经济数学教案(高职)
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第一次末本利和为
第二次末本利和为
。。。。。。
第n次末即年末的本利和为
复利付息情形
因每次支付的利息记入本金，设初始本金为P（元），银行年利率为r，若一年分m次付息，
第一次末本利和为
第二次末本利和为
。。。。。。
第m次末即一年末的本利和为
第m+1次末的本利和为
第二年末的本利和为
第n年末本利和为
例1：现有初始本金100元，若银行年储蓄利率为7%，问：
例如： ；因前者定义域为[-1，1]，后者 ，故这两个函数不能复合成复合函数。
（2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合而成。
例1 设 求
解 =
例2 将下列函数分解成基本初等函数的复合
（1） （2）
解 （1）所给函数是由 四个函数复合而成的
（2）所给函数是由 三个函数复合而成的。
二、常用经济函数
1、单利与复利
其中 称为元素 的像，并记作 ，即 。
注意：每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一。
三、函数
1、函数的概念
定义 设数集 ，则称映射 为定义在D上的函数，记为 。
注：函数相等：定义域、对应法则相等。
2、函数的几种特性
1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。
2）函数的单调性（单增、单减），在x1、x2点比较函数值 与 的大小（注：与区间有关）。
从而
即需11年后本利和可超过初始本金的一倍。
3、贴现
设第n年后价值为R元钱的现值，假设在这n年之间复利年利率r不变。利用复利计算
公式有 得到第n年后价值为R元钱的现值为
例2 某人手中有三张票据，其中一年后到期的票据金额是500元，二年后到期的票据金额是800元，五年后到期的票据金额是2000元，已知银行的贴现率为6%，现在将三张票据向银行做一次性转让，银行的贴现金额是多少？
3）分段函数：分段函数的统一表达式。
结论：对于分段函数
f（x）=
若初等数函f1（x）和f2（x）满足f1（a）=f2（a），则
f（x）= f1[ （x+a- ）]+ f1[ （x+a+ ）]- f1（a）
4、初等函数
1）幂函数： 2)指数函数： 3)对数函数： 4)三角函数：
5)反三角函数： ，
以上五种函数为基本初等函数。
（1）按单利计算，3年末的本利和为多少？
（2）按复利计算，3年末的本利和为多少？
（3）按复利计算，需多少年才能使本利和超过初始本金一倍？
解 （1）已知p=100， r=0.07 由单利计算公式得 （元）
即三年末的本利和为121元。
（2）由复利计算公式得 （元）
即三年末的本利和为122.5元。
（3）若n年后的本利和超过初始本金一倍，即要
3）函数的奇偶性(定义域对称、 与 关系决定)，图形特点(关于原点、Y轴对称)。
4)函数的周期性(定义域中成立： )
3、函数与复合函数
1）反函数：函数 是单射，则有逆映射 ，称此映射 为 函数的反函数。
函数与反函数的图像关 于对称。
2）复合函数：函数 定义域为D1，函数 在D上有定义、且 。则 为复合函数。
元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作 。
如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作
若作 且 则称A是B的真子集。
全集I：Ai I（I=1，2，3，……..）。
空集 ： 。
2、集合的运算
并集 ： 交集 ：
差集 ： 补集（余集） ：I＼A
集合的并、交、余运算满足下列法则：
6）双曲函数： ， ，
注：双曲函数的单调性、奇偶性。
双曲函数公式：
7）反双曲函数：
例1已知分段函数
1）求其定义域并作图；2）求函数值
例2求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：
y=10u，u=1+x2, y=arctanu2, u=tanv, v=a2+x2.
