04183概率论与数理统计(经管类)_第2章课后答案
概率论与数理统计第二章习题参考答案]
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(1)设
X
服从二项分布，其分布律为 P{X
=
k}=
C
k n
pk (1−
)p n−k
K=0，1，2，……n，问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（2）设 X 服从泊松分布，其分布率为 p{X = k} = λke−λ ，k=0，1，2……
k!
问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（1）
解： M
=
N 试确定常数 a
（2）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = b ⋅ ⎜⎛ 2 ⎟⎞k , k = 1,2.....
⎝3⎠
试确定常数 b
（3）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = c ⋅ λk , k = 0,1,2......λ > 0 为常数，
k!
试确定常数 c
N
解：（1） ∑ P{X
6、设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = k , k = 1,2,3,4,5
15
其分布函数为 F (x) ，试求：
（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5 2
⎫ ⎬ ⎭
，
（2） P{1 ≤ X ≤ 2}，
（3） F ⎜⎛ 1 ⎟⎞ ⎝5⎠
解：（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5⎫
2
⎬ ⎭
=
P{X
= 1}+
0
2
1
x
xdx+
0
1
(2−
x)dx=
2x
−
x2
/
2−1
0< x ≤1 1< x≤2
数理统计教程第二章课后习题答案
数理统计第二章习题解答1.设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 2. 已知母体ξ均匀分布于()βα,之间,试求βα,的矩法估计量.解: 2βαξ+=E ，()122αβξ-=D 。
令()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+22122n S αβξβα得 n S 3ˆ-=ξα，.3ˆnS +=ξβ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量.解: ()322adx x a a x E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a 中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i ix∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα 令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα，得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。
由于 ()01ln 222<+-=∂∂ααnL 故∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα是α极大似然估计.(2) 由211+-=αξE 令ξα=+-211 得 .112ˆξξα--=5.用极大似然法估计几何分布 ()(),2,1,11=-==-k p p k P k ξ中的未知参数p .解:()()n x ni p p p L -∑-=1，令 ()01ln =---=∂∂∑pn x p n p p L i 得x p1ˆ=而01ln 2ˆ2<--=∂∂=x x n p Lpp ξ1ˆ=∴p是P 的极大似然估计. 6. 设随机变量ξ的密度函数为()0,,21>∞<<-∞=-σσσx e x f x，n ξξ,,1 是ξ的容量为n 的子样,试求σ的极大似然值. 解: ()()∑=--ix neL σσσ12，()01ln 2=+-=∂∂∑i x n L σσσσ。
概率论与数理统计习题解答(第2章)
习 题 二
（
三、解答题
1．一颗骰子抛两次，以X表示两次中所得的最小点数
(1)试求X的分布律；
(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率．
解：因为 ，所以
设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则 ，
(1) .
(2) .
4.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而无故障的情况下工作2小时便关机．试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数．
答：是。蒸发是汽化的一种形式，只在液体表面发生，而沸腾是汽化的又一种形式是在液体内部和表面同时发生的。
液体蒸发在任何温度下都能进行,且只在液体表面进行。
液体沸腾是在一定温度下发生的剧烈的汽化现象。液体沸腾时要吸热，但液体温度保持不变。
6.制冷剂在蒸汽压缩制冷循环中，热力状态是如何变化的？
答：制冷剂蒸汽由蒸发器的末端进入压缩机吸气口时，压力越高温度越高，压力越低温度越低。制冷剂蒸汽在压缩机中被压缩成过热蒸汽，压力由蒸发压力P0升高到冷凝压力Pk。为绝热压缩过程。外界的能量对制冷剂做功，使得制冷剂蒸汽的温度再进一步升高，压缩机排出的蒸汽温度高于冷凝温度。
答：热量从隔热壁一侧的空气中传至另一侧的空气中，其传热过程可以分为：
