伊辛模型自旋状态的模特卡罗模拟
自旋涨落的理论模型与分析
自旋涨落的理论模型与分析引言自旋涨落是指自旋系统在热力学平衡态下产生的涨落现象。
自旋涨落广泛存在于自旋玻璃、自旋涨落液晶等体系中，并被广泛研究和应用。
本文将介绍自旋涨落的理论模型与分析方法。
自旋涨落的基本概念自旋涨落是指自旋系统中自旋的朝向产生微小的随机改变。
在温度为零的条件下，自旋涨落不存在；而在有限温度下，自旋系统由于热运动而呈现涨落现象。
自旋涨落的理论模型自旋涨落的理论模型通常是基于自旋系统的哈密顿量和热力学平衡态下的统计物理学。
常用的理论模型包括伊辛模型、海森堡模型等。
这些模型通常将自旋系统抽象为一个网格，每个网格点上的自旋可以取不同的值，通过哈密顿量来描述自旋之间的相互作用。
然后利用统计物理学的方法，可以得到自旋涨落的性质。
伊辛模型伊辛模型是描述自旋涨落的重要模型之一。
在伊辛模型中，自旋系统被描述为一个二维网络，每个网络节点上的自旋可以取向上或向下两个状态。
伊辛模型的哈密顿量可以写为：$$H = -\\sum_{\\langle i, j \\rangle}J_{ij}s_is_j - \\mu \\sum_is_iB$$其中，$\\langle i, j \\rangle$表示相邻节点对之间的求和，J ij表示自旋之间的相互作用强度，s i表示节点i上的自旋取向，B表示外部磁场强度，$\\mu$表示磁矩。
通过对伊辛模型进行统计物理学的分析，可以得到自旋涨落的各种性质。
海森堡模型海森堡模型是一种描述自旋系统的量子力学模型，常用于描述自旋涨落液晶等体系。
在海森堡模型中，自旋被描述为一个三维矢量，表示自旋的取向和大小。
海森堡模型的哈密顿量可以写为：$$H = -J\\sum_{\\langle i, j \\rangle}\\mathbf{S}_i \\cdot \\mathbf{S}_j - \\mu \\sum_i\\mathbf{S}_i\\cdot\\mathbf{B}$$其中，$\\mathbf{S}_i$表示自旋矢量，$\\langle i, j \\rangle$表示相邻节点对之间的求和，J表示自旋之间的相互作用强度，$\\mathbf{B}$表示外部磁场矢量，$\\mu$表示磁矩。
三维伊辛模型的蒙特卡罗模拟
三维伊辛模型的蒙特卡罗模拟吴洋新疆大学物理科学与技术学院，新疆乌鲁木齐（830046）E-mail: 328627928@摘要: 本文采用蒙特卡罗方法模拟三维晶格系统伊辛模型。
在不同温度下，分别模拟了具有简立方晶格、体心立方晶格及面心立方晶格相互作用的三维伊辛模型。
模拟结果表明：在高温下，系统磁化消失。
在低温下，系统具有磁性，并存在一个临界状态。
同时研究了三种晶格的磁化率、能量及比热随温度的变化趋势。
关键词:三维伊辛模型；蒙特卡罗方法；临界态中图分类号：0552.61．引言伊辛模型是一个简单但很重要的物理模型[1-5]，伊辛在1925年解出的精确解表明一维伊辛模型中没有相变发生。
二维伊辛模型[6-10]的临界问题及精确解在40年代由昂萨格严格求出。
人们采用了分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论等多种方法计算三维伊辛模型[11-16]的解，但至今没有被学术界公认的三维伊辛模型的精确解。
本文通过蒙特卡罗方法模拟得到三维伊辛模型的近似解。
2．模型分析与计算2.1 模型格点选取本文研究三维伊辛模型的解，选取三维格点。
首先我们选取最简单的简立方格点，因为它具有典型性和代表性，它是直接由二维平面4个最近邻延伸到三维空间6个最近邻。
然后，再推广到体心立方晶格和面心立方晶格，只是最近邻点数目增加，处理问题的方法是相同的。
2.2 模型边界条件分析我们选取周期性边界条件，因为考虑到计算机的运算能力有限，所研究模型的大小也应是有限的。
但我们又要模拟无限大的空间系统，只有将边界条件取为周期性，才很好的解决了这个问题。
无论是对于简立方格点还是体心立方格点和面心立方晶格，只要是处于边界的格点，可以通过周期边界条件进行延伸，从而保证每个格点周围的最近邻格点数是一致的。
使用周期性边界条件，通常还可以减小来自边界的干扰。
2.3 反转概率函数选取采用蒙特卡罗模拟方法研究三维伊辛模型，反转概率的选取是很关键的一步。
Al_Si合金凝固组织的数值模拟(微观组织模拟paper)
摘 要凝固组织对铸件的性能有重要影响，对凝固组织的控制研究，过去一般采用物理实验的方法，浪费了大量的人力和物力，实验周期长，使得该方法在实际应用中的范围受到了一定限制。