例3求函数的反函数及反函数的定义域：
第一讲第一章：函数4学时
教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
教学内容概述：本讲主要复习中学所学集合；函数；函数的表示方式，函数的几种特性；反函数与复合函数；基本初等函数；初等函数等。
教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。
y=x2,（0 x〈 ），
作业：见课后各章节练习。
第二讲 第一章：函数 4学时
教学目的与要求：掌握复合函数的分解方法；熟悉经济分析中的常用函数。
教学内容概述：本讲主要讲授复合函数的分解；经济分析中的常用函数。
教学重点（难点）：理解复合函数的分解；掌握常用经济函数的具体形式。
教学过程：
一、复合函数
注：（1）不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。
交换律：
结合律： ，
分配律： ，
对偶律：(
笛卡儿积：A×B
3、区间和邻域
1）有限区间：开区间 ，闭区间 ，半开半闭区间 。
2）无限区间：（ ）， ， ， ， 。
3）邻域：
注：a邻域的中心， 邻域的半径；去心邻域记为 。
二、映射
映射概念
定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则 ，使得对X中的每一个元素 ，按法则 ，在Y中有唯一确定的元素 与之对应，则称 为从X到Y的映射，记作
教学过程：
一、集合
1、集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。
表示方法：用A，B，Cwk.baidu.comD表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。
1)
2)
元素与集合的关系： ，
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N，Z，Q，R，N+
单利计算公式 设初始本金为P（元），银行年利率为r，则
第一年末本利和为 ；
第二年末本利和为 ；
。。。。。。
第n年末本利和为 。
复利计算公式 设初始本金为P（元），银行年利率为r，则
第一年末本利和为 ；
第二年末本利和为 ；
。。。。。。
第n年末本利和为
2、多次付息
单利付息情形
因每次的利息不记入本金，故若一年分n次付息，每次利息为 则
解 由贴现计算公式，贴现金额为
其中 。故
（元）
4、需求函数
需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济变量之间的数量关系
其中 表示需求量， 表示价格。需求函数的反函数 称为价格函数，习惯上将价格函数也统称为需求函数。需求函数是单调减少函数 需求函数的线性模型为
5、供给函数
供给函数表示的就是商品的供给量和价格这两个经济变量之间的数量关系
第二次末本利和为
。。。。。。
第n次末即年末的本利和为
复利付息情形
因每次支付的利息记入本金，设初始本金为P（元），银行年利率为r，若一年分m次付息，
第一次末本利和为
第二次末本利和为
。。。。。。
第m次末即一年末的本利和为
第m+1次末的本利和为
第二年末的本利和为
第n年末本利和为
例1：现有初始本金100元，若银行年储蓄利率为7%，问：
例如： ；因前者定义域为[-1，1]，后者 ，故这两个函数不能复合成复合函数。
（2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合而成。
例1 设 求
解 =
例2 将下列函数分解成基本初等函数的复合
（1） （2）
解 （1）所给函数是由 四个函数复合而成的
（2）所给函数是由 三个函数复合而成的。
二、常用经济函数
1、单利与复利
其中 称为元素 的像，并记作 ，即 。
注意：每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一。
三、函数
1、函数的概念
定义 设数集 ，则称映射 为定义在D上的函数，记为 。
注：函数相等：定义域、对应法则相等。
2、函数的几种特性
1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。
2）函数的单调性（单增、单减），在x1、x2点比较函数值 与 的大小（注：与区间有关）。
从而
即需11年后本利和可超过初始本金的一倍。
3、贴现
设第n年后价值为R元钱的现值，假设在这n年之间复利年利率r不变。利用复利计算
公式有 得到第n年后价值为R元钱的现值为
例2 某人手中有三张票据，其中一年后到期的票据金额是500元，二年后到期的票据金额是800元，五年后到期的票据金额是2000元，已知银行的贴现率为6%，现在将三张票据向银行做一次性转让，银行的贴现金额是多少？
3）分段函数：分段函数的统一表达式。
结论：对于分段函数
f（x）=
若初等数函f1（x）和f2（x）满足f1（a）=f2（a），则
f（x）= f1[ （x+a- ）]+ f1[ （x+a+ ）]- f1（a）
4、初等函数
1）幂函数： 2)指数函数： 3)对数函数： 4)三角函数：
5)反三角函数： ，
以上五种函数为基本初等函数。
（1）按单利计算，3年末的本利和为多少？
（2）按复利计算，3年末的本利和为多少？
（3）按复利计算，需多少年才能使本利和超过初始本金一倍？
解 （1）已知p=100， r=0.07 由单利计算公式得 （元）
即三年末的本利和为121元。
（2）由复利计算公式得 （元）
即三年末的本利和为122.5元。
（3）若n年后的本利和超过初始本金一倍，即要
3）函数的奇偶性(定义域对称、 与 关系决定)，图形特点(关于原点、Y轴对称)。
4)函数的周期性(定义域中成立： )
3、函数与复合函数
1）反函数：函数 是单射，则有逆映射 ，称此映射 为 函数的反函数。
函数与反函数的图像关 于对称。
2）复合函数：函数 定义域为D1，函数 在D上有定义、且 。则 为复合函数。
元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作 。
如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作
若作 且 则称A是B的真子集。
全集I：Ai I（I=1，2，3，……..）。
空集 ： 。
2、集合的运算
并集 ： 交集 ：
差集 ： 补集（余集） ：I＼A
集合的并、交、余运算满足下列法则：
6）双曲函数： ， ，
注：双曲函数的单调性、奇偶性。
双曲函数公式：
7）反双曲函数：
例1已知分段函数
1）求其定义域并作图；2）求函数值
例2求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：
y=10u，u=1+x2, y=arctanu2, u=tanv, v=a2+x2.
例3求函数的反函数及反函数的定义域：
第一讲第一章：函数4学时
教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
教学内容概述：本讲主要复习中学所学集合；函数；函数的表示方式，函数的几种特性；反函数与复合函数；基本初等函数；初等函数等。
教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。
y=x2,（0 x〈 ），
作业：见课后各章节练习。
第二讲 第一章：函数 4学时
教学目的与要求：掌握复合函数的分解方法；熟悉经济分析中的常用函数。
教学内容概述：本讲主要讲授复合函数的分解；经济分析中的常用函数。
教学重点（难点）：理解复合函数的分解；掌握常用经济函数的具体形式。
教学过程：
一、复合函数
注：（1）不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。
交换律：
结合律： ，
分配律： ，
对偶律：(
笛卡儿积：A×B
3、区间和邻域
1）有限区间：开区间 ，闭区间 ，半开半闭区间 。
2）无限区间：（ ）， ， ， ， 。
3）邻域：
注：a邻域的中心， 邻域的半径；去心邻域记为 。
二、映射
映射概念
定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则 ，使得对X中的每一个元素 ，按法则 ，在Y中有唯一确定的元素 与之对应，则称 为从X到Y的映射，记作
教学过程：
一、集合
1、集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。
表示方法：用A，B，Cwk.baidu.comD表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。
1)
2)
元素与集合的关系： ，
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N，Z，Q，R，N+
单利计算公式 设初始本金为P（元），银行年利率为r，则
第一年末本利和为 ；
第二年末本利和为 ；
。。。。。。
第n年末本利和为 。
复利计算公式 设初始本金为P（元），银行年利率为r，则
第一年末本利和为 ；
第二年末本利和为 ；
。。。。。。
第n年末本利和为
2、多次付息
单利付息情形
因每次的利息不记入本金，故若一年分n次付息，每次利息为 则
解 由贴现计算公式，贴现金额为
其中 。故
（元）
4、需求函数
需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济变量之间的数量关系
其中 表示需求量， 表示价格。需求函数的反函数 称为价格函数，习惯上将价格函数也统称为需求函数。需求函数是单调减少函数 需求函数的线性模型为
5、供给函数
供给函数表示的就是商品的供给量和价格这两个经济变量之间的数量关系