矩阵理论
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
矩阵理论
由基1， 2， 3， 4到1， 2， 3， 4的过渡矩阵为 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0
设 =(x1,x2 ,x3 ,x4 )T 在1，2，3，4下的坐标为y1,y2 ,y3 ,y4 ,则
x1 y1 x2 y2 , =(1 , 2 , 3 , 4 ) =(1 , 2 , 3 , 4 ) x3 y3 x4 y4
i 1 m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi , 则
i 1
m
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无 限维空间，记dim V= ∞.
k1 +k2 +k3 +k4 =1 k +k -k -k =2 5 1 1 1 1 2 3 4 于是有 解之得k1 = ,k2 = ,k3 =- ,k4 =- . 4 4 4 4 k1 -k2 +k3 -k4 =1 k1 -k2 -k3 +k4 =1
1 2 1 1 1 1 练习 : 在R 中求向量A= 在基 ， 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ， 下的坐标. 0 1 1 1
其中1, 2 ,3 , 4为R 4中的标准基.
x1 2 x2 1 即 =(1 , 2 , 3 , 4 ) =(1 , 2 , 3 , 4 ) x3 0 x4 1
0 -2 1 y1 1 1 3 y2 , 2 1 1 y3 2 2 2 y4
矩阵理论-第二章内积空间
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
矩阵理论
矩阵理论通过学习矩阵理论这门课，发现在这个大数据的时代，矩阵理论是这个时代的基础学科，也是计算机飞速发展的引擎，它的重要性令我咂舌。
一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。
本门课程主要包含以下几部分内容：线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。
一 线性方程组对*m n 矩阵A 施行一次初等行变换(初等行变换)，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶(n 阶)初等矩阵。
由于现代计算机处理的数据越来越多，运行的任务越来越大，因此，对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。
对行列式的拉普拉斯变换是将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1n -阶行列式的计算，但是它的计算时间是!n 级。
所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要，但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。
判断一个算法的优劣，有很多标准，包括时间复杂度和空间复杂度，显然，时间复杂度越小，说明算法效率越高，因此算法也越有价值；而空间复杂度越小，说明算法越好。
但主要考虑时间复杂度，因为人生苦短嘛哈哈。
对于一些常用的()f n ，成立下列重要关系：23(1)(log )()(log )()()(2)(3)(!)()n n n O O n O n O n n O n O n O O O n O n <<<<<<<<<LU 分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。
LU 分解就是在可以的情况下，将矩阵A 分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。
这样的话，对Ax b =求解，可以转化为对Ly b =求解，然后对Ux y =求解。
但是，不是每一个矩阵都可以这样分解，是要满足一定的要求的，这个要求就是矩阵A 的顺序主子式均不为零。
但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗？当然不是啦！加入一个方阵A 不是顺序主子式不全为零的时候，但是通过行变换，可以满足要求，这样就得了下面这个定理。
矩阵理论第五章
记作
lim
k
Ak
A
或者
Ak A (k ) .
不收敛的矩阵序列称为是发散的.
例 3 设有二阶矩阵序列
1 1 2 1
k 1
2
2 , 3
4 , …… , k 1
2k
, ……
1 3 1 4
1 k 1
3 2 9 3
3k k
易知该矩阵序列的极限为 10 01 .
性质 1
若 lim k
设 A1, A2 ,, Ak , 为一个矩阵序列,
其中
Ak
的元素
a (k) ij
为自然数的函数.
定义 2 设有矩阵序列 {Ak } ,其中 Ak (aij(k) ) Rmn ,
如果当 k
时,有
a (k) ij
aij
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称{Ak }收敛,并称矩阵 A 为{Ak } 的极限,或者说 {Ak } 收敛于 A,
定理 2 设 A C nn , ( A) 为 A 的谱半径,则对任意
给定的正数 ,总存在矩阵 A 的某种范数 ,使得
A (A) .
定理 3 设有矩阵序列 {Ak } : A, A2 ,, Ak ,
则 lim Ak 0 的充要条件是 k
其中 ( A)为 A 的谱半径.
( A) 1
是 Rn 的向量范数.