随着金属凝固理论的日益完善以及计算机技术在材料科学、冶金学上应用的迅猛发展，使得计算机技术对凝固组织进行准确的模拟成为可能。
本文建立了有限元（Finite Element）和元胞自动机法（Cellular Automaton）相结合的宏微观耦合的CA-FE模型，采用有限元法（FE）计算宏观温度场，元胞自动机法（CA）计算微观凝固组织形成，与宏观传热进行耦合。
在微观计算中，形核计算采用了基于高斯分布的连续形核模型，生长计算采用了扩展的KGT模型，使其适用范围由二元合金扩展至多元合金。
应用CA-FE模型模拟了Al-Si合金的三维凝固组织，并进行了热态验证实验，应用修正的数学模型模拟并分析了原始成分、形核参数、浇注条件和铸模对凝固组织的影响。
研究结果表明：（1）模拟结果能够较为准确地反映出等轴晶和柱状晶的分布位置、比例和大小，并能较好描述凝固过程中晶粒生长情况，说明CA-FE模型是模拟凝固组织的有效模型；（2）降低原始成分Si含量以及提高过冷度是有利于柱状晶的发展，而增大形核密度是有利于等轴晶的发展，且能细化晶粒；（3）提高浇注温度，凝固组织中柱状晶增多，且晶粒明显变得粗大，而铸模外界冷却强度对铸件凝固组织的影响不大；（4）增大铸模厚度和使用冷却能力强的铸模都将使凝固组织中柱状晶比例增大，当使用冷却能力差的硅砂模时，凝固组织没有柱状晶而全为等轴晶。
关键词：有限元；元胞自动机法；数值模拟；凝固组织；等轴晶；柱状晶AbstractSolidification structure has an important influence on the performance of casting. In the past, the method of physical experiment was applied to the research of controling the solidification structure generally, however, a great deal of time and efforts should be put while using this method. so it is limited in the practical application. With the improvement of metal solidification theory and the rapid development of computer technology used in materials science and metallurgy, it has become possible to simulate the solidification structure accurately with computer technology.The CA-FE model was built through coupling the finite element and cellular automaton method. The finite element method was used to calculate macro temperature, and the cellular automaton method was used to simulate solidification microstructure with coupling the macro temperature calculation. In microstructure simulation, the nucleation adopts the continuous nucleation model based on Gaussian distribution, and the growth adopt the extended KGT model which fit complex alloy expanded from binary alloy. The three-dimensional solidification structures of Al-Si alloy was simulated by CA-FE model with hot verification test. In addition, the effects of primitive composition, nucleation parameters, casting