形中位线定理．4.（•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°【答案】B．考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．5.（•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．试题解析：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12（180°-60°）=60°，∴∠BDC=180°-85°-60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12（180°-70°）=55°，故D选项正确．故选B．考点：角平分线的性质；三角形内角和定理．6.（江苏淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）【答案】4（答案不唯一）．考点：三角形的三边关系．7、（广东广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是___________°．【答案】140．．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．考点：三角形的外角的性质．8.（湖北随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．【答案】75．【解析】试题分析：如答图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角的性质．☞考点归纳归纳 1：三角形的有关线段基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB＝4，BC＝6，则DF＝_____．【答案】1．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．归纳 2：三角形的三边关系基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．【例2】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．12【答案】B．考点：三角形三边关系．归纳 3：内角和定理基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．【例3】如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．归纳 4：三角形的外角基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．【例4】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠B=30°，∠D=40°，则∠AOC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．☞1年模拟1．（北京市平谷区中考二模）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】D．【解析】试题分析：根据平行线的性质及三角形的内角和定理，有图像可知∠1与∠2互余，因此∠2=90°-65°=25°．故选D．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．2．（安徽省安庆市中考二模）如图所示，AB∥CD，∠D=26°，∠E=35°，则∠ABE的度数是（）A．61° B．71° C．109° D．119°【答案】A ．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．3．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．30° D．25°【答案】A．【解析】试题分析：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选A．考点：1．三角形的外角性质；2．平行线的性质．4．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）A． 120° B． 135° C． 150° D． 180°【答案】D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．三角形内角和定理．5．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（）A55255225105【答案】A．【解析】试题分析：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，∵55，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA=55BEAB，故选A．考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型．6．（山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．【答案】4．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．三角形的面积．7．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）长为1、2、3、4、5的线段各一条，从这5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是．【答案】1 5．【解析】试题分析：从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条，所有的情况共有10种，其中，取出的三边能构成钝角三角形时，必须最大边的余弦值小于零，即：较小的两个边的平方和小于第三边的平方，故满足构成钝角三角形的取法只有：2、3、4 和2、4、5两种，故取出的三条线段为边能构成钝角三角形的概率是21105 ．考点：1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系．8．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，已知△ABC 中，∠A=40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2= 度．【答案】220．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．9．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An 在射线OA 上，点B1，B2，B3，…，Bn ﹣1在射线OB 上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An ﹣1Bn ﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn ﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An ﹣1AnBn ﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于的阴影三角形共有__________个．【答案】12；6．【解析】试题分析：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，因此可知2132A B A B =212323A B B A B B S S=12，2233A B A B =212323A B B A B B SS=12，再由考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．三角形的面积；4．规律型．。

2022年全国中考数学真题分类汇编专题17：尺规作图

2022年全国中考数学真题分类汇编专题17：尺规作图一．选择题（共13小题）1．如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则BC的长是（）A． B．4C．6D．2．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）A．AF＝BF B．AE ACC．∠DBF+∠DFB＝90°D．∠BAF＝∠EBC3．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（）A．∠BAQ＝40°B．DE BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（）A．BD＝BC B．AD＝BD C．∠ADB＝108°D．CD AD 5．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于 CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°6．如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B＝45°B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD 7．如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD ＝4，AB＝2．则四边形MBND的周长为（）A． B．5C．10D．208．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠A的度数是（）A．36°B．54°C．72°D．108°9．过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（）A．B．C．D．10．在△ABC中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连接AE．则下列结论不一定正确的是（）A．AB＝AE B．AD＝CD C．AE＝CE D．∠ADE＝∠CDE 11．如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°12．要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行13．用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．二．多选题（共1小题）（多选）14．如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段AB ＝2，分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连接AC、BC，作直线CD，且CD与AB相交于点H．则下列说法正确的是（）A．△ABC是等边三角形B．AB⊥CDC．AH＝BH D．∠ACD＝45°三．填空题（共8小题）15．如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数°．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于cm．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于 AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是．18．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD 的周长为．19．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上．（Ⅰ）线段EF的长等于；（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．20．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是．21．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝150°．利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BE＝BF；分别以E、F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H．若AD 1，则BH的长为．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为．四．解答题（共19小题）23．在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三角形ADE，连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．24．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC 的长．26．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．27．已知：Rt△ABC，∠B＝90°．求作：点P，使点P在△ABC内部．且PB＝PC，∠PBC＝45°．28．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．29．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．30．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．31．如图，△ABC为锐角三角形．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为．32．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC 有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．33．如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）34．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．35．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）36．中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．如图2，∠ABC为直角，以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；以点D为圆心，以BD长为半径画弧与交于点F；再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与交于点G；作射线BF，BG．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．37．课本再现（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C ∠AOB；知识应用（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．38．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作∠ABC的角平分线；（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．39．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．40．我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为S ah．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在边FE上，再过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC于点D．（只保留作图痕迹）在△ADC和△CFA中，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∵∠F＝90°，∴①．∵EF∥BC，∴②．又∵③，∴△ADC≌△CFA（AAS）．同理可得：④．S△ABC＝S△ADC+S△ABD S矩形ADCF S矩形AEBD S矩形BCFE ah．41．在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC 的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴①∵AD∥BC，∴②又③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得④＝S△EFB+S△EFC S矩形ABFE S矩形EFCD S矩形ABCD．∴S△BCE。

中考数学专题17 四川中考填空题压轴专题(解析版)

