2020-2021学年云南省高三下学期高考理科数学试卷及答案解析

云南省高三下学期临门一脚理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A={x| y=lg （x ﹣1）}，集合2{|2}B y y x ==-+，则A ∩B 等于A ．（1，2）B ．（1，2]C ．[1，2）D ．[1，2]2. 复数2(2)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若等边ABC ∆的边长为3，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则AM MB ⋅u u u u r u u u r的值为A. 2B.152-C. 152D.2- 4. 在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型．通过计算得相关指数R 2的值如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的R 2为0.98B ．模型2的R 2为0.80C ．模型3的R 2为0.50D ．模型4的R 2为0.255. 已知121,,,9a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为A. 8B. 8-C. 8±D.98±6. 函数ln 1()x f x e x=+的大致图象为7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a 、b 分别为5、2，则输出 的n = A.2 B.3 C.4 D.5 8. 已知数列{}n a 满足243n n a +=，若从{}n a 中提取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11,k =且*12...,n n k k k k N <<<∈，则满足条件的最小q 的值为 A.43 B.54C.53D.2 9. 长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ） A.314 B.4 C.310D.3 10. 已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，2AB =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3π B ．3π C ．2π D ．2π 11. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=o ，且3OQ OP =u u u v u u u v，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．7 B ．7 C ．7 D ．7 12.已知函数2()g x a x =-，（1x e e≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e+- D ．2[2,)e -+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 如果实数,x y 满足条件022010x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则12z y x =-的最大值为 ．14. 若2nx x骣琪+琪桫的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a ，则直线6ay x =与曲线2y x =所围成的封闭区域面积为 ．15. 珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝，甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷，根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是______． 16. 已知圆22:9O x y +=，点()2,0A ，点P 为动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，则动点P 的轨迹方程是______．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ．（I ）求角A 的大小；（II ）若a ＝10，cos B ＝255，D 为AC 的中点，求BD 的长．18. （本小题满分12分）“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(,)i i x y （i =1,2，…，6），如表所示：已知16i i y y ==∑80=．（Ⅰ）求出q 的值；（Ⅱ）已知变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （元）的线性回归方程$$y bxa =+$；可供选择的数据：613050i i i x y ==∑，621271i i x ==∑ DCAEAEDCA（Ⅲ）用µi y 表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值．当销售数据(,)i i x y 对应的残差的绝对值µ||1i i y y -≤时，则将销售数据(,)i i x y 称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望()E ξ．（参考公式：线性回归方程中b$，$a 的最小二乘估计分别为1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑$,$ay bx =-$) 19. （本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC, 点E 是BC 边的中点, 将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ,AC,DE , 得到如图2所示的几何体.(Ⅰ) 求证：AB ⊥平面ADC ；(Ⅱ) 若1AD =，二面角C AB D --的平面角的正切值为6，求二面角B AD E -- 的余弦值.图1 图220. （本小题满分12分）已知动圆P过定点(M 且与圆N：22(16x y -+=相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点(3,0)D 且斜率不为零的直线交曲线C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得直线AQ ，BQ 的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分12分）设函数()ln x f x ae x x =-，其中R a ∈，e 是自然对数的底数. （Ⅰ）若()f x 是()0,+∞上的增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若22ea ≥，证明：()0f x >.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=OM ：3π=θ与C 分别交于点O ，P ，与l 交于点Q ，求PQ 的长．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数122)(--+=x x x f ．（Ⅰ）求不等式2)(-≥x f 的解集M ；（Ⅱ）对任意),[+∞∈a x ，都有a x x f -≤)(成立，求实数a 的取值范围．理科数学试卷答案及评分标准一、选择题BBAA ACCD BBCB 二、填空题13. 12-; 14. 323; 15. 甲; 16. 15922=+y x 17. 【解】（I ）由2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ，根据正弦定理 得2a 2＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ，整理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc ………………2分由余弦定理 得 cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22 ………………4分又A ∈(0，π) ，所以A ＝π4………………5分（II ）由cos B ＝255，可得sin B ＝1－cos 2B ＝55∴cos C ＝－cos(A ＋B)＝sin Asin B －cos Acos B＝22×55－22×255＝－1010………………………………7分 又a ＝10，由正弦定理，可得b ＝asin Bsin A＝10×5522＝2∴CD ＝12AC ＝1 ………………9分在△BCD 中，由余弦定理 得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CDcosC ＝(10)2＋12－2×10×1×(－1010)＝13 ………………………………11分 所以BD ＝13. ………………………………12分18. 解：（Ⅰ）611806i i y y ===∑，可求得90q =．……………… 2分（Ⅱ）61622130506 6.580704271253.517.5()i ii ii x y nx ybxn x ==--⨯⨯===-=---∑∑$，………………4分$804 6.5106ay bx =-=+⨯=$， 所以所求的线性回归方程为$4106y x =-+．………………6分（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程$4106y x =-+可得，当14x =时，µ190y =；当25x =时，µ286y =；当36x =时，µ382y =；当47x =时，µ478y =；当58x =时，µ574y =；当69x =时，µ670y =． 