conditions and the mold on solidification structures were analysised.The results show as follows:(1) The simulated results can accurately reflect the distribution, proportion, size of equiaxed grain and columnar grain，and can describe the grain growth well in the solidification process, so the CA-FE model is a effective model to simulate the solidification structure.(2) Reducing primitive composition of Si element and increasing undercooling are conducive to the development of columnar grains, but increasing nucleation density is conducive to the development of equiaxed grains, and can fine grains.(3) Raising the casting temperature, the proportion of columnar grain will increase, and the grains become coarse obviously，but the effect of the cooling intensity outside the mold on solidification structure is slight.(4) Enlarging the thickness of the mold or using the mold with strong cooling capacity, the proportion of columnar grain will increase. While using the Silica Sand mold with weak cooling capacity, the solidification structure were composed with all equiaxed grains and without columnar grain.Key words：finite element; cellular automaton; numerical simulation; solidification structure;equiaxed grain; columnar grain目 录第一章文献综述 (1)1.1 引言 (1)1.2 凝固组织的形成与控制 (2)1.2.1 铸件的凝固组织 (2)1.2.2 凝固组织的形成及影响因素 (3)1.2.3 凝固组织对铸件性能的影响 (4)1.2.4 凝固组织的控制 (5)1.3 凝固组织模拟的研究方法 (7)1.3.1 确定性方法(Deterministic Method) (7)1.3.2 随机性（概率）方法( Stochastic Method) (8)1.3.3 相场法(Phase field Method) (10)1.3.4 三种方法的对比 (11)1.4 凝固组织数值模拟的国内外研究进展 (12)1.4.1 国外研究 (12)1.4.2 国内研究 (15)1.4.3 存在问题及今后发展趋势 (16)1.5 本文所研究的主要工作 (17)第二章铸件凝固过程宏微观耦合模型 (19)2.1 宏观温度场计算模型 (19)2.1.1 热传递的基本方式 (19)2.1.2 热传导微分方程 (20)2.1.3 瞬态温度场的有限元解法 (21)2.2 微观动力学模型 (23)2.2.1 形核模型 (23)2.2.2 枝晶尖端动力学模型 (26)2.3 耦合计算模型 (29)2.3.1 耦合计算流程 (29)2.3.2 凝固潜热处理 (31)2.3.3 固相分数的确定 (32)2.4 本章小结 (33)第三章数学模型的计算与验证 (34)3.1 实验 (34)3.1.1 实验材料 (34)3.1.2 实验设备 (34)3.1.3 实验步骤 (35)3.1.4 实验结果 (35)3.2 数值模拟过程 (35)3.2.1 