弹塑性力学与有限元-应变分析
弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关 连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析课件
q=100Mpa
k
故应力集中因子为：
Kσφmax 279.42.794 q 100
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
误差分析
每边单元数10，最大应力288 每边单元数15，最大应力299
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
对比分析
网格划分的不同，对数据的拟合具有一定的影响， 划分的密集，计算结果更逼近理论值。
验证小孔处的应力集中系数
K σ φmax q
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
验证
基于结构和荷载的对称性，只 取结构的 1/4 进行分析。
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
验证
圆孔边缘应力最大的部位在
90°处，与理论分析的结果
一致，且最大应力279.4Mpa。
右侧施加的均布荷载为
0.09406
380
0.150
437.00
0.13976
0.13831
400
0.200
480.00
0.18232
0.18072
弹性模量E 3.00E+05
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
PART.03
有限元分析验证
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
平板圆孔应力
σρ
q 2
l0d lllnll0
lnl lnl0l
l0
l0
nom
l l0
lnl0 l0lln1nom
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变） 真实应力与名义应力的关系
nom(1nom)
真实应变与名义应变的关系
弹塑性力学2应变分析
第二章 应变分析
z
C
C
B
w
A
A
B
B
w
w x
dx
o
u
u u x dx
x
下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。
取变形前的直角BAC或 BAC ，变形时，棱边 AB 转动
一个角度 ，棱边 AC 转动一个角度 ，在xoz平面内，角 应变用 zx 表示，其值为 和 之和，即：
PB的正应变为：
P B PB PB
(r u )d rd rd
u r
径向线段PA的转角为： 0 环向线段PB的转角为：
BB PP PB (u u d ) u
Bpp来自＝tg 所以有：
1 u r
B
rd
r
1 u r v z
v r
1 w r w r
（2－9）
u z
14
第二章 应变分析
其中，u，v，w 分别表示一点位移在径向（r方向），环向
（ 方向）以及轴向（z方向）的分量。
对于平面问题，柱坐标变为极坐标，则平面极坐标表示
的几何方程为：
u r r 1 v u r r 1 u v v r r r r
dx
v y
dy
v z
dz ) (dz
w x
dx
上式两边同除以 (dr ) ，并利用（2－13）式得：
(1 N ) [l (1
2
2
u x
)m v z
u y
2
n
弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
Mises初始屈服条件
J2
2 s
3
0
3J 2 s 0
加载（后继屈服）条件
3J 2 0
3
2
sij
sij
0
( d p )0
函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定.
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
➢ 随动强化
• 几何特点（在应力空间）：形状和大小、方向保持不变，只 是中心位置发生改变，加载面作刚体移动。
量,硬化参量记为 .
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
目前常用的硬化参量有如下几种：
1．塑性功 w p, w p
ij
d
p ij
是目前岩土弹塑性理论中用得较多的。
2．有效塑性应变
p ij
3．等效塑性剪应变 p S
2 3
d
ijpd
p ij
4．塑性体应变
p v
p x
p y
p z
弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
其中， 是弹塑性柔度张量，表示为 • 以应变增量表示的应力增量
考虑到式(7.29)和式(7.105)有
把dλ和应变增量联系起来，则有 其中 从式(7.4)，式(7.179)和式(7.112)可得
