2019版高考数学理科一轮复习(全国2卷+B版)课件 §6.4 数列求和、数列的综合应用
考点二
数列的综合应用
1.(2017课标全国Ⅰ,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大 家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下 面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是2
a 2d 3, a 1, ∴ 1 ∴an=n. 4a1 6d 10, d 1, n(n 1) ∴前n项和Sn=1+2+…+n= , 2 1 1 1 2 ∴ = =2 , Sn n(n 1) n n 1
1 设公差为d,则
高考理数
(课标Ⅱ专用)
§ 6.4 数列求和、数列的综合应用
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 数列求和
.
n 1 1.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 = k 1 S k
答案
2n n 1
解析 本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和.
m ①当a1>0,d<0时,满足 m ②当a1<0,d>0时,满足
a 0, 的项数m,可使得Sn取得最大值,最大值为Sm; am1 0 a 0, 的项数m,可使得Sn取得最小值,最小值为Sm. am1 0
3.(2016课标全国Ⅱ,17,12分)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表 示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
1 1 1 1 = (d≠0); an an1 d an an1
1 Sn
1 2 1 =2 ,从而运用裂项相消法求和 n(n 1) n n 1
1 1 = ( n k - n ); nk n k 1 1 2n ③ n = . n n (2 1)(2n1 1) 2 1 2 1 1
2.(2018课标全国Ⅱ,17,12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn,并求Sn1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16. 方法总结 求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法 (1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数的 最值. (2)邻项变号法:
一题多解 本题也可以分别把N=110,220,330代入,利用排除法求解.
2 an 2.(2015课标全国Ⅰ,17,12分,0.624)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0, +2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式; (2)设bn=
1 ,求数列{bn}的前n项和. an an1
n(n 1) +t+1,因为N>100,所以n≥13. 2
则有N=
由等比数列的前n项和公式可得2n+1-n-2+2t+1-1=2m. 因为n≥13,所以2n>n+2, 所以2n+1>2n+n+2,即2n+1-n-2>2n,
因为2t+1-1>0,
所以2m>2n+1-n-2>2n,故m≥n+1, 因为2t+1-1≤2n+1-1,所以2m≤2n+2-n-3,故m≤n+1. 所以m=n+1,从而有n=2t+1-3,因为n≥13,所以t≥3. 当t=3时,N=95,不合题意; 当t=4时,N=440,满足题意,故所求N的最小值为440. 解题关键 解决本题的关键在于利用不等式的知识得出m=n+1.
(1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{bn}的前1 000项和. 解析 (1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,
解得d=1.
所以{an}的通项公式为an=n. b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2. (6分)
0,1 n 10, 1,10 n 100, (2)因为bn= 2,100 n 1 000, 3, n 1 000,
∴ 1- + - +…+ - =2
n k 1
1 Sk
1 1 1 2 2 3
1 1 n 2n 1 =2 =2· = . 1 n n 1 n 1 n 1 n 1
思路分析 求出首项a1和公差d,从而求出Sn. = 即可. 解后反思 裂项相消法求和的常见类型: ①若{an}是等差数列,则 ②
0
,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N )
项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 (
A.440
B.330
C.220
D.110
答案 A 本题考查了等比数列求和、不等式以及逻辑推理能力. 不妨设1+(1+2)+…+(1+2+…+2n-1)+(1+2+…+2t)=2m(其中m、n、t∈N,0≤t≤n),
(9分)
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893. (12分)
思路分析 (1)利用已知条件求出数列{an}的公差,进而求出数列{an}的通项公式,然后求b1,b11, b101;
(2)找出数列{bn}项的规律,然后求数列{bn}的前1 000项和.
疑难突破 (2)充分理解[x]的含义,求出bn的表达式,从而求出{bn}的前1 000项和.
2 2 an an 解析 (1)由 +2an=4Sn+3,可知 1 +2an+1=4Sn+1+3. 2 2 an an 可得 +2(an+1-an)=4an+1,即 1 - 2 2 an an 2(an+1+an)= =(an+1+an)(an+1-an). 1 -
2019版53B高中数学一轮复习精品课件新课标III§6.4数列求和、数列的综合应用
设数列{bn}的前n项和为Tn,则 Tn=b1+b2+…+bn
1 1 1 1 1 1 = 2 3 5 5 7 = n . (12分) 3(2n 3)
1 2n 1 2n 3
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高考理数
(课标Ⅲ专用)
§6.4 数列求和、数列的综合应用
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五年高考
A组
考点一
2n
统一命题·课标卷题组
n
数列的求和
1 Sk
1.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 = k 1
.