网格划分 (35)3.2.2 热物性参数 (35)3.2.3 初始条件 (36)3.2.4 边界条件 (37)3.2.5 生长系数 (37)3.2.6 形核参数 (38)3.3 模拟结果及分析 (38)3.3.1 模拟结果 (38)3.3.2 柱状晶生长 (40)3.3.3 中心等轴晶生长 (42)3.4 本章小结 (43)第四章 AL-SI合金凝固组织的数值模拟与分析 (44)4.1 原始成分对凝固组织的影响 (44)4.2 形核参数对凝固组织的影响 (45)4.2.1 过冷度对凝固组织的影响 (45)4.2.2 形核密度对凝固组织的影响 (46)4.3 浇注条件对凝固组织的影响 (47)4.3.1 浇注温度对凝固组织的影响 (47)4.3.2 外界冷却强度对凝固组织的影响 (49)4.4 铸模对凝固组织的影响 (50)4.4.1 铸模厚度对凝固组织的影响 (50)4.4.2 铸模材料对凝固组织的影响 (52)4.5 本章小结 (53)第五章：结论 (54)参考文献 (55)致谢 (58)附录：发表的论文 (59)第一章文献综述1.1 引言众所周知，决定铸件产品机械性能的最本质因素是铸件内部晶粒在宏观上的几何形态，即铸件的凝固组织结构，包括晶粒的形貌、大小、取向和分布等情况。
Ising模型（伊辛模型）
Ising模型（伊⾟模型）Ising模型（伊⾟模型）是⼀个最简单且能够提供⾮常丰富的物理内容的模型。
可⽤于描写叙述⾮常多物理现象，如：合⾦中的有序-⽆序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林⽕灾、城市交通等。
Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到⼀定临界温度以上会出现磁性消失的现象，⽽降温到临界温度下⾯⼜会表现出磁性。
这样的有磁性、⽆磁性两相之间的转变。
是⼀种连续相变（也叫⼆级相变）。
Ising模型如果铁磁物质是由⼀堆规则排列的⼩磁针构成，每⼀个磁针仅仅有上下两个⽅向（⾃旋）。
相邻的⼩磁针之间通过能量约束发⽣相互作⽤。
同⼀时候⼜会因为环境热噪声的⼲扰⽽发⽣磁性的随机转变（上变为下或反之）。
涨落的⼤⼩由关键的温度參数决定。
温度越⾼，随机涨落⼲扰越强。
⼩磁针越easy发⽣⽆序⽽剧烈地状态转变。
从⽽让上下两个⽅向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性。
如果温度⾮常低，则⼩磁针相对宁静，系统处于能量约束⾼的状态,⼤量的⼩磁针⽅向⼀致,铁磁系统展现出磁性。
科学家对该模型的⼴泛兴趣还源于它是描写叙述相互作⽤的粒⼦（或者⾃旋）最简单的模型。
Ising模型是⼀个很easy的模型，在⼀维、⼆维、三维的每⼀个格点上占领⼀个⾃旋。
⾃旋是电⼦的⼀个内部性质。
每⼀个⾃旋在空间有两个量化⽅向。
即其指向能够向上或者向下。
虽然该模型是⼀个最简单的物理模型。
眼下仅有⼀维和⼆维的精确解。
考虑⼀维Ising模型。
M个⾃旋排成⼀排，每⼀个⾃旋与其左右两个近期邻的⾃旋之间有相互作⽤。
简单起见，我们仅仅考虑倾向于使近邻⾃旋的⽅向⼀致的相互作⽤。
⼆维正⽅Ising模型就是由N个同样的⾃旋排。
每⼀个⾃旋不但与其左右两个近期邻的⾃旋相互作⽤，并且与前后相邻的⾃旋排中两个近期邻的⾃旋相互作⽤，project了⼀个⼆维的⾃旋阵列。
三维⽴⽅Ising模型就是有L个同样的⼆维⾃旋阵列，每⼀个⾃旋与其左右、前后、上下六个近期邻的⾃旋相互作⽤。
伊辛模型资料
伊辛模型简介伊辛模型（Ising model）是一种理想磁体的模型，被提出来描述固体中磁性原子的行为。
这个模型虽然简单，但却能够阐明许多磁性材料中的重要现象。
在该模型中，每个原子只有两种可能的自旋状态，即向上或向下。
原子之间通过相邻原子之间的相互作用而相互影响。
历史1936年，物理学家恩斯特·伊辛（Ernst Ising）建立起这个模型，以研究铁磁体的基本性质。
在原始形式的伊辛模型中，只考虑相邻自旋之间的相互作用，这样使得问题更容易求解。
基本假设在伊辛模型中，我们给予每个自旋一个参数，可以是+1（代表向上）或-1（代表向下）。
自旋之间的相互作用用参数J描述，表征相邻自旋之间的相互作用强度。
另外，温度参数T也是一个重要的因素，用于描述外界环境对磁体的影响。
模型描述伊辛模型可以表示为以下的哈密顿量：H = -J * Σs_i * s_j其中，J定义了相邻自旋之间的耦合强度，s_i和s_j分别是第i和第j个自旋的取值。
