教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点DC B A 再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 解：延长AD 至E 使AE ＝2AD ，连BE ，由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD 的取值范围是1<AD<4ED F CB A例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBA解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC在△ADB 与△ADG 中， BD ＝AC=DG ，AD ＝AD ，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG 故△ADB ≌△ADG ，故有∠BAD=∠DAG ，即AD 平分∠BAE 应用：1、（09崇文二模）以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰RtABD∆和等腰RtACE∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是， 线段AM 与DE 的数量关系是 ； （2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．ABC ∆EDCBA二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC解：（截长法）在AB 上取中点F ，连FD △ADB 是等腰三角形，F 是底AB 中点，由三线合一知DF ⊥AB ，故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC解：（截长法）在AB 上取点F ，使AF ＝AD ，连FE △ADE ≌△AFE （SAS ） ∠ADE ＝∠AFE ， ∠ADE+∠BCE ＝180°PQCBA∠AFE+∠BFE ＝180° 故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法, 计算数值法）延长AB 至D ，使BD ＝BP ，连DP在等腰△BPD 中，可得∠BDP ＝40° 从而∠BDP ＝40°＝∠ACP△ADP ≌△ACP （ASA ） 故AD ＝AC又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QCDC BAP21CB ABD＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC∠，求证：0180=∠+∠CA解：（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD△BDF≌△BDC（SAS）故∠DFB＝∠DCB ，FD＝DC又AD＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC解：（补短法）延长AC 至F ，使AF ＝AB ，连PD △ABP ≌△AFP （SAS ） 故BP ＝PF 由三角形性质知PB －PC ＝PF －PC < CF ＝AF －AC ＝AB －AC 应用：1、如图所示，已知△ABC 中AB ＞AC ，AD 是∠BAC的平分线，M 是AD 上任意一点，求证：MB －MC ＜AB －AC ．(答案与解析)证明：∵AB ＞AC ，则在AB 上截取AE ＝AC ，连接ME ．在△MBE 中，MB －ME ＜BE （三角形两边之差小于第三边）． 在△AMC 和△AME 中，()()()AC AE CAM EAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边，∴ △AMC ≌△AME （SAS ）．∴ MC ＝ME （全等三角形的对应边相等）．又∵ BE＝AB－AE，∴ BE＝AB－AC，∴ MB －MC＜AB－AC．(点评)因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE ＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME 中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.三、平移变换例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为P，△EBC周长记为B P.A求证P＞A P.B解：（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FEAD为△ABC的角平分线, MN⊥AD知∠FAE＝∠CAE故有△FAE≌△CAE（SAS）故EF＝CE在△BEF中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从而P B=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P A例 2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE。

四、借助角平分线造全等1、在ΔABC中，AB＞AC.求证：∠B＜∠CO ED CB A(答案与解析)证明：作∠A的平分线，交BC于D，把△ADC沿着AD折叠，使C点与E点重合.在△ADC与△ADE中A C AECAD EADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC≌△ADE（SAS）∴∠AED＝∠C∵∠AED是△BED的外角，∴∠AED＞∠B，即∠B＜∠C.(点评)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =AC证明 (角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度,则∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均为角平分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),FD AOD=OF;CD=CF. OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.3、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD ，DCDG 垂直平分BC ，故BD ＝DC 由于AD 平分∠BAC ， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，故有 ED ＝DF故RT △DBE ≌RT △DFC （HL ） 故有BE ＝CF 。

AB+AC ＝2AE AE ＝（a+b ）/2 BE=(a-b)/2五、旋转例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAFE DGFCBA的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例 2 D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

(1)当MDN∠绕点D转动时，求证DE=DF。

(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。

解：(计算数值法)（1）连接DC，D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DACD平分∠BCA＝90°，∠E CD＝∠DCA＝45°由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°由于 CD⊥AB，有∠CD A＝90°从而∠CDE＝∠FD A＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DF（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1应用：如图，ABC∆是边长为3的等边三角形，BDC∆是等腰三角形，且0BDC∠=，以D为顶点做一个060120角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN∆的周长为；解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，DM=DE∠MDN=∠EDN=60°DN=DN∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中，DM=DE∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM)∠DAM=∠DFE=30°∴△DMN≌△DEN (AAS)，∴MA=FE的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6AMN。