答案
n 1
a1 2d 3, a 1, ∴ 1 ∴an=n. 4a1 6d 10, d 1,
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解后反思 裂项相消法求和的常见类型: ①若{an}是等差数列,则 ②
1 1 1 1 = (d≠0); an an1 d an an1
1 1 = ( n k - n ); nk n k
1 1 2n ③ n = - . n1 n n 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1
思路分析 (1)先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{an}的递推公式,可以判定数列{an} 是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{an}的通项公式;(2)根据(1)求数列{bn}的 通项公式,再用裂项相消法求其前n项和.
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4.(2016课标全国Ⅱ,17,12分)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表 示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
2019年高考数学一轮复习 第5章 数列 第4节 数列求和课件 理 北师大版.pptx
)
A．1
B．56
C．61
D．310
B [∵an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，
∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－21＋21－31＋…－16＝56.]
3．数列{an}的通项公式是 an＝
1 n＋
n＋1，前
n
项和为
9，则
n
等于(
)
A．9
B．99
C．10
D．100
B
[∵an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(
)
(3)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可 根据错位相减法求得．( ) (4)如果数列{an}是周期为 k(k 为大于 1 的正整数)的周期数列，那么 Skm＝ mSk.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
(2)由(1)知 an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此 cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝n1＋22n－1＋11－－33n＝n2＋3n－2 1.
[规律方法] 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an} 的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或 等差数列，可采用分组求和法求和． 易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．
Sn＝na12＋an＝ na1＋nn2－1d
2025高考数学一轮复习-6.4-数列求和【课件】
易错易混 4．在数列{an}中，已知 an＝n＋11n＋3(n∈N*)，则{an}的前 n 项和 Sn＝
_____12__56_－__n_＋1__2_－__n_＋1__3_ ______. 【解析】 ∵an＝n＋11n＋3＝12n＋1 1－n＋1 3， ∴Sn＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋n＋1 1－n＋1 3 ＝1212＋13－n＋1 2－n＋1 3 ＝1256－n＋1 2－n＋1 3.
第六章 数列
第四节 数列求和
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．公式法 (1)等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d. 推导方法：倒序相加法．
na1，q＝1， (2)等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn，q≠1. 推导方法：乘公比， 错位相减法 ．
6．若{log2an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则数列{nan}的前 n 项和为 _S_n_＝__2_＋__6_n_9－__2__·4_n_．
【解析】 由题意可得 log2an＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴an＝22n－1＝2·4n－1，∴nan＝2n·4n－1， ∴数列{nan}的前 n 项和 Sn＝2(1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1)， ∴12Sn＝1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1， ∴2Sn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋n×4n，
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 分组转化求和 【例 1】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋an－1＝2n(n≥2，n∈N*)． (1)记 bn＝a2n，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
2019版高考数学一轮复习 第六章 数列 第四节 数列求和与数列的综合问题实用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．公式法与分组转化法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和． (2)分组转化法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数 列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减．
2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项 的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用 倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式就是用此法推导的． (2)并项求和法 在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并 项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
应分公常见的裂项方式
数列(n 为正整数)
裂项方式
1 nn＋k
(k 为非零常数)
nn1＋k＝1kn1－n＋1 k
1 4n2－1
4n21－1＝122n1－1－2n1＋1
②
由①②，解得 a1＝1，d＝3，由此可得 an＝3n－2.
所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为 bn＝2n.
(2)设数列{a2nb2n－1}的前 n 项和为 Tn， 由 a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得 a2nb2n－1＝(3n－1)×4n， 故 Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n， 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1， 上述两式相减，得 －3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1 ＝12×1－1－4 4n－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8. 故 Tn＝3n3－2×4n＋1＋83. 所以数列{a2nb2n－1}的前 n 项和为3n3－2×4n＋1＋83.