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
• 物理意义：材料在强化后为各向异性。
•
数学表示：f (ij,ij)=f 0(ij-ij) k = 0
f 0(ij-ij) = k
ij 是一个表征加载面中心移动的应力值，称为反（背）应力
弹塑性力学与有限元：2 力学位移和应变分析T
O
x u u dx
x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
u
P
dx
v P A
dy
x v v dx
x
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
y
v v dy y
B
A
B
u u dy
P点两直角线v 段夹v角d的x 变 v化
tan
x dx u dx
xy
v x
u x
u
u
x dy
u
tan
y dy v dy
符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。
考虑外力作用下的两种状态： 平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化， 不随时间变化。 运动状态： M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和 时间变化而变化。
本章仅考虑平衡状态。
根据连续性假设，物体上任一点M，当物体变形后， 都一一对应于相应的点M’；
考察P点邻域内线段的变形：
PA dx dy
y
u
P
dx
x u u dx x
v P A
dy
v v dx x
B
A
变形前 P
A
变形后
P
u v
v v dy y
B
u u dy y
u u dx x
A v v dx B
x
u u dy
B
y v v dy
y
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
弹塑性力学应变分析
弹塑性力学应变分析弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，研究了材料在外力作用下的弹性和塑性变形行为。
应变分析是弹塑性力学研究中的一个重要方法，用来描述材料的应变分布和变形机制。
本文将从简介弹塑性力学的基本概念开始，然后介绍应变分析的基本原理和方法，最后结合实例进行具体分析。
弹塑性力学是固体力学中研究物体在外力作用下产生变形和失去变形能力的行为的学科，弹塑性力学将材料的变形分为弹性和塑性两个阶段进行研究。
所谓弹性变形是指当外力作用撤除后，物体完全恢复到原来的形状和体积；而塑性变形则是在外力作用下，物体永久性的改变了形状和体积。
弹性力学研究了材料的弹性性质，主要通过描述应力-应变关系来分析材料的弹性行为；而塑性力学则以塑性应变的定义和计算为基础，研究材料的塑性行为。
应变分析是一种通过测量物体表面上的变形情况来分析物体内部应变分布和变形机制的方法。
应变分析的基本原理是根据平面几何关系，通过测量物体表面上的位移或形变情况，计算出表面上各点的法向和剪切应变分量，然后根据连续性假设推导出物体内部的应变分布。
应变分析主要通过两种方法进行，一种是光学方法，即应变光学方法；另一种是电子方法，即电子应变分析方法。
应变光学方法是应变分析中最常用的方法之一，主要利用光的干涉和衍射原理来测量物体表面上的位移和形变情况。
最常用的光学方法是全场应变测量方法，主要包括光栅投影法、相位差法和光弹性法。
在这些方法中，光栅投影法是最简单和最常用的方法，它通过在物体表面上投影一组光栅，然后根据物体表面上的光强分布来计算出位移和形变信息。
相位差法和光弹性法则是基于光的相位差和光的偏振状态来计算应变信息的。
电子应变分析方法主要利用电子束的散射和衍射原理来测量物体表面上的位移和形变信息。
最常用的电子应变分析方法是SEM-EBSD方法和EBSD方法。
SEM-EBSD方法是通过扫描电子显微镜和电子背散射衍射技术来测量物体表面上的位移和形变信息。
EBSD方法则是通过扫描电子显微镜和电子回散射衍射技术来测量物体表面上的位移和形变信息。
3-弹塑性力学-应变分析
（产生应变）和变形体的刚性位移
（平动和转动）；
3. 工程剪应变
xy
tg
tg
u x y
u y x
理论剪应变
xy
yx
1 2
x
y
1 ( ux 2 y
u y x
)Leabharlann 4. 应变符号规定：正应变或线应变 ( x,x,x )：伸长为正，缩短为负；
剪应变或切应变（ xy , yz , zx）：夹角减小为正，增大为负；
1 2
yz
1 ( uz 2 y
u y ) z
zx
xz
1 2
xz
1 ( uz 2 x
ux ) z
第三章 应变分析 (strain analysis)
讨论：
1. 物理意义：表示位移 (displacement)与
应变(strain) 之间的关系； 2. 位移包含变形体内质点的相对位移