专题17 四川中考填空题压轴专题【典例1】（2019•眉山）如图，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为 4 ．【点拨】本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出△OCE 、△OAD 、▱OABC 的面积与|k |的关系，列出等式求出k 值．【解答】解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE =12|k |，S △OAD =12|k |，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S ▱ONMG ＝|k |，又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO ＝4S ▱ONMG ＝4|k |，由于函数图象在第一象限， ∴k ＞0，则k2+k 2+12＝4k ，∴k ＝4．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k |．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．【典例2】（2019•凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，AE =14AB ，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 4 ．【点拨】先证明△BPE ∽△CQP ，得到与CQ 有关的比例式，设CQ ＝y ，BP ＝x ，则CP ＝12﹣x ，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【解答】解：∵∠BEP +∠BPE ＝90°，∠QPC +∠BPE ＝90°， ∴∠BEP ＝∠CPQ ．又∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BPE ∽△CQP ． ∴BE PC=BP CQ．设CQ ＝y ，BP ＝x ，则CP ＝12﹣x ． ∴912−x=xy ，化简得y =−19（x 2﹣12x ），整理得y =−19（x ﹣6）2+4，所以当x ＝6时，y 有最大值为4．故答案为4．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．【典例3】（2019•自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos （α+β）＝√217．【点拨】给图中相关点标上字母，连接DE ，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α，由∠AEC ＝60°结合∠AED ＝∠AEC +∠CED 可得出∠AED ＝90°，设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE =√3a ，利用勾股定理可得出AD 的长，再结合余弦的定义即可求出cos （α+β）的值．【解答】解：给图中相关点标上字母，连接DE ，如图所示．在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝BC ， ∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α．又∵∠AEC ＝60°，∴∠AED ＝∠AEC +∠CED ＝90°．设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝2×sin60°•a =√3a ， ∴AD =√AE 2+DE 2=√7a ， ∴cos （α+β）=DE AD =√217．故答案为：√217．【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．【典例4】（2019•雅安）已知函数y ={−x 2+2x(x ＞0)−x(x ≤0)的图象如图所示，若直线y ＝x +m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为 0＜m ＜14 ．【点拨】直线与y ＝﹣x 有一个交点，与y ＝﹣x 2+2x 有两个交点，则有m ＞0，x +m ＝﹣x 2+2x 时，△＝1﹣4m ＞0，即可求解．【解答】解：直线y ＝x +m 与该图象恰有三个不同的交点，则直线与y ＝﹣x 有一个交点， ∴m ＞0，∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，∴x+m＝﹣x2+2x，△＝1﹣4m＞0，∴m＜1 4，∴0＜m＜1 4；故答案为0＜m＜1 4．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定m的范围．【典例5】（2019•广元）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M＝4a+2b+c，则M的取值范围是﹣6＜M＜6．【点拨】将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，可知b＝a+2，利用对称轴可知：a＞﹣2，从而可知M的取值范围．【解答】解：将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，∴0＝a﹣b+c，2＝c，∴b＝a+2，∵−b2a＞0，a＜0，∴b＞0，∴a＞﹣2，∴﹣2＜a＜0，∴M＝4a+2（a+2）+2 ＝6a+6＝6（a+1）∴﹣6＜M＜6，故答案为：﹣6＜M＜6；【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．【典例6】（2019•巴中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝24+16√3．【点拨】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，根据旋转的性质可得∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′＝BP＝8＝PP'，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′为等边三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'B+S△AP'P=√34BP2+12×PP'×AP＝24+16√3故答案为：24+16√3【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．【典例7】（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为2π3+√3．【点拨】连接OE ，作OF ⊥DE ，先求出∠COE ＝2∠D ＝60°、OF =12OD ＝1，DF ＝OD cos ∠ODF =√3，DE ＝2DF ＝2√3，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．【解答】解：如图，连接OE ，作OF ⊥DE 于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，且∠A ＝150°， ∴∠D ＝30°，则∠COE ＝2∠D ＝60°， ∵CD ＝4， ∴CO ＝DO ＝2，∴OF =12OD ＝1，DF ＝OD cos ∠ODF ＝2×√32=√3， ∴DE ＝2DF ＝2√3， ∴图中阴影部分的面积为60⋅π⋅22360+12×2√3×1=2π3+√3，故答案为：2π3+√3．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S =nπr 2360是解题的关键．【典例8】（2019•泸州）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，点E 在边CB 上，CE ＝2EB ，点D 在边AB 上，CD ⊥AE ，垂足为F ，则AD 的长为 9√2 ．【点拨】过D 作DH ⊥AC 于H ，根据等腰三角形的性质得到AC ＝BC ＝15，∠CAD ＝45°，求得AH ＝DH ，得到CH ＝15﹣DH ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D 作DH ⊥AC 于H ， ∵在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15， ∴AC ＝BC ＝15， ∴∠CAD ＝45°， ∴AH ＝DH ， ∴CH ＝15﹣DH ， ∵CF ⊥AE ，∴∠DHA ＝∠DF A ＝90°， ∴∠HAF ＝∠HDF ， ∴△ACE ∽△DHC ， ∴DH AC=CH CE，∵CE ＝2EB ， ∴CE ＝10， ∴DH 15=15−DH 10，∴DH ＝9， ∴AD ＝9√2，故答案为：9√2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【典例9】（2019•乐山）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，直线l ⊥AB ．当直线l 沿射线BC 方向，从点B 开始向右平移时，直线l 与四边形ABCD 的边分别相交于点E 、F ．设直线l 向右平移的距离为x ，线段EF 的长为y ，且y 与x 的函数关系如图2所示，则四边形ABCD 的周长是．【点拨】根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB、BC、AD的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到CD的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．【解答】解：∵∠B＝30°，直线l⊥AB，∴BE＝2EF，由图可得，AB＝4cos30°＝4×√32=2√3，BC＝5，AD＝7﹣4＝3，由图象可得，AN＝5﹣4＝1，ND＝CM＝7﹣5＝2，DM＝2，∵∠B＝30°，EF⊥AB，∴∠M＝60°，又∵DM＝MC＝2，∴△DMC是等边三角形，∴DC＝DM＝2，∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD＝2√3+5+3+2＝10+2√3，故答案为：10+2√3．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【典例10】（2019•攀枝花）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上．已知点A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是（47，16），．【点拨】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，即可得到C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标，根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），即可得到C1，C2，C3，C4，C5…在一条直线上，直线的解析式为y=13x+13，把C5的纵坐标代入即可求得横坐标．【解答】解：由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，∵A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，∴C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…∴根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），∴直线C1C2的解析式为y=13x+13，∵A5的纵坐标为16，∴C5的纵坐标为16，把y＝16代入y=13x+13，解得x＝47，∴C5的坐标是（47，16），故答案为（47，16）．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形和正方形的性质．此题难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用．【典例11】（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt △OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为（﹣22017，22017√3）．【点拨】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．【解答】解：由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，√3），A3的坐标为（﹣2，2√3），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8√3），A6的坐标为（16，﹣16√3），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2√3，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2√3，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2√3，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2√3，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A3的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017√3，故答案为：（﹣22017，22017√3）．【点睛】本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．【典例12】（2019•南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB ＝24，BC ＝5．给出下列结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为（25√2626，125√2626）．其中正确的结论是 ②③ ．