余弦函数的图像与性质
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1.4.1正弦余弦函数图像与性质
即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y sin x (x [0, 2 ]) 利用图象平移
y sin x, x R
y 1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-1
3
2
x
2
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
二、余弦函数y=cosx的图象
y
余弦曲线
1
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3 ( ,0) 2
,0)( 2
2,0)
x
( 2
((((((,,0,00),)0,),(1003))2))(32,(-32,(132,)1((3,)3(121(123(13)23))2,)2,1-,1-,),--)
,0) ( 2
,0)( 2 ,0)( 2 (,02) (,(0,202)) ,0)
思考：观察正弦曲线、余弦曲线，你能从图像上发现它们的性质吗？ （如定义域、值域、单调性？）
正弦、余弦函数的图象
课后作业：用“五点法”作下面函数的图象。 1、y=cos|x|, x∈ [ 0,2π] 2、y=sin|x|, x ∈[ 0,2π] 3、y=-sinx, x ∈[ 0,2π]
正弦函数、余弦函数的图象
X
一、正弦函数y=sinx的图象
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描点：用光滑曲线 将这些正弦线的
2
32
5
6
O1
7
6
4
3
3
2
y
余弦函数的图像及性质
§6
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
正弦函数、余弦函数图像与性质
x
0
sinx 0
1 1+sinx y
2
1
o
2
-1
2
1 2
2
3
2
2
0
-1
0
1
0
1
步骤：
y=1+sinx，x[0, 2]
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2 y=sinx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
2 ,1)
(
( 2 ,1)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3
(
三角函数余弦函数的性质与图像
3
周期性现象描述
余弦函数可以描述周期性现象，如交流电的电 压和电流变化、四季更替等。
利用余弦函数进行信号处理
滤波和去噪
01
通过使用余弦函数进行滤波，可以去除信号中的噪声，提高信
号质量。
信号调制
02
在通信中，余弦函数可以用来进行信号调制，实现信号的传输
和接收。
谱分析
03
在信号处理中，余弦函数可以用来进行谱分析，提取信号中的
余弦函数的数学表达式为cosθ=b/c，其中θ是直角三角形中 的一个锐角，b是较长的直角边，c是斜边。
余弦函数的基本性质
周期性
振幅
余弦函数是周期函数，每隔2π（圆周率 π=3.1415926……）的区间内函数值重复。
余弦函数的振幅为1。
相位
当θ=0时，余弦函数的相位为0。
极值点
余弦函数在θ=π/2+kπ（k为整数）时取得 最大值1，在θ=3π/2+kπ（k为整数）时取 得最小值-1。
理解余弦函数的定义、性质和图像 掌握余弦函数图像的作图方法和技巧 能够应用余弦函数解决实际问题
教学内容
余弦函数的定义与性质
余弦函数的图像作图方法
余弦函数的应用举例
相关数学工具和软件介绍
02
余弦函数的定义与基本性质
余弦函数的定义
余弦函数（cosine function）也被称为余弦定理或余弦函数 公式，是三角函数的一种，表示直角三角形中一个锐角的邻 边与斜边的比值。
THANKS
余弦函数的图像
振幅
余弦函数的振幅是1，即函数的取值范围是 [-1,1]。
相位
余弦函数图像的相位与自变量x的起始位置 有关。
周期
余弦函数图像与性质
-
x
2 由此可知, 由此可知,π,4π,,2π,4π,2kπ(k ∈Z,k ≠0)
都是这两个函数的周期. 都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数 f (x) 如果在 , 它所有的周期中存在一个最小的 正数, 正数,那么这个最小的正数就叫 的最小正周期. 做 f (x) 的最小正周期.
根据上述定义,可知: 根据上述定义,可知:
正弦, 正弦,余弦函数的奇偶性
正弦, 正弦,余弦函数的奇偶性
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
sin(-x)= - sinx (x∈R) ∈
y=sinx (x∈R) 是奇函数 ∈ 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (x∈R) ∈
y
1 -4π -3π -2π -π
π
2 3π 2
o -1
π
2π
x
y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π
�
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗? ∈ 是奇函数吗? 函数 是奇函数吗
正弦,余弦函数的奇偶性, 正弦,余弦函数的奇偶性,单调性
y=sinx (x∈R) 图象关于原点对称 ∈ 图象关于原点 原点对称
y
1 -3π
5π 2
-2π
3π 2
-π
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
0
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
当x= 2kπ + π 时,函数值y取得最小值-1
【高职数学课件】余弦函数的图像与性质
\ cos 5 < cos 7
4
5
(2) c os( 23 ) c os 23 c os 3 ,
5
5
5
c os( 17 ) c os17 c os ,
4
4
4
又 0 < < 3 < , 且函数y c os x在[0, ]上是减函数，
45
\ c os 3 < c os .
5
4
即c os( 23 ) < c os( 17 )
3.知识理解方面： (1)、用五点法做余弦函数图像时五个关键点的确
定； (2)、函数定义域一定要写成集合或区间的形式； (3)、单调性的确定要注意说法步骤。
[-1，1]
问题五：单调性
观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些
区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
2
在 [ 2k 上2都k是单 调递增；
在 [2k 2k上都是单调 递减.
问题六：最值
y y=cosx
[2k，(2k 1)]上是减函数
当x
2k
2
时，ymax
1
当x
2k
3
2
时，ymin
1
例题讲解
例1 求下列函数的最大值、最小值和周期T
（1）y=5cosx （2）y 8cos(2x )
4
解 （1） ymax 5, ymin 5,T 2
（2） ymax 8, ymin 8,T
2
2
当堂检测
余弦函数图像与性质
f ( x) cos x 2 cos x 2 f ( x), x R
y cos x 2是偶函数
课堂练习2：判断下列函数的奇偶性
(2) y sin x cos x
（ ）x R, 定义域关于原点对称 1
把函数y sin x cos x记为 f ( x) sin x cos x
y
1
-4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
函数y=cosx,x∈R有哪些性质？
y cos x
1 y
3
2 3
2
2
0
2
1
3 2
2
3
x
余弦函数的定义域，值域？
y
1 -3
5 2
y=1
2
-2
3 2
-
2
o
-1
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=-1
余弦函数的最值？
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
当 x 2k (k Z )时，函数值y取最大值1 当 x 2k (k Z ) 时，函数值y取最小 值-1
余弦函数的周期？
y
1 -3
增区间2k ,2k k Z
减区间2k ,2k k Z
对称轴： x k , k Z 对称中心： , 0) k Z (k
y cos x 2是偶函数
课堂练习2：判断下列函数的奇偶性
(2) y sin x cos x
（ ）x R, 定义域关于原点对称 1
把函数y sin x cos x记为 f ( x) sin x cos x
y
1
-4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
函数y=cosx,x∈R有哪些性质？
y cos x
1 y
3
2 3
2
2
0
2
1
3 2
2
3
x
余弦函数的定义域，值域？
y
1 -3
5 2
y=1
2
-2
3 2
-
2
o
-1
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=-1
余弦函数的最值？
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
当 x 2k (k Z )时，函数值y取最大值1 当 x 2k (k Z ) 时，函数值y取最小 值-1
余弦函数的周期？
y
1 -3
增区间2k ,2k k Z
减区间2k ,2k k Z
对称轴： x k , k Z 对称中心： , 0) k Z (k
余弦函数的图像与性质 教案
余弦函数的图像与性质一、教学目标1．知识目标（1）理解用“五点法”画余弦函数的简图的方法；（2）了解余弦函数的图像和性质．2．能力目标（1）会用“五点法”作出余弦函数的简图；（2）会利用数轴等工具进行集合的补集运算，培养学生数形结合的思想。
3.情感目标（1）通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力（2）培养学生的应用意识，在课堂中贯穿数学与生活、专业的联系，让学生感受到数学就在身边，激发学生学习的兴趣，树立学生学习的信心。
二、教学重、难点教学重点：余弦函数的图像与性质；教学难点：余弦函数性质的应用。
三、教学方法1.启发引导式教学方法；2.情境式教学方法；四：思政元素1.画图环节，润物细无声的渗透精益求精的工匠精神；2.余弦曲线关于y轴对称，蕴含对称美，而上升和下降的趋势延伸到人生的起伏经历中，渗透挫折中要有奋起的勇气。
五、教具准备制作多媒体课件六、授课类型新授课七、课时安排一课时八、教学过程教学环节教学内容设计问题导入问题探究：看图回答下列问题：1、是什么？怎么画？2、怎么得到在R上图像？yx o1-12π32π2π-π2π探究活动（15分钟）探究新知：能否用“五点法”作出余弦函数y=cos x在（0,）上的图像？xy=cos x10-101yxo1-12π32π2π-π2π2ππ32π2π2π小结归纳（2分钟）问题：1、这节课你学到了什么知识？2、这节课你最大的体验是什么？3、这节课你学到了什么方法？学生活动：学生自由发表自己的见解。
布置任务（1分钟）1、书面任务：P14页，习题1.3，A组（2、3、4题）；2、实践任务：下节课上台讲解上述任务中的第3题。
教材练习5.6.2用“五点作图法”作出函数xy cos1-=在[]0,2π上的图像。
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我
时间；
优
秀
。
当堂检测
求使函数 y＝2＋cosx 取最大值、最小值的 x 的 集合，并求出这个函数的最大值、最小值和周期 T .
小结：
1. 余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、 单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来 的，要求熟练掌握.
2.余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点，简 单复合函数的性质应转化为基本函数处理.
导学案中存在的问题：
态度方面：注意卷面的整洁； 知识理解方面： 1、用五点法做余弦函数图像时是的五个关键点的确定； 2、函数定义域一定要写成集合或区间的形式； 3、合作探究2中的单调性的确定要注意说法步骤。
问题一：得到余弦函数的图像
由诱导公式 y cos x si得n( ：x )
目 标 ，
问题导学、 基础自测
合作探究1 （1）
口头展示 前黑板
1．目标：通过你的
我
展示同学们思路更
成
加清晰。
功
2．要求：①展示
；
人上台迅速，书写
超
合作探究1 （2）
合作探究2
合作探究3
后黑板 后黑板 后黑板
认真快速规范，步
越
骤清晰简洁。②非
目
展示人讨论完毕，
标
总结整理完善，并 迅速浏览展示内容， 补充、质疑。
x 3 2
2
图象的最高点(0,1)(2 ,1)
y cos x, x0,2
图象与x轴的交点(
2
,0)(
3 2
,0)
图象的最低点( ,1)
问题三：余弦曲线
函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线，怎样 画出余弦曲线，余弦曲线的分布有什么特点？
y
1
2
问题六：最值
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
2
由余弦函数的单调性及图像可知
当 x 2时k，余弦函数取得最大值1；
当 x (2k 时1，)余弦函数取得最小值-1。
问题七：奇偶性
由公式 cos(－x)＝cos x
学习目标
1、知识与技能：了解平移法，掌握五点法做余弦 函数图像，利用余弦函数的图像进一步研究余 弦函数的性质，并解决简单余弦函数问题；
2、过程与方法：类比正弦函数性质获得余弦函数 的性质，体会类比的思想方法；
3、情感态度与价值观：通过类比知识迁移的学习 方法，提高探究新知的能力，了解正弦函数、 余弦函数的区别与内在联系。
观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些
区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
2
在 [ 2k上2都k是单 调递增；
在 [2k 2k上都是单调 递减.
2
2
余弦曲线关于点 (kp + p2和, 0直) 线x=kπ对称.
1、讨论目标： 每位同学都能对每个问题达成较统一的解题思路； 每一个同学能总结出各类题型的规律。
2、讨论题目及时间： 请同学们用约2分钟的时间对照余弦函数具有什么性质；用2
分钟时间余弦函数再求单调性时的方法步骤是？在用2分钟时 间讨论用正弦函数求最值的方法步骤。 3、讨论要求：
各小组长负起责任，组织好本组成员积极热情地投入讨论。 本组内先“强帮弱”、“兵教兵”的讨论再集体讨论。统 一答案后准备展示和点评。 4、讨论声音不要过大。
让生命在自由的空气中快乐地成长！ 让生命在积极的探索中得到提升！
展示安排及目标要求（13）
达
成
展示问题或 展 示 位 置 题目 及方式
展示
目标及要求
， 我 优
秀
。
点评安排及目标要求（14）
达 成
点评问题或题
点评 目标及要求
目 标
目
，
合作探究1
1．目标：通过你的点
我
评使同学们思路更加
成
合作探究2
清晰。
功
2. 要求： 1、点评
；
人上台迅速，侧站位，
超
做到大胆、大方和大
越
声；语言精练、简洁，
目
合作探究3
须注重知识、规律方
标
法的总结；
，
2、提高效率，珍惜
余弦函数是偶函数．
图象关于原点成y轴对称
y
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
-1
x
π 2
3π 2
2 5π
2
3 7π 4 2
问题八：对称性
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
2
2O 2
22
2
-1
x
2 22
问题四：余弦函数定义域、值域
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
1、定义域：
R
2、值域
[-1，1]
问题五：单调性
余弦函数 y cos x,与x 函R数
2
y
sin(
x
),
x
R
2
是同一个函数。余弦函数的图象可通过将正弦
曲线向左平移 2个单位长y 度而得到。
1_
余弦曲线
4 3 2 o
_
-1
2 3
4 x
问题二：五点法做余弦函数图像
y
1
0
1
2
y cos x, x0,2
温馨提示：
你准备好了吗？
导学案；红蓝双色笔；典型例题本
勇敢展示、大胆质疑
一个明智的人总是抓住机遇， 把它变成美好的未来。
同学们：加油！！！
知识回顾：
1、正弦函数作图的方法是什么？ 2、正弦函数的性质有哪些？
-4 -3
-2
y y=sinx xR
1
-
o
2
3
4
-1
5 6x
余弦函数的图像与性质