余弦函数的图像和性质
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余弦函数和正切函数的图像及性质课件
π 2π 3π 4π 5π 6π
-4π
-3π
-2π
-π
o-1Biblioteka 余弦函数的单调性y
1
-3π
5π 2
-2π
3π 2
-π
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
3π
7π 2
4π
x
y=cosx (x∈R) ∈ π π ∈ 增区间为 [ π +2kπ, 2kπ],k∈Z π π ∈ 减区间为 [2kπ, 2kπ + π], k∈Z ， 其值从-1增至 其值从 增至1 增至 减至-1 其值从 1减至 减至
π
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶
π
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] 上都是减函数 。 (kπ+ π ,0) 2
对称中心 对称轴
π
2
x = kπ
正切函数的图像和性质
回忆： 回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的? y = sin x 图像的?
一、y=sinx 与 y=cosx 的性质
函 数 y= sinx 性质
(k∈z) ∈
y= cosx x∈ R [-1,1]
(k∈z) ∈
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合 周期性 奇偶性 单调性
x∈ R [-1,1] x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2 周期为T=2π 奇 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
-4π
-3π
-2π
-π
o-1Biblioteka 余弦函数的单调性y
1
-3π
5π 2
-2π
3π 2
-π
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
3π
7π 2
4π
x
y=cosx (x∈R) ∈ π π ∈ 增区间为 [ π +2kπ, 2kπ],k∈Z π π ∈ 减区间为 [2kπ, 2kπ + π], k∈Z ， 其值从-1增至 其值从 增至1 增至 减至-1 其值从 1减至 减至
π
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶
π
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] 上都是减函数 。 (kπ+ π ,0) 2
对称中心 对称轴
π
2
x = kπ
正切函数的图像和性质
回忆： 回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的? y = sin x 图像的?
一、y=sinx 与 y=cosx 的性质
函 数 y= sinx 性质
(k∈z) ∈
y= cosx x∈ R [-1,1]
(k∈z) ∈
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合 周期性 奇偶性 单调性
x∈ R [-1,1] x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2 周期为T=2π 奇 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
正弦函数和余弦函数的图像与性质
x 10, 3 2 , 0, 2 , 3
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
余弦函数图像与性质
-
x
2 由此可知, 由此可知,π,4π,,2π,4π,2kπ(k ∈Z,k ≠0)
都是这两个函数的周期. 都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数 f (x) 如果在 , 它所有的周期中存在一个最小的 正数, 正数,那么这个最小的正数就叫 的最小正周期. 做 f (x) 的最小正周期.
根据上述定义,可知: 根据上述定义,可知:
正弦, 正弦,余弦函数的奇偶性
正弦, 正弦,余弦函数的奇偶性
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
sin(-x)= - sinx (x∈R) ∈
y=sinx (x∈R) 是奇函数 ∈ 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (x∈R) ∈
y
1 -4π -3π -2π -π
π
2 3π 2
o -1
π
2π
x
y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π
�
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗? ∈ 是奇函数吗? 函数 是奇函数吗
正弦,余弦函数的奇偶性, 正弦,余弦函数的奇偶性,单调性
y=sinx (x∈R) 图象关于原点对称 ∈ 图象关于原点 原点对称
y
1 -3π
5π 2
-2π
3π 2
-π
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
0
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
当x= 2kπ + π 时,函数值y取得最小值-1
第1章 §6 6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质
小 结
·
探
提
新 知
因为 y＝cos x＝sin x＋π2，所π 以余弦函数 y＝cos x 的图像可以通
素 养
合 作
过将正弦曲线 y＝sin x 向左__平移_2_个单位长度得到．如图是余弦函数
课
探
时
究 y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
分 层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
5
(2)利用五点法作余弦函数的图像
D [f(x)＝sin x－π2＝－sin π2－x＝－cos x，由f(x)＝cos x的性
作 业
·
质可判断A、B、C均正确．]
返
首
页
14
·
自 主 预
4．已知函数y＝－
3 4
cos
课
x，x∈[0，2π]，则其递增区间为 堂 小
习
结
·
探 ________．
提
新
素
知
[0，π] [当x∈[0，2π]时，函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，在 养
究
分
层
释
作
疑
业
难
由上图可得sin x≥cos x在[0，2π]上的解集为π4，54π.