（填写序号）【点拨】①由条件可知AB ＝24，则AB 的中点E 的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E 所经过的路径长；②当△OAB 的面积最大时，因为AB ＝24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA ＝OB ，可求出最大面积为144；③当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，可求出OD ＝25，证明△DF A ∽△AOB 和△DFO ∽△BOA ，可求出DF 长，则D 点坐标可求出．【解答】解：∵点E 为AB 的中点，AB ＝24， ∴OE =12AB =12，∴AB 的中点E 的运动轨迹是以点O 为圆心，12为半径的一段圆弧， ∵∠AOB ＝90°， ∴点E 经过的路径长为90×12×π180=6π，故①错误；当△OAB 的面积最大时，因为AB ＝24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA ＝OB ， ∵E 为AB 的中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =12，∴S △AOB =12×24×12=144，故②正确；如图，当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，∵AD ＝BC ＝5，AE =12AB =12， ∴DE =√AD 2+AE 2=√52+122=13， ∴OD ＝DE +OE ＝13+12＝25，设DF ＝x ，∴OF =√OD 2−DF 2=√252−x 2， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB ＝90°， ∴∠DF A ＝∠AOB ， ∴∠DAF ＝∠ABO ， ∴△DF A ∽△AOB ∴DF OA =DA AB ，∴x OA=524，∴OA =24x5， ∵E 为AB 的中点，∠AOB ＝90°， ∴AE ＝OE ， ∴∠AOE ＝∠OAE ， ∴△DFO ∽△BOA ， ∴OD AB =OF OA，∴2524=√252−x 224x 5，解得x =25√2626，x =−25√2626舍去，∴OF=125√26 26，∴D(25√2626，125√2626)．故③正确．故答案为：②③．【点睛】本题考查四边形综合题、直角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．【典例13】（2019•绵阳）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2√2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′＝√2+√6．【点拨】如图，连接CE′，根据等腰三角形的性质得到AB＝BC＝2√2，BD＝BE＝2，根据性质的性质得到D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90′，∠D′BD＝∠ABE′，由全等三角形的性质得到∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，连接CE′，∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2√2，∴AB＝BC＝2√2，BD＝BE＝2，∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，∴∠ABD′＝∠CBE′，∴△ABD′≌△CBE′（SAS），∴∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，在Rt△BHE′中，BH＝E′H=√22BE′=√2，在Rt△BCH中，CH=√BC2−BH2=√6，∴CE′=√2+√6，故答案为：√2+√6．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．【典例14】（2019•宜宾）如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是 ①③④ （写出所有正确结论的序号）．①AM ＝BN ；②△ABF ≌△DNF ；③∠FMC +∠FNC ＝180°；④1MN=1AC+1CE【点拨】①根据等边三角形性质得出AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°，求出∠BCE ＝∠ACD ，根据SAS 推出两三角形全等即可；②根据∠ABC ＝60°＝∠BCD ，求出AB ∥CD ，可推出△ABF ∽△DNF ，找不出全等的条件； ③根据角的关系可以求得∠AFB ＝60°，可求得MFN ＝120°，根据∠BCD ＝60°可解题； ④根据CM ＝CN ，∠MCN ＝60°，可求得∠CNM ＝60°，可判定MN ∥AE ，可求得MN AC=DN CD=CD−CN CD，可解题．【解答】证明：①∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形， ∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°， ∴∠ACB +∠ACE ＝∠ECD +∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD ，在△BCE 和△ACD 中， {BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC ，∠CAD ＝∠CBE ，在△DMC 和△ENC 中， {∠MDC =∠NEC DC =BC ∠MCD =∠NCE =60°， ∴△DMC ≌△ENC （ASA ）， ∴DM ＝EN ，CM ＝CN ，∴AD ﹣DM ＝BE ﹣EN ，即AM ＝BN ； ②∵∠ABC ＝60°＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ， ∴∠BAF ＝∠CDF ， ∵∠AFB ＝∠DFN ，∴△ABF ∽△DNF ，找不出全等的条件；③∵∠AFB +∠ABF +∠BAF ＝180°，∠FBC ＝∠CAF ， ∴∠AFB +∠ABC +∠BAC ＝180°， ∴∠AFB ＝60°， ∴∠MFN ＝120°， ∵∠MCN ＝60°， ∴∠FMC +∠FNC ＝180°； ④∵CM ＝CN ，∠MCN ＝60°， ∴△MCN 是等边三角形， ∴∠MNC ＝60°， ∵∠DCE ＝60°， ∴MN ∥AE ， ∴MN AC=DN CD=CD−CN CD，∵CD ＝CE ，MN ＝CN ， ∴MN AC =CE−MN CE ，∴MNAC=1−MNCE ，两边同时除MN 得1AC=1MN−1CE，∴1MN=1AC+1CE．故答案为①③④【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．【典例15】（2019•资阳）如图，在△ABC 中，已知AC ＝3，BC ＝4，点D 为边AB 的中点，连结CD ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，将△ACE 沿直线AC 翻折到△ACE ′的位置．若CE ′∥AB ，则CE ′＝95．【点拨】如图，作CH ⊥AB 于H ．首先证明∠ACB ＝90°，解直角三角形求出AH ，再证明CE ′＝AH 即可．【解答】解：如图，作CH ⊥AB 于H ．由翻折可知：∠AE ′C ＝∠AEC ＝90°，∠ACE ＝∠ACE ′， ∵CE ′∥AB ， ∴∠ACE ′＝∠CAD ， ∴∠ACD ＝∠CAD ， ∴DC ＝DA ， ∵AD ＝DB ， ∴DC ＝DA ＝DB ， ∴∠ACB ＝90°， ∴AB =√AC 2+BC 2=5， ∵12•AB •CH =12•AC •BC ，∴CH =125，∴AH =√AC 2−CH 2=95， ∵CE ′∥AB ，∴∠E ′CH +∠AHC ＝180°， ∵∠AHC ＝90°， ∴∠E ′CH ＝90°， ∴四边形AHCE ′是矩形， ∴CE ′＝AH =95，故答案为95．【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．【典例16】（2019•达州）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B ．①抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1与直线y ＝m +2有且只有一个交点；②若点M （﹣2，y 1）、点N （12，y 2）、点P （2，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 2＜y 3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y ＝﹣（x +1）2+m ； ④点A 关于直线x ＝1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝1时，四边形BCDE 周长的最小值为√34+√2．其中正确判断的序号是 ①③④ ．【点拨】①把y ＝m +2代入y ＝﹣x 2+2x +m +1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确； ②根据二次函数的性质进行判断；③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；④因BC 边一定，只要其他三边和最小便可，作点B 关于y 轴的对称点B ′，作C 点关于x 轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值．【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜12，点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故此小题结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：√B′M2+C′M2+√BM2+CM2=√32+52+√12+12=√34+√2，故此小题结论正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查二次函数的应用、二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【典例17】（2019•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y=12x经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为y=12x2−114x+3．（填一般式）【点拨】点C （0，3），反比例函数y =12x 经过点B ，则点B （4，3），由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2，故点G （32，0），将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式，即可求解．【解答】解：点C （0，3），反比例函数y =12x经过点B ，则点B （4，3），则OC ＝3，OA ＝4， ∴AC ＝5，设OG ＝PG ＝x ，则GA ＝4﹣x ，P A ＝AC ﹣CP ＝AC ﹣OC ＝5﹣3＝2，由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2，解得：x =32，故点G （32，0），将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式得：{c =394a +32b +c =014a +4b +c =0，解得：{ a =12b =−114c =3，故答案为：y =12x 2−114x +3．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形基本性质、反比例函数基本性质与应用，其中用勾股定理求OG 的长度，是本题解题的关键．【典例18】（2018•凉山州）△AOC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA ＝4，将△AOC 绕O 点，逆时针旋转90°得到△A 1OC 1，A 1C 1，交y 轴于B （0，2），若△C 1OB ∽△C 1A 1O ，则点C 1的坐标（43，83）．【点拨】如图作C 1H ⊥x 轴于H ．由△C 1OB ∽△C 1A 1O ，推出OC 1A 1C 1=OB OA 1=12，由tan ∠C 1A 1H =OBOA 1=C 1K A 1H =12，设C 1H ＝m ，则A 1H ＝2m ，OH ＝2m ﹣4，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图作C 1H ⊥x 轴于H ．∵△C 1OB ∽△C 1A 1O ， ∴OC 1A 1C 1=OB OA 1=12，∵tan ∠C 1A 1H =OBOA 1=C 1HA 1H =12，设C 1H ＝m ，则A 1H ＝2m ，OH ＝2m ﹣4，∴A 1C 1=√5m ，OC 1=√m 2+(2m −4)2， ∴√5m ＝2√m 2+(2m −4)2，解得m =83或85（舍弃），∴C 1（43，83）．（本题也可以证明tan ∠OC 1H =OH HC 1=12，S 设C 1（m ，2m ），根据A 1H ＝4m ，构建方程）【点睛】本题考查相似三角形的性质、坐标与图形的旋转等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【精练1】（2019秋•河东区期末）如图，在反比例函数y =−6x (x ＜0)的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，那么四边形PMON 的面积为．【点拨】设出点P 的坐标，四边形PMON 的面积等于点P 的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．【解答】解：设点P 的坐标为（x ，y ），∵点P 的反比例函数解析式上， ∴xy ＝﹣6，易得四边形PMON 为矩形， ∴四边形PMON 的面积为|xy |＝6，故答案为6．【点睛】考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．注意面积应为正值．