(新课标)2019届高考数学一轮复习第六章数列6.4数列求和及应用课件理
有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每 秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个．现在 有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，问细菌 将病毒全部杀死至少需要________秒．
解： 设至少需要 n 秒，则 1＋2＋22＋„＋ n 1－2 n－1 2 ≥100，即 ≥100，所以 n≥7.故填 7. 1－2
类型一
基本求和问题
－
(1)设数列 1，(1＋2)，„，(1＋2＋22＋„＋2n 1)，„的前 n 项和为 Sn，则 Sn 等于(
＋
)
＋
A．2n B．2n－n C．2n 1－n D．2n 1－n－2 1 1 1 (2)求和：1＋ ＋ ＋„＋ ； 1＋2 1＋2＋3 1＋2＋„＋n 1 1 x2 (3)设 f(x)＝ ，求： f 2 017＋f2 016＋„＋f(1)＋f(2)＋„＋f(2 017)； 1＋x2 1 2 3 n (4)求和：Sn＝ ＋ 2＋ 3＋„＋ n. a a a a
第一章 第六章
集合与常用逻辑用语 数 列
6．4 数列求和及应用
1．数列求和方法 (1)公式法： (Ⅰ)等差数列、等比数列前 n 项和公式． (Ⅱ)常见数列的前 n 项和： ①1＋2＋3＋„＋n＝ ②2＋4＋6＋„＋2n＝ ③1＋3＋5＋„＋(2n－1)＝ ④12＋22＋32＋„＋n2＝ ；
2
； ； ；
2 6 n － n （1≤n≤3） C. 2 n －6n＋18（n＞3）
)
B．n2－6n＋18
2 6 n － n （1≤n≤3） D. 2 n －6n（n＞3）
解：设 an＝2n－7，n≤3 时，an＜0；n＞3 时，an＞0， a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，且易得{an}的前 n 项和 Sn＝ 2 6 n － n （1≤n≤3）， 2 n －6n，所以 Tn＝ 2 故选 C. n －6n＋18（n＞3）.
2019版高考数学理科一轮复习(全国2卷+B版)课件：§6.2 等差数列PPT (8)
3 2
3 2
2
2 2
2
3 HP DP 3 设DP与平面ABFD所成角为θ,则sin θ= = 4 = . 3 4 | HP || DP |
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 .
易错警示 利用空间向量求线面角的注意事项 (1)先求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)的角度,再取其余角 即为所求. (2)若求线面角的余弦值,要注意利用平方关系sin2θ+cos2θ=1求出其值,不要误以为直线的方向 向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求.
3 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 . 4
3 4
2.(2018课标全国Ⅰ,18,12分)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折 痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
高考理数
(课标Ⅱ专用)
§ 8.3 直线、平面垂直的判定与性质
五年高考
A组
考点
的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
统一命题·课标卷题组
线、面垂直的判定与性质
1.(2018课标全国Ⅱ,20,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为AC
CMD,故BC⊥DM.
因为M为 CD 上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM. 又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC. 而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
高三理科数学一轮复习讲义,复习补习资料：第六章数列6.4数列求和(解析版)
§6.4 数列求和考纲展示►1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.考点1 公式法求和1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d .(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．(2)并项求和法：在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.非等差、等比数列求和的常用方法：倒序相加法；并项求和法．(1)[教材习题改编]一个球从100 m 高处自由落下，着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是( )A ．100＋200×(1－2－9) B ．100＋100(1－2－9) C ．200(1－2－9)D ．100(1－2－9)答案：A(2)[教材习题改编]已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.答案：－100解析：因为f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2，n 为奇数，n 2，n 为偶数，所以f (n )＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.数列求和的两个易错点：公比为参数；项数的奇偶数．(1)设数列{a n }的通项公式是a n ＝x n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.答案：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，x ＝1，x －xn1－x，x ≠1解析：当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝x－xn1－x.(2)设数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.答案：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，－1，n 为奇数解析：若n 为偶数，则S n ＝0；若n 为奇数，则S n ＝－1.[典题1] (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．[答案] 27[解析] 由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋－2×12＝9＋18＝27.(2)若等比数列{a n }满足a 1＋a 4＝10，a 2＋a 5＝20，则{a n }的前n 项和S n ＝________. [答案]109(2n－1) [解析] 由题意a 2＋a 5＝q (a 1＋a 4)，得20＝q ×10，故q ＝2，代入a 1＋a 4＝a 1＋a 1q 3＝10，得9a 1＝10，即a 1＝109.故S n ＝109－2n1－2＝109(2n－1)． [点石成金] 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之．考点2 分组转化法求和分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(1)数列112，314，518，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －＋12n 的前n 项和S n ＝________________. 答案：n 2＋1－12n(2)已知数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为正奇数，2n －1，n 为正偶数， 设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________.答案：377[典题2] 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1＋(－1)n ·(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，求其前n 项和S n .[解] 由通项公式知，S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3，所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上知，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.