概率论与数理统计期中试题解答

《概率论与数理统计》期中试题（二）解答姓名 班级 学号 成绩一、填空题（每小题4分，共13分）（1） 设()0.5P A =,()0.6P B =,(|)0.8P B A =，则,A B 至少发生一个的概率为_________.（2） 设X 服从泊松分布，若26EX =，则(1)P X >=___________. （3） 元件的寿命服从参数为1100的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为_____________.解：（1）()()()0.8(|)1()0.5P BA P B P AB P B A P A -===- 得 ()0.2P AB = ()()()() 1.10.20.9P A B P A P B P AB =+-=-= . （2）222~(),6()X P EX DX EX λλλ==+=+ 故 2λ=. (1)1(1)1(0)(1)P X P X P X P X >=-≤=-=-=2221213e e e ---=--=-. （3）设第i 件元件的寿命为i X ，则1~(),1,2,3,4,5100i X E i =. 系统的寿命为Y ，所求概率为125(100)(100,100,,100)P Y P X X X >=>>> 51551[(100)][11].P X e e --=>=-+=二、单项选择题（每小题4分，共16分）（1）,,A B C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （A ）()A B B A B -= .（B ）()A B A B -= .（C ）()A B AB AB AB -= .（D ）()()()A B C A C B C =-- . （ ）（2）设12,X X 是随机变量，其分布函数分别为12(),()F x F x ，为使12()()()F x aF x bF x =+是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（A ）32,55a b ==-. （B ）22,33a b ==. （C ）13,22a b =-=. （D ）13,22a b ==. （ ）（3）设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数为()Y F y =（A ）(53)X F y -. （B ）5()3X F y -.（C ）3()5X y F +. （D ）31()5X yF --. （ ） （4）设随机变量12,X X 的概率分布为101111424i X P- 1,2i =. 且满足12(0)1P X X ==，则12,X X 的相关系数为12X X ρ=（A ）0. （B ）14. （C ）12. （D ）1-. （ ） 解：（1）（A ）：成立，（B ）：()A B A B A B -=-≠ 应选（B ）（2）()1F a b +∞==+. 应选（C ） （3）()()(35)((3)/5)Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=>- 331()1()55X y yP X F --=-≥=- 应选（D ） （4）12(,)X X 的分布为12120,0,0EX EX EX X ===，所以12cov(,)0X X =， 于是 120X X ρ=. 应选（A ）三、（12分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为λ的泊松分布，而进入超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ，若顾客购买商品是相互独立的， 求一天中恰有k 个顾客购买A 种商品的概率。

解：设B =‘一天中恰有k 个顾客购买A 种商品’ 0,1,k = n C =‘一天中有n 个顾客进入超市’ ,1,n k k =+则 ()()()(|nn n n knkP B P C B P C P B C∞∞====∑∑ (1)!nkk n k nn ke Cp p n λλ∞--==-∑()(1)!()!k n kn k n k p e p k n k λλλ-∞--==--∑()!k pp e k λλ-= 0,1,k = .四、（12分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生 的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列. （2）EY 和DY . ((2)0.977,(1)0.8Φ=Φ= 解：（1）~(100,)Y B p ，其中8472(6084)()p P X σ-=<≤=Φ607212()2()1σσ--Φ=Φ-由 9672240.023(96)1()1()P X σσ-=>=-Φ=-Φ 得 24()0.977σΦ=，即242σ=，故121σ=所以 2(1)10.6826p =Φ-=.故Y 的分布列为100100()(0.6826)(0.3174)kk k P Y k C -==（2）1000.682668.26EY =⨯=，68.260.317421.6657DY =⨯=.五、（12分）设(,)X Y 在由直线21,,0x x e y ===及曲线1y x=所围成的区域 上服从均匀分布，求边缘密度()X f x 和()Y f y ，并说明X 与Y 是否独立. 解：区域D 的面积 22111ln 2e e D S dx x x===⎰(,)X Y 的概率密度为1,(,),(,)20,x y D f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它.（1）1201,1,()(,)20,.x X dy x e f x f x y dy +∞-∞⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它21,1,20,.x e x⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它2211211,1,21,1,()(,)20,e y Y dx y e dx e y f y f x y dx -+∞--∞⎧≤≤⎪⎪⎪<≤==⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其它2221(1),1211,1220,e y e e y y --⎧-≤≤⎪⎪⎪-<≤=⎨⎪⎪⎪⎩其它（2）因(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅，所以,X Y 不独立.六、（12分）已知,3.0)(=A P 4.0)(=B P ，,5.0)|(=B A P 试求).|(),|(B A B P B A B P解由乘法公式, )(AB P )()|(B P B A P =4.05.0⨯=,2.0=因此)|(A B P )()(A P AB P =3.02.0=,32= 又因为,B A B ⊂ 所以,)(B B A B = 从而 )|(B A B P )())((B A P B A B P =)()()()(AB P B P A P B P -+=2.04.03.04.0-+=,54= )|(B A B A P )|(B A AB P =)|(1B A AB P -=)()(1B A P AB P -=5.02.01-=.53=七、（12分）设随机变量X 具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,43,22,30,)(其它x x x kx x f}.2/71{)3();()2(;)1(≤<X P x F X k 求的分布函数求确定常数解 (1) 由⎰+∞∞-=,1)(dx x f 得,122433=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎰⎰dx x kxdx解得,6/1=k 于是X 的概率密度为.,043,2230,6)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=其它x x x xx f(2) X 的分布函数为)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<≤<=⎰⎰⎰4,143,22630,60,03030x x dt t dt tx dt t x x x .4,143,4/2330,12/0,022⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=x x x x x x x (3) ⎰=≤<2/71)(}2/71{dx x f X P ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2/73312261dx x xdx 2/73231242121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x ,4841=或)1()2/7(}2/71{F F X P -=≤<.48/41=八、（12分）设连续型随机变量),(Y X 的密度函数为 ⎩⎨⎧≤≤≤=其它,010,8),(y x xy y x f求),cov(Y X 和)(Y X D +.解 由),(Y X 的密度函数可求得其边缘密度函数分别为:,,010),1(4)(2⎩⎨⎧≤≤-=其它x x x x f X ,,010,4)(3⎩⎨⎧≤≤=其它y y y f Y于是⎰+∞∞-=dx x xf X E X )()(⎰-⋅=102)1(4dx x x x ,15/8=⎰+∞∞-=dy y yf Y E Y )()(⎰⋅=1034dy y y ,5/4=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf XY E ),()(⎰⎰⋅⋅=1108xdy xy xy dx ,9/4=从而)()()(),cov(Y E X E XY E Y X -=,225/4= 又⎰+∞∞-=dx x f x X E X )()(22⎰-⋅=122)1(4dx x x x,3/1=⎰+∞∞-=dy y f y Y E Y )()(22⎰⋅=1324dy y y ,3/2=所以22)]([)()(X E X E X D -=,225/11=,75/2)]([)()(22=-=Y E Y E Y D 故),cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ++=+.9/1=。