【精练2】（2016秋•江阴市校级月考）如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，M 、N 分别是BC 、CD 上两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，则△ADN 的最小面积为．【点拨】设BM ＝xcm ，则MC ＝（1﹣x ）cm ，当AM ⊥MN 时，利用互余关系可证△ABM ∽△MCN ，利用相似比求CN ，根据三角形的面积公式表示出△ADN 的面积，用二次函数的性质求面积的最小值．【解答】解：设BM ＝xcm ，则MC ＝（1﹣x ）cm ， ∵∠AMN ＝90°，∴∠AMB +∠NMC ＝90°，∠NMC +∠MNC ＝90°， ∴∠AMB ＝∠MNC ，又∵∠B ＝∠C ， ∴△ABM ∽△MCN ，则AB MC=BM CN，即11−x=x CN，解得：CN =x(1−x)1=x （1﹣x ）， ∴S △ADN ＝S 正方形ABCD =12×1×[1﹣x （1﹣x ）]=12x 2−12x +12， ∵12＜0，∴当x =12cm 时，S △ADN 最小，最小值是4×12×12−(−12)24×12=38（cm 2）．故答案是：38cm 2．【点睛】本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．【精练3】（2019秋•香坊区期末）等边△ABC 中，点P 是BC 所在直线上一点，且PC ：BC ＝1：4，则tan ∠APB 的值是．【点拨】过A 作AD ⊥BC 于D ，设等边△ABC 的边长为4a ，则DC ＝2a ，AD ＝2√3a ，PC ＝a ，分类讨论：当P 在BC 的延长线上时，DP ＝DC +CP ＝2a +a ＝3a ；当P 点在线段BC 上，即在P ′的位置，则DP ′＝DC ﹣CP ′＝a ，然后分别利用正切的定义求解即可．【解答】解：如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，设等边△ABC 的边长为4a ，则DC ＝2a ，AD ＝2√3a ，PC ＝a ，当P 在BC 的延长线上时，DP ＝DC +CP ＝2a +a ＝3a ，在Rt △ADP 中，tan ∠APD =AD DP =2√3a 3a =2√33；当P 点在线段BC 上，即在P ′的位置，则DP ′＝DC ﹣CP ′＝a ，在Rt △ADP ′中，tan ∠AP ′D =AD DP′=2√3aa =2√3．故答案为2√3或2√33．【点睛】本题考查了解直角三角形：利用三角函数和勾股定理求三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了分类讨论思想的运用．【精练4】（2019秋•长清区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC =√2，点D 、E 分别在BC 、AC 上（点D 不与点B 、C 重合），且∠ADE ＝45°，若△ADE 是等腰三角形，则CE ＝．【点拨】可得∠B ＝∠C ＝45°，可证得△DCE ∽△ABD ，由于D 与B 、C 不重合，显然∠ADE ＝∠AED＝45°不符合题意，即AD≠AE，所以此题分两种情况讨论：①AD＝DE，此时（2）的相似三角形全等，由此可求得CD、BD的长，进而可得CE、AE的值．【解答】解：∵点D不能与B点重合，∴AD＝AE不能成立，（或：∵∠ADE＝45°，若AD＝AE，则∠AED＝ADE＝45°，从而∠DAE＝90°，即B与D重合，这与已知条件矛盾）．①当AE、DE为腰，即AE＝DE时（如图1），∠EAD＝∠EDA＝45°，此时，AD平分∠BAC，∴D为BC边的中点（“三线合一”性质），且E也为AC边的中点，∴CE＝AE=√2 2；②当AD、DE为腰，即AD＝DE时（如图2），∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°．∵∠ADE＝45°，∴∠B＝∠C＝∠ADE．∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，∴∠ADB＝∠DEC．∵∠ADC +∠B +∠BAD ＝180，∠DEC +∠C +∠CDE ＝180°， ∴∠ADC +∠B +∠BAD ＝∠DEC +∠C +∠CDE ， ∴∠EDC ＝∠BAD ， ∴△ABD ∽△DCE 此时AD 与DE 为对应边，∴△ABD ≌△DCE ，DC ＝AB =√2， CE ＝BD ＝BC ﹣CD ＝2−√2．因此CE 的长为2−√2或√22．故答案为：2−√2或√22．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解答时证明三角形相似是关键．【精练5】（2019秋•江岸区校级月考）我们把函数y ={x 2−2x −3(x ≥0)x 2+2x −3(x ≤0)的图象记为C ，若直线y ＝x +b与图象C 有且只有三个公共点，则b 的取值是．【点拨】画出分段函数的图象，结合图象找到直线与该图象有三个交点的两端情况：直线经过点（0，﹣3）时；直线y ＝x +b 与y ＝x 2+2x ﹣3（x ≤0）部分只有一个交点时．【解答】解：根据函数解析式分别画出函数图象，如图所示：当直线经过点（0，﹣3）时，此时函数与直线y ＝x +b 恰有三个交点， ∴b ＝﹣3，当直线y ＝x +b 与y ＝x 2+2x ﹣3（x ≤0）部分只有一个交点时， ∴x 2+2x ﹣3＝x +b ， ∴b =−134； ∴b ＝﹣3或b =−134时两图象有三个交点；故答案为−134或﹣3．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【精练6】（2018秋•越秀区期末）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④6a﹣2b+c＜0；⑤若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的判断是（填写所有正确判断的序号）【点拨】根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征判断即可．【解答】解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴−b2a=−1，a+b+c＝0，∴b＝2a，c＝﹣3a，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，故③正确；∵9a﹣3b+c＝0，b＝2a，c＝﹣3a，∴6a﹣2b+c＝6a﹣4a﹣3a＝﹣a＜0，故④正确；∵抛物线对称轴x＝﹣1，∴x＝﹣0.5与x＝﹣1.5的函数值相等，∵﹣1.5＞﹣2，∴则y1＜y2；故⑤错误；故答案为：②③④．【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活运用数形结合思想．【精练7】（2019春•东海县期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°，得到线段AQ，连接BQ，若P A＝3，PB＝4，PC＝5，则四边形APBQ的面积为【点拨】连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得AP＝AQ＝3，∠P AQ＝60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP＝3，接着证明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝5，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S＝S△BPQ+S△APQ进行计算．四边形APBQ【解答】解：连结PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP＝AQ＝3，∠P AQ＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ＝AP＝3，∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，且AC＝AB，AP＝AQ∴△APC≌△ABQ（SAS），∴PC＝QB＝5，在△BPQ中，∵PB2＝42＝16，PQ2＝32＝9，BQ2＝52＝25，∴PB2+PQ2＝BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ=12BP×PQ+√34×PQ2＝6+9√34故答案为：6+9√3 4【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理以及逆定理，证明△APQ为等边三角形是本题的关键．【精练8】（2019•吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在AB̂上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．【点拨】连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴▱ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积=90⋅π×102360−8×6＝25π﹣48．故答案为：25π﹣48．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【精练9】（2019•虞城县一模）如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P、Q出发ts时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系如图2所示（其中曲线OM为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）当点P在ED上运动时，连接QD，若QD平分∠PQC，则t的值为．【点拨】根据题意和函数图象可以得到BE和BC的长，然后根据当t＝5时，y＝10可以得到AB的长，然后根据QD平分∠PQC，可得DG＝DC，进而可以求得相应的t的值．【解答】解：由题意可得，BE ＝5，BC ＝12， ∵当t ＝5时，S ＝10， ∴10=5×AB2，得AB ＝4，作EH ⊥BC 于点H ，作EF ∥PQ ，P 1Q 2∥EF ，作DG ⊥P 1Q 2于点G ，则EH ＝AB ＝4，BE ＝BF ＝5， ∵∠EHB ＝90°， ∴BH =√52−42=3， ∴HF ＝2，∴EF =√42+22=2√5， ∴P 1Q 2＝2√5，设当点P 运动到P 1时，Q 2D 平分∠P 1Q 2C ，则DG ＝DC ＝4，P 1D ＝17﹣AE ﹣EP 1＝12﹣3﹣（t ﹣5）＝14﹣t ， ∴(14−t)×42=2√5×42，解得，t ＝14﹣2√5，故答案为：14﹣2√5．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【精练10】（2018秋•市中区期末）将正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2按如图所示方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x +1和x 轴上，则点B 2019的横坐标是．【点拨】根据直线y＝x+1可求与x轴、y轴的交点坐标，得出第一个正方形的边长，得出点B1的横坐标，根据第二个正方形与第一个正方形的关系，可求出第二个正方形的边长，进而确定B2的横坐标，依此类推，可得出B2019的横坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，∴A（0，1），当y＝0时，x＝﹣1，∴直线与x轴的交点（﹣1，0）∴B1（1，1），易得△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、△A4B4A5……均是等腰直角三角形，可得：每一个正方形的边长都是它前一个正方形边长的2倍，因此：B2的横坐标为1+1×2＝1+2＝20+21＝3＝22﹣1，B3的横坐标为1+1×2+2×2＝1+2+4＝20+21+22＝7＝23﹣1，B4的横坐标为24﹣1，B5的横坐标为25﹣1，……B2019的横坐标为22019﹣1，故答案为：22019﹣1．【点睛】此题主要考查了一次函数图形上的点与坐标特征，规律型问题常用的方法是，分别求出前几个数据，然后依据变化规律，得出一般的结论．本题就是先求出B1的横坐标为21﹣1，B2的横坐标为22﹣1，B3的横坐标为23﹣1，B4的横坐标为24﹣1，……进而得到B n的横坐标为2n﹣1．【精练11】（2019•鄂尔多斯模拟）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），根据这个规律探索可得，第56个点的坐标为．【点拨】根据题意和图象中的点的坐标，可以发现这些点的变化规律，从而可以求得第56个点的坐标．【解答】解：由题意可得，横坐标是1的点有1个，横坐标是2的点有2个，横坐标是3的点有3个，…，∵56＝（1+2+3+…+10）+1，∴第56个点的坐标为（11，10），故答案为：（11，10）【点睛】本题考查规律性：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的变化规律，求出相应的点的坐标．【精练12】（2019春•徐州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为2cm的棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P 在运动过程中所经过的路径长度为cm．【点拨】根据题意可以判断出点P的运动轨迹是4段弧长和2段线段的长度．【解答】解：连接BP，如图所示：∵P是EF的中点，∴BP=12EF=12×2＝1，如图所示，点P的运动轨迹是4段弧长+2段线段的长度，即4×90π×1180+2×1＝2π+2．故答案为：2π+2．【点睛】本题考查了轨迹、矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及弧长的计算．判断出点的P运动的轨迹是解题的关键．【精练13】（2018秋•雨花区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是AC的中点，直角∠EDF的两边分别交AB、BC于点E、F，给出以下结论：①AE＝BF；②S四边形BEDF=12S△ABC；③EF＝BD；④∠BFE＝∠CDF；⑤△DEF是等腰直角三角形，当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终成立的有个．。

