余弦函数的图像与性质
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1.4.1正弦余弦函数图像与性质
即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y sin x (x [0, 2 ]) 利用图象平移
y sin x, x R
y 1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-1
3
2
x
2
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
二、余弦函数y=cosx的图象
y
余弦曲线
1
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3 ( ,0) 2
,0)( 2
2,0)
x
( 2
((((((,,0,00),)0,),(1003))2))(32,(-32,(132,)1((3,)3(121(123(13)23))2,)2,1-,1-,),--)
,0) ( 2
,0)( 2 ,0)( 2 (,02) (,(0,202)) ,0)
思考：观察正弦曲线、余弦曲线，你能从图像上发现它们的性质吗？ （如定义域、值域、单调性？）
正弦、余弦函数的图象
课后作业：用“五点法”作下面函数的图象。 1、y=cos|x|, x∈ [ 0,2π] 2、y=sin|x|, x ∈[ 0,2π] 3、y=-sinx, x ∈[ 0,2π]
正弦函数、余弦函数的图象
X
一、正弦函数y=sinx的图象
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描点：用光滑曲线 将这些正弦线的
2
32
5
6
O1
7
6
4
3
3
2
y
余弦函数的图像及性质
§6
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
正弦函数、余弦函数图像与性质
x
0
sinx 0
1 1+sinx y
2
1
o
2
-1
2
1 2
2
3
2
2
0
-1
0
1
0
1
步骤：
y=1+sinx，x[0, 2]
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2 y=sinx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
2 ,1)
(
( 2 ,1)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3
(
三角函数余弦函数的性质与图像
3
周期性现象描述
余弦函数可以描述周期性现象，如交流电的电 压和电流变化、四季更替等。
利用余弦函数进行信号处理
滤波和去噪
01
通过使用余弦函数进行滤波，可以去除信号中的噪声，提高信
号质量。
信号调制
02
在通信中，余弦函数可以用来进行信号调制，实现信号的传输
和接收。
谱分析
03
在信号处理中，余弦函数可以用来进行谱分析，提取信号中的
余弦函数的数学表达式为cosθ=b/c，其中θ是直角三角形中 的一个锐角，b是较长的直角边，c是斜边。
余弦函数的基本性质
周期性
振幅
余弦函数是周期函数，每隔2π（圆周率 π=3.1415926……）的区间内函数值重复。
余弦函数的振幅为1。
相位
当θ=0时，余弦函数的相位为0。
极值点
余弦函数在θ=π/2+kπ（k为整数）时取得 最大值1，在θ=3π/2+kπ（k为整数）时取 得最小值-1。
理解余弦函数的定义、性质和图像 掌握余弦函数图像的作图方法和技巧 能够应用余弦函数解决实际问题
教学内容
余弦函数的定义与性质
余弦函数的图像作图方法
余弦函数的应用举例
相关数学工具和软件介绍
02
余弦函数的定义与基本性质
余弦函数的定义
余弦函数（cosine function）也被称为余弦定理或余弦函数 公式，是三角函数的一种，表示直角三角形中一个锐角的邻 边与斜边的比值。
THANKS
余弦函数的图像
振幅
余弦函数的振幅是1，即函数的取值范围是 [-1,1]。
相位
余弦函数图像的相位与自变量x的起始位置 有关。
周期
【高职数学课件】余弦函数的图像与性质
\ cos 5 < cos 7
4
5
(2) c os( 23 ) c os 23 c os 3 ,
5
5
5
c os( 17 ) c os17 c os ,
4
4
4
又 0 < < 3 < , 且函数y c os x在[0, ]上是减函数，
45
\ c os 3 < c os .
5
4
即c os( 23 ) < c os( 17 )
3.知识理解方面： (1)、用五点法做余弦函数图像时五个关键点的确
定； (2)、函数定义域一定要写成集合或区间的形式； (3)、单调性的确定要注意说法步骤。
[-1，1]
问题五：单调性
观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些
区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
2
在 [ 2k 上2都k是单 调递增；
在 [2k 2k上都是单调 递减.