[点石成金] 分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组转化法求{a n }的前n 项和． (2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比或等差数列，可采用分组转化法求和．[提醒] 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1 与a 4 的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a nn ＋2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)， 解得a 1＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知，b n ＝a nn ＋2＝n (n ＋1)．所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ×(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋ (2)＝n2＋2n 2＝n n ＋2；当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝n －n ＋2－n (n ＋1)＝－n ＋22.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋22，n 为奇数，nn ＋2，n 为偶数.考点3 错位相减法求和错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．(1)[教材习题改编]数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n 项和为________． 答案：2n n ＋1解析：因为11＋2＋…＋n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以数列的前n 项和为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. (2)[教材习题改编]数列22，422，623， (2)2n ，…的前n 项的和为________．答案：4－n ＋22n －1解析：设该数列的前n 项和为S n ， 由题可知，S n ＝22＋422＋623＋ (2)2n ，①12S n ＝222＋423＋624＋ (2)2n ＋1，② ①－②，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1， ∴S n ＝4－n ＋22n －1.[典题3] [2018·山东模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . [解] (1)因为2S n ＝3n＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ≥2时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n.所以T 1＝b 1＝13；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n]， 所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ， 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n ，经检验，n ＝1时也适合． 综上知，T n ＝1312－6n ＋34×3n .[点石成金] 用错位相减法求和的三个注意事项(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．[2018·天津模拟]已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0，解得q 2＝4. 又因为q >0，所以q ＝2，所以d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n－3，所以S n ＝(2n －3)·2n＋3，n ∈N *.考点4 裂项相消法求和裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧： ①1n n ＋＝1n －1n ＋1. ②1nn ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ③1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .[考情聚焦] 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列a n 的通项公式，达到求解目的．主要有以下几个命题角度： 角度一 形如a n ＝1nn ＋k型 [典题4] [2019·重庆模拟]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n >34－1n ＋1(n ∈N *)．(1)[解] 设数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，a 1＋7d －a 1＋2d ＝3，解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)[证明] 由(1)，得S n ＝na 1＋n n －2d ＝n (n ＋2)，∴b n ＝1nn ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2>12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋1＝34－1n ＋1. 故T n >34－1n ＋1.角度二 形如a n ＝1n ＋k ＋n型[典题5] [2019·江南十校联考]已知函数f (x )＝x a的图象过点(4,2)，令a n ＝1f n ＋＋f n，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 014＝( )A. 2 013－1B. 2 014－1C. 2 015－1D. 2 015＋1[答案] C[解析] 由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f n ＋＋f n＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 014－ 2 013)＋( 2 015－ 2 014) ＝ 2 015－1. 角度三形如a n ＝n ＋1n 2n ＋2型[典题6] 正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1n ＋2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)[解] 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得 [S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n . 于是a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)[证明] 由于a n ＝2n ， 故b n ＝n ＋1n ＋2a 2n ＝n ＋14n 2n ＋2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1n ＋2.T n ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－132＋122－142＋132－152＋…＋1n －2－1n ＋2＋1n2－1n ＋2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1n ＋2－1n ＋2<116×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564. [点石成金] 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项． (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2.[方法技巧] 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成．(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．[易错防范] 1.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n，an ＋1的式子应进行合并．2．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项，特别是隔项相消．真题演练集训1．[2018·北京模拟]已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.