与销售数据对比可知满足µ||1i i y y -≤（i =1,2，…，6）的共有3个 “好数据”：(4,90)、(6,83)、(8,75)． ………………8分于是ξ的所有可能取值为0，1，2，3．33361(0)20C P C ξ===；1233369(1)20C C P C ξ===；2133369(2)20C C P C ξ===；33361(3)20C P C ξ===， ∴ξ的分布列为：ξ 0123P120920920120于是19913()0123202020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分 19. 解：(Ⅰ) 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，又BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD . …………………………………1分 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB . …………………………………2分 又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD D =, …………………………………3分所以AB ⊥平面ADC . …………………………………………………………………4分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知AB ⊥平面ADC ，所以二面角C AB D --的平面角为∠CAD . ……………………………5分又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AD . 依题意6tan ==∠ADCDCAD . ……………………………………………………6分 因为1AD =，所以6=CD . 设()0AB x x =>，则12+=x BD . 依题意△ABD ～△BDC ，所以AB CDAD BD=，即1612+=x x . ………………7分解得x =3AB BD BC ====. ………………8分G F EDCBA 法1：如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，则)0,0,0(D ,)0,0,3(B ,)0,6,0(C ，,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33A ⎛ ⎝⎭，所以DE ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r，DA =⎝⎭u u u r .由（Ⅰ）知平面BAD 的法向量)0,1,0(=n .……………………………………………9分 设平面ADE 的法向量),,(z y x m =由0,0,m DE m DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r得0,0.33x y x z +=+=⎩令6=x，得y z ==所以)3,3,6(--=m . ………………………………………………10分 所以21||||,cos -=⋅>=<m n . ………………………………………………11分由图可知二面角B AD E --的平面角为锐角， 所以二面角B AD E --的余弦值为12. ……………………………………………12分 法2 ：因为DC ⊥平面ABD ， 过点E 作EF //DC 交BD 于F ， 则EF ⊥平面ABD . 因为AD ⊂平面ABD ，所以EF ⊥AD . ………………………………………………………………… 9分 过点F 作FG ⊥AD 于G ，连接GE ， 所以AD ⊥平面EFG ，因此AD ⊥GE .所以二面角B AD E --的平面角为EGF ∠. ………………………………………10分 由平面几何知识求得2621==CD EF ，2221==AB FG ，所以EG ==所以cos ∠EGF =21=EG FG . ………………………………………………11分 所以二面角B AD E --的余弦值为12. ………………………………………………12分 20. 解：（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ，由N：22(16x y +=及(M 知点M 在圆N 内，则有||,||4,r PM PN r =⎧⎨=-⎩从而||||4||PM PN MN +=>=，所以P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，2c ==，所以2a =，1b =，故曲线C 的轨迹方程为2214x y +=．………………4分（Ⅱ）依题意可设直线AB 的方程为3x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221,43,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(4)650m y my +++=， 所以22122122(6)45(4)0,6,45,4m m m y y m y y m ⎧⎪∆=-⨯+>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩则1212224()64x x m y y m +=++=+， 2212121223643()94m x x m y y m y y m-=+++=+， ………………6分 假设存在定点(,0)Q t ，使得直线AQ ，BQ 的斜率之积为非零常数，则2121212()()()x t x t x x t x x t --=-++22223642444m t t m m -=-⋅+++2222(4)362444t m t t m-+-+=+， 所以121200AQ BQy y k k x t x t --⋅=⋅--2222254(4)362444m t m t t m +=-+-++2225(4)36244t m t t =-+-+， 要使AQ BQ k k ⋅为非零常数，当且仅当2240,362440,t t t ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩解得2t =±，………………8分当2t =时，常数为553648164=-+，当2t =-时，常数为55136481610020==++， 所以存在两个定点1(2,0)Q 和2(2,0)Q -，使直线AQ ，BQ 的斜率之积为常数，当定点为1(2,0)Q 时，常数为54；当定点为2(2,0)Q -时，常数为120． ………………12分 21. 解：（Ⅰ）()()e 1ln x f x a x '=-+，()f x 是()0,+∞上的增函数等价于()0f x '≥恒成立. 令()0f x '≥，得1ln e x x a +≥，令()1ln exxg x +=（0x >）.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()1e 1ln x g x x x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x'=--<，()h x 是()0,+∞上的减函数， 又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增；当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减；故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()11e g =，所以1e a ≥，即a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（Ⅱ）()0f x >⇔e ln 0xa x x->. ………………6分 令()e ln x a F x x x =-（0x >），以下证明当22e a ≥时，()F x 的最小值大于0. 求导得()()21e 1x a x F x x x -'=-()211e xa x x x ⎡⎤=--⎣⎦. ①当01x <≤时，()0F x '<，()()1F x F ≥e 0a =>； ②当1x >时，()()21a x F x x -'=()e 1x x a x ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦，令()()e 1xx G x a x =--， 则()e xG x '=()2101a x +>-，又()222e G a=-2e 20a a -=≥，取()1,2m ∈且使()2e 1m a m >-，即22e 1e 1a m a <<-，则()()e 1m m G m a m =--22e e 0<-=，因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()F x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000e ln x a F x x x =-，且()()0000e 01xx G x a x =-=-，即()000e 1x x a x =-，故()0001ln 1F x x x =--，因为()()0201101F x x x '=--<-，故()0F x 是()1,2上的减函数. 所以()()02F x F >=1ln 20->，所以()0F x >. 综上，当22e a ≥时，总有()0f x >. ………………12分22. 解：（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为，令代入的普通方程，得的极坐标方程为，即．……………5分（Ⅱ）在的极坐标方程中令，得，所以．在的极坐标方程中令，得，所以．所以．……………10分23.解：（Ⅰ），当时，，即，所以；当时，，即，所以；当时，，即，所以；综上，不等式的解集为．……………5分（Ⅱ）令，当直线经过点时，，所以当即时成立；当即时，令，得，所以，即，综上或． 10分解法二：（Ⅰ）同解法一．5分（Ⅱ）设因为对任意，都有成立，所以．当时，，所以所以，符合．当时，，所以所以，符合．综上，实数的取值范围是．……………10分。