返 首 页
·
27
·
余弦函数的单调性及应用
自
课
主 预 习
【例3】 (1)求函数y＝1－12cos x的单调区间；
堂 小 结
·
探
提
新 知
合 作 探
([2解)比] 较(1c)o∵s －－12π7<0与，cos 187π的大小．
提
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)
4π
6π
正弦函数y=sinx的图 象
-
-
-
x
-
每隔2π ，图象重复出现
− 6π − 4π
-
y
即对任意x，y = sin x + 2π） sin x （ =
1-1-
− 2π
-
o
2π
4π
6π
如果令f（x）＝ 如果令 （ ）＝sinx，则 f（x＋2π）＝ （x) ， （ ＋ ）＝f（ ）＝ ）＝ 抽象 f (x +T) = f(x)
y
2
+ kπ，k ∈ Z
（kπ，0）,k∈Z ， ） ∈
余 弦函 数 y=cosx的 图象 的
1-
− 4π
-
− 2π
-
o
- 1心： 无数个 对称中心：
-
-
x
0 k （ + kπ， ）（ ∈ z） 2
π
巩固运用
例4、判断下列函数的奇偶 性 5 （1） f（ x） 2sin （2x＋ π）； = 2
-
-
-
-
x
-
正弦余弦函数对称性
正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数的图象和性质
y
正弦 函数 y=sinx的 图象 的
1-
− 6π
对称轴： 无数条 对称轴：
x=
− 6π
-
对称轴： 无数条 对称轴： x=kπ， x=kπ，k∈Z
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π
4π
6π
x
π
对称中心： 无数个 对称中心：
答： T =
2π
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
余弦函数的图象与性质(中华版)
余弦函数，正切函数的图象和性质
余弦函数的图象和性质
4月7日 周四
歌song中华
余弦函数的图象和性质 你想怎样画余弦函数的图象？
y
1
-
y sin x
2
- Biblioteka - 4 2
-
o
-
-1
4
-
6
-
y cos x
几何，五点，变换
y cos x sin[ ( x)] sin( x ) 2 2
(k∈z)
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合
x∈ R [-1,1]
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
知识点：_________________ 智慧群：_________________ _________________ _________________ 经典错：_________________
其他感悟：_______________ Good!
x
l
图象 1.请同学们填表
y
1
x
-1
定义域 值域 最值 周期 单调性 奇偶性 对称性 中心对称：对称中心 轴对称：对称轴
余弦函数的图象和性质
4月7日 周四
歌song中华
余弦函数的图象和性质 你想怎样画余弦函数的图象？
y
1
-
y sin x
2
- Biblioteka - 4 2
-
o
-
-1
4
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6
-
y cos x
几何，五点，变换
y cos x sin[ ( x)] sin( x ) 2 2
(k∈z)
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合
x∈ R [-1,1]
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
知识点：_________________ 智慧群：_________________ _________________ _________________ 经典错：_________________
其他感悟：_______________ Good!
x
l
图象 1.请同学们填表
y
1
x
-1
定义域 值域 最值 周期 单调性 奇偶性 对称性 中心对称：对称中心 轴对称：对称轴
余弦函数图像与性质
f ( x) cos x 2 cos x 2 f ( x), x R
y cos x 2是偶函数
课堂练习2：判断下列函数的奇偶性
(2) y sin x cos x
（ ）x R, 定义域关于原点对称 1
把函数y sin x cos x记为 f ( x) sin x cos x
y
1
-4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
函数y=cosx,x∈R有哪些性质？
y cos x
1 y
3
2 3
2
2
0
2
1
3 2
2
3
x
余弦函数的定义域，值域？
y
1 -3
5 2
y=1
2
-2
3 2
-
2
o
-1
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=-1
余弦函数的最值？
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
当 x 2k (k Z )时，函数值y取最大值1 当 x 2k (k Z ) 时，函数值y取最小 值-1
余弦函数的周期？
y
1 -3
增区间2k ,2k k Z
减区间2k ,2k k Z
对称轴： x k , k Z 对称中心： , 0) k Z (k
y cos x 2是偶函数
课堂练习2：判断下列函数的奇偶性
(2) y sin x cos x
（ ）x R, 定义域关于原点对称 1
把函数y sin x cos x记为 f ( x) sin x cos x
y
1
-4
-3
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o
-1
2
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x
函数y=cosx,x∈R有哪些性质？
y cos x
1 y
3
2 3
2
2
0
2
1
3 2
2
3
x
余弦函数的定义域，值域？
y
1 -3
5 2
y=1
2
-2
3 2
-
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o
-1
3 2
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x
3
7 2
4
y=-1
余弦函数的最值？
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
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x
3
7 2
4
当 x 2k (k Z )时，函数值y取最大值1 当 x 2k (k Z ) 时，函数值y取最小 值-1
余弦函数的周期？
y
1 -3
增区间2k ,2k k Z
减区间2k ,2k k Z
对称轴： x k , k Z 对称中心： , 0) k Z (k
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(3)余弦曲线：y=cos x(x∈［0,2π ］)的图像向左、向右平行 2π 个单位)得到余弦函数y=cos x(x∈R)的图 移动(每次平移____ 像,此图像叫作余弦曲线.
