解一元二次方程 直接开方法、配方法、公式法的计算
_一元二次方程的解法(直接开平方法配方法公式法因式分解)--
观察(1)(2)看所填的常 数与一次项系数之间
有什么关系?
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
1.会用直接开平方法解形如(x a)2 b(b 0)
的方程. 2.灵活运用因式分解法解一元二次方程. 3.了解转化、降次思想在解方程中的运用。
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练 地解一元二次方程。
a x 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a
解：（1） χ2=25
（2）移项，得χ2=900
直接开平方，得χ=±5 直接开平方，得χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0
（2） 12（20 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析：我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
χ1=－1,χ2=1.
利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。
1、利用因式分解法解下列方程： 1) χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25； 3）（2χ+3）2－25=0.
解：1）方程左边分解因式，得χ（χ－3）=0.
∴ χ=0,或χ－3=0，
解得 χ1=0，χ2=3. 2) 方程移项，得16χ2－25=0
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且
面积为16 m2 , 场地的长和宽应各是多少?
解:设场地的宽xm,长(x+6)m,根据矩形面积
为16 m2 ,列方程
X(x+6)=16
即x2 6x 16 0
怎样解?
想x2一想6x解 1方6 程 0x2 6x 16 0的流程怎样?
一元二次方程的意义及解法
一元二次方程的解法探究目标链接：1、 掌握用直接开平方法、因式分解法、配方法、求根法等方法解一元二次方程。
2、 通过对一元二次方程的解法，体会数学中有简单到复杂，再由复杂到简单的转化思想。
知识要点：知识点1：直接开方法形式：形如（x+h ）2=k 2（k 是常数）的方程知识点2：配方法配方法是一元二次方程的重要方法，熟练地掌握完全平方式是配方法解题的基础。
对于二次项系数为1的方程，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方。
若二次项系数不为1，一般应先将二次项系数变为1，然后配方比较简便。
知识点3：一元二次方程的球根公式形如ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，x=a ac b b 242-±- b 2-4ac ＜0时，原方程无解知识点4：用公式法解一元二次方程的一般步骤（1） 化为一般式（2）确定a 、b 、c 的值；（3）求出b 2-4ac 的值（4）代入公式求解。
知识点5：一元二次方程的根的判别式。
代数式b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式，通常用“△”表示。
知识点6：因式分解法这种方法的依据是，若a-b=0，则a=0或b=0其形式就是把已知方程通过因式分解把它们化成A-B=0的形式。
例如（x-2）（x+1）=0可用此法解之，其步骤：（1）将方程右边化为零（2）将左边分解因式（3）令每个因式为零（4）解每一个一元一次方程，它的解就是原方程的解。
典型例题：例1 用直接开平方法解下列方程（1）x 2-9=0 (2)4(x-2)2-36=0 (3)21(x+3)2=4例2 用配方法解下列方程（1）x 2-4x-3=0 (2)x 2+3x-1=0例3 用公式法解下列方程（1）2x 2+7x=4 (2) 21x 2+ 21x=81 (3)x 2+3=22x例4 不解方程，判别下列方程根的情况。
（1）x 2+9=6x (2)x 2+3x=-1 (3)3x 2+3=26x例5 已知关于x 的方程kx 2-4kx+k-5=0有两个相等实数根，求k 的值并解这个方程。
一元二次方程的解法及一元二次不等式的解法
方程一边是0, ①因式分解法 (方程一边是 ,另一边整式容易因式分解) ②直接开平方法 ( (x+m)2=k k≥0 ) ③公式法 (化方程为一般式) 化方程为一般式) 化方程为一般式 ④配方法 二次项系数为1,而一次项系数为偶数) (二次项系数为 ,而一次项系数为偶数)
用三种不同的方法 解方程3x 5 x = 2
∴x 2 = 0或3x +1 = 0 1 ∴x1 = 2, x2 = 3
用配方法解
解:
两边同时除以3, 两边同时除以 ,得:
3x 5 x = 2
2
步骤
①二次项系数化1 二次项系数化 ②移项
5 2 x x= 3 3
2
左右两边同时加上(
x
2
5 25 x + 3 36
5 ,得: )2 6
2 25 = + . 3 36
变式练习2.关于 的不等式 的不等式ax 变式练习 .关于x的不等式 2+bx+c<0的解 的解 集为{x|x<-1或x>2}.解不等式 2-bx+c>0. 解不等式ax 集为 或 解不等式 小结:( )根据解集, 小结 (1)根据解集,确定二次项系数的符号 (a<0); ; 的关系:b=-a, (2)由韦达定理确定 ,b,c的关系 )由韦达定理确定a, , 的关系 , c=-2a ; 代入要求解的不等式, (3)把b=-a,c=-2a代入要求解的不等式,进 ) , 代入要求解的不等式 而解不等式 -3x2+4x+4>0.
即解不等式: 即解不等式 3x2-4x-4<0. 第一步:解方程3x 第一步:解方程 2-4x-4=0,得x1=2,x2=-2/3. , , 第二步:画出抛物线y=3x2-4x-4的草图; 的草图; 第二步:画出抛物线 的草图 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式3x2-4x-4<0的 的 解集为{x|-2/3<x<2}. 解集为
一元二次方程的解法
配方法：
用配方法解一元二次方程ｘ２－４ｘ＋３＝０．
解: x2-4x+4-4+3=0 (x-2)2=1 x-2=±1 x=3 或 x=1
用配方法解方程３ｘ２－６ｘ＋１＝０．
解：
3（x2-2x+1-1）+1=0
3(x-1)2-3+1=0 x-1=±√6/3
x= 1±√6/3 已知方程ｘ２－６ｘ＋ｑ＝０可以配方成（ｘ－ｐ）２＝７，那
=4 ±2√6/2 =2 ±√6/2
x=(2+√6)/2>0 或 x=(2-√6)/2<0
方程ｘ２＋ｘ－１＝０的根为
解：a=1 b=1 c=-1 x=-1±√1-4*1*(-1)/2*1 =-1 ± √1+4/2 =(-1 ± √5)/2
(-1 ± √5)/2
。 。
因式分解：
下列方程４ｘ２－３ｘ－１＝０，５ｘ２－７ｘ＋２＝０
பைடு நூலகம்
x=2/5或 x=1
x=2/13或 x=1
x=-1/4或 x=1
一元二次方程ｘ２＋５ｘ＝０的较大的一个根设为ｍ，ｘ２－３ｘ＋２＝
０较小的根设为ｎ，则ｍ＋ｎ的值为0+1=1
。
解：x2+5x=0
x2-3x+2=0
x(x+5)=0
x -2
x=0或x=-5
x
-1
m=0
(x-2)(x-1)=0
x=2或x=1
n=1
y=21或y=-19
（３）２ｘ２＋１＝２√５ｘ
（４）（２ｘ＋１）２＋３（２ｘ＋１）＋２＝０
解： 2x2-2√5x+1=0
解:
(2x+1+2)(2x+1+1)=0
八年级数学一元二次方程的应用(1)
如图所示，用一块长80cm，宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相 同的小正方形，然后做成底面积为 1500cm2的没有盖的长方体盒子．求 截去的小正方形的边长
解：设截去的小正方形的边长xcm.
则长和宽分别为(80－2x)cm、 (60－2x)cm
(80－2x)(60－2x)＝1500
得x1＝55，x2＝15
检验：当x1＝55时 长为80－2x＝-30cm 宽为60－2x＝-50cm．
想想，这符合题意吗？ 不符合．舍去．
当x2＝15时 长为80－2x＝50cm 宽为60－2x＝30cm．
符合题意
所以只能取x＝15．
答：截取的小正方形的边长是15cm
列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类 似，即审、找、列、解、答．这里 要特别注意．在列一元二次方程解 应用题时，由于所得的根一般有两 个，所以要检验这两个根是否符合 实际问题的要求．
练习：一块长方形铁板，长是宽 的2倍，如果在4个角上截去边 长为5cm的小正方形， 然后把 四边折起来，做成一个没有盖 的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为xcm,则有长为2xcm
5(2x-10)(x-10)=3000
一次方程组的应用（二）
例1、某农场用库存化肥给麦田施肥，若每亩施肥6千克，就 缺少化肥200千克；若每亩施肥5千克，又剩余300千克。问 该农场有多少麦田？库存化肥多少千克？
得x1＝55，x2＝15
3.列一元一次方程方程解应用题的步骤？
①审题， ②找等量关系 ③列方程， ④解方程， ⑤答。
; 宠物DR 宠物DR ；
不少于800字。不得抄袭。 [写作提示]“钥匙”是开锁的工具，它熟悉事物的机理，最了解锁的“心”，所以能
解一元二次方程的方法
解一元二次方程的【2 】办法界说只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable ).一元二次方程有四个特色：(1)含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程．要断定一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整顿．假如能整顿为ax^2+bx+c=0(a≠0)的情势,则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号,且分母里不含未知数.(4)将方程化为一般情势：ax^2+bx+c=0时,应知足（a.b.c为常数,a≠0）补充解释1.该部分的常识为初等数学常识,一般在初三就有进修.(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)2.该部分是高考的热门.3.方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a,X1·X2=c/a（也称韦达定理）4.方程两根为x1,x2时,方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (依据韦达定理逆推而得)5.在系数a>0的情形下,b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根,b^2-4ac=0时有两个相等的实数根,b^2-4ac<0时无实数根.一般式ax^2+bx+c=0（a.b.c是实数,a≠0)例如：x^2+2x+1=0配方法a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2两根式（交点式）a(x-x1)(x-x2)=0一般解法1.分化因式法（可解部分一元二次方程）因式分化法又分“提公因式法”.“公式法（又分“平方差公式”和“完整平方公式”两种）”和“十字相乘法”.因式分化法是经由过程将方程左边因式分化所得,因式分化的内容在八年级上学期学完.如1.解方程：x^2+2x+1=0解：应用完整平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0解得：x?= x?=-12.解方程x（x+1）-3（x+1）=0解：应用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0即 x-3=0 或 x+1=0∴ x1=3,x2=-13.解方程x^2-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴ x?=-2,x?= 2十字相乘法公式：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+b^2+a-b- 2=ab+a+b^2-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)2.公式法（可解全体一元二次方程）起首要经由过程Δ=b^2-4ac的根的判别式来断定一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个雷同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不雷同的实数根当断定完成后,若方程有根可根属于2.3两种情形方程有根则可依据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.配办法（可解全体一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式双方同时加1（组成完整平方法）得：x^2+2x+1=4因式分化得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配办法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方双方加上最相当4.开办法（可解部分一元二次方程）如：x^2-24=1解：x^2=25x=±5∴x?=5 x?=-55.均值代换法（可解部分一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a,得到x^2+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m,x2=-b/(2a)-m (m≥0)依据x1*x2=c/a求得m.再求得x1, x2.如：x^2-70x+825=0均值为35,设x1=35+m,x2=35-m (m≥0)x1*x2=825所以m=20所以x?=55, x?=15.一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很主要,经常在测验中应用到）一般式：ax^2+bx+c=0的两个根x?和x?的关系：x1+x2= -b/ax1*x2=c/a若何选择最简略的解法1．看是否能用因式分化法解（因式分化的解法中,先斟酌提公因式法,再斟酌平方公式法,最后斟酌十字相乘法）2．看是否可以直接开方解3．应用公式法求解4．最后再斟酌配办法（配办法固然可以解全体一元二次方程,但是有时刻解题太麻烦）. 假如要参加比赛,可按如下次序：1.因式分化2.韦达定理3.判别式4.公式法5.配办法6.开平方7.求根公式8.表示法例题精讲1.开办法：直接开平办法就是用直接开平方求解一元二次方程的办法.用直接开平办法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程,其解为x=m±√n例1．（1）(3x+1)^2=7 剖析：此方程显然用直接开平办法好做.（1）解：(3x+1)^2=73x+1=±√7∴x1=...,x2= ...（2）9x^2-24x+16=11方程左边是完整平方法(3x-4)^2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平办法解解： 9x^2-24x+16=11(3x-4)^2=113x-4=±√11∴x1=...,x2= ...2．配办法：例1用配办法解方程 3x^2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2将二次项系数化为1：x^2-4/3x=2/3方程双方都加上一次项系数一半的平方：x^2-4/3x+( -2/3)^2= 2/3+(-2/3 )^2配方：(x-2/3)^2=10/9直接开平方得：x-2/3=±√(10)/3∴x?= , x?= . ∴原方程的解为x?=,x?= .3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般情势,然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根.当Δ=b^2-4ac>0时,求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根）当Δ=b^2-4ac=0时,求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）当Δ=b^2-4ac<0时,求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a（两个虚数根）（初中懂得为无实数根）例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5解：将方程化为一般情势：2x^2-8x+5=0∴a=2, b=-8,c=5b^2-4ac=(-8)^2-4×2×5=64-40=24>0∴x= (4±√6)/2∴原方程的解为x?=(4+√6)/2,x?=(4-√6)/2.4．因式分化法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分化成两个一次因式的积的情势,让两个一次因式分离等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的办法叫做因式分化法.例4．用因式分化法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8解：化简整顿得x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分化因式)∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)∴x?=5,x?=-2是原方程的解.(2) 2x^2+3x=0解： x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分化因式)∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)∴x?=0,x?=-3/2是原方程的解.留意：轻易丢失落x=0这个解,应记住一元二次方程平日有两个解.(3) 6x^2+5x-50=0 (选学）解：(十字相乘分化因式时要特殊留意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x?=5/2, x?=-10/3 是原方程的解.(4)x^2-4x+4 =0解：(x+2)(x-2 )=0∴x?=-2 ,x?=2是原方程的解.小结一般解一元二次方程,最常用的办法照样因式分化法,在应用因式分化法时,一般要先将方程写成一般情势,同时应使二次项系数化为正数.直接开平办法是最根本的办法.公式法和配办法是最主要的办法.公式法实用于任何一元二次方程（有人称之为全能法）,在应用公式法时,必定要把原方程化成一般情势,以便肯定系数,并且在用公式前应先盘算根的判别式的值,以便断定方程是否有解.配办法是推导公式的对象,控制公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配办法解一元二次方程.但是,配办法在进修其他数学常识时有普遍的应用,是初中请求控制的三种主要的数学办法之一,必定要控制好.（三种主要的数学办法：换元法,配办法,待定系数法）.。
一元二次方程的解法-公式法
x=
= 22 = 4 .
即 x1= -2, x2=
3
2
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解方程x2+4x=2
解：移项，得 x2+4x-2=0
这里的a、b、c 的值是什么？
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 . 0
x=
b2 -4ac＜0，那么方程有实数根吗？为什么？
在一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0)
中，如果b2-4ac＜0，那么方程无实数根，这是
由于 b 2 4ac 无意义
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
a=1，b=-2 ，c=3
b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. 0∴x=
=
∴x=
=
=
=
x 3 5 或x 3 5
4
4
x 2或x 1 2
即 x1=2, x2= -
= x1 = x2 =
当 b2-4ac=0 时，一 元二次方程有两个相等
知识回顾
3.如何用配方法解一般形式的一元二次
方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？
解：因为a≠0 ，所以方程两边都除以a，得
x2 b x c 0 aa
移项，得 x2 b x c aa
配方，得 x2 2 b x ( b )2 c ( b )2
2a
2a
直接开平方、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程
(2019年1月最新最细）2018全国中考真题解析考点汇编☆直接开平方、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程一、选择题1.（2018•泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=﹣2考点：解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题。
分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．解答：解：∵x2=2x，∴x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．2.（2018湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x-2）2+3B、（x+2）2-4C、（x+2）2-5D、（x+2）2+4 考点：配方法的应用．专题：配方法．分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．解答：解：x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=x+22-5，故选C．点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．3.（2018•柳州）方程x2﹣4=0的解是（）A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：方程变形为x2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2．解答：解：x2=4，∴x=±2．故选C．点评：本题考查了直接开平方法解一元二次方程：先把方程变形为x2=a（a≥0），再把方程两边直接开方，然后利用二次根式的性质化简得到方程的解．4.（2018•湘西州）小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）A、x=4B、x=3C、x=2D、x=0考点：解一元二次方程-因式分解法。
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直接开方法与配方法
一 直接开方法
形如()()02
≥=-b b a x 的方程，可用直接开平方法，求得方程的根为：()0≥±=b b a x 。
例3．解方程：
（1）()512=-x （2）()162812
=-x
（3）()()22322+=-x x （4）01532
=+x
4．一般的一元二次方程，可用配方法求解。
其步骤是：
①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为q px x -=+2的形式； ②方程两边都加上22⎪⎭⎫ ⎝⎛p ，把方程化为44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+； ③当042≥-q p 时，利用开平方法求解。
1．把下列各式配成完全平方式
（1）()22__________-=+-x x a
b x （2） ()22____25____-=+-x x x
（2）()22___________3
2+=++x x x 10．关于x 的方程()2222b ab a a x ++=-的根是 。
11．把方程0562=+-x x 化成()k m x =+2
的形式，则m =_______，k =_________。
例4.用配方法解下列方程：
（1）0542=--x x （2）01322
=-+x x
（3）01842=+--x x （4）0222=-+n mx x
练习
3．方程052=x 的解是（ ）
A ．有一个解x =0
B ．有两个解x 1=x 2=0
C ．有一个解51=
x D ． 以上都不对 4．方程()()02>=-q q p x 的根是（ ）
A ．q p x ±=
B ．q p x ±-=
C ．q p x ±±=
D ．)(q p x ±±=
5．用配方法解方程01322=++
x x ，正确的解法是（ ） A ．3223198312±-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ， B ．98312-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x ，原方程无实数根。
C ．35295322±-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ， D ．95322
-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x ，原方程无实数根。
9．方程()()22132+=-x x 的解是 。
2．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A ．08022=--x x ，化为()8112=-x
B ．0352
=--x x ，化为437252=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．0982
=++t t ，化为()2542=+t D ．02432=-+t t ，化为910322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+t 3．将二次三项式6422+-x x 进行配方，正确的结果是（ ）
A ．()4122--x
B ．()4122+-x
C ．()2222--x
D ．()2222
+-x
16.用配方法解下列方程：
（1）
01722=++x x （2）()00222>=--m m mx x
（3）012=--x x （4）02932=+-x x
（5）030222=--x x （6）01752=+-x x。