问题六：最值
y y=cosx
[2k，(2k 1)]上是减函数
当x
2k
2
时，ymax
1
当x
2k
3
2
时，ymin
1
例题讲解
例1 求下列函数的最大值、最小值和周期T
（1）y=5cosx （2）y 8cos(2x )
4
解 （1） ymax 5, ymin 5,T 2
（2） ymax 8, ymin 8,T
2
2
当堂检测
余弦函数图像与性质
f ( x) cos x 2 cos x 2 f ( x), x R
y cos x 2是偶函数
课堂练习2：判断下列函数的奇偶性
(2) y sin x cos x
（ ）x R, 定义域关于原点对称 1
把函数y sin x cos x记为 f ( x) sin x cos x
y
1
-4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
函数y=cosx,x∈R有哪些性质？
y cos x
1 y
3
2 3
2
2
0
2
1
3 2
2
3
x
余弦函数的定义域，值域？
y
1 -3
5 2
y=1
2
-2
3 2
-
2
o
-1
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=-1
余弦函数的最值？
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
当 x 2k (k Z )时，函数值y取最大值1 当 x 2k (k Z ) 时，函数值y取最小 值-1
余弦函数的周期？
y
1 -3
增区间2k ,2k k Z
减区间2k ,2k k Z
对称轴： x k , k Z 对称中心： , 0) k Z (k
y cos x 2是偶函数
课堂练习2：判断下列函数的奇偶性
(2) y sin x cos x
（ ）x R, 定义域关于原点对称 1
把函数y sin x cos x记为 f ( x) sin x cos x
y
1
-4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
函数y=cosx,x∈R有哪些性质？
y cos x
1 y
3
2 3
2
2
0
2
1
3 2
2
3
x
余弦函数的定义域，值域？
y
1 -3
5 2
y=1
2
-2
3 2
-
2
o
-1
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=-1
余弦函数的最值？
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
当 x 2k (k Z )时，函数值y取最大值1 当 x 2k (k Z ) 时，函数值y取最小 值-1
余弦函数的周期？
y
1 -3
增区间2k ,2k k Z
减区间2k ,2k k Z
对称轴： x k , k Z 对称中心： , 0) k Z (k
余弦函数的图像与性质 教案
余弦函数的图像与性质一、教学目标1．知识目标（1）理解用“五点法”画余弦函数的简图的方法；（2）了解余弦函数的图像和性质．2．能力目标（1）会用“五点法”作出余弦函数的简图；（2）会利用数轴等工具进行集合的补集运算，培养学生数形结合的思想。
3.情感目标（1）通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力（2）培养学生的应用意识，在课堂中贯穿数学与生活、专业的联系，让学生感受到数学就在身边，激发学生学习的兴趣，树立学生学习的信心。
二、教学重、难点教学重点：余弦函数的图像与性质；教学难点：余弦函数性质的应用。
三、教学方法1.启发引导式教学方法；2.情境式教学方法；四：思政元素1.画图环节，润物细无声的渗透精益求精的工匠精神；2.余弦曲线关于y轴对称，蕴含对称美，而上升和下降的趋势延伸到人生的起伏经历中，渗透挫折中要有奋起的勇气。
五、教具准备制作多媒体课件六、授课类型新授课七、课时安排一课时八、教学过程教学环节教学内容设计问题导入问题探究：看图回答下列问题：1、是什么？怎么画？2、怎么得到在R上图像？yx o1-12π32π2π-π2π探究活动（15分钟）探究新知：能否用“五点法”作出余弦函数y=cos x在（0,）上的图像？xy=cos x10-101yxo1-12π32π2π-π2π2ππ32π2π2π小结归纳（2分钟）问题：1、这节课你学到了什么知识？2、这节课你最大的体验是什么？3、这节课你学到了什么方法？学生活动：学生自由发表自己的见解。
