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概率知识回顾：

（1）什么是对立事件？ （2） 什么是互斥事件？ （3）互斥事件和对立事件有什么关系？如何区分它们？

（4）什么是相互独立事件？相互独立事件之间的关系如何用数学语言去描述？

例1.（2010四川文）（17）（本小题满分12分）

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一

瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为1

6

.甲、乙、丙三位

同学每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.

导数基础: 导数基础：

1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；

比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；

如果极限x x f x x f x y

x x ?-?+=??→?→?)()(lim

lim

0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并

把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即

)(0'

x f =x x f x x f x y

x x ?-?+=??→?→?)()(lim

lim

0000.

②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('

x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为

B A ?.

2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：

函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.

常用性质：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的

切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，

切线方程为

).

)((0'0x x x f y y -=-

4. 求导数的四则运算法则：

''')(v u v u ±=±)

(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=?

'

'''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数）

)0(2'''

≠-=

???

??v v u v vu v u

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.

I.0'=C （C 为常数）

x

x cos )(sin

'=

2'11)(arcsin x x -=

1

')(-=n n nx x （R n ∈） x

x sin )(cos '

-=

2'11)(arccos x x --

=

II. x x 1)(ln '

= e

x x a a log 1)(log '=

11)(arctan 2'+=x x x

x

e

e ='

)(

a

a a x

x ln )('=

11)cot (2'+-

=x x arc

5. 复合函数的求导法则：)()())(('

''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?=

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞

0，则)(x f y =为增函数；如果)('

x f ＜0，则)(x f y =为减函数

注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x=0时f （x ） = 0，同样0

)( x f 是f （x ）

7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则

)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）

当函数)(x f 在点0x 处连续时， ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. ①如果在0

x 附近的左侧

)

('x f ＞0，右侧

)

('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；

例1. 8．函数3

13y x x =+- 有 （ ）

A.极小值-1，极大值1

B. 极小值-2，极大值3

C.极小值-1，极大值3

D. 极小值-2，极大值2

6．函数

344

+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A ．72 B ．36 C ．12 D ．0

6．函数

x x

y ln =

的最大值为（ ）

A ．1

-e

B ．e

C ．2

e D ．310

2．函数x

e x x

f -?=)(的一个单调递增区间是（ ）

(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0

3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，

()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）

A ．()0()0f x g x ''>>，

B ．()0()0f x g x ''><，

C ．()0()0f x g x ''<>，

D ．()0()0f x g x ''<<，

4．若函数

b bx x x f 33)(3

+-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ）

21

<

b

5．若曲线4

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++=

6．曲线x y e =在点

2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ａ．294e

Ｂ．22e

Ｃ．2

e

Ｄ．2

2e

2．若'

0()3

f x =-，则000

()(3)

lim

h f x h f x h h →+--=

（ ）

A ．3-

B ．6-

C ．9-

D ．12-

1.(2005全国卷Ⅰ文)函数

93)(2

3-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( ) （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

2．(2008海南、宁夏文)设()ln f x x x =，若0'()2

f x =，则0x =（ ）

A. 2

e B. e C. ln 2

2

D. ln 2

3．（2005广东）函数

13)(2

3+-=x x x f 是减函数的区间为（ ） A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2）

4.（2008安徽文）设函数1

()21(0),f x x x x =+

-< 则()f x （ ）

A ．有最大值

B ．有最小值

C ．是增函数

D ．是减

函数

5．（2007福建文、理)已知对任意实数x 有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，

则x<0时（ ）

A f’(x)>0，g’(x)>0

B f’(x)>0，g’(x)<0

C f’(x)<0，g’(x)>0

D f’(x)<0，g’(x)<0

6.(2008全国Ⅱ卷文)设曲线2

ax y =在点（1,a ）处的切线与直线0

62=--y x 平行,则=a ( )

A ．1

B ．1

2

C ．12-

D ．1-