第三章 应变分析 (strain analysis)
讨论：
1. 物理意义：表示各应变分量之间的相互关系；“连续 协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；
2. 应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中 有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内 三个切应变分量如果确 定，则正应变分量也就可 以确定；
第三章 应变分析 (strain analysis)
3.1 几何方程（geometry equation）
xx
x
u x x
, yy
y
“弹塑性力学与有限元”课程教学实施思考——土木水利专业学位研究生核心课程
2022年6月第25期Jun. 2022No.25教育教学论坛EDUCATION AND TEACHING FORUM【特别关注】“弹塑性力学与有限元”课程教学实施思考——土木水利专业学位研究生核心课程禹海涛1，赵慧玲2（1.同济大学 土木工程学院，上海 200092；2.上海大学 力学与工程科学学院，上海 200444）［摘 要］ “弹塑性力学与有限元”是土木水利专业学位研究生核心课程。
该课程具有复杂的理论体系，需要有较深厚的数学力学基础知识，具有较高的教学与培养要求。
目前，学生基础参差不齐、课程辅助教学缺乏等现实存在的问题不利于课程教学内容的实施；因此，保证和促进课程教学实施的措施需要深入思考。
从巩固学生基础、优化设置课程内容、丰富教学模式及考核方式等多个角度，探讨了课程教学实施的措施与建议，为同类研究生培养单位教师提升“弹塑性力学与有限元”课程的教学效果提供借鉴。
［关键词］ 弹塑性力学与有限元；教学实施；实践能力［课题项目］ 2021年度上海大学“研究生教育培养质量提升”（2021GY12）［作者简介］ 禹海涛（1983—），男，河南驻马店人，工学博士，同济大学土木工程学院教授，博士生导师，主要从事土木工程专业研究；赵慧玲（1982—），女，山西长治人，博士，上海大学力学与工程科学学院副教授（通信作者），主要从事土木工程专业研究。
［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2022）25-0001-04 ［收稿日期］ 2022-03-04科学技术的飞速发展对高素质科技人才的需求越来越迫切。
研究生教育是高素质人才培养的重要基础。
《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》指出：“提高质量是高等教育发展的核心任务，是建设高等教育强国的基本要求。
”提高人才的专业素养是提升高等教育质量的重要任务之一。
土木工程作为一门传统的工科专业，具有较强的实践性与应用性。
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如果各点的位移完全相同，物体发 生刚体平移；如果各点的位移不同， 但各点间的相对距离保持不变，物 体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体 被称为有变形或有应变。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
I1 x y z
I 2
x y
y z
z x
2 xyБайду номын сангаас
2 yz
2 zx
x
y
y
z
z
x
1 4
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
I
3
x
y z
2 xy yz zx
(
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
)
x
y z
1 4
xy
yz
zx
1 4
(
x
2 yz
个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离
，该距离等于所叠加的静水应力，
O P3 O M P2 s3
P1
并不改变Mohr圆的大小。
➢ τ轴的位置与屈服及塑性变形无关 ，决定屈服与塑性变形的只是Mohr 圆本身的大小。
m
s2
s1
图 3-4
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
若将τ轴平移到O' ，并使
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
u z
w x
说明：剪应变的正负号
ij 0(i, j x, y, z)表示夹角变小 ij 0(i, j x, y, z)表示夹角变大
《弹塑性力学与有限元》
P1P2 2
1 2
2
3,
O P3
3
M P2
P1
P2 P3 2
2
3
2
1,
P3 P1 2
1 3
2
2.
2 1
图 3-3
1、 2、 3——称为主剪应力， max ——最大剪应力.