布置任务（1分钟）1、书面任务：P14页，习题1.3，A组（2、3、4题）；2、实践任务：下节课上台讲解上述任务中的第3题。
教材练习5.6.2用“五点作图法”作出函数xy cos1-=在[]0,2π上的图像。
正弦函数、余弦函数的性质(全)
x
最小值：当
2 k
有最小值 y 时，
1
四、正弦、余弦函数的最值
y
1 -4 -3 -2 -
y sin x( x R)
2 3 4 5 6
o
-1
当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) max 1； 2 当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) min 1 . 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
5 3 3 5 … … [ ， ]、 [ ， ] 上时， 当 在区间 [ , ]、
x
2
2
2 2
2
2
曲线逐渐上升，sinα的值由 1增大到 1。
7 5 3 3 5 7 [ ， ]、 [ ， ]、 [ , ]„ 当x在区间 … [ , ]、 2 2 2 2 2 2 2 2
4 同理，使函数 y 3sin 2 x, x R 取最小值的x的集合是 4 函数 y 3sin 2 x, x R取最大值是3，最小值是-3。 {x | x
{x | x
k , k Z }
k , k Z }
五、探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5 2
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R 取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
最小值：当
2 k
有最小值 y 时，
1
四、正弦、余弦函数的最值
y
1 -4 -3 -2 -
y sin x( x R)
2 3 4 5 6
o
-1
当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) max 1； 2 当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) min 1 . 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
5 3 3 5 … … [ ， ]、 [ ， ] 上时， 当 在区间 [ , ]、
x
2
2
2 2
2
2
曲线逐渐上升，sinα的值由 1增大到 1。
7 5 3 3 5 7 [ ， ]、 [ ， ]、 [ , ]„ 当x在区间 … [ , ]、 2 2 2 2 2 2 2 2
4 同理，使函数 y 3sin 2 x, x R 取最小值的x的集合是 4 函数 y 3sin 2 x, x R取最大值是3，最小值是-3。 {x | x
{x | x
k , k Z }
k , k Z }
五、探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5 2
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R 取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
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y ＝ cosx 键是培养学
(x∈R)是偶函数
生的数形结
(6)单调性
合的能力，是
增区间为[（2k－1）π， 2kπ]（k∈Z），其值从－1 增至 1； 本堂课的中
减区间为[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z），其值从 1 减至－1。
y
y cos x
1
3
2
3 2
2
0
2
3 2
2
3 x
1
心内容。
正弦函数 y=sinx
