激光原理与应用讲第三章详解

假设 uq(x', y') 为经过q次渡越后在某一镜面上 所形成的场分布，uq1(x, y) 表示光波经过q+1次 渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，则
u q 1 与 u q之间应满足如下的迭代关系：
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
uq 1(x,y)4 ikM 'uq(x',y')e ik(1co)d s's
uq 1(x,y)4 ikM 'uq(x',y')e ik(1co)d s's
➢考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，
除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子
以外，u q 1 应能够将u q 再现出来，两者之间应有
关系：
uq1 uq
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
➢综合上两式可得：
uq(x,
其中 K (x ,y ,x ',y ')ik e i k (x ,y ,x ',y ')ie i k (x ,y ,x ',y ')，称为积分方程的核。
2 L
L
umn 和σmn 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解， 这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。
umn代表了自再现模的光场分布，σmn代表了光场分布的强度变化和相位移动 情况。
图3-1 惠更斯-菲涅耳原理
菲涅耳引入了干涉的概念，补充了惠更斯原理，认为子波源所发出的波 应该是相干的，空间光场是各子波干涉叠加的结果。
3.1.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射公式
2. 菲涅尔－基尔霍夫衍射公式
基尔霍夫进一步用格林函数的方法求解了 波动方程，于是得到了惠更斯－菲涅耳原理的 数学表达式。
图3-1 惠更斯-菲涅耳原理
设波阵面上任一源点 P'的光场复振幅为 u'(P')，则空间任一观察点P的 光场复振幅 u(P) 由下列积分式计算：
u(P)4 iku '(P )eik (1co )d s's
式中 为源点 P'与观察点 P之间的距离； 为源点P' 处的波面法线 n与P'P 的夹角；k2/为光波矢的大小， 为光波长； ds' 为源点 P'处的面元。
uq1 uq
➢本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。
u q 1u q au rq g 1ar g au rqg
自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为：
aruq g 1aruqg arg
自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何 相移，它们的关系为：
3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
1. 自再现模概念 ➢实验和数值模拟都可证明，当光波在光学谐振腔内多次传播后，光场分布在 腔内往返传播一次后能够“再现”出来，只是强度发生变化。
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
2. 自再现模积分方程
➢图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面 M和 M上' 分别建立了坐标轴 两两相互平行的坐标 xy和 x'y' 。利用上式由镜面 M上' 的光场分布可以计算 出镜 M上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。
3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模
激光谐振腔的谐振频率公式： νmnq2qLc2cL mn2qLc
纵模频率间隔公式：
c
νq
νq1νq
2L
➢应用举例： He-Ne激光器荧光谱的中心频率ν0＝4.74l014Hz，荧光线宽 ΔνF＝1.5l09 Hz ，设μ=1，求：
10cm腔长的He-Ne激光器可能 出现的纵模数量？
30cm腔长的He-Ne激光器可能 出现的纵模数量？
图(3-4) 腔中允许的纵模数
小结：
➢ 本征函数 u mn 和本征值 mn 所代表的含义： （1）本征函数 u mn 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅 角则代表镜面上光场的相位分布。 （2）本征值 mn 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率 损耗，幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。
3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
3. 积分方程解的物理意义 (1)本征函数 u mn 和激光横模 ➢本征函数 u mn 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜 面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布， 就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。
kL
2 2q
k 2 ν c
νm nq2q Lc2cL m n 2q Lc
图(3-4) 腔中允许的纵模数
3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模
2. 纵模频率间隔
腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模 的频率间隔：
νmnq2qLc2cLmn
νq
νq1νq
c
2L
图(3-4) 腔中允许的纵模数
图3-3 横模光斑示意图
3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
3. 积分方程解的物理意义
(2)本征值 mn 和单程衍射损耗、单程相移
➢本征值 mn 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗，包括
衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用 表示：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
uq
2
uq1
2
uq
2
mn 1mn2
a kr L g m nk Larg mn
3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模
1. 谐振条件、驻波和激光纵模
(1) 光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定频率的
光才能满足谐振条件
22qq1,2,3,
(2) 每个q值对应一个驻波，称之为：纵模，q为纵模序数。
(3)
y) ik
4
M'
uq(x',
eik y')
(1c
os)d
s'
u (x,y) ik u (x',y')eik (1cos)ds'
4 M'
➢对于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲率半径R通常都远大于反射 镜的线度a，而a又远大于光波长 。对上式做两点近似可得到自再现模所满 足的积分方程：
m u m n ( x ,n y )K ( x ,y ,x ',y ') u q ( x ',y ') d ' s
激光原理与应用
本章主要内容：
1. 光学谐振腔的衍射理论 2. 对称共焦腔内外的光场分布 3. 高斯光束传播特性 4. 稳定球面腔的光束传播特性 5. 激光器的输出功率 6. 激光器的线宽极限 7. 激光光束质量的品质因子M2
3.1.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射公式
1.惠更斯－菲涅耳原理
为描述波的传播过程惠更斯提出了关于子波 的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的 波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络 面所决定。