2019年全国中考数学真题汇编——专题17规律探索题

专题17规律探索题1．(2019•毕节)下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是A．上方B．右方C．下方D．左方【答案】C【解析】如图所示：每旋转4次一周，2019÷4=504……3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方，故选C．【名师点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，观察出图形的变化规律是解题的关键．2．(2019•娄底)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A(A为坐标原点)出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为A．-2B．-1C．0D．1【答案】B【解析】点运动一个用时为秒．如图，作于D，与交于点E．在中，∵，，∴，∴，∴，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为-1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；……，∴点P的纵坐标以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，∵，∴第2019秒时点P的纵坐标为是-1．故选B．【名师点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，–1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．3．(2019•广元)如图，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作直线l的垂线，交y轴于点，过点作y轴的垂线交直线l于点，…，这样依次下去，得到，，，…，其面积分别记为，，，…，则A．B．C．D．【答案】D【解析】∵点的坐标是，∴，∵点在直线上，∴，，∴，∴，∴，得出，∴，∴，，∵，∵，∴，∴，∴，故选D．【名师点睛】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．4．(2019•雅安)如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，…，按此规律，则点的纵坐标为A．B．C．D．【答案】A【解析】联立直线与直线的表达式并解得：，，故；则点，则直线的表达式为，将点坐标代入上式并解得：直线的表达式为：，将表达式与直线的表达式联立并解得：，，即点的纵坐标为；同理可得的纵坐标为，…，按此规律，则点的纵坐标为，故选A．【名师点睛】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．5．(2019•百色)观察一列数：，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是__________．【答案】57【解析】由题意知，这列数的第个数为，当时，，故答案为：57．【名师点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是得出数列的变化规律：每次增加3．6．(2019•铜仁)按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是__________．(n为正整数)【答案】【解析】第1个数为；第2个数为；第3个数为；第4个数为；…，所以这列数中的第n个数是．故答案为：．【名师点睛】此题考查数列中的规律，解题关键在于观察找出规律．7．(2019•河池)，…，是一列数，已知第1个数，第5个数，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数的值是__________．【答案】6【解析】由任意三个相邻数之和都是15可知：，，，…，可以推出：，，，所以，则，解得，∵，因此．故答案为：6．【名师点睛】此题主要考查了规律型：数字的变化类，关键是找出第1、4、7…个数之间的关系，第2、5、8…个数之间的关系，第3、6、9…个数之间的关系．问题就会迎刃而解．8．(2019•大庆)归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为__________．【答案】3n+2【解析】由图可得，图①中棋子的个数为：3+2=5，图②中棋子的个数为：5+3=8，图③中棋子的个数为：7+4=11，……则第n个“T”字形需要的棋子个数为：(2n+1)+(n+1)=3n+2，故答案为：3n+2．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．9．(2019•淄博)如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点(不与点，重合)处，折痕是．如图，当时，；如图，当时，；如图，当时，；……依此类推，当(为正整数)时，__________．【答案】【解析】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中间一个．∴．故答案为：．【名师点睛】本题考查规律，解题的关键是由题意得到规律．10．(2019•聊城)数轴上两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点(，是整数)处，那么线段的长度为__________(，是整数)．【答案】【解析】由于OA=4，所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1=OA=×4=2，同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的()2×4处，同理跳动n次后，离原点的长度为()n×4=，故线段A n A的长度为4–(n≥3，n是整数)．故答案为：4–．【名师点睛】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．11．(2019•枣庄)观察下列各式：，，，…请利用你发现的规律，计算：，其结果为__________．【答案】【解析】，故答案为：．【名师点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．12．(2019•本溪)如图，点在直线上，点的横坐标为，过作，交轴于点，以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形延长交轴于点；…，按照这个规律进行下去，点的横坐标为__________(结果用含正整数的代数式表示)【答案】【解析】如图，过点分别作轴，轴，轴，轴，轴，…，垂足分别为∵点在直线上，点的横坐标为，∴点的纵坐标为，即：，图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是，，∴点的横坐标为：，点的横坐标为：，点C3的横坐标为：，点的横坐标为：，…，点的横坐标为：，故答案为：．【名师点睛】本题考查的是规律，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．13．(2019•绥化)在平面直角坐标系中，若干个边长为个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，设第秒运动到点为正整数)，则点的坐标是__________．【答案】【解析】如图，作A1H⊥x轴，∵△OA1A2是等边三角形，∴∠A1OH=60°，OH=OA2=，∴A1H=A1O·sin60°=1×=，∴，，同理可得，，，，，由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每个点依次为：这样循环，2019÷6=336……3，∴，故答案为：．【名师点睛】本题考查了规律题，涉及了等边三角形的性质，解直角三角形的应用，通过推导得出点的坐标的变化规律是解题的关键．14．(2019•辽阳)如图，在平面直角坐标系中，都是等腰直角三角形，点，都在轴上，点与原点重合，点都在直线上，点在轴上，轴，轴，若点的横坐标为-1，则点的纵坐标是__________．【答案】【解析】由题意，可得，设，则，解得，∴，设，则，解得，∴，设，则，解得，∴，同法可得，…，的纵坐标为，故答案为：．【名师点睛】此题主要考查一次函数图像的应用，解题的关键是根据题意求出、、，再发现规律即可求解．15．(2019•衡阳)在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，…，依次进行下去，则点的坐标为__________．【答案】【解析】∵点坐标为，∴直线为，，∵，∴直线为，解得或，∴，∴，∵，∴直线为，解得或，∴，∴，…，∴，故答案为．【名师点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．16．(2019•齐齐哈尔)如图，直线分别交轴、轴于点和点，过点作，交轴于点，过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点，过点作轴，交直线于点，依此规律…，若图中阴影的面积为，阴影的面积为，阴影的面积为，…，则__________．【答案】【解析】直线，当时，；当时，，∴，，∴，又，∴，在中，，∴；同理可求出：，，∴；依次可求出：；；，…，因此：，故答案为：．【名师点睛】本题主要考查同学们对规律的归纳总结，关键在于根据简单的图形寻找规律．17．(2019•东营)如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过上的点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为__________．【答案】【解析】由题意可得，，，，，，，…，可得的横坐标为，∵，∴点的横坐标为：，故答案为：．【名师点睛】本题考查数字类规律，解题的关键是读懂题意，得到的横坐标为．18．(2019•泰安)在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，…，点，，，，…在直线上，点，，，，…在轴正半轴上，则前个正方形对角线的和是__________．【答案】【解析】根据根据题意可得，，，…，，所以可得正方形的对角线为，正方形的对角线为，正方形的对角线为，正方形的对角线为，…，正方形的对角线为，所以前个正方形对角线的和为=，故答案为：．【名师点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据前面的简单的规律，总结出后面的规律．。

