《管理运筹学》整数规划
第3章 整数规划
9
例3-4 用分枝定界法求解以下整数规划
min z 2x1 3x2
s.t.
54xx11
7 x2 9 x2
35 36
x1,
x2
0
且为整数
先求得相应的线性规划的最优解，为
•如果最优解仍不是整数解，再增加附加的约束将其切除， 但仍保持最初可行域中所有的整数解，如此一直进行，直 至得到一个整数的最优解为止。
第3章 整数规划
12
3.3.1 割平面法基本思想 设放弃变量整数要求得到的线性规划的最优单纯形表如下：
设其中基变量Xr的值br不是整数，以I表示整数，以 F表 示正的真分数，令
定货为 bi 件。要满足定货同时使设备运行的总成本最小的问题
为： n min z (d j y j c j x j )
j 1
n
s.t.
aij x j bi
i 1,2, , m
j 1
x j My j
j 1,2, , n
混合0-1规划
x j 0, y j 0,1
6
max z x1 4x2
b r= Ir+ Fr
(0 < Fi < 1)
yrj = Irj + Frj (0 ≤ Frj < 1) 将上面两式代入约束r中，得
第3章 整数规划
13
改写成
n
xr (I rj Frj )x j I r Fr
j m 1
n
n
xr I rj x j I r Fr Frj x j
j m 1
i 1
x i 0,1
0-1规划
5
例3-3 考虑固定成本的最小生产费用问题
在最小成本问题中，设第j种设备的固定成本为d j，运行的变
动成本为c j，则生产成本与设备运行时间的关系为：
0 f j ( x j ) d j c j x j
当x j 0 当x j 0
设第j种设备运行每小时可以生产第i种产品aij 件，而第i种产品
x1 5,
x2
13 7
z 14 2 7
x2≥2
x2≤1
Sub-5
x1
53 5
x2 1
z 14 1 5
Sub-2
x1
312 17
x2 3
z z 14
x1≤5
Sub-7
x1 5 x2 1 z 13
z z 14
Sub-8
x1≥6
x1 6
x2
5 7
z 14 13 7
z 13 1 2
…，N）所需投资为Ii万元，占地Li亩，建成以后的生产能力为 Pi万吨。现在有总投资I万元，土地L亩，应如何选择厂址，使 建成后总生产能力最大。
设
0 表示在i地不建厂
xi 1 表示在i地建厂
整数规划模型为: max
s.t.
N
z
Pi x i
i 1
N
Iixi I
i 1
N
Lixi L
i 1
N
xi r
线 性 规
14 x1 42 x4 196 s.t. x1 2x2 5
划
x1, x2 0
max z x1 4x2
整 数 规
14 x1 42 x4 196 s.t. x1 2x2 5
划
x1, x2 0 且为整数
X*=（13/5，19/5） Z*=89/5=17.8
X*=（5，3） Z*=17
j m 1
图3-3. 探索过程示意图
x2≤0
√ Sub-9
x1 7 x2 0 z 14 z z 14
x2≥1
Sub-10
无可行解
11
3.3.1 割平面法基本思想
•首先放弃变量的整数要求，求得线性规划的最优解。
•如果最优解恰是一个整数解，则线性规划的最优解就是相 应的整数规划的最优解。
•如果线性规划的最优解不是整数解，则要构造一个新的约 束，对线性规划问题的可行域进行切割，切除已经得到的 线性规划的最优解，但保留原可行域中所有的整数解，求 解新的线性规划问题
Integer Programming
第3章 整数规划
IP
3.1 整数规划问题及其建模 3.2 分支定界法 3.3 割平面法 3.4 0-1型整数线性规划的解法 3.5 指派问题 3.6 整数规划应用
第3章 整数规划
2
整数规划：变量取整数的线性规划； 纯整数规划：所有变量都取整数的线性规划； 混合整数规划：部分变量取整数的线性规划； 0-1规划：所有变量都取0、1两个值的规划； 0-1混合规划：部分变量取0、1两个值的规划。
题可行域的子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会 比原线性规划问题的最优解的目标函数值更小。如果这两个问 题的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量，继 续将这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过程称为 “分枝（Branch）”。
定界（Bound）如果某一个子问题的最优解是整数解，则它
x1
312 17
,
x2
26 17
,
z 14 8 17
第3章 整数规划
10
Sub-1
x1
41 5
x1≤4
√ Sub-3
x1 4 x2 2 z 14
z 14
Sub-6
无可行解
x2 2
z 14 2 5x2≤2来自x1原3问1题2 17
x2
26 17
z 14 8 17
× x2≥3
x1≥5
Sub-4
7
基本思想 分支（Branch） 定界（Bound）
Min z CX AX b X 0
Min z CX AX b xr Ir X 0
Min z CX AX b xr Ir 1 X 0
xr≤Ir
xr≥Ir+1
第3章 整数规划
8
分支（Branch）这两个子问题的可行域都是原线性规划问
的目标函数值可作为整数规划最优目标函数值的上界。
如果某一个子问题的解还不是整数解，但这个非整数解的目标 函数值已经超过这个上界，那么这个子问题不必再进行分枝。
如果在分枝过程中得到新的整数解且该整数解的目标函数值小 于已记录的上界，则用较小的整数解的目标函数值代替原来的 上界。上界的值越小，就可以避免更多不必要的分枝。
例3-1背包问题
max z= s.t.