在伊辛模型中，我们通常采用蒙特卡罗模拟的方法来对系统进行计算，模拟系统在不同温度和参数下的自旋状态。
通过统计大量的自旋状态，我们能够获得磁体的平均磁矩、比热容等物理量。
应用伊辛模型虽然简单，却被广泛应用于各种磁性系统的研究。
从铁磁体到自旋玻璃等复杂的系统，伊辛模型都能提供重要的参考。
通过调节参数J和温度T，我们能够模拟出不同体系下的磁性行为，为材料科学和凝聚态物理学的研究提供了重要的参考。
总结伊辛模型作为一种理想磁体模型，为我们理解磁性材料中的重要现象提供了一个简单而有力的工具。
通过建立模型、模拟计算，我们能够更好地理解材料的性质，并为新材料的设计提供指导。
这个简单却丰富的模型，一直在吸引着物理学家和材料科学家的关注，带动着磁性材料研究的进步。
二维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟
.毕业论文题目：二维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟二〇一一年五月目录摘要 (1)Abstract (2)第一章引言 (3)第二章伊辛模型 (4)2.1 伊辛模型的意义 (4)2.2 伊辛模型的历史与发展 (4)2.3 二维伊辛模型的基本结构 (5)第三章蒙特卡罗方法 (6)3.1 蒙特卡罗方法的产生与发展 (6)3.2 蒙特卡罗方法的基本思想 (6)3.3 文中采用蒙特卡罗方法时用到的的基本理论 (7)第四章模拟的理论和过程 (8)4.1 计算理论 (8)4.2 模拟过程 (9)第五章数据分析和讨论 (10)参考文献 (14)附录 (15)致谢 (19)二维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟摘要：本文主要介绍应用蒙特卡罗方法对二维伊辛模型进行数值模拟的基本思路和方法，然后具体应用Fortran语言进行数值模拟的过程。
文中首先介绍了伊辛模型对解决相变问题的意义及其历史与发展，然后介绍了蒙特卡罗方法的产生与发展及其基本内容和思想，最后具体应用计算机Fortran语言用蒙特卡罗方法对二维伊辛模型的相关物理量进行数值模拟的方法和过程，并对所得数据进行分析和讨论。
关键字：二维伊辛模型；蒙特卡罗方法；哈密顿量；磁化强度；Fortran语言The Simulation of Monte Carlo for the Two dimensional Ising modelAbstract：This paper describes the Monte Carlo method to simulate two dimensional Ising model of the basic ideas and methods, and then specific applicationsFortran language simulation process. The paper first describes the Isingmodel to solve the problem of phase change the meaning and history anddevelopment, and then introduced the Monte Carlo method and its basiccontents and development of production and ideas, and finally specificapplications the computer language Fortran and Monte Carlo method tosimulate the related physical of the two dimensional Ising model ofmethod and process, and the data were analyzed and discussed.Keywords：the Two Dimensional Ising model; Monte Carlo Method; Hamiltonian;Fortran language第一章引言统计物理学中，物质相变方面的研究是一个重要的领域，物质经过相变，要出现新的结构和物性，而得到物质的相变过程是非常重要且意义深远的，伊辛模型就是试图去解决这些问题的一个重要模型。
动力学蒙特卡罗模拟方法简介
式：
ˆ
ˆ
exp
H kBT
dxdp
exp
H kBT
dxdp