2.余弦函数的性质 函数 性质 余弦函数y=cos x
图像
定义域 值域
R ［-1,1］
函数
性质 最值 周期性 奇偶性 单调性
【微思考】
(1)由y=sin x，x∈R的图像得到y=cos x,x∈R的图像，平移的
方法唯一吗？
提示：可向左平移也可向右平移，方法不唯一.
(2)形如y=Acos(ω x+φ)(A＞0,x∈R)的值域还是［-1,1］吗？ 提示：不一定是.值域是［-A,A］.
【即时练】
下列关于函数y=-3cos x-1的说法错误的是(
3.余弦函数的最值
(1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1,解题时常会用到.
(2)对有些函数，其最值不一定就是1或-1，要依赖函数的定义
域来确定.
(3)形如y=Acos(ω x+φ)(A＞0,ω ＞0)的函数求最值时，通常 利用“整体代换”，即令ω x+φ=z,将函数转化为y=Acos z的 形式求最值.
取值要完整.
【自主解答】(1)选C.当φ=0或π时，f(x)为奇函数，当φ=
时,为非奇非偶函数.只有当φ= 时符合题意,故选C. 4 2 3 (2)因为 sin(2x ) sin[ (2x )] 2 2 =-sin(2x+ )=-cos 2x，所以f(-x)=-cos(-2x) 2
§6 余弦函数的图像与性质
问题 引航
1.如何得到余弦函数的图像？什么是余弦曲线？ 2.余弦函数有哪些性质？如何利用这些性质解题？
1.余弦函数图像的画法
(1)平移法：
左
2
(2)五点法： ①五个关键点： x cos x 0 1 __
2
π -1 ___
3 2
2π 1 __
0 __
0 __
②函数y=cos x，x∈［0,2π ］的简图：
余弦函数y=cos x 当x=2kπ (k∈Z)时，ymax=1 当x=(2k+1)π (k∈Z)时，ymin=-1
2π 是周期函数，最小正周期为____
是偶函数，图像关于y轴对称 增加 的 在［(2k-1)π ,2kπ ］(k∈Z)上是_____ 减少 的 在［2kπ ,(2k+1)π ］(k∈Z)上是_____
A.最小值为-4 B.是偶函数 C.当x=kπ ，k∈Z时，函数取最大值 D.是周期函数，最小正周期为2π
)
【解析】选C.当x=kπ,k∈Z时，y=cos x取到最大值1，而函数 y=-3cos x-1取最小值.
【题型示范】 类型一 “五点法”画余弦函数的图像
【典例1】 (1)利用“五点法”作余弦函数的图像时，第三个关键点的坐 标为( ) B. ( ,0)
sin 2x+cos x， 求f(x).
【解题探究】1.f(x)为R上的偶函数应具备什么条件？ 2.利用诱导公式化简sin(2x+ 3 )等于什么？
2
3.题(3)中已知函数f(x)为奇函数，求f(x)的一般原则是什么？ 【探究提示】1.应满足f(-x)=f(x).
2.
3 3.先求 x=0 ＜ 时的解析式，对定义域内的 sin(2x 时的解析式，再求 ) sin[ (2x )]x 0 sin(2x ) cos 2x. 2 2 2
=-cos 2x=f(x),即f(x)为偶函数. 答案：偶函数
(3)因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(-x)=-f(x),所以f(0)=-f(0)，f(0)=0, 当x＜0时，-x＞0, 所以f(x)=-f(-x)=-［sin 2(-x)+cos(-x)］ =sin 2x-cos x，
类型二
余弦函数的奇偶性及应用
【典例2】 (1)(2013·佛山高一检测)函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π )是
R上的偶函数，则φ的值为(
A.0 B.
4
)
D.π
2
C.
2
(2)(2014·绵阳高一检测)函数f(x)=sin(2x+ 3 )的奇偶性为
_________.
(3)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=
( 3 ， 0) ，(2π，1). 2
2
2.因为cos x∈［-1，1］，所以1+cos x∈［0，2］,即最大 值为2，最小值为0.