17x1 10x1 x1, x1,
+72x2 +42x2 x2, x2,
+35x3
+20x3 ≤50
x3
≥0
x3为整数
线性规划最优解为:
x1=0，x2=0，x3=2.5 而整数规划的最优解是
x1=1，x2=0，x3=2
4
例3-2厂址选择问题
在N个地点中选r个（N>r）建厂，在第i个地点建厂（i=1，2，
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
128501-管理运筹学-习题-03-整数规划
习题3-1某厂拟在A 、B 、C 、D 、E 五个城市中建立若干个配送中心，各处设配送中心都需要资金、人力、设备等，而这样的需求量及能提供的利润各处不同，有些点可能亏本，但却能得到贷款和人力等资源。
设数据已知，由下表所示。
厂方应作出何种最优选址方案能使总利润最大。
请建立该问题的数学模型。
3-2用分支定界法求解下列整数规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+-+=+=且为整数且为整数）（）（0,5427230,5021010m 2min 12121212121212121x x x x x x x x x x x x x x z ax x x z 3-3用割平面法求解下列整数规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=+=且为整数且为整数）（）（0,102920,1029232m 232min 12121212121212121x x x x x x x x x x x x x x z ax x x z 3-4用隐枚举法求解下列0-1规划问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤+≤+≤++≤-++-=1,0,,162444233max 3212232321321321x x x x x x x x x x x x x x x x z3-5安排4个人做4项不同的工作，每个人完成工作所需要的时间如下表所示，（1）应如何指派，可使总的时间最少？（2）如果表中的数据为创造的效益，应如何指派，使总效益最大？（3）如果在表中增加一个人（一行），完成A、B、C、D工作的时间分别为16、17、20、21天，这时应如何指派，使总时间最少？3-6对每题结论进行判断，如果结论错误请改正。
（1）整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到。
（2）求最大值整数规划问题的目标函数值是各分支函数值的上界。
（3）求最小值整数规划问题的目标函数值是各分支函数值的上界。
（4）整数规划的可行解集合是离散型集合。
（5）0一1规划的变量有n个，则有2n个可行解。
《管理运筹学》03- 整数规划
ppt课件整数规划整数规划
3
3.1 整数规划问题及其建模
例3-1背包问题
max z= 17x1 +72x +35x
s.t.
10x1 2 +42x 3 +20x ≤50
x1, 2 x2,
3 x3
≥0
x1,
x2,
x3为整数
线性规划最优解为: x1=0，x2=0，x3=2.5
而整数规划的最优解是 x1=1，x2=0，x3=2
T
5
ppt课件整数规划整数规划
22
-2x2+3x1+5x3≥5 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（0 1 0） 3
F
（0 1 1） 8
0
2
1
5
T
8
-2x2+3x1+5x3≥8 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（1 0 0） -2
F
（1 0 1） 3
F
（1 1 0） 1
工件
A
B
C
D
工人
效
甲
14
9
4
15
率
乙
11
7
9
10
矩
丙
13
2
10
5
阵
丁
17
9
15
13
ppt课件整数规划整数规划
24
设xij=1表示第 i人送j货，否则xij=0
上述问题的模型为：
44
运筹学 第五章 整数规划
M是足够大的整数，y 是0-1变量
14
f(x)-5 0
f(x) 0
(1)
(2)
-f(x)+5 M（1-y)
f(x) My
(3)
(4)
当y=1时,(1)(3)无差别,(4)式显然成立;
当y=0时,(2)(4)无差别,(3)式显然成立。
以上方法可以处理绝对值形式的约束
f(x) a (a>0)
31
5.1 分枝定界法 （Branch and Bound Method)
原问题的松驰问题： 任何整数规划（IP），凡放弃某些约束 条件（如整数要求）后，所得到的问题 （P） 都称为（IP）的松驰问题。 最通常的松驰问题是放弃变量的整数性 要求后，（P）为线性规划问题。
32
去掉整数约束,用单纯形法 IP LP
23
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时，常会有 如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此经过穷举 法一一比较后，总能求出最好方案，例如， 背包问题充其量有2n种方式，实际上这种 方法是不可行。
设想计算机每秒能比较1000000个方式，那 么比较完260种方式，大约需要360世纪。
24
先放弃变量的整数性要求，解一个 线性规划问题，然后用“四舍五入” 法取整数解，这种方法，只有在变量 的取值很大时，才有成功的可能性， 而当变量的取值较小时，特别是0-1规 划时，往往不能成功。
Yes xI* = xl*
xl*
判别是否整数解