设体系的哈密顿量H=p2/2m+V(x),即可分解为动能和势能两部分，
又设粒子坐标x≤q时体系处于组态A，则有：
对δ函数的系综kA平B均可12通 2过kmBMTet1ro2 polxisMqC方A 法计算出来：计算
粒子落在[q-w,q+w]范围内的次数相对于Metropolis行走总次数
可以对跃迁进行局域化处理。每条跃迁途径只与其近邻的体 系环境有关，这样可以极大地减少跃迁途径的数目，从而简 化计算。
2、无拒绝方 法
直接法、第一反应法、次级反应
法等。
2.1 直接法
效率高，最常用
每一步需要产生两个在(0,1]上平均分布的随机数r1和r2，分别 用于选定跃迁途径和确定模拟的前进时间。设体系处于态i， 将每条跃迁途径j想象成长度与跃迁速率kij成正比的线段。将 这些线段首尾相连。如果r1ktot落在线段jk中，这个线段所代 表的跃迁途径jk就被选中，体系移动到态jk，同时体系时间 根据时间步长方程前进。
kˆ
(1)设共有M条反应途径，选择反应速率最大值kmax，设为 。
生成在[0,M)区间内均匀分布的随机数r；
(2)设j=INT(r)+1;
• 每一步只需要生成一
伊辛模型的研究进展简介
大家对伊辛模型感兴趣的主要原因就是它能很好 地显示连续相变过程 ,特别是在相变的临界温度附近的 临界现象 [224 ] 。对临界现象的研究可以追溯到 1869 年 安住斯 (A nd rew s)引入临界点的概念 , 1873 年范德瓦尔 斯 ( van der W aa ls) 用分子动力理论讨论了气液两相转 变和临界点的问题 。1895年居里 ( C u rie)研究了铁磁体 的铁磁 顺磁相变 , 并指出铁磁 顺磁相变与气 液相变 的相似性 ,所以相变的临界点也称为居里点 。1907 年外 斯 (W eiss)提出了铁磁 顺磁相变的分子场理论 , 也称为 平均场理论 。铁磁 顺磁相变的平均场理论与范德瓦尔 斯的气 液相变理论又是相对应的 。现在可以证明平均
本文首先简单地介绍了伊辛 ( Is in g )模型及其应用的范围 、二维伊辛模型精确解的求解过程 、三维伊辛模型精 确解所面临的困难 。然后回顾并总结了人们用分子场理论及其改进理论 、高温级数展开 、低温级数展开 、重整化群理 论 、蒙特 ·卡罗模拟等近似计算三维伊辛模型的物理性质和临界指数的研究进展 。最后 , 介绍了我们对三维简单正 交晶格伊辛模型的猜想以及推定的精确解 。
为了获得更多的信息 , 一些科学家试图对平均场理 论进行改进 。在 20世纪 30年代布喇格 、威廉斯 、肖克莱 ( S hock ley)等人在研究合金中的有序 无序转变时将伊 辛模型的研究向前推进 [ 5, 6 ] , 并引起更多的关注 。如布 喇格 威廉斯近似忽略了自旋间的短程关联 ; B ethe 近似 对布喇格 威廉斯 (B ragg2W illiam s) 近似进行改进 , 考虑 了短程序 ; ……但这些改进属于小打小敲的修修补补 , 没有逃脱掉平均场理论影子 。而且 , 也无法进一步按其 路线再发展下去 。突破还需要求出伊辛模型的精确解 , 才能获得精确的物理信息 。1941 年 K ram e rs和 W ann ie r 以及 M on tro ll分别利用二维伊辛模型的对偶性精确地
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《计算材料学》课程设计指导老师：江建军教授电子科学与技术系2004年6月１２伊辛模型自旋状态的蒙特卡罗模拟宋银锋 李敏 易冬柏 刘嘉 周磊朱颖 吴华 刘文俊 沈文轶 罗睿 彭晓风（华中科技大学电子科学与技术系，武汉 430074）摘要:以Metropolis 蒙特卡罗模拟方法考察了20×20正方格子上的二维伊辛模型自旋模型，采用C 语言和LABVIEW 程序分别得到了该模型不同温度下自旋状态的图样，符合统计力学分析，并将该模型推广到三维情况，得到了相似的结论。
关键词:伊辛模型；自旋状态；Metropolis 蒙特卡罗模拟SPIN CONFIGURATIONS OF THE ISING MODEL IN MONTE CARLO SIMULATION Abstract : Monte Carlo studies of the two-dimensional Ising model on 20×20 square lattice with periodic boundary conditions and nearest neighbor interactions are presented. The spin configurations of this model at various temperatures are obtained, consistent with the analyses of statistical mechanics. Three-dimensional Ising model is deduced, and similar conclusions are obtained.Key words : Ising model; spin configuration; Metropolis Monte Carlo Simulation 引言伊辛自旋模型是一个十分重要的统计模型。
理论上，它是最先被严格要求并表明有相变存在的模型；实验上，它可用来描述铁磁体相变、格气、二元合金以及生物体中DNA 的融化等[1]。
把铁磁物质看成是N 个粒子组成的系统，每个粒子有一个自旋磁矩µ并处在晶体的格点上。
我们考虑一个具有N 个固定格点的晶体，格点以周期点阵排列，点阵的几何结构可以是简单立方，体心立方和六角形的等等。
粒子在晶格上的自旋变量以(1,2,...,)i S i N =表示，i S 只能+1和—1的值。
i S =1表示粒子的自旋朝上，i S = －1表示粒子的自旋朝下，可以用,↑↓表示。
当一组变数{}i S 给定以后，就完全确定了一个微观状态。
假设，每个自旋只和它近邻的自旋有相互作用，把这个模型就叫做伊辛模型。
蒙特卡罗模拟技术，又叫计算机随机模拟，近年来随着计算机的计算技术的发展在科学的不同领域得到广泛的应用。
而采用Metropolis抽样技术的蒙特卡罗方法则在统计物理研究中得到了广泛的应用。
国内外的研究发展现状伦兹曾向他的学生伊辛建议研究铁磁性的一个简单原子模型，伊辛于1925年发表了他的研究结果，现称伊辛模型。
当时伊辛只能在一维下求解，发现在一维情形下，在任何不为绝对零度的温度下无自发磁化。
1936年佩尔斯论证了二维伊辛模型却有自发磁化。
现在看来，伊辛模型是铁磁体的一种最简单的理论模型。
它可近似描述单轴各向异性铁磁体，而且稍加改变，还可以用以描述反铁磁体，气液相变，二元溶液相变以及合金的有序无序相变等[2]。
半个多世纪以来，关于铁磁学的伊辛（Ising）模型一直是统计中未能完全解决的问题。
其一维解说明系统无相变，二维解说明系统有相变，这一成果突破了平均场理论，成为后来导致重正化群方法的起点。
但三维伊辛模型却一直未得出严格解。
1975～1986年中国科学院理论物理所郝柏林、石赫、许以超等完成“三维晶格统计模型的封闭近似解”。
郝柏林改写了二维模型的各种求解途径，建议对与三维模型密切相关的一个无规行走问题严格求解，试图得到三维伊辛模型的一种封闭的（即不是级数展开的）近似解。
他们完成了三维简单立方格子的计算，得到了统计配分函数的封闭表达式。
在寻求扩充上述结果的过程中，石赫、郝柏林找到一个形象的反例，说明不存在任何代数A，可以给出三维伊辛模型的严格解，从而把问题的提法改变为：寻求恰当的代数改进前面的封闭表达式。
沿这一方向得到了一些新结果。
他们的工作虽然未能彻底解决这一现在仍悬而未决的问题，但得到了“迄今最好的结果”。
物理模型1.二维伊辛自旋模型以正方格子为例说明二维伊辛自旋模型。
图1为4×4二维正方格子上伊辛自旋模型自旋取向分布的一个状态，或叫自旋组态（Configuration）。
每个自旋S只能去“向上”或“向下”两个方向，分别以S等于+1和−1值代表。
这种只取两个值的变量统称为“伊辛变量”。
３４图1 一个自旋组态图样伊辛模型的哈密顿量为[3],()i j i j H S JS S <>=−∑ （1）（1）式中i S 代表第i 个格点位置的自旋，i S 取值+1或−1分别对应自旋向上或向下。
ij <>∑表示对一切可能的近邻自旋对<ij>求和。
J 为耦合常数，我们考虑J>0的铁磁体情形，实验中我们取的J=0.5。
设L 表示所考虑的正方格子的线性大小，其中N=L ×L 个伊辛自旋。
这N 个自旋在正方格子上一个取向的分布称为自旋状态，即一个自旋状态记成{}i S S = 1,2,i =…，N （2）伊辛模型的统计力学分析给出了一个重要结论是：在平衡状态下，（2）式自旋状态在低温下呈有序结构，当温度升高时，开始出现无序的扰动，但仍高度有序；当温度继续升高到一个临界温度值时，自旋状态呈无序状态；而在更高的温度下呈高度无序结构。
这里的温度以KT/J 代表，T 为一般意义下的绝对温度，J 为耦合常数，K 为玻耳兹曼常数。