1）表面吸热——热量从一侧的空气中传至隔热壁的一侧表面；
2）结构透热——热量从隔热壁的一侧表面传至另一侧表面；
3）表面放热——热量从隔热壁另一侧表面传至另一侧的空气中。
概率论与数理统计答案 第二章1-2节
1 P { X = 1} = P( A1 A 2 A3 ∪ A1 A 2 A3 ∪ A1 A 2 A3 ) = C3 p1 (1 − p)3−1
P { X = 2} = P ( A1 A 2 A3 ∪ A1 A 2 A3 ∪ A1 A 2 A3 ) = C32 p 2 (1 − p)3− 2
同时可知： lim P { X ≥ 1} = 1
n →∞
上式的意义为：若p较小，p≠0,只要n充分大，至少有 一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量试验 中“至少有一次发生”几乎是必然的。
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例4:有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障 的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。 考虑两种配备维修工人的方法: 其一是由4个人维护，每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率 的大小。
P{X=k}<0.001, 当k≥11时
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例3：某人独立射击n次，设每次命中率为p，0<p<1， 设命中X次，(1) 求X的概率分布律； (2) 求至少有一次命中的概率。
解：这是n重伯努利试验 ⇒ X ~ b ( n , p ) ∼
(1) P { X = k} = Cnk p k (1 − p)n−k ，k = 0,1, ⋅⋅⋅, n 2 ) P { X ≥ 1} = 1 − P { X = 0} = 1 − (1 − p) n (
随机变量离散型随机变量分布律连续型随机变量概率密度概率分布函数重伯努利实验二项分布泊松分布均匀分布正态分布指数分布随机变量的函数的分布随机变量离散型随机变量分布律连续型随机变量概率密度概率分布函数重伯努利实验二项分布泊松分布均匀分布正态分布指数分布随机变量的函数的分布23定义1随机变量例1
自考04183概率论与数理统计(经管类)总结2-数理统计部分
高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》第二部分数理统计部分专题一统计量及抽样的分布I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布II.内容总结一、总体与样本1.总体：所考察对象的全体称为总体；组成总体的每个基本元素称为个体。
2.样本：从总体中随机抽取n个个体x1,x2…,x n称为总体的一个样本，个数n称为样本容量。
3.简单随机样本如果总体X的样本x1,x2…,x n满足：（1）x1与X有相同分布，i＝1，2，…，n；（2）x1,x2…,x n相互独立，则称该样本为简单随机样本，简称样本。
得到简单随机样本的方法称为简单随机抽样方法。
4.样本的分布（1）联合分布函数：设总体X的分布函数为F（x），x1,x2…,x n为该总体的一个样本，则联合分布函数为二、统计量及其分布1.统计量、抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体的样本，若样本函数T=T（x1,x2…,x n）不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量的分布称为抽样分布。
2.样本的数字特征及其抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体X的样本，（2）样本均值的性质：①若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即②偏差平方和最小，即对任意常数C，函数时取得最小值. （5）样本矩（7）正态分布的抽样分布A.应用于小样本的三种统计量的分布的为自由度为n的X2分布的α分位点.求法：反查X 2分布表.III.典型例题[答疑编号918020101]答案：D[答疑编号918020102]答案：[答疑编号918020103]答案：B[答疑编号918020104]答案：1[答疑编号918020105]答案：B[答疑编号918020106]故填20.[答疑编号918020107]解析：[答疑编号918020108]答案：解析：本题考核正态分布的叠加原理和x2－分布的概念。
根据课本P82，例题3－28的结果，若X～N（0，1），Y～N（0,1）,且X与Y相互独立，则X＋Y～N（0＋0，1＋1）＝N（0，2）。
《概率论与数理统计》第02章习题解答.docx
P{ X = 1} = P[人(瓦U瓦)U孔A ] = 0.8(0.2 + 0.2-0.04) + 0.2 x (0.8)2
= 0.416
P{X=2} =P( £%為)=(0.8)3=0.512
3、据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查12个美国人，以X表示15人无 任何健康保险的人数(设各人是否有健康保险是相互独立的)，问X服从什么分布，写出X的分布律，并求下列情况下无任何健康保险的概率
解:(1)P{X>1}=f(x)dx=j"-(4-x2)dr = (-X- — X3)
"9927
（2）―叫刃’叩沟心］刃
22
27
10-R
£二0丄2,…，10
27■■
592
(3)P{y=2}=C^(—)2x(—)8=0.2998
s99s9?