总之：面对过去自己经历过的刻板、死气、严肃的灌输式教育教学模式，现 在更提倡多给学生一点爱和时间，让学生积极地参与到课堂活动中来；同时老师 要做有效课堂的引导者，不断优化教学策略，体现良好的示范作用。作为年轻教 师，我必须不断学习，不断改进和超越自己，才能赢得学生的喜爱和社会的认可。 这段时间的优质示范课课提供给了我非常好的打磨和展示自我的平台，我会以此 为契机，在平日的教学实践中不断思考和创新，争取早日脱胎换骨，成为一名成 熟并且优秀的数学教师！
、例 2、比较大小：cos 5 和 cos( 7 )
4
5
解：cos（- 7 ） cos 7
5
5
7 5 且余弦函数在，2 上是单调递增的
54
cos 7 cos 5 cos 5 cos( 7 )
5
4ห้องสมุดไป่ตู้
4
5
y 1-
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5 23
11 6
2
x
-1-
图象的最低点:
(3π ，1) ． 2
然后由正弦函数的周期是 2k π ,左、右平移，就能得到余弦函数的图像
【探究新知】
教师给出
1．如何画余弦函数 y＝cosx 的图像
问题后，指导
由诱导公式有：与正弦函数关系 ∵y＝cosx＝cos(－x)＝sin[ 学生讨论。本
2
－(－x)]＝sin(x＋ )
2
6
6
6
3 而 10 6
让学生
3 , 0,
10 6
sin 11 cos 13
5
6
余 弦 函 数 在 0, 是 减 函 数 ， cos 3 cos 即 讨论后，个别
10
6
学生总结回
答，教师板
【思考交流】
3、此提高练习题还有其他解法吗？
【当堂检测】
1．要得到函数 y sin x 的图像，可以将 y cos x 的图像（ ）
这节课中，我体会到了数学教学不但要传授学生课本知识，更要培养学生的 数学学习能力。在教学活动中，我不断地提出疑问，引导学生主动观察、主动思 考、主动探究、讨论交流；在积极的双边活动中解决疑难，获得知识；整个过程
贯穿“提出问题”——“讨论总结”——“发现规律”——“解决疑惑”四个坏节，注重 了学生思维的持续性和发展性，促进学生数学思维的形成，提高学生的数形结合 能力及转化和化归的能力综合素质，从而实现教学的终极目标。
当且仅当时 x＝2k＋π, kZ 时 ymin＝－1
2当 2k- <x<2k+ (kZ)时 y=cosx>0
2
2
当 2k+ <x<2k+ 3 (kZ)时 y=cosx<0
2
2
(4)周期性：y＝cosx 的最小正周期为 2
教师指导学 生由数形结 合总结出余 弦函数的性
(5)奇偶性
质。本环节关
cos( － x) ＝ cosx (x∈R)
在激烈的讨论中，同学们体会到了自主学习的快乐，也加深了对余弦函数性 质的理解。虽然同学们说得不是很准确、完整，但毕竟启发了他们的思维。培养 了学生数形结合的能力。当然只了解余弦函数的性质是不够的，还必须学会运用。 同学们对函数的奇偶性都非常熟悉，而对函数的单调性运用是一个难点。首先我 通过例一加强巩固了余弦函数图像的画法，及简单性质的巩固。其次通过例二的 讲解，如何运用余弦函数的单调性比较函数的大小。然后请同学们说出我在讲解 这一道题目的过程中运用了怎样的步骤。有同学说因为他们在同一个单调区间， 直接看图象就行，有同学说在计算器中直接就可以比较大小。我对他们的想法都 给予了肯定。接着我马上提出这样一个问题：假如两个同名的函数不在同一个区 间怎么办？（条件是不能运用计算器）请同学们结合以前学过的知识解决这一问 题。经过一番讨论，有同学说利用诱导公式将他们变到同一单调区间。我及时给 这位同学一个赞赏的微笑，肯定他的答案。最后通过能力提升题目练习而提高本 节课的理论知识的应用——学生的数形结合能力及转化和化归的能力。
作业：P33 3 、4、5
书。本题考察 学生利用诱 导公式的能 力。
让学生 讨论。
让学生 练习后回答。
让学生 小结后教师 总结。
五、教学反思 《余弦函数的图象和性质》一节是高中数学必修四第一章第六节教学的内容，
这一节，其主要内容是通过观察余弦曲线。研究余弦函数性质中最基本的定义域、 值域、奇偶性及单调性。通过对这一节课的学习，既加深学生对余弦函数图象的 认识，又加强了学生对三角函数概念的理解，还为后面其它性质的学习作好准备，