2024年中考数学真题汇编专题17 几何图形初步及相交线、平行线+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题17 几何图形初步及相交线、平行线+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东50︒方向上，则∠1的度数为（）A．60︒B．50︒C．40︒D．30︒2．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（）A．B．C．D．∠的大3．（2024·北京·中考真题）如图，直线AB和CD相交于点O，OE OC∠=︒，则EOBAOC⊥，若58小为（）A．29︒B．32︒C．45︒D．58︒4．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（）A ．20︒B ．40︒C ．60︒D ．80︒5．（2024·四川内江·中考真题）如图，AB CD ∥，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，若64EFD ∠=︒，则BEF ∠的大小是（）A ．136︒B ．64︒C ．116︒D ．128︒6．（2024·湖北·中考真题）如图，直线AB CD ∥，已知1120∠=︒，则2∠=（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒7．（2024·陕西·中考真题）如图，AB DC ∥，BC DE ∥，145B ∠=︒，则D ∠的度数为（）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含30︒角的三角尺和直尺如图放置，若150∠=︒，则2∠的度数是（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒9．（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含30︒的三角尺拼接在一起，则ACE ∠的度数为（）A ．120︒B ．90︒C ．60︒D ．30︒10．（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（）A．B．C．D．11．（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（）A．吉如意B．意吉如C．吉意如D．意如吉12．（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”）A．校B．安C．平D．园13．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（）A．湿B．地C．之D．都14．（2024·江西·中考真题）如图是43的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种15．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（）A ．三棱锥B ．圆锥C ．三棱柱D ．长方体16．（2024·河北·中考真题）如图，AD 与BC 交于点O ，ABO 和CDO 关于直线PQ 对称，点A ，B 的对称点分别是点C ，D ．下列不一定正确的是（）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥17．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含30︒角的三角尺和木工角尺（CD ⊥DE ）按如图方式摆放，若AB CD ，则1∠的大小为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒18．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，AB CD ，若165∠=︒，2120∠=︒，则3∠的度数为（）A ．45︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒19．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线AB CD ∥，点E 在直线AB 上，射线EF 交直线CD 于点G ，则图中与AEF ∠互补的角有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角150∠=︒，则反射光线与平面镜夹角4∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒21．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒22．（2024·重庆·中考真题）如图，AB CD ∥，若1125∠=︒，则2∠的度数为（）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．125︒23．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在ABC 中，O 是边AB 的中点．按下列要求作图：①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO 于点D ，交BC 于点E ；②以点O 为圆心、BD 长为半径画弧，交线段OA 于点F ；③以点F 为圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（）A ．AOMB ∠=∠B ．180OMC C ∠+∠= C ．AM CM =D ．12OM AB = 24．（2024·青海·中考真题）如图，一个弯曲管道AB CD ，120ABC ∠=︒，则BCD ∠的度数是（）A ．120︒B ．30︒C ．60︒D ．150︒25．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则α∠的大小为（）A ．54oB ．60C ．70D ．7226．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则1∠的大小为（）A ．100︒B ．105︒C ．115︒D ．120︒27．（2024·四川达州·中考真题）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（）A ．热B ．爱C ．中D ．国28．（2024·四川宜宾·中考真题）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A 最远的点是（）A ．B 点 B ．C 点 C ．D 点 D ．E 点29．（2024·四川泸州·中考真题）把一块含30︒角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若145∠=︒，则2∠=（）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒30．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒31．（2024·甘肃·中考真题）若55A ∠=︒，则A ∠的补角为（）A ．35︒B ．45︒C ．115︒D ．125︒32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，,AD BC AB AC ⊥∥，若135.8∠=，则B ∠的度数是（）A ．3548'︒B ．5512'︒C ．5412'︒D ．5452'︒二、填空题33．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是．34．（2024·广西·中考真题）已知1∠与2∠为对顶角，135∠=︒，则2∠= °．35．（2024·广东广州·中考真题）如图，直线l 分别与直线a ，b 相交，a b ，若171∠=︒，则2∠的度数为．36．（2024·四川乐山·中考真题）如图，两条平行线a 、b 被第三条直线c 所截．若160∠=︒，那么2∠= ．37．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，AB CD ∥，33C ∠=︒，OC OE =．则A ∠= ︒．38．（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF 中，AH FG ∥，BI AH ⊥，垂足为点I ．若20EFG ∠=︒，则ABI ∠= ．39．（2024·河北·中考真题）如图，ABC 的面积为2，AD 为BC 边上的中线，点A ，1C ，2C ，3C 是线段4CC 的五等分点，点A ，1D ，2D 是线段3DD 的四等分点，点A 是线段1BB 的中点．（1）11AC D △的面积为；（2）143B C D △的面积为．三、解答题40．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD ，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE FB =），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．图1 图2 图3(1)直接写出AD AB的值； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（）图4A．B．C．D．(3)现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）2024年中考数学真题汇编专题17 几何图形初步及相交线、平行线+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东50︒方向上，则∠1的度数为（）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒ 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．【详解】解：如图，由题意得，50BAC ∠=︒，AB CD ∥，∴150BAC ∠=∠=︒，故选：B ．2．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，故选：C ．3．（2024·北京·中考真题）如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（）A ．29︒B ．32︒C ．45︒D ．58︒ 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．根据OE OC ⊥得到90COE ∠=︒，再由平角180AOB ∠=︒即可求解．【详解】解：∵OE OC ⊥，∴90COE ∠=︒，∵180AOC COE BOE ∠+∠+∠=︒，58AOC ∠=︒，∴180905832EOB ∠=︒−︒−=︒，故选：B ．4．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（）A ．20︒B ．40︒C ．60︒D ．80︒【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，用30︒乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是30︒，根据时针与分针相距的份数，可得答案．【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是30260︒⨯=︒，故选：C ．5．（2024·四川内江·中考真题）如图，AB CD ∥，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，若64EFD ∠=︒，则BEF ∠的大小是（）A ．136︒B ．64︒C ．116︒D ．128︒ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．【详解】解：∵AB CD ∥，∴180BEF EFD ∠+∠=︒，∵64EFD ∠=︒，∴116180EFD BEF ∠︒∠==︒−，故选：C ．6．（2024·湖北·中考真题）如图，直线AB CD ∥，已知1120∠=︒，则2∠=（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒ 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据同旁内角互补，1120∠=︒，求出结果即可．【详解】解：∵AB CD ∥，∴12180∠+∠=︒，∵1120∠=︒，∴218012060∠=︒−︒=︒，故选：B ．7．（2024·陕西·中考真题）如图，AB DC ∥，BC DE ∥，145B ∠=︒，则D ∠的度数为（）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到35C ∠=︒，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．【详解】AB DC ∥，180B C ∠+∠=︒∴，145B ∠=︒，18035C B ∴∠=︒−∠=︒，∥Q BC DE ，35D C ∴∠=∠=︒．故选B ．8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含30︒角的三角尺和直尺如图放置，若150∠=︒，则2∠的度数是（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒由题意得3150∠=∠=︒，590∠=∴2418090390∠=∠=︒−︒−∠=︒故选：B ．9．（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含30︒的三角尺拼接在一起，则ACE ∠的度数为（）A ．120︒B ．90︒C ．60︒D ．30︒【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由题意知，AC DE ∥，根据ACE E ∠=∠，求解作答即可．【详解】解：由题意知，AC DE ∥，∴60ACE E ∠=∠=︒，故选：C ． 10．（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了立体图形的侧面展开图．熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解决此类问题的关键．由圆锥的侧面展开图的特征知它的侧面展开图为扇形．【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形．故选：D ．11．（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A 、B 、C 处依次写上的字可以是（）A ．吉如意B ．意吉如C ．吉意如D ．意如吉【答案】A 【分析】本题考查的是简单几何体的展开图，利用四棱锥的展开图的特点可得答案．【详解】解：由题意可得：展开图是四棱锥，∴A、B、C处依次写上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意；故选A12．（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（）A．校B．安C．平D．园【答案】A【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答．【详解】解：与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”，故选：A．13．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（）A．湿B．地C．之D．都【答案】C【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由此可解．【详解】解：由正方体表面展开图的特征可得：“盐”的对面是“之”，“地”的对面是“都”，“湿”的对面是“城”，故选C．14．（2024·江西·中考真题）如图是43的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】B【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．【详解】解：如图所示：共有2种方法，故选：B．15．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（）A．三棱锥B．圆锥C．三棱柱D．长方体【答案】C【分析】本题考查了常见几何体的展开图，掌握常见几何体展开图的特点是解题的关键．根据平面图形的特点，结合立体图形的特点即可求解．【详解】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形，∴该几何体是三棱柱，故选：C ．16．（2024·河北·中考真题）如图，AD与BC交于点O，ABO和CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据轴对称图形的性质即可判断B 、C 选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D ．【详解】解：由轴对称图形的性质得到ABO CDO △≌△，,AC PQ BD PQ ⊥⊥，∴AC BD ∥，∴B 、C 、D 选项不符合题意，故选：A ．17．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含30︒角的三角尺和木工角尺（CD ⊥DE ）按如图方式摆放，若AB CD ，则1∠的大小为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒ 【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质，由ABCD ，可得60CDB ∠=︒，即可求解．【详解】∵AB CD ， ∴60CDB ∠=︒， ∵CD ⊥DE ，则90CDE ∠=︒，∴118030CDB CDE ∠=︒−∠−∠=︒，故选：A ．18．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，AB CD ，若165∠=︒，2120∠=︒，则3∠的度数为（）A ．45︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒ 【答案】B 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出60BAD ∠=︒，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键【详解】解：∵AB CD ，2120∠=︒，∴2180BAD ∠+∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵165∠=︒，∴3180155BAD ∠=︒−∠−∠=︒，故选：B19．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线AB CD ∥，点E 在直线AB 上，射线EF 交直线CD 于点G ，则图中与AEF ∠互补的角有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出180AEF CGE +∠=︒∠，得出结合对顶角的性质180AEF DGF ∠+∠=︒，根据邻补角的定义得出180AEF BEG ∠+∠=︒，即可求出中与AEF ∠互补的角，即可求解．【详解】解∶∵AB CD ∥，∴180AEF CGE +∠=︒∠，∵CGE DGF ∠=∠，∴180AEF DGF ∠+∠=︒，又180AEF BEG ∠+∠=︒，∴图中与AEF ∠互补的角有CGE ∠，DGF ∠，BEG ∠，共3个．故选∶C ．20．（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角150∠=︒，则反射光线与平面镜夹角4∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒ DE GF ，450=∠=︒故选：B ．21．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒−︒=︒,故选：C ．22．（2024·重庆·中考真题）如图，AB CD ∥，若1125∠=︒，则2∠的度数为（）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．125︒【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义求出3∠，然后根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，∵1125∠=︒，∴3180155∠=︒−∠=︒，∵AB CD ∥，∴2355∠=∠=︒，故选：C ．23．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在ABC 中，O 是边AB 的中点．按下列要求作图：①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO 于点D ，交BC 于点E ；②以点O 为圆心、BD 长为半径画弧，交线段OA 于点F ；③以点F 为圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（）A ．AOMB ∠=∠B ．180OMC C ∠+∠= C ．AM CM =D ．12OM AB = 180，根据平行线分线段成比例得出AOM ∠180一定成立，故的中点，24．（2024·青海·中考真题）如图，一个弯曲管道AB CD ，120ABC ∠=︒，则BCD ∠的度数是（）A ．120︒B ．30︒C ．60︒D ．150︒【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补即可得出结果．【详解】AB CD180ABC BCD ∴∠+∠=︒120ABC ∠=︒60BCD ∴∠=︒ 故选：C25．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则α∠的大小为（）A ．54oB ．60C ．70D ．7226．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则1∠的大小为（）A ．100︒B ．105︒C ．115︒D ．120︒【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得3230∠=∠=︒，根据1180345∠=︒−∠−︒即可求解．【详解】解：如图所示：∠=∠=︒由题意得：3230∠=︒−∠−︒=︒∴1180345105故选：B．27．（2024·四川达州·中考真题）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（）A．热B．爱C．中D．国28．（2024·四川宜宾·中考真题）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（）A．B点B．C点C．D点D．E点【答案】B【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解．【详解】解：把图形围成立方体如图所示：所以与顶点A距离最远的顶点是C，故选：B．29．（2024·四川泸州·中考真题）把一块含30︒角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若145∠=︒，则2∠=（）A．10︒B．15︒C．20︒D．30︒【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行线性∠=︒，再根据平角的定义求解，即可解题．质得到3135【详解】解：如图，∠=︒，直角三角板位于两条平行线间且145∴∠=︒，3135又直角三角板含30︒角，∴︒−∠−∠=︒，1802330∴∠=︒，215故选：B．30．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒ 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到3155∠=∠=︒，再利用平角的定义即可求出2∠的度数.【详解】解：如图，∵155∠=︒，ABCD∴3155∠=∠=︒， ∴21802335∠=︒−∠−∠=︒，故选：B31．（2024·甘肃·中考真题）若55A ∠=︒，则A ∠的补角为（）A ．35︒B ．45︒C ．115︒D ．125︒32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，,AD BC AB AC ⊥∥，若135.8∠=，则B ∠的度数是（）A ．3548'︒B ．5512'︒C ．5412'︒D ．5452'︒【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，度分秒的计算等，先利用垂直定义结合已知条件求出125.8BAD ∠=︒，然后利用平行线的性质以及度分秒的换算求解即可．【详解】解∶∵AB AC ⊥，135.8∠=，∴19035.8125.8BAD BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵AD BC ∥，∴180B BAD ∠+∠=°，∴18054.25412B BAD '∠=︒−∠=︒=︒，故选∶C ．二、填空题33．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是．【答案】两点之间，线段最短【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．34．（2024·广西·中考真题）已知1∠与2∠为对顶角，135∠=︒，则2∠= °．【答案】35【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可．【详解】解：∵1∠与2∠为对顶角，135∠=︒， ∴2135∠=∠=︒．故答案为：35．35．（2024·广东广州·中考真题）如图，直线l 分别与直线a ，b 相交，a b ，若171∠=︒，则2∠的度数为．∵a b ，171∠=︒，∴1371∠=∠=︒，∴21803109∠=︒−∠=︒；故答案为：109︒36．（2024·四川乐山·中考真题）如图，两条平行线a 、b 被第三条直线c 所截．若160∠=︒，那么2∠= ．【答案】120︒/120度【分析】本题考查了直线平行的性质：两直线平行同位角相等．也考查了平角的定义．根据两直线平行同位角相等得到1360∠=∠=︒，再根据平角的定义得到23180∠+∠=︒，从而可计算出2∠．【详解】解：如图，a b ∥，1360∴∠=∠=︒，而23180∠+∠=︒，218060120∴∠=︒−︒=︒，故答案为：120︒．37．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，AB CD ∥，33C ∠=︒，OC OE =．则A ∠= ︒．【答案】66【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得33E C ∠=∠=︒，根据三角形的外角的性质可得66DOE ∠=︒，根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：∵OC OE =，33C ∠=︒，∴33E C ∠=∠=︒，∴66DOE E C ∠=∠+∠=︒，∵AB CD ∥，∴66A DOE =∠=︒∠，故答案为：66．38．（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF 中，AH FG ∥，BI AH ⊥，垂足为点I ．若20EFG ∠=︒，则ABI ∠= ．【答案】50︒/50度【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角为120︒，即120EFA FAB ∠=∠=︒，则可求得GFA ∠的度数，根据平行线的性质可求得FAH ∠的度数，进而可求出HAB ∠的度数，再根据三角形内角和定理即可求出ABI ∠的度数．【详解】解：∵正六边形的内角和(62)180720=−⨯=︒，每个内角为：7206120︒÷=︒，120EFA FAB ∴∠=∠=︒， 20EFG ∠=︒，12020100GFA ∴∠=︒−︒=︒， AH FG ∥，180G FAH FA ∠=︒∴∠+，180********GFA FAH =︒−∠=︒−︒=︒∴∠， 1208040HAB FA FAH B ∴∠=∠−︒−︒=︒∠=，BI AH ⊥，90BIA ∴∠=︒，904050ABI ∴∠=︒−︒=︒．故答案为：50︒．39．（2024·河北·中考真题）如图，ABC 的面积为2，AD 为BC 边上的中线，点A ，1C ，2C ，3C 是线段4CC 的五等分点，点A ，1D ，2D 是线段3DD 的四等分点，点A 是线段1BB 的中点．（1）11AC D △的面积为；（2）143B C D △的面积为．，证明()11SAS AC D ACD ≌）证明()11SAS AB D ABD ≌三点共线，得11112AB D AC D S △△+=，继而得出113AB D =△，证明3C AD △99CAD S ==△，推出S △【详解】解：（1）连接11B D 、1B ∵ABC 的面积为ABD S S △=∵点A ，1C ，1AC AC =和ACD 中，CAD ， ∴()11SAS AC D ACD ≌111AC D ACD S S ==△△，∠11AC D △的面积为1，故答案为：1；）在11AB D 和△1AB AD BAD AD =∠∴()11SAS AB D ABD ≌111AB D ABD S S ==△△，∠180BDA CDA ∠+∠=︒1111180B D A C D A ∠+∠=和ACD 中，3AD AD，3C ∠CAD △，332233C AD CADS AC SAC ⎫==⎪⎭33C AD =△1AC C =【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．三、解答题40．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE FB=），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．图1图2图3(1)直接写出ADAB的值；(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（）图4A．B．C．D．(3)现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）【答案】(1)2；(2)C；∴所用卡纸总费用为：⨯+⨯+⨯=（元）．202533158。