No 去掉非整数域 多个LP ……
33
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能会出现 下面几种情况：
若所得的最优解的各分量恰好是整数， 则这个解也是原整数规划的最优解，计 算结束。
《管理运筹学》演示(整数规划)
解：先不考虑整数约束，求相应的线性规划的最优解，用单纯 形法求解，标准型和初始单纯形表如下： 1 1 0 0
C XB B
0 0
b
1 4
x 1
-1 3 1
x2
1 1 1
x3
1 0 0
x4
0 1 0
σj
x3 x4
⋮
经过若干步迭代后，得到如下最优表及最优解：
cj
1
1
0
0
C XB B
1 1
b
3/4 7/4 -5/2
x4
1/3 0 -1 -1/3
x5
1/12 0 -1/3 -1/6
x 1 x2
σj
x3
整数最优解： x1=1 , x2=1 , x3=1 , x4= x5=0 , max
z =2
例：用隐枚举法求0 例：用隐枚举法求0－1规划
3 x1 − 2 x2 + 5 x3 ≥ 3 (0) x + 2x − x ≤ 2 x1 + 2 x2 − x3 ≤ 2 () 1 2 3 1 x + 4x + x ≤ 4 (2) 2 3 x1 + 4 x2 + x3 ≤ 4 1 ⇒ (3 ) x1 + x2 ≤ 3 x1 + x2 ≤ 3 4 x + x ≤ 6 (4) 3 4 x2 + x3 ≤ 6 2 x1 , x2 , x3 = 0, 或1 x1 , x2 , x3 = 0, 或1 解：先找出一个可行解，显然， x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0 满足约束
运筹学 整数规划( Integer Programming )
检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
割平面法的内涵:
Page 18
通过找适当的割平面,使得切割后最终得到这样的可行域( 不一定一次性得到), 它的一个有整数坐标的顶点恰好是 问题的最优解.
－Gomory割平面法
例: 求解
max z x1 x2 s.t. x1 x2 1
3x1 x2 4 x1 , x2 0, 整 数
1 x1 3/4 1 0 -1/4 1/4 0
1 x2 7/4 0 1 3/4 1/4 0
0 x5 -3 0 0 -3 -1 1
0 0 -1/2 -1/2 0
由对偶单纯形法, x5为换出变量, x3为换入变量, 得Page 29
cj CB XB b 1 x1 1 1 x2 1 0 x3 1
1 100 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 1/3 1/12 0 1 0 0 1/4 0 0 1 -1 -1/3 0 0 0 -1/2 -1/6
收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
也是有效的.
分支定界法
Page 33
分支定界法的解题步骤：
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下
一步； 2）分支与定界：
任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1
管理运筹学讲义 第4章-整数规划(4学时)
• 要求部分或全部决策变量是整数的线性规划问题，则称 为整数规划(Integer Programming)。
当要求全部决策变量的取值都为非负整数的，则称为纯整数规 划或全整数规划(Pure IP) ； 仅要求部分决策变量的取值为整数，而另一部分不一定要求取 整数，则称为混合整数规划(Mixed IP)
cj CB
2 3 λj 3 2 0 0
XB x2 x1
x1
0 1 0
x2
1 0 0
x3
1/2 －1/4 －1/4
x4
－1/2 3/4 －5/4
b
5/2 13/4
最优解X=(13/4，5/2，0，0)T，x1 、x2不满足整数要求，选择x2行进行分割： 5 1 1 2 2 3 2 4 2 1 1 1 2 4 2 3 2 4 2
10 OM:SM
第一节 整数规划问题引言
三、 整数规划解的特点
3、完全枚举法
从图4-2可知，整数规划问题的可行解集是相应的线性规划 问题的可行域内的整数格子点，它是一个有限集。显然，我们 还有另一种方法，即将所有的可行解依次代入目标函数，比较 所得的目标函数的大小，从而得到最优解。这个方法称为完全 枚举法。如上例有整数可行解有７个，所以得到最优解（ 0， 2），最优值为10。 对于决策变量较少，可行的整数解又较少时，这种穷举法 有时是可行的，并且也是有效的。但对于大型的整数规划问题， 可行的整数解数量很多，用穷举法求解是不可能的。因此，如 何巧妙构造枚举过程是必须研究的问题，目前用得较多的是将 完全枚举法变成部分枚举法。常用的求解整数规划的方法有分 枝定界法和割平面法，对于特别的0-1规划问题的求解，可以采 用隐枚举法和匈牙利法。下面分别介绍。
运筹学-第三章-整数规划
于是，对原问题增加两个新约束条件，将原问题分为两个 子问题，即有
max z 40x1 90x2
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56
s.t
7 x1
20 x2
70
x1 4
x1, x2 0
（LP1）
9x1 7x2 56
和
s.t
7
x1
20
x2
70
（LP2）
x1 5
表 3.1