p{r>2}= 1- p{r=0} - p{y=1}= 1-(—)° x(―)10- ^0(—)J(—)9= 0.5778
J；(0.2 + 1.2y)dy
—oo
y v _1
-1 < y < 0
0<y<\
0
0.2y + 0.2
0.6/+0.2j + 0.2
1
y <-1
0<y<l
沖1
P{0<Y<0.5} = F(0.5)-F(0) = 0.2+0.2x0.5 + 0.6x(0.5)2-0.2 = 0.25
P{y > 0.1} = 1-F(0」)=1一0.2-0.2x0」一0.6x0= 0.774
概率论及数理统计第二章答案
k 001.1,0,1,2...,315221()13113lim ()1132132=313kk k k k k C C C C ∞=∞→∞=ξξ=ξ=1⋃ξ=2ξ≤ξ≤2ξ≥====-ξ⋃ξξξ⨯∑∑2设随机变量的分布列为P(=k)=C()求：（1）C 的值 （2）P() (3)P(<<)(4)P(1) (5)P(1)解：（1） 由正则性可得：即解得 C （2） P(=1=2)=P(=1)+P(=2)=()121201218)()333271521218(3)()(1)(2)()()223333278(4)(12)(1)(2)272115(1)1(1)1(0)1()333P P P P P P P P P (+⨯=<ξ<=ξ=+ξ==⨯+⨯=≤ξ≤=ξ=+ξ==ξ≥=-ξ<=-ξ==-⨯=P972.4解：ξ的取值为3,4,5 P (ξ=3)=c351=101, P (ξ=4)=c c 3523=103, P (ξ=5)=cc3524=53 所以，ξ的分布列为：k a-7015716702.9a a a =70.999k 70.9975930.999!70,9990410.999!K k k k k e e k e k ξξξξλ=-=-=≤≤≥≥!≈<≈>∑∑∑解,设此种商品当月销售量为件，每月进货件，则当是就不会脱销.则有： P （）0.999 又已知服从7的泊松分布.因此有： 则至少应进16件此种商品.P982.10解：设x 为时间t 内通过交叉路口的汽车数量，则()^()!tt k p x k e k λλ-==(0)λ> 0,1,2,3k =1t =时，(0)0.2p x e λ-===，即ln 5λ= 2t ∴=时，2ln 5t λ=，2ln 5(1)25p x ==(0)0.04p x ==又(1)1(0)(1)p x p x p x >=---= 2ln 5(1)0.9625p x ∴>=-即在两分钟内有多余一辆车通过的概率为2ln 50.9625-.()()500500335002.111/500,.()(,500,1/500)500b K,500,1/500)=1/500499/500,n p np=5001/5001K K K KP K b K P K ξξξξ==-≥==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭⨯=∑∑解：由题意已知在指定的一页上出现一个错误的概率为设在指定一页上出现的错误个数为则：P(3)=又其中（直接计算（3）过于麻烦，且很大，很小.这时有很210=np=np b n p 3)10.08032(0.08032KK e K P e λλλξξ--=≈!≥<≈-=∑小，可以近似利用泊松定理取 1，由于不太大时，（K;;) 有（3）=1-P(查表）即在指定的一页上至少有三个错误的概率为2.13解：边际分布列：0(1)()!()!!(1)!!()!!(0,1,2,0)nn m n m nm mm nn nm n m m p p P n p e m n m e n p p e n m n m n n λλλλξλλλ--=---=-====--=-=>∑∑∑……(1)()()(,)!()!(0,1,n)pmm n n m m n m n e p p p e P m p n m m n m m m λλλληξη-∞--==-======-=∑∑……，2.15解：由题意44444444(,,)0.50.30.24!0.50.30.2(,,0,1,2,3,44)(4)!!