证明 (1) 非负性显然. (2) 齐次性
对 k R, x ( x1, x2 ,, xn )T R n ，则
n
k x p
(kx1, kx2 ,, kxn )
p
(
k xi )p 1/ p
i 1
n
k (
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
矩阵理论在图像与信号处理中的应用研究
矩阵理论在图像与信号处理中的应用研究矩阵理论作为数学的一个分支，近年来更加深入到各种领域的应用中，其中在图像与信号处理中得到了广泛的应用。
本文将围绕这一主题进行深入的研究和探讨。
首先，我们需要了解矩阵理论的基本概念和原理。
矩阵是由若干个数排列组成的矩形数据表，一般表示为m×n的形式，其中m表示行数，n表示列数。
矩阵的运算包括加、减、乘和求逆等，这些基本运算是矩阵理论在图像与信号处理中得到广泛应用的基础。
在图像处理中，矩阵理论主要应用于图像压缩和图像增强。
在图像压缩中，矩阵理论可以将原始图像转换成矩阵形式，然后通过奇异值分解（SVD）来压缩图像。
SVD 是矩阵分解的一种方法，可以将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积，其中第一个矩阵包含了左奇异向量，第三个矩阵包含了右奇异向量，而中间的矩阵则包含了奇异值。
通过压缩奇异值，我们可以将图像压缩成更小的尺寸，从而节省存储空间。
在图像增强中，矩阵理论主要应用于图像滤波和去噪。
在图像滤波中，我们可以将滤波算子表示为矩阵形式，然后将其与原始图像矩阵相乘，得到一个新的图像矩阵。
这种方法可以有效地去除图像中的噪声和杂点，并使图像变得更加平滑。
在去噪方面，我们可以使用矩阵平均值滤波和中值滤波等方法，这些方法依靠矩阵的基本运算来实现对图像的去噪处理。
另外，在信号处理中，矩阵理论同样得到了广泛的应用。
在信号处理中，矩阵可以表示为时间序列或频域数据表，可以通过基本的矩阵运算来显示和处理信号。
例如，在数字信号处理中，频域矩阵的奇异值分解和小波变换被广泛地应用于信号滤波、特征提取等方面。
此外，矩阵理论还可以应用于自动化控制系统，用于控制和监测复杂系统的状态和变化，例如天气预测、金融数据分析等等。
总之，矩阵理论是图像与信号处理中不可或缺的基础理论，它为我们处理大量的数据提供了基本思路和方法。
在未来的发展中，矩阵理论将会继续在图像与信号处理领域得到更加广泛的应用，使我们的世界变得更加智能和高效。
矩阵理论-第七讲
1 − a12 / a11 L − a1n / a11 1 O 1 0
a12 (− a12 ) + a22 a11 M a12 (− a1n ) + a2 n a11
a1n L (− a12 ) + a2 n a11 O M a1n L (− a1n ) + ann a11
AH Ax = λ x ，且 x ≠ 0 x=0 否则， 否则， AH Ax = λ x = 0
y = Ax ≠ 0
AAH y = AAH Ax = A( AH Ax) = Aλ x = λ y
H H H 的特征值（ 同理可证 AA 的非零特征值也是 A A的特征值（只要设 y = A x ）
3. 由
x H Ax = x H P H Px = ( Px) H ( Px) = Px, Px > 0
兰州大学信息科学与工程学院
λ2 L
矩阵理论第7讲-5
Hermite矩阵的正定性 – 推论 Hermite正定矩阵的行列式大于零 正定矩阵的行列式大于零 由 det A = λ1λ2 L λn > 0 易知
a12 L a1n a22 L a2 n M O M a2 n L ann
1 − a12 / a11 L − a1n / a11 1 O 1
矩阵理论第7讲-10
兰州大学信息科学与工程学院
Hermite矩阵的正定性
a11 0 = M 0
• 充分性
对阶数n用数学归纳法证明 用数学归纳法证明A是 设 ∆ k = det Ak > 0 ( k = 1,L , n) ，对阶数 用数学归纳法证明 是 Hermite正定矩阵。 正定矩阵。 正定矩阵 当k = 1时，a11 = det A1 > 0 时
矩阵理论 -Kronecker积
返回
(8) 当m n, p q时，
tr( A B) trA• trB
(9) rank(A B) rankA• rankB
(10) 当m n, p q时，
det( A B) (det A) p g(det B)m
证：
1
A
P 1
2
O
P
P 1J1 P
a22 L LL
am1 am2 L
a1n
a2n L
amn
记A的列为 Ac1, Ac2 ,K , Acn A ( Ac1, Ac2 ,K , Acn )
Ac1
向量化算符:Vec
A
Ac2 M
Acn
返回
性质1： Vec (kA lB) kVec A lVec B
定理5：设 A Cmn , X Cnr , B Crs , 则 Vec ( AXB) (BT A)Vec X
0
m
返回
1
பைடு நூலகம்
B
Q1
0
2
O
Q
Q 1 J 2Q
p
A B (P1J1P) (Q1J2Q) (P Q)1(J1 J2 )(P Q)
det( A B) det(J1 J2 )
p
p
p
m
p
( 1 j )( 2 j )L ( m j ) ( i ) p ( j )m
(2)当U,V均为酉矩阵时,U V也是酉矩阵;
(3) ( AB)[k] A[k]B[k].