【自主解答】(1)选C.由五个点的坐标知第三个关键点为 (π,-1). (2)列表如下： x y=cos x y=1+cos x 0 1 2
2
π -1 0
3 2
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y=cos x是偶函数，图像关于y轴对称，对称轴有 无数多条.( )
(2)余弦函数y=cos x的图像是轴对称图形，也是中心对称图 形.( )
(3)在区间［0，2π ］上，函数y=cos x仅在x=0时取得最大值
1.(
)
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数y=｜cos x｜的单调增区间是________，单调减区间是 ________，最小正周期是________. (2)函数y=2cos x-1的值域是________. (3)函数y=f(x)=-cos x的奇偶性为________.
3 3
所以函数在[-1, 2 ]上是减少的，在[ 2 ,1]上是增加的，
3 3
当t= 2 时,y有最小值;当t=-1时,y有最大值，
3
所以ymax=3+4+1=8.
2 2 1 1 y min 3( ) 2 . 3 3 3 3
所以函数的最大值为8，最小值为- 1 .
3
【延伸探究】若将本题(2)增加条件x∈ [ , 2 ]， 求最大值和
3 3
最小值. 【解析】令t=cos x, 则y= 3(t 2 ) 2 1 .
3 3 因为x∈ [ , 2 ], 3 3 1 1 所以t∈ [ , ]. 2 2 1 1 函数在区间 [ , ] 上是减少的. 2 2 15 所以当t=- 1 即cos x=- 1 时,ymax= ， 4 2 2 此时x= 2 .当t= 1 即x= 时，ymin=- 1 . 2 3 4 3
【解析】列表可得：
1 x 2 3
0
2 3
x
1 y cos( x ) 2 3
2 3
π
4 3
3 2 7 3
2π
10 3
1
0
-1
0
1
4 7 10 即五个点分别为：( 2 ，， 1) ( ,0)， ( ， 1)， ( ,0)， ( ,1). 3 3 3 3 3 4 7 10 答案： ( 2 ，， 1) ( ,0)， ( ， 1)， ( ,0)， ( ,1) 3 3 3 3 3
类型三
余弦函数的单调性与最值
【典例3】 (1)函数y=cos 2x的一个增区间是(
A.[ , ] 4 4 3 C.[ , ] 4 4 B.[0, ] 2 D.[ , ] 2
)
(2)求函数y=3cos2x-4cos x+1的最大值和函数是哪种？ 2.题(2)中若将cos x变为t，则函数变为什么？ 【探究提示】1.涉及的函数是余弦函数. 2.函数变为y=3t2-4t+1.
(2)√
(3)×
2.(1)y=cos x的图像在x轴上方的不动，将下方部分对称地翻
到x轴上方，即得到函数y=｜cos x｜的图像，如图所示，
由图像可知，函数的最小正周期为π，又因为在 [ , ] 上， 函数的增区间是 [ ,0]， 减区间是 [0, ]. 而函数的周期是
2
2 2 2
2 D. ( 3 ,0) 2
A.(0，1) C.(π ,-1)
(2)用“五点法”作出y=1+cos x(0≤x≤2π )的简图.
【解题探究】1.对余弦函数而言，五点法作图的五个点的坐 标分别是什么？ 2.题(2)中函数y=1+cos x的最大值与最小值分别等于什么？ 【探究提示】1.五个点分别为(0，1)，( ， 0) ， (π，-1)，
【要点探究】 知 识 点 余弦函数的图像与性质
1.余弦函数性质与图像的关系 (1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法. (2)余弦函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析式或 单位圆推导才能下结论.
2.对余弦函数单调性的三点说明 (1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间. (2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性)，是求与之相 关的值域(或最值)的关键，通常借助其求值域(或最值). (3)确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的 判断方法.
【方法技巧】求函数最大值、最小值的方法 (1)直接法：根据函数值域的定义,由自变量的取值范围求出函 数值的取值范围. (2)单调性法：利用函数的单调性. (3)图像法：利用函数的图像,转化为求函数图像上最高点和最 低点的纵坐标的问题. (4)换元法:转化为一次函数、二次函数等函数问题.
π
3 2
2π
y=cos x
y=1-cos x
1
0
0
1
-1
2
0
1
1
0
描点连线得y=1-cos x的图像(如图所示).
【补偿训练】“五点法”画y=cos ( 1 x ) 时，所取的五个点
2 3
为_______. 【解题指南】把 1 x 作为一个整体看作是y=cos x中的x