货物 体积（米 3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制 24 米 3
13 百公斤
解： 设x1，x2 分别为甲、乙两种货物的托运箱数，则数 学模型可以表示为：
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
其中，目标函数表示追求最大的卫星实验价值；第1,2个约
束条件表示体积和重量的限制；第3-5个约束条件表示特定的卫
星装载要求,该问题的决策变量是0-1整数变量。
3.2.3隐枚举法 从上面两个例子可以看出，此类型问题是整数规划中的特
殊情形，其中决策变量 xi 的取值只能为0或1，此时变量 xi 称 为0-1变量，这类问题被称为0-1整数规划。对于 xi 的取值的 0-1约束，可以转化成下述整数约束条件：xi 1, xi 0, xi Z
目前对于整数规划问题的求解主要有两种方法：分支 定解法和割平面法。本章仅介绍分枝定界法，该方法在上 世纪60年代由Land Doig和Dakin等人提出，其具有灵活 且便于计算机求解的优点，所以现在已成为解决整数规划 问题的重要方法。下面通过例子说明分支定界方法的算法 思想和步骤。
管理运筹学案例演示混合整数规划
yi
当 选 择 Ai 地 建 厂 时; 当 不 选 择 Ai 地 建 厂 时 。
约束条件: A1产量限制条件;及A2、 A3、 A4、 A5准备建设的新厂, 其产量约束条件；
满足销量的约束条件；
目标函数: 总的固定成本和总的运费之和最小。
（2）在上述模型的基础上加上一个约束条件，即：
y2 ? y3 ? 1
每个广告的费用（千元）
电
白昼时间
8
视
热门时间
15
广杂 播志
63
每个广告影响总人数（千人）
40
90
50 2
每个广告影响妇女数（千人）
30
40
20 1
解：设电视白昼时间的广告个数为 x1、电视热门时间的广告个 数为 x2、广播的广告个数为 x3、杂志的广告个数为 x4。
该广告计划模型为：
max z ? 40x1 ? 90x2 ? 50x3 ? 2x4
D Goal Programmingmic Programming
E Transportation Programming
1 2 3 4 5 6 7 N Simulation
F Assignment
123456
8 9 10 11 12 O Forecasting
G Break-Even Analysis
x1 ? y1M x2 ? y2 M x3 ? y3 M
目标函数： 为扣除固定费用的利润最大化，即：
4x1 ? 5x2 ? 6x3 ? 100y1 ? 150y2 ? 200y3
该生产计划整数规划模型为：
max z ? 4x1 ? 5x2 ? 6x3 ? 100 y1 ? 150 y2 ? 200 y3
运筹学 第4章 整数规划
第四章整数规划整数规划（Integer Programming）主要是指整数线性规划。
一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题，在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。
整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支，根据整数规划中变量为整数条件的不同，整数规划可以分为三大类：所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称全整数规划（All integer Programming）；仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（Mixed Integer Programming）；有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数规划称为0－1规划。
本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0－1规划及指派问题。
第一节整数规划问题及其数学模型一、问题的提出在线性规划模型中，得到的最优解往往是分数或小数，但在有些实际问题中要求有的解必须是整数，如机器设备的台数、人员的数量等，这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束，即要求变量中某些或全部为整数，这样的线性规划称为整数规划（Integer Programming）简称IP，是规划论中的一个分枝。
整数规划是一类特殊的线性规划，为了满足整数解的条件，初看起来，只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。
当然在变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大，当变量取值较小时，得到的解与实际最优解差别较大，当变量较多时，如n＝10个，则整数组合有210＝1024个，而且整数解不一定在这些组合当中。
先来看下面的例子。
例4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？表4－112量都要求为整数，建立模型如下：2123max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x 要求该模型的解，首先不考虑整数约束条件④，用单纯形法对相应线性规划求解，其最优解为：x 1＝3.25 x 2＝2.5 max z ＝14.75由于x 1＝3.25，x 2＝2.5都不是整数，不符合整数约束条件。