2014届一轮复习数学试题选编21空间角与空间距离(学生版)

(1)∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥BC,又 BC⊥CD,∴BC⊥面 PCD,∴BC⊥PC. (2)设点 A 到平面 PBC 的距离为 h,
1 1 VA PBC VP ABC , SPBC H SABC PD 3 3 容易求出h 2
3.
解:以 D 为坐标原点, DA, DC, DD1 为坐标轴,建立 O xyz 坐标系, 则 AM (2,0, 2) , DD1 (0,0, 2) , DB (4,3,0) ,
底面半径 OB 2 , D 为 PO 的中点, E 为母线 PB 的中点, F 为底面圆周上一点,满足
EF DE .
(1)求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值; (2)求二面角 O DF E 的正弦值.
P
D
E
A
O F
B
8 ． （江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷）正三棱柱 ABC A1 B1C1 的所
9



设平面 BDD1B1 的一个法向量为 n ( x, y, z )
n DD1 2 z 0 由 可得 n 的一个值是 n (3, 4,0) , n DB 4 x 3 y 0
设直线 AM 与平面 BB1D1D 所成的角是 ,则
角形,AB=BC= 2 ,BB1=3,D 为 A1C1 的中点,F 在线段 AA1 上. (1)AF 为何值时,CF⊥平面 B1DF? (2)设 AF=1,求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. B1 D C1
A1 F B A
C
3
2013 江苏省高考压轴
7 ． （江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题）如图,圆锥的高 PO 4 ,
即 x1 2 y1 0, y1 tz1 0 . 令 z1 1则y1 t , x1 2t , 所以n1 (2t , t ,1) 是平面 DMN 的一个法向量.设平面 A1DN 的法向量为 n2 ( x2 , y2 , z2 ) ,则 n2 DA 1 0, n 1 DN 0 , 即 x2 2 z2 0, x2 2 y2 0 .令 z2 1则x2 2, y2 1, 所以n2 (2,1,1) 是平面 A1DN 的一个法向量.从而 n1 n2 5t 1
点, PQ PC ,试确定 的值,使得二面角 Q BD P 为 45°.
8
江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 21：空间角与空间距离（学生版）参考答案 一、解答题 1. 【命题意图】本小题主要考查空间向量的基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力.
10
1 2
1 2
→
1 2
1 → 2
→
→ AE·n 5 7 → 所以 cos<AE,n>= = . → 14 |AE|·|n| 5 7 → 由此可知,AE与 n 的夹角的余弦值为 . 14 5 7 根据图形可知,二面角 B-PC-D 的余弦值为14
5.
解 :(1) 以 D 为 原 点 ,DA,DC,DD1 分 别 为 轴 , 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 , 则
所示的空间直角坐标系中,已知 AB 2 , AC 4 , AA1 3 . D 是 BC 的中点. (1)求直线 DB1 与平面 A1C1 D 所成角的正弦值; (2)求二面角 B1 A1 D C1 的大小的正弦值.
z
A1 B1
A B D
C1
C
y
x
12． （徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷） 【必做题】本小题 10 分.解答
ABCD,AD//BC,∠ABC=90°,AB=BC=PA=1,AD=3,E 是 PB 的中点.
(1)求证:AE⊥平面 PBC; (2)求二面角 B-PC-D 的余弦值.
1
P
E A C (第 22 题) D
B
5 ． （江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试（数学） （选修物理） ）如图,在棱长为 1 的正
A
（第 22 题图）
A1
13． （扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷）必做题, 本小题 10
分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 如图,在三棱柱 ABC A1 B1C1 中, A1B 平面ABC , AB AC ,且 AB AC A1B 2 . (1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使二面角 P AB A1 的平面角的余弦值为 2 5 . 5
n1 n2 5t 1 , 因 为 | n1 || n2 | 6 5t 2 1
n1 , n2 或 , 所 以
t 0或t
2.
5t 1 6 5 t2 1