(完整版)2018重庆中考数学第17题(行程问题)专题练习

4.6321o t/小时S/千米4604题图2018重庆中考数学第17题（行程问题）专题练习1。

甲、乙两车分别从A ，B 两地同时相向匀速行驶,当乙车到达A 地后，继续保持原速向远离B 的方向行驶，而甲车到达B 地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过15小时后两车同时到达距A 地300千米的C 地（中途休息时间忽略不计）。

设两车行驶的时间为x （小时)，两车之间的距离为y (千米），y 与x 之间的函数关系如图所示，则当甲车到达B 地时，乙车距A 地______千米。

2。

如图：小明和小亮同时从学校放学，两人以各自速度匀速步行回家,小明的家在学校的正西方向，小亮的家在学校的正东方向，小明准备一回家就开始做作业，打开书包时发现错拿了小亮的练习册，于是立即跑步去追小亮，终于在途中追上了小亮并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家，（小明在家中耽搁和交还作业的时间忽略不计）结果小明比小亮晚回到家中。

如图是两人之间的距离y 米与他们从学校出发的时间x 分钟的函数关系图.则小明的家和小亮的家相距米3.甲、乙两车分别从A ，B 两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A 地后，继续保持原速向远离B 的方向行驶,而甲车到达B 地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过15小时后两车同时到达距A 地300千米的C 地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x （小时)，两车之间的距离为y （千米)，y 与x 之间的函数关系如图所示，则当甲车到达B 地时，乙车距A 地 100 千米．4.甲乙两车分别从A 、B 两地出发相向而行,甲车出发1小时后乙车出发，并以各自的速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，当甲车到达B 地后，立即调头以原速度去追赶乙车，乙车到达A 地后也立即调头以原速度继续行驶，直到两车再次相遇，停止运动（甲、乙两车调头所需时间忽略不计）．如图所示是甲乙两车之间的距离S (千米）与甲车所用时间t (小时)之间的函数图象，则甲乙两车再次相遇时，乙车离A 地的距离为____9809 千米．5。

2021年重庆年中考17题一次函数图像与行程问题综合专题(重庆育才试题集)

2021年重庆年中考17题一次函数图像与行程问题专题（重庆育才试题集）A、两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途中1（育才2021级初三上定时训练二）小明和小亮分别从B会经过奶茶店C，小明先到达奶茶店C，并在C地休息了一小时，然后按原速度前往B地，小亮从B地直达A地，y（千米）与小亮出发时间x（时）的函数的图像，结果还是小明先到达目的地，下图是小明和小亮两人之间的距离请问当小明到达B地时，小亮距离A地千米.2（育才2020级初三下中考模拟5月份）一辆货车从A地匀速驶往相距350km的B地，当货车行驶1小时经过途中的C地时，一辆快递车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当快递车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地．（货车到达B地，快递车到达A地后分别停止运动）行驶过程中两车与B地间的距离y（单位：km）与货车从出发所用的时间x（单位：h）间的函数关系如图所示．则货车到达B地后，快递车再行驶h到达A地．3（育才2020级初三下中考模拟二）快、慢车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半．快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示．在快车从乙地返回甲地的过程中，当慢车恰好在快车前，且与快车相距80千米的路程时，慢车行驶的总的时间是小时．4（育才2020级初三下中考模拟三））A、B两地之间路程为4500米，甲、乙两人骑车都从A地出发，已如甲先出发6分钟后，乙才出发，乙在A、B之间的C地追赶上甲，当乙追赶上甲后，乙立即返A地，甲继续向B地前行．甲到达B地后停止骑行．乙骑行到A地时也停止（假定乙在C地掉头的时间忽略不计），在整个骑行过程中，甲和乙均保持各自的速度匀速骑行，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与B地相距的路程是米．5（育才2019级初三下中考模拟一）甲乙沿着同一路线以各自的速度匀速从A地到B地，甲出发1分钟后乙随即出发，甲、乙到达B地后均立即按原路原速返回A地，甲、乙之间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的部分图象如图所示．当甲返回到A地时，乙距离B地米．6（育才2020级初三下中考模拟二练习）小刚从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后发现忘带数学作业，于是掉头原速返回并立即打电话给爸爸，挂断电话后爸爸立即匀速跑步去追小刚，同时小刚以原速的两倍匀速跑步回家，爸爸追上小刚后以原速的倍原路步行回家．由于时间关系小明拿到作业后同样以之前跑步的速度赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小刚从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小刚家到学校的路程为米．7（双福育才2020级初三下中考模拟一）小宁和弟弟小强分别从家和图书馆出发,沿同一条笔直的马路相向而行,小宁先出发5分钟后,小强骑自行车匀速回家,小宁出发时跑步，中途改为步行,且步行的速度为跑步速度的一半,到达图书馆恰好用了35分钟,两人之间的距离y(m)与小宁离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示，下列选项正确的是A.小强骑车的速度为250m/minB.小宁由跑步变为步行的时刻为15分钟C.小强到家的时刻为15分钟D.当小强到家时，小宁离图书馆的距离为1500m8（育才2020级初三下入学测试）一个阳光明媚的上午，小育和小才相约从学校沿相同的路线去学校旁边的公园写生，小育出发5分钟后小才出发，此时小育发现忘记带颜料，立即按原速原路回学校拿颜料，小育拿到颜料后，以比原速提高20%的速度赶去公园，结果还是比小才晚2分钟到公园（小育拿颜料的时间忽略不计）．在整个过程中，小才保持匀速运动，小育提速前后也分别保持匀速运动，如图所示是小育与小才之间的距离y（米）与小育出发的时间x（分钟）之间的函数图象，则学校到公园的距离为米．第17题图9（育才2020级初三上第二次月考）一条笔直的公路上顺次有A、B、C三地，甲车从B地出发往A地匀速行驶，到达A地后停止，在甲车出发的同时，乙车从B地出发往A地匀速行驶(乙车比甲上快），到达A地停留1小时后，调头按原速向C地行驶，甲乙两车相遇后，甲车速度提升至原速的1.5倍，乙车速变不变，若AB两地相距300千米，在两车行驶的过程中，甲，乙两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x(时）之间的关系如图所示，则甲车到达A地后，经过时乙车到达C地.10（双福育才2020级初三下第二次诊断性测试）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，中途与乙相遇后休息了一会儿，然后以原来的速度继续行驶直到A地．设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，则乙车到达A地时甲车距B地的路程为千米．11（育才2020级初三下开学试卷）一条笔直的公路上顺次有A、B、C三地，甲车从B地出发往A地匀速行驶，到达A地后停止，在甲车出发的同时，乙车从B地出发往A地匀速行驶，到达A地停留1小时后，调头按原速向C 地行驶，若AB两地相距300千米，在两车行驶的过程中，甲、乙两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x （小时）之间的函数图象如图所示，则在他们出发后经过小时相遇．12（育才2020级初三上期末试卷）自行车远动员甲准备参加一项国际自行车赛事，为此特地骑自行车从A地出发，匀速前往168千米外的B地进行拉练．出发2小时后，乙发现他忘了带某训练用品，于是马上骑摩托车从A 地出发匀速去追甲送该用品．已知乙骑摩托车的速度比甲骑自行车的速度每小时多30千米，但摩托车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追甲，但速度减小了，乙追上甲交接了训练用品（交接时间忽略不计），随后立即以修理后的速度原路返回，甲继续以原来的速度骑行直至B地．如图表示甲、乙两人之间的距离S（千米）与甲骑行的时间t（小时）之间的部分图象，则当甲达到B地时，乙距离A地千米．13（育才2020级初三上开学测试）国防教育和素质拓展期间，某天小明和小亮分别从校园某条路的A，B两端同时相向出发，当小明和小亮第一次相遇时，小明觉得自己的速度太慢便决定提速至原速的倍，当他到达B端后原地休息，小亮匀速到达A端后，立即按照原速返回B端（忽略掉头时间）．两人相距的路程y（米）与小亮出发时间t（秒）之间的关系如图所示，当小明到达B端后，经过秒，小亮回到B端．14（育才2020级初三上期中试卷）小蒲家与学校之间是一条笔直的公路，小蒲从家步行前往学校的途中发现忘带作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上赶往学校，同时小蒲沿原路返回，两人相遇后，小蒲立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，小蒲到达学校刚好比妈妈到家晩了2分钟．若小蒲步行的速度始终不变，打电话和交接作业本的时间忽略不计，小蒲和妈妈之间的距离y米与小蒲打完电话后步行的时间x分钟之间的函数关系如图所示；则相遇后妈妈返回家的速度是每分钟米．15（育才2020级初三下入学测试）国防教育和素质拓展期间，某天小明和小亮分别从校园某条路的A，B两端同时相向出发，当小明和小亮第一次相遇时，小明觉得自己的速度太慢便决定提速至原速的32倍，当他到达B端后原地休息，小亮匀速到达A 端后，立即按照原速返回B 端（忽略掉头时间）．两人相距的路程y （米）与小亮出发时间t （秒）之间的关系如图所示，当小明到达B 端后，经过______秒，小亮回到B 端．16（育才2019级初三是哪个期末测试）甲、乙两车从A 地出发，沿同一路线驶向B 地。

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中考17题专题练习
1、一条笔直的公路上顺次有A、B、C三地.甲车从B地出发往A地匀速行驶，到达A地后停止，在甲车出发的同时，乙车从B地出发往A地匀速行驶，到达A地停留1小时后，掉头按原速向C地行驶，若AB两地相距300千米，在两车行驶的过程中，甲、乙两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则在他们出发后经过小时相遇.
2、A、B两地之间的路程为2480米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发4分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行，甲到达A地停止行走，乙达到A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙达到A地时，甲与A地相距的路程是米.
3、甲、乙两人在1800米长的直线道路上跑步，甲、乙两人同起点、同方向出发，并分别以不同的速度匀速前进，已知，甲出发30秒后，乙出发，乙到终点后立即返回，并以原来的速度前进，最后与甲相遇，此时跑步结束.如图，y（米）表示甲乙两人之间的距离，x（秒）表示甲出发的时间，图中折线及数据表示整个跑步过程中y与x函数关系.那么，乙到终点后秒与甲相遇.
4、甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行，都以一定的速度匀速行驶.甲车出发30分钟后乙车再出发，两车在A、B之间的C地相遇，途中乙车在服务区休息了30分钟，随后乙车的速度比原来减少20千米/小时（仍保持匀速行驶），甲车达到B地24分钟后，乙车才到达A地.甲乙两车相距的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，则当乙车正要离开服务区时，甲车离B地还有千米.
5、A、B两地相距240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车出发40分钟，乙车才出发，途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后乙车车速比发生故障前减少a千米/小时（仍保持匀速行驶），甲、乙两车同时到达B地，甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，则a的值为.
6、甲、乙两人沿相同线路同时从A地出发去往B地，分别以一定的速度匀速步行，出发5分钟，甲发现自己有物品落在A地，于是立即以之前速度的2倍跑回A地，在到达A地并停留了8分钟后骑车以更快的速度匀速驶往B地.乙在途中某地停留了5分钟，之后以原速继续前进，最终两人同时到达B地，甲、乙两人的距离y（米）与甲行进时间x（分）之间的关系如图所示，则A、B两地之间的距离为.
7、春天的某个周末，阳光明媚，适合户外运动.下午，住在同一小区的小懿、小静两人不约而同的都准备从小区出发，沿相同的路线步行去同一公园赏花.小懿出发5分钟后小静才出发，同时小懿发现当天的光线很适合摄影，所以决定按原速度回家拿相机，小懿拿了相机后，担心错过最佳拍照时间，所以速度提高了20%，结果还是比小静晚2分钟到达公园，小懿取相机的时间忽略不计，在整个过程中，小静保持匀速运动，小懿提速前后也分别保持匀速运动.如图所示是小懿、小静之间的距离y（米）与小懿离开小区时间x（分钟）之间的函数图象.则小区到公园的距离为米.
8、甲从A地到B地，1分钟后乙沿同一条线路也从A地到B地.在A、B之间的C地追上甲，甲立即返回A地，乙继续向B地前行，两人到达各自目的地后均停止行走，在整个过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走.甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示.则乙到达B地时，甲与A地相距的路程是米.
9、甲、乙两人分别从各自家出发乘坐出租车前往智博会，由于堵车，两人同时选择就近下车.已知甲在乙前面200米的A地下车，然后分别以各自的速度匀速走向会场，3分钟后，乙发现有物品遗落在了出租车上，于是立即以不变的速度返回寻找，找到时出租车恰好向会场方向行驶了100米，乙拿到物品后立即以原速返回走向会场，同时甲以先前速度的一半走向会场，又经过10分钟，乙在B地追上甲，两人随后一起以甲放慢后的速度行走1分钟后到达会场。

甲、乙两车相距的路程y（米）与甲车行驶时间x（分钟）之间的关系函数如图所示（乙拿取物品的时间忽略不计），则A地与智博会会场的距离为米.
10、A、B两地之间有一条直线跑道，甲、乙两人分别从A、B同时出发，相向而行匀速跑步，且乙的速度是甲速度的80%。

当甲、乙分别到达B地、A地后立即掉头往回跑，甲的速度保持不变，乙的速度提高25%（仍保持匀速前行）。

甲、乙两人之间的距离y（米）与跑步时间x（分钟）之间的关系如图所示，则他们在第二次相遇时距B地米。

11、甲、乙两人在一条直线道路上分别从相距1500米的A、B两地同时出发，相向而行，当两人相遇后，甲继续向B前进（甲到达点B时停止运动），乙也立即向B点返回。

在整个运动过程中，甲、乙均保持匀速运动，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙运动的时间x（秒）之间的关系如图所示.则甲到B点时，乙距B点的距离是。

12、甲、乙两个家庭相约分别驾车从A地到B地去游玩，途中一定经过C地。

甲先出发12分钟，乙才出发，他们分别以不同的速度匀速行驶。

甲在经过C地时，看错公路指示牌，驾车到达了D地，甲刚到达D地时，得知乙恰好到达C地。

甲立即按原路线返回C地并继续赶往B地，且返回时的速度在其出发时的速度的基础上增加了20%（仍保持匀速行驶），结果甲、乙同时到达B地，甲乙相距的路程y（千米）与甲出发的时间x（小时）之间的关系如图所示，则A、B两地之间的路程是千米。