临界温度则为/ 2.269c KT J = （3）2.三维伊辛自旋模型[4]图2是三维自旋网格中的任一格点处的自旋i S ，及其最近邻六个格点上的自旋16S S ∼，现考虑单轴各向异性情形，即所有的i S 只能去+1或−1。
图2 三维自旋格点模型５同二维相似，伊辛模型的哈密顿量为,()i j i j H S JS S <>=−∑ （1）上式中i S 代表第i 个格点位置的自旋，i S 取值+1或−1 ，分别对应自旋向上或向下。
ij <>∑表示对一切可能的近邻自旋对<ij>求和。
J 为耦合常数，实验中我们取的J=0.5，并以101010××格点的模型模拟了三维伊辛自旋图样。
Metropolis 蒙特卡罗模拟1.模拟方法首先，随机选取一个自旋状态，即初始状态（t=0），0S ，然后构造一个马尔可夫链。
由前一个状态t S 通过一个适当的转移概率1()t t W S S +→过渡到后一个状态1t S +，其中转移概率 1..............0() 1.. 0H KT t t e H W S S H ∆−+⎧⎪∆>→=⎨⎪∆≤⎩ （4） 1()()t t H H S H S +∆=− （5）上两式确定了马尔可夫过程前进的方向，即当前后状态的能量差0H ∆≤时，允许状态t S 转移到1t S +；若0H ∆>，则再通过以下规则判断 ()......................[1]()......................[2]HKT Z t e Z t ∆−<⎧=⎨≥⎩（6） 其中()Z t 是t 时刻所选的0与1之间均匀分布的随机数，情况[1]不允许1t t S S +→，情况[2]允许1t t S S +→。
上式说明能量增加较少的状态允许，能量增加较多的状态不允许，判断标准是随机数()Z t 。
不断重复以上过程后，系统的状态则由初始状态出发随时间转移而向平衡状态靠拢。
数学上可以证明，马尔可夫链经过上述的t 步转移后，可认为体系从随机的初始状态出发最后到达平衡状态。
这样，我们便可根据此模拟出平衡态自旋状态的图样来。
如何确定t 的大小，理论上并没有解决。
在实际计算中通常采用观察和经验来决定。
一６般的，系统越大t 越长。
2.计算中的问题（1） 随机数的产生：采用C 语言和LABVIEW 自带的随机函数产生。
C 语言中的随机数是一个伪随机数[5]，并非真正意义上的随机数。
（2） 边界条件：周期性边界条件，即是：如i S 在第一行，则取点阵中最后行且相同列的格点作为其的近上邻；如i S 在最后一列上，则取点阵第一列且相同行的格点作为其右近邻，如此等等。
（3）格点选取方法：N 个自旋的正方格子，每一自旋格点按上述的Metropolis 规则随机变化一次才构成马尔可夫链上一个环节，即t 增加一次（一个蒙特卡罗步，MCS）1t t S S +→。
可以随机选取格点，也可以按有规则方式选取格点，这对平衡态性质无影响。
实验中我们采取后一种方式，从左到右，从上到下依次选取格点。
程序仿真模拟1.C 语言二维伊辛自旋模拟 源程序三维伊辛自旋模拟 源程序BVIEW二维伊辛自旋模拟三维伊辛自旋模拟模拟结果和图样分析结论（以c 语言模拟的2维图样为例）1.本文采用20×20大小的系统进行模拟，以下各图是在低温下KT/J=0.1情况下，从任意随机选取的初始状态出发，自旋状态随循环次数的增大而转移的情况。
７图3 KT/J=0.1初始状态图4 KT/J=0.1循环1000次后图像８图5 KT/J=0.1循环2000次图像图6 KT/J=0.1 循环4000次后图像由以上各图我们有以下两点认识：（1）体系从一个任意的初始随机状态出发，在向平衡态转移的过程中，体系的能量应不断降低并最后趋于平衡最小值。
这也就是Metropolis方法依据的原理。
对伊辛模型，当相邻自旋同号能量减小，相邻自旋异号能量增加。
在自旋体系由任意初始状态向平衡状态转移的过程中，相同方向的自旋聚合在一起，将使能量降低最快。
（应此时自旋异号的相邻自旋仅限于 向上方向自旋集团与向下方向自旋集团交线上的自旋，数量为最少。
）图3到图6的模拟图样恰好说明了这一点：在系统由初始状态转移到一定时间后，如图4中的循环次数n＝1000时向上的自旋由初始状态时完全无序的分布转移到自旋方向相同的点聚集在一起，并在n＝2000（图5）时聚集更加明显，最后达到n＝4000（图6）时，低温下的自旋取向的完全有序态，体系的能量达到最小值。
（2）对于20×20大小的系统，由初始状态转移到n＝4000后，体系以到达了低温下统计力学分析应具有的有序态。