()0.50.5,0,1,2,3,4()0.30.7,0,1,2,3,4()0.20.8,0,1,2,3,4m nm n k m m n k mm m n n n k k k p m n k C C m n k m n k m m p m C m p n C n p k C k ξηζξηζξηζ----======++=-=========其中且、、的分布列分别为2.17解：1212121212121212121212()1p(0,0 )(0,1)(0,2)(1,0)(2,0)1(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)p p p p p p p p p ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ=∴==+==+==+==+===∴===========∴的联合分布列：∴p(1ξ=2ξ)=02.18证：由题意设η所有的可能取值为1231,,...,n n a a a a a -（n ∈R ）其中P(ξ=a ，η=i a )=i p 则对于任意的i ∈R ，而p(=a ξ)p(i a η=)=1*i p 所以P(ξ=a ，η=i a )= p(=a ξ)p(i a η=) 所以ξ与任意的离散型随机变量η相互独立2.19 解:法一：由题意得:若ξ与η相互独立，则P(ξ=2,η=2)=P(ξ=2)P(η=2) P(ξ=2，η=3)=P(ξ=2)P(η=3)所以 a=(1/9+a)(1/3+a+b)B=(1/18+b)(1/3+a+b)1/3+1/3+a+b=1 a=2/9 b=1/9所以a=2/9,b=1/9时ξ与η相互独立法二：解：由归一性可知 α+β=31因为ξ,η相互独立，所以P （i ξi η）=P （i ξ）P （i η） （i=1,2 j=1,2,3） 所以 P （1ξ)P(1η)=61 P （1ξ)P(2η)=91 P （1ξ)P(3η)=181 所以 P(1η):P(2η):P(3η)=3:2:1又因为 P （2ξ)P(1η)=31P （2ξ)P(2η)=α P （2ξ)P(3η)=β所以有 31：α：β=3:2:1所以 α=92 β=91则2ηε=的分布列为分布列。
概率论与数理统计第二章习题解答
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：02、一袋中有55，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功} ,,2,1,0,)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }=Λ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = k － k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
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习题2.11.设随机变量X的分布律为P{X=k}=,k=1,2,N求常数a.N解:由分布律的性质沫皿瑶=1得P(X=1)申(X=2) + …P+X=N) =1N* =1,即a=1NI2.设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为一，一一—,求常数C.花亡4c 5c l&c解:- ---- ------------ :2c 4c Sc 1.6c37C ~3•将一枚骰子连掷两次，以X表示两次所得的点数之和,以丫表示两次出现的最小点数，分别求X,丫的分布律.注：可知X为从2到12的所有整数值.可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36 ，故P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36( 第一次和第二次都是1)P(X=3)=2*(1/36 )= 1/18(两种组合(1,2)(2,1))P(X=4)=3*(1/36 )= 1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2))P(X=5)=4*(1/36 )= 1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2))P(X=6)=5*(1/36 = 5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3))P(X=7)=6*(1/36) = 1/6(这里就不写了，应该明白吧)P(X=8)=5*(1/36) = 5/36P(X=9)=4*(1/36) = 1/9P(X=10)=3*(1/36) = 1/12P(X=11)=2*(1/36) = 1/18P(X=12)=1*(1/36) = 1/36以上是X的分布律投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数，即丫的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6 一个要是1,另一个可以是任何值一个是2,另一个是大于等于2的5个值 一个是3,另一个是大于等于3的4个值 一个是4,另一个是大于等于4的3个值 一个是5,另一个是大于等于5的2个值 一个是6,另一个只能是6P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36 P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9 P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12 P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18 P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36以上是Y 的分布律了 .4. 