2、在重点知识的强调上稍快，给学生的思考和发挥的空间不足。比如开头 讲函数的图象时，给学生寻找关键点的时间不够长；应当多让他们去领悟“五点 作图法”的思维过程，而且可以用小组讨论的方法调动他们去想问题，这样才能 使他们对知识的理解更为深刻。
3、时间安排上不够精当。在讲解理论知识时用的时间显得长了点。在讲解 例题时用的时间较短。应当反过来，这样学生才能有充分的独立思考时间；同时 也可避免“能力提升练习”讲解时间不够和拖堂两分钟的遗憾。
[2k- , 2k],增 [2k, π+2k],减
学生讨论 总结后，让个 别学生回答。 教师完成表 格。
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
T=2π
T=2π
对称轴是直线 x= π/2+kπ 对称性
对称中心是点(kπ,0)
【知识拓展】
1、余弦函数 y=cosx 有对称性吗？
学生自
对称轴方程 x= k ( k∈Z)
环节旨在提
结论：（1）y＝cosx, xR 与函数 y＝sin(x＋ ) xR 的图象 高 学 生 观 察
2
相同
图形的能力。
（2）将 y＝sinx 的图象向左平移 即得 y＝cosx 的图象
2
【思考交流】
1、类比学习正弦函数图象的方法，在函数 y＝cosx x[0,2]的
图像上，那些点起着关键作用？并利用找到的关键点画出函数 y＝
cosx 在 x[0,2]上的简图
注：学生自己练习画图像 y＝cosx x[0,2]
学生自己
让学生回答得出的结论是：y＝cosx x[0,2]的五个点 练习画函数
关键是(0,1) ( ,0) (,-1) ( 3 ,0) (2,1)
2
2
y=cosx
y
1
o 2 －1
2
3 2
2
x
-
x[0,2]的 图像。关键培 养学生动手 画图的能力。
主讨论总结
对称中心为 ( k + /2 , 0 ) ( k∈Z)
后回答。旨在
【例题讲解】
培养数形结
例 1、请画出函数 y＝cosx－1 的简图，并根据图像讨论函数的性质。 要求：（1）列表 （2）描点 （3）用平滑曲线连接 （4）学生自己完成后，再总结其性质。
合能力和总 结问题的能 力。
给学生 时间练习后，
2、观察函数 y=cosx,x∈R 的图像，总结余弦函数的的性质
观察上图可以得到余弦函数 y＝cosx 有以下性质：（学生回答教师讲
解并完成表格）
（1）定义域：y=cosx 的定义域为 R
（2）值域： y=cosx 的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性）
(3)最值：1对于 y＝cosx 当且仅当 x＝2k,kZ 时 ymax＝1
四、教学过程
【复习回顾】
（1）五点法作正弦函数的图像 y ＝ sin x ，xR
教师提问，
让学生回答；
y
1-
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π
π
6
7 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
x
-1 -
图像的最高点: 与 x 轴的交点:
( π ，1)； 2
(0，0)， (π，0)， (2 π，0)；
4、板书需要提高。教师的魅力不仅仅是借助口头语言展示出来，摆在学生 面前的板书也是重要的一环。优秀的教师，粉笔字潇洒大方，作图时一气呵成， 让学生赏心悦目，叹为观止。而我虽然经过十年多的锻炼，板书设计上工整了许 多，但字体不够美观，粉笔字书写有时学生认不得。作图时擦擦改改，这些方面 还需多下功夫去练习。
教师讲解，并 由学生回答 性质。本题考 察学生五点 作图的能力。
先让两 个学生板演 后，教师指导 讲解。本题是 让学生掌握 函数单调性 的应用。
【能力提升】
比较大小： sin 11 和 cos13
5
6
解：
sin 11
sin(2 ) sin
cos(
) cos 3
5
5
5
25
10
又 cos 13 cos(2 ) cos
但这节课也有不少缺点，由于内容繁琐过多，学生不一定能够接受全部所学 知识，并没有达到最好的效果，主要存在以下几个方面的不足，需要我认真反思， 并在今后不断努力改进：
1、教学语言还需要不断锤炼，普通话不够准确。数学这一门严谨的学科决 定了老师的语言必须精确到位，不能含糊其辞，因为它对学生的逻辑思维起着潜 移默化的影响。但我在上本节课时有些地方太罗嗦，普通话有时说的太别扭。