6 6
,解得
1 1 1 .根据图形和(1)的结论可知 t ,从而 CM 的长为 . 2 2 2
时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 如图,在正三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中 , 已知 AA 1 6 , AB 2 , M , N 分别是棱 BB1 , CC1 上
6
的点,且 BM 4 , CN 2 . ⑴求异面直线 AM 与 A1C1 所成角的余弦值; ⑵求二面角 M AN A1 的正弦值. B C N M C1 B1
方体 A C1 中,E、F 分别为 A1D1 和 A1B1 的中点. (1)求异面直线 AF 和 BE 所成的角的余弦值: (2)求平面 AC C1 与平面 BF C1 所成的锐二面角: (3)若点 P 在正方形 ABCD 内部或其边界上,且 EP∥平面 BF C1 ,求 EP 的取值范围.
2
6 ． （江苏省 2013 届高三高考压轴数学试题）如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是等腰直角三
| AM n | 3 2 , sin | cos 〈AM , n〉 | | AM | | n | 10
故直线 AM 与平面 BB1D1D 所成角的余弦是
3 2 10
4.
(1)根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系,
z P
E A B x C D y
6
(3)设 P( x, y,0) ( 0 x 1, 0 y 1 )
1 1 EP ( x , y, 1) ,由 EP n 0 得 ( x ) 2 y 1 0 2 2 3 3 1 3 即 x 2 y , 0 x 1, 0 2 y 1 y 2 2 4 4
C1 B1 A1
C B
A
（第 22 题）
14． （扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题）在四棱锥 P ABCD 中,侧面
PCD
底 面
ABCD ,
PD CDຫໍສະໝຸດ , 底 面ABCD 是 直 角 梯 形 ,
7
AB / / CD , ADC

2
, AB AD PD 1 , CD 2 . 设 Q 为 侧 棱 PC 上 一
P
D
C
A
B
3 ． （江苏省扬州市 2013 届高三上学期期中调研测试数学试题）如图所示, ABCD A 1B 1C1D 1
M 是棱 A1D1 的中点 ,求直线 AM 与平面 是长方体 ,已知 AB 3 , AD 4 , AA 1 2,
BB1D1D 所成角的余弦值.
4 ． （ 江 苏省 南京市 2013 届 高三 9 月学 情调 研试题 （数 学） WORD 版） 如图 ,PA⊥平面
A 1
C1 B1
6 (2)当 cos 时,求 CM 的长. 6
D A
M C B N
2
． （ 2010
年 高 考 （ 江 苏 ）） 如 图 , 四 棱 锥
0
P-ABCD
中 ,PD⊥ 平 面
ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90 (1)求证:PC⊥BC (2)求点 A 到平面 PBC 的距离
PB,PC 中点.
(1)若 PA=2,求直线 AE 与 PB 所成角的余弦值; (2)若平面 ADE⊥平面 PBC,求 PA 的长.
5
P B E D B A B B （第 22 题） B
C B
11． （苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷）三棱柱 ABC A1 B1C1 在如图
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz, 设 CM t (0 t 2) ,则各点的坐标为
A(1,0,0), A1 (1,0, 2), M (0,1, t ) ,所以
1 DN ( ,1, 0), DM (0,1, t ), DA1 (1, 0, 2) . 2 设平面 DMN 的法向量为 n1 ( x1 , y1 , z1 ) ,则 n1 DN 0, n1 DM 0 ,
1 1 A(1,0,0) , E ( , 0,1) , B(1,1,0) , F (1, ,1) 2 2 AF (0, 1 , BE ( 1 2 ,1) 2 , 1,1)
cos( AF , BE )
1 2
5 9 4 4

2 5 15
∴所求的锐二面角为
有棱长都为 4,D 为的 CC1 中点. (1)求证: AB1 ⊥平面 A1 BD ;(2)求二面角 A A1 D B 的余弦值.
4
9 ． （连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷）
10． （南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷）