等差数列概念及通项公式PPT课件
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等差数列及其通项公式-完整PPT课件
d=（后一项）-（前一项）
an1 an d
two
练一练
判断下列数列哪些是等差数列，若是等差数列，求公差d （1）10 ，8 ，6 ，4 ，… 是等差数列 d=-2
（2）5 ，9 ，13 ，17，… 是等差数列 d=4
（3）1 ，-1 ，1 ，-1 ，… 不是等差数列
判断方法：定义法： an1 an d (n N *，d为常数) 数列{a n}是等差数列
three 巩 固 知 识 典 型 例 题
an a1 (n 1)d
例4 求等差数列-1 ，5 ，11 ，17，…的第几项是119.
解： 由题知a1 1，d 6， an 119
an a1 (n 1)d 1 (n 1) 6 6n 7 令119 6n 7
得n 21 所以这个数列的第21项是119
解： 设小明、爸爸、爷爷的 年龄分别为 a d、a、a d, d为公差
由题知（ a d） a (a d) 120 ①
（ 4 a d） 5 a d
②
由①得 3a 120
a 40
代入②得 d 25 所以祖孙三人的年龄分别为15、40、65岁
four
课后小结
1.
two
动脑思考 探索新知
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一 项与它前一项的差是同一个常数，则这个数列 叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差——用d表示
an1 an d
two
练一练
判断： （1）6 ，3 ，0 ，-5是等差数列
（2）等差数列9 ，6 ，3 ，0的公差d=9-6=3
小结
2.等差数列通项公式 an a1 (n 1)d
four
作业
等差数列的概念及通项公式-PPT
【探究】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是 常数，且p不为0，那么这个数列是否一定是等差数列？若 是，其首项与公差分别是什么？
解：取数列中的任意相邻两项an1与an , n N . an pn q, an1 p(n 1) q, n N .
an1 an p(n 1) q pn q p,n N . 它是一个与n无关的常数。所以{an }是等差数列。
8
7 6
a 4, n N . n
5
y பைடு நூலகம்4, x R.
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差数列的图象为相应直线上的点。
1.等差数列的通项公式是什么类型的函数？其图像什么样？
从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于 n 的一次函数(d≠0 时) 或常数函数(d=0 时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点
22 1，23， 2
23 1，24， 2
24 1，25， 2
25 1，26 2
观察：以上数列有什么共同特点？
对于每个数列而言,从第 2项起，每一项与前一项的 差都等于同一常数。
一、等差数列的概念
一般地说，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
∴等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)d n∈N*
通 项 公
∵{an}是等差数列，则有
a2 a1 d
累加法
式
a3 a2 d
的 证
a4 a3 d
当n=1时,上式两边 都等于a1
明
…
an an1 d
解：取数列中的任意相邻两项an1与an , n N . an pn q, an1 p(n 1) q, n N .
an1 an p(n 1) q pn q p,n N . 它是一个与n无关的常数。所以{an }是等差数列。
8
7 6
a 4, n N . n
5
y பைடு நூலகம்4, x R.
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差数列的图象为相应直线上的点。
1.等差数列的通项公式是什么类型的函数？其图像什么样？
从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于 n 的一次函数(d≠0 时) 或常数函数(d=0 时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点
22 1，23， 2
23 1，24， 2
24 1，25， 2
25 1，26 2
观察：以上数列有什么共同特点？
对于每个数列而言,从第 2项起，每一项与前一项的 差都等于同一常数。
一、等差数列的概念
一般地说，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
∴等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)d n∈N*
通 项 公
∵{an}是等差数列，则有
a2 a1 d
累加法
式
a3 a2 d
的 证
a4 a3 d
当n=1时,上式两边 都等于a1
明
…
an an1 d
4.2.1 第一课时 等差数列的概念及通项公式(课件(人教版))
4．2 等差数列
4．2.1 等差数列的概念
新课程标准解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的 概念和通项公式的意义. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的 等差关系，并解决相应的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
核心素养
数学抽象
逻辑推理、数学 运算
数学抽象
第一课时 等差数列的概念及通项公式
[随堂检测] 1．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝3－2n，则它的公差为
()
A．2
B．3
C．－2
D．－3
解析：∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选 C.
答案：C
2．在△ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列，则 B 等于( )
A．30° C．90°
B．60° D．120°
[问题导入] 预习课本第 12～15 页，思考并完成以下问题 1．等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？
2．等差数列的通项公式是什么？
3．等差中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示．
令(n－6)d＝0，得 n＝6，故选 A.
法二：设公差为 d(d≠0)，因为 4a3＝3a2，所以 a3＝－3d，又
因为 a3＝a1＋2d，所以 a1＝－5d，故 an＝－5d＋(n－1)d，令
an＝0.得 n＝6，所以数列{an}中 a6＝0.故选 A. 答案：A
5．一个等差数列的第 5 项 a5＝10，且 a1＋a2＋a3＝3，则首 项 a1＝________，公差 d＝________. a5＝a1＋4d＝10， 解析：由题意得 a1＋a1＋d＋a1＋2d＝3，
4．2.1 等差数列的概念
新课程标准解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的 概念和通项公式的意义. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的 等差关系，并解决相应的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
核心素养
数学抽象
逻辑推理、数学 运算
数学抽象
第一课时 等差数列的概念及通项公式
[随堂检测] 1．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝3－2n，则它的公差为
()
A．2
B．3
C．－2
D．－3
解析：∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选 C.
答案：C
2．在△ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列，则 B 等于( )
A．30° C．90°
B．60° D．120°
[问题导入] 预习课本第 12～15 页，思考并完成以下问题 1．等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？
2．等差数列的通项公式是什么？
3．等差中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示．
令(n－6)d＝0，得 n＝6，故选 A.
法二：设公差为 d(d≠0)，因为 4a3＝3a2，所以 a3＝－3d，又
因为 a3＝a1＋2d，所以 a1＝－5d，故 an＝－5d＋(n－1)d，令
an＝0.得 n＝6，所以数列{an}中 a6＝0.故选 A. 答案：A
5．一个等差数列的第 5 项 a5＝10，且 a1＋a2＋a3＝3，则首 项 a1＝________，公差 d＝________. a5＝a1＋4d＝10， 解析：由题意得 a1＋a1＋d＋a1＋2d＝3，
等差数列(概念和通项公式)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
∗
∗
又因为 = ( ∈ N ),所以+1 − =3( ∈ N ),且1
1
所以数列{}是等差数列,首项为 ,公差为3.
=
1
=
1
.
典例讲解
∗
−
例2、①已知数列{ }满足+ − = , ∈ ,且 = ,则 =_____.
∗
∗
复习引入
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数
2.数列的通项公式：
数列 的第项 与项数之间的函数关系式,
∗
即 = ∈ .
人教A版同步教材名师课件
等差数列
---概念和通项公式
学习目标
学习目标
理解等差数列的概念
掌握等差数列通项公式的求法
理解等差数列与一次函数的关系
核心素养
在等差数列通项公式中,有四个量,
, , , ,
知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 .
探究新知
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
= + ( − ) = + − ,当 ≠ 时,是一次函数() = +
( − )( ∈ ),当 = 时的函数 = ().
实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,
∗
即 = − + + (, ∈ , < ).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{ }满足 = − + + ( ≥ ),则可判定数列{ }是等差数列.
变式训练
��
2.已知
解析 (2)∵ = −, = − − − = −,
∗
又因为 = ( ∈ N ),所以+1 − =3( ∈ N ),且1
1
所以数列{}是等差数列,首项为 ,公差为3.
=
1
=
1
.
典例讲解
∗
−
例2、①已知数列{ }满足+ − = , ∈ ,且 = ,则 =_____.
∗
∗
复习引入
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数
2.数列的通项公式：
数列 的第项 与项数之间的函数关系式,
∗
即 = ∈ .
人教A版同步教材名师课件
等差数列
---概念和通项公式
学习目标
学习目标
理解等差数列的概念
掌握等差数列通项公式的求法
理解等差数列与一次函数的关系
核心素养
在等差数列通项公式中,有四个量,
, , , ,
知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 .
探究新知
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
= + ( − ) = + − ,当 ≠ 时,是一次函数() = +
( − )( ∈ ),当 = 时的函数 = ().
实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,
∗
即 = − + + (, ∈ , < ).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{ }满足 = − + + ( ≥ ),则可判定数列{ }是等差数列.
变式训练
��
2.已知
解析 (2)∵ = −, = − − − = −,
苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件
aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
4.2.1等差数列的概念PPT课件(人教版)
an a1 (n 1)d
结论：等差数列的通项公式的一般情势：an＝am＋(n－m)d
练习
求下列等差数列的通项公式
（1）9,18,27,36,45,54,63,72...
(1)an=9+(n－1)×9=9n
（2）38,40,42,44,46,48...
(2)an=38+(n－1)×2=2n+36
ab
叫做a与b的等差中项。即 A
2
这个式子叫做这个数列的递推公式.
引入
请看下面几个问题中的数列.
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，
环绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依
次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
2.S,M,L,XL,XXL,L型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48.②
求an 的公差和首项；(2)求等差数列 8,5, 2, 的第20项.
解: (1)当n 2时,由an 5 2n, 得
an1 5 2(n 1) 7 2n.
于是, d an an1 (5 2n) (7 2n) 2.
当n 1时, a1 5 2 3.
练习
判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
(2) 3，3，3，3，3，3
a1=3,公差 d=0 常数列
(3) 3x，6x，9x，12x，15x
a1=3x 公差 d= 3x
(4)95，82，69，56，43，30
a1=95 公差 d=－3
【课件】等差数列的概念及通项公式课件2022-2学年高023下人教A版(2019)选择性必修第二册
情景引入
问题1
观察数列①②③你能发现他们的规律吗？？
解：对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前
一项的差都等于同一个常数12。
数列②满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数-5。
数列③满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7。
学习新知
问题2
什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？
分析(1)先根据条件由等差中项概念列方程求a,然后求出通项公式,再代入
n=2 020求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c.
解 (1)由等差中项公式可得 2(2a-1)=a+(3-a),解得
2×
5
-1
4
5
4
− =
2 020 项为
5
5
a= ,所以首项为 ,公差为
4
4
1
5
1
,所以数列的通项公式为
-2
=
1
1
− -2
4
4-2
1
,
2
1
1
∴数列{bn}是首项为 ,公差为 的等差数列.
2
2
(2)解 由(1)知
1
1
bn=2+(n-1)·2
=
1
n.
2
1
1
2
∵bn= -2,∴an= +2= +2.
∴数列{an}的通项公式为
2
an= +2.
=
1
− -2
2( -2)
an 1 an 2 d
进行累加，
an 2 an 3 d
等差数列 完整ppt课件
a 3 -a 2 = d a 2 -a 1 = d 以上各式左右两边分别相加得
a n -a 1 = （ n -1 ） d a n = a 1 + （ n -1 ） d
最新课件
5
等差数列的通项公式
如果等差数列 { a n } 的首项是 a 1 ，公差是d，
则等差数列的通项公式为
an=a1+（n-1）d
a1=11 d=-1
所以：a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0
最新课件
11
古题今解
我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有：“今有五等 诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。问：五人各得几 何？”
分析： 此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3， ∴ a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60, ∴ a1=6, a2=9, a3=12, a4=15, a5=18
最新课件
Hale Waihona Puke 6例题讲解例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项 （2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…
的项？如果是，是第几项？
最新课件
7
解： （1）由a1=8, d=5-8=-3,n=20 得到这个数列的通项公式为
an83(n1)
a20= 8 + (20-1)×（－3）=-49
(2) 由a1=8, d=－9－(－5)=－4,
2.2 等差数列（第一课时）
主讲人:叶爽
最新课件
1
观察下列数列的特点，归纳规律：
•0，5，10，15，… •奥运会女子举重级别48，53，58，63. •3，0，—3，—6，… •10072，10144，10216，10288，10306.
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3.在等差数列｛an｝中,a10= 100,
a19=10,
a1+an=0 , 求n的值.
课堂小结
1. 等差数列的概念及(n≥2) 或 an+1－ an = d
(2)通项公式an = a1 + (n－1)d. an = am + (n－m)d.
例2.已知等差数列｛an｝的通项公式为 an=2n – 1. 求首项a1和公差d.
变式引申: 如果一个数列｛an｝的通项公式an=kn+d, 其中k,b都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗?
练习:
1.求出下列等差数列中的未知项.
(1) 3. a, 5
(2) 3 , a, b, -9
2.已知a5=11, a8=5, 求等差数列｛an｝的通项公式.
2. 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力.
交送作业:
P39 ex 3, 4
1.(2005,福建理)
已知等差数列｛an｝中,a7+a9=16,a4=1则a12值为( ) A.15 B.30 C.31 D.64
2.(2005,山东文)
｛an｝是首项中 a1=1, 公差d=3的等差数列,则an=2005,
a2－a1=d,
a3－a2=d,
……
叠加法
an－an-1=d,
将上面n-1个等式的两边分别相加,
得an－a1= (n-1)d,
所以, an= a1+(n-1)d, 当n=1时,上面的等式显然成立.
例1.在等差数列｛an｝中,已知a3=10, a9=28,求a12 .
等差数列的通项公式一般形式: an = am + (n－m)d.
(1) 1, 1, 1, 1 , 1, (2) 1, 0, 1, 0, 1 . (3) -3, -2, -1, 1, 2. (4) 4, 7, 10, 13, 16.
首项为a1 ,公差为d的等差数列｛an｝的通项公式:
an = a1 + (n－1)d.
证:因为｛an｝为等差数列, 所以当n≥2时,有
问题情景1:
2.第24届到第29届奥运会举行的年份依次为: 1988 , 1992, 1996, 2000, 2004, 2008 .
3.某电信公司的一种计费标准是:通话时间不超过3分钟,收话
费0.2元,以后每分钟收话费0.1元,那么通话费从小到大的次序 依次为:
0.2, 0.2+0.1, 0.2+0.1×2, 0.2+0.1×3, .
观察上面的数列有什么共同的特点?
一般地,如果一个数列从第二项起, 每一项减去它 的前一项所得的差都等于同一个常数, 那么这个数列就 叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常 用d表示.
数学表达式: an－ an-1 = d (n≥2) an+1－ an = d
练习: 判断下列数列是否为等差数列.若是,指出首项和公差.
n值为( )
A.667 B.668 C.669 D.670
a19=10,
a1+an=0 , 求n的值.
课堂小结
1. 等差数列的概念及(n≥2) 或 an+1－ an = d
(2)通项公式an = a1 + (n－1)d. an = am + (n－m)d.
例2.已知等差数列｛an｝的通项公式为 an=2n – 1. 求首项a1和公差d.
变式引申: 如果一个数列｛an｝的通项公式an=kn+d, 其中k,b都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗?
练习:
1.求出下列等差数列中的未知项.
(1) 3. a, 5
(2) 3 , a, b, -9
2.已知a5=11, a8=5, 求等差数列｛an｝的通项公式.
2. 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力.
交送作业:
P39 ex 3, 4
1.(2005,福建理)
已知等差数列｛an｝中,a7+a9=16,a4=1则a12值为( ) A.15 B.30 C.31 D.64
2.(2005,山东文)
｛an｝是首项中 a1=1, 公差d=3的等差数列,则an=2005,
a2－a1=d,
a3－a2=d,
……
叠加法
an－an-1=d,
将上面n-1个等式的两边分别相加,
得an－a1= (n-1)d,
所以, an= a1+(n-1)d, 当n=1时,上面的等式显然成立.
例1.在等差数列｛an｝中,已知a3=10, a9=28,求a12 .
等差数列的通项公式一般形式: an = am + (n－m)d.
(1) 1, 1, 1, 1 , 1, (2) 1, 0, 1, 0, 1 . (3) -3, -2, -1, 1, 2. (4) 4, 7, 10, 13, 16.
首项为a1 ,公差为d的等差数列｛an｝的通项公式:
an = a1 + (n－1)d.
证:因为｛an｝为等差数列, 所以当n≥2时,有
问题情景1:
2.第24届到第29届奥运会举行的年份依次为: 1988 , 1992, 1996, 2000, 2004, 2008 .
3.某电信公司的一种计费标准是:通话时间不超过3分钟,收话
费0.2元,以后每分钟收话费0.1元,那么通话费从小到大的次序 依次为:
0.2, 0.2+0.1, 0.2+0.1×2, 0.2+0.1×3, .
观察上面的数列有什么共同的特点?
一般地,如果一个数列从第二项起, 每一项减去它 的前一项所得的差都等于同一个常数, 那么这个数列就 叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常 用d表示.
数学表达式: an－ an-1 = d (n≥2) an+1－ an = d
练习: 判断下列数列是否为等差数列.若是,指出首项和公差.
n值为( )
A.667 B.668 C.669 D.670