余弦函数的图像及性质

§6
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
(2)要使函数有意义，则有2cos x－ 2>0， 2 ∴cos x> 2 ，故所求定义域为
π π x2kπ－ <x<2kπ＋ ，k∈Z 4 4 .
【自主解答】
[再练一题] 2．求下列函数的定义域． (1)y＝ 3 1 － cos x ； (2) y ＝ log (2cos x－ 2)． 2 2
【解】
3 (1)要使函数有意义，则有 2 －cos x≥0，
3 π 11π ∴cos x≤ 2 ，可得2kπ＋6≤x≤2kπ＋ 6 ，k∈Z. 故所求函数的定义域为
如图所示：
求下列函数的定义域． (1)f(x)＝ 2cos x＋1； (2)f(x)＝log2(－1＋2cos x)＋ 9－x2.
【精彩点拨】 写出使得函数有意义时所满足的条件，结合三角函数的定义
域，求若干个不等式的交集即可．
【自主解答】 (1)要使y＝ 2cos x＋1 有意义，则必须满足2cos x＋1≥0，即 1 cos x≥－2. 结合余弦函数的图像得y＝ 2cos x＋1的定义域为
1．利用图像变换作余弦函数的图像
π 余弦函数y＝cos x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin x向 左 平移 2 个单位
长度得到．如图1－6－1是余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
图1－6－1
2．利用五点法作余弦函数的图像 画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y＝cos x(x∈[0,2π])的图像上有 五个关键点，为 (0,1) ，
【解析】 (1)(3)正确；余弦函数y＝cos
π x＝sin 2＋x ，即可看作是y＝sin
x向
π 左平移 2 个单位得到的，因而(2)错；正、余弦函数有相同的周期(都是2π)，相同的 最大值(都是1)，相同的最小值(都是－1)，也都有单调区间，但单调区间不同，因 而(4)错．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
π ，0 2 ，
(π,－1) ，
3 π，0 2 ，
(2π，1) ，可利用此五
点画出余弦函数y＝cos x，x∈R的简图(如图1－6－2)．
图1－6－2
3．余弦函数的性质 图像 定义域 R 值域 [－1,1] 最大值， 当 x＝2kπ(k∈Z) 时，ymax＝1； 最小值 当 x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，ymin＝－1 周期性 周期函数，T＝ 2π 在 [2kπ－π，2kπ](k∈Z) 上是增加的； 单调性 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 上是减少的 偶函数 ，图像关于 y轴 对称 奇偶性
[小组合作型]
用“五点法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
【精彩点拨】 利用“五点法”： 列表―→描点―→连线
【自主解答】 列表： x cos x 0 π 2 π 3π 2π 2 0 1 1 0
1 0 －1 2
1－cos x 0 1 描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
作函数y＝acos x＋b的图像的步骤 π 3π 1．列表：由x＝0，2，π， 2 ，2π时，cos x＝1,0，－1，0,1，求出y值． 2．描点：在同一坐标系中描五个关键点． 3．连线：用平滑曲线．
x2≤9的解集为{x|－3≤x≤3}，
π π 取交集得 x －3<x<3 .
π π ∴原函数的定义域为－3，3.
1．求三角函数的定义域时，一般要解三角不等式，其主要方法是借助于三 角函数的图像，关键有两点：(1)选取一个合适的周期；(2)确定边界值． 2．当函数由几部分构成时，应取使每一部分有意义的x取值范围的公共范 围，即取它们的交集． 3．当三角不等式与代数不等式在一起时，在取交集时，应注意对三角不等 式解集中的k进行讨论．
[再练一题] 1 1．作出函数y＝1－3cos x在[－2π，2π]上的图像． 【解】 ①列表：
x y＝cos x π 0 2 π 3π 2π 2 0 1 1 2 3
1 0 －1 4 3
1 2 1 y＝1－3cos x 3
1 ②作出y＝1－ 3 cos x在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴 1 对称的图像，从而得出y＝1－3cos x在x∈[－2π，2π]上的图像．