等差数列及其前n项和易错点 2019高考绝密资料

等差数列及其前n 项和易错点
主标题：等差数列及其前n 项和易错点
副标题：从考点分析等差数列及其前n 项和在高考中的易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：等差数列，等差数列前n 项和，等差数列的性质，易错点
难度：3
重要程度：5
内容：
【易错点】
1．对等差数列概念的理解
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)
(2)等差数列的公差是相邻两项的差．(×)
(3)(教材习题改编)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×)
2．等差数列的通项公式与前n 项和
(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√)
(5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(√)
(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．(×)
3．等差数列性质的活用
(7)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝20.(√)
(8)已知关于d ＞0的等差数列{a n }，则数列{a n }，{na n }，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a n ，{a n ＋3nd }都是递增数列．(×)
剖析：一点注意 等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，如(1)、(2)．
等差数列与函数的区别 一是当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数，如(3)；二是公差不为0的等差数列的前n 项
和公式是n的二次函数，且常数项为0；三是等差数列{a n}的单调性是由公差d 决定的，如(8)中若a n＝3n－12，则满足已知，但na n＝3n2－12n并非递增；若
a n＝n＋1，则满足已知，但a n
n＝1＋
1
n是递减数列；设a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋m，
则a n＋3nd＝4dn＋m是递增数列.
【练习】
1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()
A．58B．88
C．143 D．176
解析：选B∵a4＋a8＝16，
∴a6＝8，∴S11＝11a6＝88.
2．已知{a n}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.
解析：因为{a n}为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64.
答案：64
导数在研究函数中的应用
主标题：导数在研究函数中的应用备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：导数，极值，最值，备考策略
难度：4
重要程度：5
内容
考点一利用导数研究函数的单调性
【例1】设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2.
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．
解(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)e x－x2，
∴f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2x＝x(e x－2)．
令f′(x)>0，即x(e x－2)>0，
∴x>ln 2或x<0.
令f ′(x )<0，即x (e x －2)<0，∴0<x <ln 2.
因此函数f (x )的递减区间是(0，ln 2)；
递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)．
(2)易知f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )．
∵f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，
∴当x ≥0时，f ′(x )＝x (e x －2k )≥0恒成立．
∴e x －2k ≥0，即2k ≤e x 恒成立．
由于e x ≥1，∴2k ≤1，则k ≤12.
又当k ＝12时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0当且仅当x ＝0时取等号．
因此，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，12. 【备考策略】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
考点二 利用导数研究函数的极值
【例2】 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的
切线垂直于y 轴．
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的极值．
审题路线 (1)由f ′(1)＝0⇒求a 的值．
(2)确定函数定义域⇒对f (x )求导，并求f ′(x )＝0⇒判断根左，右f ′(x )的符号⇒确定极值．
解 (1)由f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，
∴f ′(x )＝a x －12x 2＋32.
由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，
∴该切线斜率为0，即f ′(1)＝0.
从而a －12＋32＝0，∴a ＝－1.
(2)由(1)知，f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，
∴f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝(3x ＋1)(x －1)2x 2
. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或－13(舍去)．
当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.
∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，f (x )无极大值．
【备考策略】 (1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．
(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
考点三 利用导数求函数的最值
【例3】已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16.
(1)求a ，b 的值；
(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．
审题路线 (1)⎩
⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16⇒a ，b 的值； (2)求导确定函数的极大值⇒求得c 值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．
解 (1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，
由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，
故有⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16.
化简得⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－12.
(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12.。