答案：6解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，2a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，d ＝－2，所以S 6＝6a 1＋12×6×5d ＝36＋15×(－2)＝6.2．[2018·四川模拟]设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案：－1n解析：∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴ S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵ S n ≠0，∴ 1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1. 又1S 1＝－1，∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴ 1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ， ∴ S n ＝－1n. 3．[2018·山东模拟]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)令c n ＝a n ＋n ＋1b n ＋n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知，c n ＝n ＋n ＋1n ＋n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，所以T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]， 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－2n 1－2－n ＋n ＋2＝－3n ·2n ＋2， 所以T n ＝3n ·2n ＋2. 4．[2018·重庆模拟]S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n ＞0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知， b n ＝1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n n ＋.课外拓展阅读数列求和[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .[审题视角][解析] (1)当n ＝k ，k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值， 即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n . 当n ＝1时，上式也成立，故a n ＝92－n . (2)因为9－2a n 2n ＝n 2n －1， 所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1，① 所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n 2n －2，② ②－①，得2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1 ＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1. 故T n ＝4－n ＋22n －1. 方法点睛1．根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案．2．利用S n 求a n 时不要忽视当n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数．3．可以通过当n ＝1,2时的特殊情况对结果进行验证．。
2019版高考理科数学一轮复习课件：第6章(4)数列求和、数列的综合应用
第四讲 数列求和、数列的综合应用
CONTENTS
目录
考情精解读 考纲要求 命题规律 命题分析预测 A考法帮·题型全突破
考法1 数列求和 考法2 等差、等比数列的综合应用 考法3 数列与函数、不等式等的综合应用 考法4 数列的实际应用
理科数学 第六章：数列
考纲要求 考情精解读 命题规律 命题分析预测
=lg(xn· yn)+lg(xn-1y· xyn-1)+…+lg(yn· xn)
=n[lg(xy)+lg(xy)+…+lg(xy)]
=n(n+1)lg(xy)
=8n(n+1),
故Sn=4n(n+1).
考法2 等差、等比数列的综合应用 考法指导 1.等差数列与等比数列比较表
等差数列
通项公式 前n项 和公式 若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q,则 常用性质 am+an=ap+aq. 若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q,则 aman=apaq. (1)an=a1+(n-1)d (2)an=am+(n-m)d
命题分析预测 1.分析预测 本讲是高考的热点,其中等差、等比数列的通项与求和、数列
与不等式的综合、以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点,多以解答
题的形式呈现.
2.学科素养 本讲主要考查考生的数学运算能力和逻辑推理能力.
理科数学 第六章：数列
考法1 数列求和 A考法帮·题型全突破 考法2 等差、等比数列的综合应用 考法3 数列与函数、不等式等的综合应用 考法4 数列的实际应用
理科数学 第六章：数列
推荐2019届高考数学(文科新课标B)一轮复习课件6.4 数列求和、数列的综合应用 (共80张)
2n 1 又由题设可得a1=2,
从而{an}的通项公式为an= 2 (n∈N*).
2n 1
(2)记 2 na的n 1前 n项和为Sn. 由(1)知 a n= = - 2 .
1
1
2 n 1 (2n 1)(2n 1) 2 n 1 2 n 1
文数(课标Ⅱ专用)
§6.4数列求和、数列的综合应用
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
1.(2017课标全国Ⅰ,17,12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
解析 本题考查等差、等比数列. (1)设{an}的公比为q,由题设可得
解析 (1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.
解得a1=1,d= 2 . (3分)
5
所以{an}的通项公式为an= 2 n . 3(5分)
5
(2)由(1)知,bn= 2 n . (36分) 5
当n=1,2,3时,1≤ 2 n <23 ,bn=1;
考点一 数列求和
1.(2015江苏,11,5分)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列
1 an
前 10项的和为
.
答案 2 0
11
解析 由已知得,a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,……,an-an-1=n-1+1(n≥2),则有an-a1=1+2+3+…+n-
2019届一轮复习人教B版文 6.4 数列求和 课件(26张)
-������-
7 2
,������为奇数.
第六章
考点1
考点2
考点3
6.4 数列求和
知识梳理
核心考点
-14-
解题心得1.若数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),则一般利用并 项求和法求数列前n项和,如果数列{f(n)}是等差数列,因为{(-1)n}是
等比数列,所以也可以用错位相减法求和.
⇒
������ = 1 + ������, ������2 = 1 + 4������⇒q=3(q=1
舍去).
∴d=2,∴an=3n,bn=2n+1.
(2)由题意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+…+cn=(3+5)+(-7+9)+…+[(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)]+3+32+…+3n.
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考点1
考点2
考点3
考点 2 错位相减法求和
例2(2017山东,文19)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且
a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求数列{an}的通项公式;
(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,
求数列
������������ ������������
2.具有下列特点的数列适合分组求和
(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差数列或等比数列,可采用分组求
和法求{an}的前n项和;
(2)通项公式为 an=