设在15个同类型的零件中有2个是次品，从中任取3次，每次取一个，取后不放回.以X 表示取出的次品的个数，求X 的分布律. 解 :X=0,1,225.抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次出现正面的概率为-,连续抛掷8次，以X 表示出现正面的次数，求X 3'的分布律.6.设离散型随机变量X 的分布律为 X -12 3P1 1 1Ss求 F 卜F |<X乜 <X < 3}7. 设事件A 在每一次试验中发生的概率分别为 0.3.当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号,求:(1) 进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；(2) 进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率. 解:设X 为事件A 发生的次数,⑴----...-=Cg(0.3)3(0.7)2 + 4(03「(0刀 14FC|(03)5(0_7)°=0.1323+ 0.02835+0.00243 = 0.163(2) . :. ....-....-..=35 31 31 u cp lztc£p 31 3 c Z1 < 22rc£ i*書15 013c c -p时o -时=解:P 闪k}=〔 •「匚, k=1,2, 3, 8p{ X< — = 1 4p< X < 13 - 4=1 - 41 - 2=- 1 _z 3}-<- 3X <门X<2 p p2 1 1解2.设离散型随机变量X的分布律为：X -1 2 3P 0.25 0.5 0.25 求X的分布函数，以及概率匸丄二•「.解 V : L A1「■一ft—l<x<2 9^, F(x) = P{X < x) = P{X = —1} = 0>25；3 4 >x>5 (2戶…1 =• l …「 i如下4个函数，哪个是随机变量的分布函数r o, x < -2⑴Fj (町=^, —2冬輩v 0i 2, x >0设F I (X ),F2(X )分别为随机变量X1和X2的分布函数，且F(x)=a F(x)-bR(x)也是某一随机变量的分布函数 证明a-b=1.证:i ； : : : : : : ■x < 0 0 < x < 设随机变量X 的分布函数为F(X ) =a+iarctanx, <「八工求(1)常数a,b;⑵珂一J 吃黑磋门解：(1)由分布函数的基本性质- 一 - - 一-得a +b =0^+b *0=1解之a -, b-/ 0, JE <o(2) F 2(X ) = sinx, Q <K < I1, X > TT(o r Y < 0⑶V TT (将x=1带入F(x) =a+iarctanx)注：arctan为反正切函数，值域( )，arctan仁6.设随机变量X的分布函数为「①x<lF(xr) —lnx z 1 < x < el f x> e求逼;::--解：一—_ 一注：1；〔壮=蚪：—总P{0 < X < 3] = FC3) 一F(0) =1-0 = 1;P{2 2^} = F(2.5)- F(2) = ln23 -ln2 = =lnl.25习题2.31.设随机变量X的概率密度为:求：(1)常数a; (2)科缶辽賈瓦；?；⑶X的分布函数F(x).解：(1)由概率密度的性质」'*[=：：二1Ah2⑵ p{o<x<^}=® 血(；)-G)sin(0)=rT+r0=¥一些常用特殊角的三角函数值(3) X 的概率分布为：2. 设随机变量X 的概率密度为 f(x)= ae -1*1求:(1)常数a;解：仁7 f(x)dx =曲 dx 十 ae _aEdx =p{0 <X < 1} = F(i)-F(fl) = |(l-e _1JX 的分布函数(1 2o一专产X> 03. 求下列分布函数所对应的概率密度：(1) : -■ 7匚芦二二 —丁x>° (指数分布)x<0不存在-Cl+siiMc).ITX<2nTT-- 生工W 一22 71"一00 <x< +CO,(2)!圾i V 前v 门;(3)X 的分布函数.(1) 解:—(柯西分布)(2厂-一K> 0 x< 0⑶F3（X）二」x < 00<* TTX > -- I C&SX,解：f3(x)二’I a 其他（均匀分布）4.设随机变量X的概率密度为「耳0< x<1— 2 — 3tj IMkUN0,其他.求:（併｛炬牛（2陀"<冷解：例2 设X-f（工）=2—拟l<x<2a求殆）・J—1*1ibWx^-分段袁达的，求艸软时註意井段就. X, ()<x^ 1X'/(x)=<2—I <x<2 [(1其艺F(jr) = P /(/ yhJ—4f曲+『(2 - F kZr x<() 0<x<l l<x<2 x>2ax<0X -0<x<l F(x)= 1 22x-l-,l<x<22［匚x>2⑴ P{x>H=l-FG) = l-t = l-|=I⑵⑵「上卜弓；V设K 在(0,5)上服从均匀分布，求方程•^ ； \| 1>."1 (利用二次式的判别式)解：K~U(0,5)/I f(K) =「I 氏方程式有实数根，则.「「上「「一"I I 丨*1'.' ! _ ■■2< K< -1故方程有实根的概率为：P(K<-1} + P{K > 2} = J |dz = <W6.设X ~ U(2,5)现在对X 进行3次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率.解：E :F - I ——--5— 22至少有两次观测值大于3的概率为：2 1 2 1 20禺馬卄碼)匂一刃7. 设修理某机器所用的时间X 服从参数为入=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时，在一小时内可 以修好的概率•解：1' ：： ■ I. I. I ''8. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计)服从参数为入=的指数分布，某顾客在窗口等待5.0兰恳兰5苴他服务,若超过10分钟，他就离开•他一个月要到银行5次，以丫表示他未等到服务而离开窗口的次数 写出丫的分布律,并求丄-少占解：未等到服务而离开的概率”为：1〕- 1 - Fi 1 r - 1 - r. -;--p{Y = fe}=一 e -a)5-k (fc = 04,2,3,4,5)丫的分布律： 丫0 1 23 4 5P 0.484 0.378 0.118 0.018 0.001 0.00004p{Y>l} = l_p{Y = O} = l_ 0.484 = 0.5169. 设 X ~ N(3,J ),求:⑴- 一..一一.…一一一 「.一 一； ⑵i 」.■丄.一解：⑴ P{2 吨蛊兰 = 护(亍)=0(1)— [1 - (7)] =0-0413 - (1 - 0.6915) = 05323P(M>2}= l-P(-2^r^ 2} = 1 - e (字)—© (宁)=1 -(0.30S5 - 0.0062)= 0.6977 P{X >3} = P{X ^ 3J = 1-(宁)=1- ^(0) = 1 - 0.5 = 0,5⑵■- - - - ■■■P[X A <| = 1 — P{X > c} P{X>tf} + P{X> c}= 1®(宁)"日F经查表——，即C=310.设 X ~ N(0,1)设 x 满足"区 . .-解：P{[X| >x} < 0.1 2[l-^(x)]< 0.1^(3.5}- [1 — ©(月.5)] = 0.9998-0.0002 = 0.9996P(-4 < ¥10} = 4>19204>(x) > 0.95经查表当：：工1.65时；；「一-即■: J.65 时f |X| .二］一.g11.X ~ N(10,「),求：⑴一，一(2) i J . .■■.解：(1)「二 1 ■ ■ 1 : ■- —二：二…- - : : _(2) ■「一 _. 1经查表-二,即d=3.3212.某机器生产的螺栓长度X(单位:cm)服从正态分布N(10.05,・…厂),规定长度在范围10.05_0.12内为合格，求一螺栓不合格的概率.解：螺栓合格的概率为：P{ 10.05 一0.12 <X<10.05 + 0.12} =P{9S3<X <10.17}_ 丰^10.17 一10.05^_ 中\0^6 )=*(3) - [1 一*[3)J=0.9772=^2 - 1 =0.9544螺栓不合格的概率为1-0.9544=0.045613.测量距离时产生的随机误差X(单位:m)服从正态分布N(20,…J进行3次独立测量.求:(1)至少有一次误差绝对值不超过30m的概率；(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率.解：(1)绝对值不超过30m的概率为：1920严® —10.05>\ 0^06 J=;(10 +应一(30 — 20\ /—30 —20\一J - e (———J = 4)(O.Z5>- [1-4>(125)] = 0.4931 至少有一次误差绝对值不超过30m的概率为：1- . .'