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
➢ 由右图可见，若在已知应力状态上
叠加一个静水压力，其效果仅使三
➢ 应变偏量eij可写为：
eij eeyxx
exy ey
exz e yz
x 0 yx
xy y 0
xz yz
ezx ezy ez zx
zy z 0
其中，ex x 0 ，e y y 0 ，ez z 0 称为“应变偏量分量”。
纯剪应变状态的条件与纯剪应力状态的条件相同，即纯剪变形的必要且
弹塑性力学与有限元
应力分析
八面体应力
八面体平面：通过某点做平面 ，该平面的法线与
三个应力主轴夹角相等。设在这一点取 1, 2, 3
坐标轴与三个应力主轴一致，则等斜面法线的三 个方向余弦为：
l1 cos(n, x)
1 3
l2 cos(n, y)
1 3
l3 cos(n, z)
1 3
若用主应变表示应 变偏量，则有式：
eij
21 2 3
3
0
0
2 2 1 3 3
0
0
在主应变为坐标的应变空间中有：
八面体应变
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
本章学习要点：
理解变形体内部任意一点处应变状态的基本概念； 掌握计算物体内任一点、任意微分面上的主应变及应变主
方向的计算公式； 理解Cauchy方程和Saint Venant的物理意义，熟练掌握这两
个基本方程。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
变张量”和与物体形状变化有关的“应变偏量”。利用书中（3.43）
式可以分解为：
ij eij 0ij
➢ 球形应变张量为：
0 0 0
0 ij
0
0
0
0 0 0
式中， 0为平均正应变。 0
1 3
(1
2
3)
1 3
( x
y
z)
1 3
I1
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
偏应变张量（应变张量的分解）
y
2 zx
z
2 xy
)
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
➢ 工程主剪应变
1 | 2 3 | 2 | 1 3 | 3 | 1 2 |
➢ 最大值
max | 1 3 |
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
偏应变张量（应变张量的分解）
仿照应力张量分解，应变张量可以分解为与体积变化有关的“球形应
应力分析
作业：
1）请完成教材第69～71页的习题：2.1；2.2；2.6；2.7（d）。
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —应变分析
应变分析
主要内容
应变—位移关系（几何方程）
一点的应变状态 应变张量
应变协调方程（连续性 方程、相容方程）
主应变
偏应变张量（应变张量的分解）
个方向。
x
u ， x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
u z
w x
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变张量
➢ 一点的应变状态也可 以用张量表示，这时 引进符号
xy
1 2
xy
1 (v 2 x
u ) y
yz
zx
1 2
yz
1 2
zx
1 (w v ) 2 y z 1 (u w) 2 z x
关，或者说与 I1 有关；
2)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力 oct
2 3
J2
，与应力偏张
量的第二不变量 J2 有关。
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
在 平面上，P1( 1,0), P2( 2,0), P3( 3,0)
三点中的任意两点为直径端点，可作出三
个Mohr圆，如右图所示.其半径为：
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
➢ 将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换,例如求主应变 的特征方程
(ij ij )n j 0
(
x
)dx
xy dy
xz dz
0
yx dx ( y )dy yz dz 0
zxdx zydy ( z )dz 0
《弹塑性力学与有限元》
微分平行六面体
ij ij x, y, z
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
平衡微分方程
在x=0的面上，应力是 x、xy、 xz
在x=dx面上的应力
x
x x
dx、 xy
xy x
dx、 xz
xz x
dx
由x方向的平衡
x
x x
dx dydz
x dydz
yx
yx y
dy dxdz
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
八面体应力
oct
1l12
2l22
32l32
1 3
1
2
3
1 3
I1
m
oct
Toct 2
2 oct
1 3
(1 2)2 ( 2 3)2 ( 3 1)2 .
oct
2 3
J2
八面体面上的应力向量可分解为两个分量：
1)垂直于八面体面的分量，即正应力 oct m ，它与应力球张量有
• 线应变或正应变是指线段的相对伸长量， 以线段伸长为正；
• 剪应变以直角的缩小为正。
x
z
B
l
B'
l'
0
A 90
A'
y
C C'
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
设由变形体中取出一个微小六面体（ 见右图投影），在研究微小六面体的变 形时，采用的分析方法是将六面体的各 面投影到直角坐标系的各个坐标平面上 ，研究这些平面投影的变形，并根据这 些投影的变形规律来判断整个平行六面
dx，则有：
同理可得平行于 y 轴和 z 的边长的正应变，因此有：
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
x
u x
y
v y
z
w z
当 x， y， z 大于零时，
表示线段伸长，反之表示缩短。
下面研究六面体的剪应 z
C
变，即各直角的改变。
C
B
角应变用 zx表示，其 w
A
B
w w dx x
值为 和 之和，即：
A
o
zx
u
B
x
u u dx x
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
B点与A点沿Z 轴方向的位移之差为:
BB
w1
w
w x
dx
w dx
w
tg
x dx u dx
x 1 u
x
x
w