.(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率为：(:扛0.49 引严(1 一0・4931)2 = 0.3801习题2.41.设X的分布律为X | -2 0 2 3-P_0.2 0.2__0.3 0.3求(1) 的分布律.解：(1八_的可能取值为5,1,-3,-5.由于P{Yi = 5}二P{-2X + 1 = 5} = P{X = -2] = 0.2P{Y t= 1} = P{-2X + 1 = 1} = P{X = -2] = 0.2P{Y t = -3}二P{-2X + 1 = -3} = P{X = 2] = 0.3PfYi = -5} = P{-2X + 1 = -5} = P{X = 3] = 0.3 从而i _的分布律为：X -5 -3 1 5Yi | 0.3 0.30.2 0.2（2）.的可能取值为0,2,3.由于P{Y2 = 0} = P{|X| = 0} = P{X = 0] = 0.2P{Y2=2J = P{|X| = Q} = P{X = -2] + P{X = 2} = 0.2 + 03 = 0.5P{Y2= 3} = P{|X| = 3] = P{X = 3] = 0.3 从而：.的分布律为：X 0 2 3¥20.2 0.5 0.32.设X的分布律为X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1__04求寸- '解:Y的可能取值为0,1,4.由于P{Y = C} = P{（X 一l）a = 0}= P{X = 1} = 0.1P{Y = 1} = P[（X 一l）a = 1}= P{X = 0} + P{X = 2] = 0.74.设随机变量X的概率密度为I 8 苴他.求以下丫的概率密度：(1) Y=3X; (2) 丫=3-X; (3) A-.解:(1) 丫=g(x)=3X, ■: = —= 7二匚=-⑶ ■ ■ 「.二fy(y)= f x(h(y))l h ;(y)| = e -^f YCy) = ^C h (y))l h ，^l = _6*3=i818-3 < y < 0, S 其他(2)Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-Y,「 -1fv(y) = f 3£(h(y)}l h'(y)l = |*(3-Y )2+1 = MIJQf3(3-Y)=3 < y < 4, 其他⑶弋一飞、沁「罟,X=h(y)=「「fY(y) = t(h ty^l h ；(y)l = 3V5?怎詁学即WA3VY4「 y 」0, 其他5. 设X 服从参数为入=1的指数分布，求以下丫的概率密度:⑴丫=2X+1; ⑵丄―二 ⑶.-:解:⑴ Y=g(x)=2X+1； J ］曲」冒：1：f 窗•-;X 的概率密度为：f Y (y) = f K (h(y))l ho)| 二矿ri 士 -e = p y>0 0f 其他即:-；Y-l 11 Y-12 =2S 2⑵ 1' - ■-■ V — = —「「一：「—却防= L(h®))l 打仞| =11111俸 = — * ——Y inT Y Y Y Y 2即&&)= *y > 1 10. 其他(=声永远大于0.当x>0是，护>16.X~N(0,1)求以下Y的概率密度：(1) 1 -:. -.-…：-解：(1): - ; ： - .. .. - .. / - 「.…一一当X=+Y时「：•' ■: : -'. '当X二-Y时："■:一[1.宀….HI—.」」吐…、 1 1 _壬z _疋41故Vzir ^2ILfy(y) =Y— 1 1(2)Y = g(x) = 2X2+ 1,X= h(y} = ^-hC/)= J——J 停「，孕;R・(巧=4(h(y))| h\y)l = 二巳3~y m即右滾I 0. y^l自测题一,选择题1,设一批产品共有1000件,其中有50件次品，从中随机地，有放回地抽取500件产品,X表示抽到次品的件数，则P{X=3}= C .2•设随机变量X~B(4,0.2)则P{X>3}= A .-IzlV-j 2V^(y- l)e鮒心肿沪 D —(x-p)*oA. 0.0016B. 0.0272C. 0.4096D. 0.8192 解:P{X>3}= P{X=4}=?页滋护工…陰謬于1(二项分布) 3.设随机变量X 的分布函数为F(x),下列结论中不一定成立的是D .A. . - - -B.一 --一C.①匹阀我匹：一D. F(x)为连续函数4. 下列各函数中是随机变量分布函数的为 B .■3 [D. - :- -v 、ifi 则常数a= A .x< 10sc,a < x < J?r是某连续型随机变量X 的概率密度，则区间[a,b]可以是 CA. [0, 1]B. [0, 2]C. | —D. [1,2]7. 设随机变量X 的取值范围是[-1,1],以下函数可以作为X 的概率密度的是A. 0B. 0.25C. 0.5D. 1 解:P{-1 < K<1} =仁寸dx =吕9. 设随机变量X~U(2,4)则朋③临mi}= A .(需在区间2,4 内)A. P[2.25 < x< 3.25}B. P{1・5 < r < 25}C. ■ - L ■ . ■ . .D.A. N (-1,2)B. N (-1,4)C. N (-1,8)D. N (-1, 16).-自己算的结果是1 IT*10.设随机变量X 的概率密度为--—- 则X 一.{A.-- -;■-5.设随机变量X 的概率密度为尬磁;-；.『：' 代-10B. 一―C. -D. 10解:F(x) =_ -不晓得为何课后 答案为D8.设连续型随机变量 则-..= B .B. T 矯」x< 0x > 0-1 < 1其也—1 < X < 1其他—1 < r < 1其他-1 < 1 苴他X 的概率密度为■:-：0 < 20.其他11.已知随机变量X的概率密度为fx(x)，令Y=-2X则丫的概率密度fv(v)为 DA. _：B. &L：；C. _：D. -i 一二,填空题1.已知随机变量X的分布律为X 1 2 3 4 5P 2a 0.1 0.3 a 0.3则常数a= 0.1 .解:2a+0.1+0.3+a+0.3=12.设随机变量X的分布律为X 1 2 3P 12 36 6 6记X的分布函数为F(x)则F(2)=- .解：-―-r t &3.抛硬币5次，记其中正面向上的次数为X则魯施兰尅•二_—_.解:一’•' "- '4.设X服从参数为入(入>0)的泊松分布，且=二.=:，则入=2解:分别将-:--.5.设随机变量X的分布函数为I 尸0, x < aF(x) =- 0.4, a < x <.1「x >b其中0<a<b,则'-:一解:^ -::::—=门= 1- = ■-6.设X为连续型随机变量,c是一个常数,则下2二<：■ = 0.7.设连续型随机变量X的分布函数为( 1-e3r jt < 03F(x) = \ 1-(K H- 1), □ < V < 23则X的概率密度为f(x),则当x<0是f(x)= ___ -》______ .8.设连续型随机变量X的分布函数为F(x) = P_e巴其中概率密度为f(x),lO f T <= 0则f(1)=__： : _.一一(—j—日V JC V CL i 9.设连续型随机变量X的概率密度为其中a>0.要使:=，则常数I①其他3 3 .10•设随机变量X~N(0,1),褪筋为其分布函数，则g； W：= 1 .11.设X~N 一一厂，其分布函数为一二一二为标准正态分布函数，则F(x)^l ■:之间的关系是诫癖=_丁「一12.设X~N(2,4)则用¥.吃洲二0.5 .13.设X~N(5,9),已知标准正态分布函数值一二-一一「，为使匕二亠〔m,则常数a< 6.5 .解J:- —,——--14.设X~N(0,1)则Y=2X+1的概率密度:數阴=_ 一解：Y— 1 1V = = ZX+ ljX = h(y)=——止工卩)=-# I 1 誓「1 1&(y)=Et(h(y))l h‘(y)| = ^〒旦2* 2 =2V2iE e 3三.袋中有2个白球3个红球,现从袋中随机地抽取解:X=0,1,221当X=0时,r. \ 门当X=1时,厅：U乎：2当X=2 时，I「二=；：='/'：= “X的分布律为：X 0 1 2a=2个球,以X表示取到红球的数，求X的分布律.-1 < r < 1疔 甘出 求：⑴X 的分布函数F(x);(2)P{X< A-Q.5}.Of 具他 解：⑴二 'I - ■ I' ■■ i当 X>1 时-F(x) = 1⑵卜一「二「-二— =:.-■ 「二.二——」二： - 二一五.已知某种类型电子组件的寿命 X 单位:小时)服从指数分布，它的概率密度为心五宀r>0(0,x< ft一台仪器装有4个此种类型的电子组件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设4个电子组件 损坏与否相互独立.试求：⑴一个此种类型电子组件能工作2000小时以上的概率二;(2)一台仪器能正常 工作2000小时以上的概率：:.解：(1).' 一 - ______f + OS 1 矍=I --------- e dx Aooo^OOO+0C 2000=0 —(—e _i) —e _1(2)因4个电子组件损坏与否相互独立 P 2 = Pj = (e -1)4 =--- * —2 000 * e MCP20004-oo200016 3io io io、 fkL 四.设X 的概率密度为f(x)= “ 当 0<x< 1 时jFQO = 1 巩 X) = *0 L x a厂亍1X 2一 -I 2 2 1,x< -1O< X< 1 X> 1当+帖带入一島时变咸员无穷大,，故:0时』F(x)=仁-xd2 2。