返回
例1：以1或-1为元素的m阶矩阵H，如果有 HH T mEm
则称H 为m阶Hadamard矩阵.设Hm , Hn分别为m, n阶Hadamard矩阵,则 Hm Hn为mn阶Hadamard
矩阵理论
矩阵函数
我们知道，在复变函数论中，复变量幂级数：
zm ∑ m =0 m!
∞
R = +∞ = ˆ ez
m =0
∑ (−1) m−1
∞
∞
z 2 m −1 (2m − 1)! z 2m (2m)!
R = +∞ = ˆ sin z
1 + ∑ cos z
都在整个复平面上收敛，因而都有确定的和（如上） 。由上节 Th3.及 推论知 ∀A ∈ C n×n ，则方阵幂级数：
矩阵（矩阵函数） f ( A) ——是本节课所要解决的问题。 Th1.对 ∀Z ∈ C n×n ， 若 ∑ cm Z m 收敛，其和记为 f ( Z ) ， 即： f ( Z ) = ∑ c m Z m
m=0 m =0 ∞ ∞
则当 Z = diag ( Z1 , Z 2 ,", Z t ) 时，有 f ( Z ) = diag ( f ( Z 1 ), f ( Z 2 )," , f ( Z t )) Proof: f ( Z ) = f (diag ( Z 1 , Z 2 ," , Z t )) = lim ∑ c m (diag ( Z 1 , Z 2 ," , Z t )) m N →∞
1 ⎞ ⎛ ⎜1 ⎟ − 2 − 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎛ ⎞ 1⎛ 2 −1 ⎟ 令P =⎜ ⎜ 0 1⎟ ⎟=⎜ ⎜ 0 − 2⎟ ⎟ ，则 P 可逆，且 P = − 2 ⎜ ⎟ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜0 − ⎟ 2⎠ ⎝
则 A = P⎜ ⎜
⎛ 0 0 ⎞ −1 ⎟ ⎟P ⎝ 0 − 2⎠
即 PAP −1 = ⎜ ⎜
m =0 ∞
∞
( z < R)
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1. 在R 22⨯中求矩阵
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=3021A 在基123111111,,,111000E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦41000E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
下的坐标。
2. 试证：在R 22⨯中矩阵
123411111110,,,11011011αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性无关，并求⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a α在1234,,,αααα下的坐标。
3. 在R 22⨯空间中，线性变换T ：
()221240,2114T X X X R ⨯-⎡⎤⎡⎤=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 求T 在基123101111,,,000010ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦41111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
下的矩阵表示。
4. 设T 是线性空间3R 上的线性变换，它在R 3中基123,,ααα下的矩阵表示是
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=512301321A （1）求T 在基112123123,,ααααααβββ==+=++下的矩阵表示；
（2）求T 在基123,,ααα下的核与值域。
5. 求下列矩阵的Jordan 标准及其相似变换矩阵P
（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----211212112 , （2）⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2000120010201012 . 6. 已知矩阵
310121013A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
验证A 是正规矩阵，并求A 的谱分解表达式。
7. 已知3阶矩阵
1114335A x y -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
的二重特征值2λ=对应两个线性无关的特征向量
（1）求,x y ；
（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵；
（3）求A 的谱分解表达式。
8. 已知矩阵
011101110A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
验证A 是正规矩阵，并求A 的谱分解表达式。
9. 已知矩阵
024*********A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
验证A 是单纯矩阵，并求A 的谱分解表达式。
10. 设
000a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
问a 取何值时，有lim 0k k A →∞
=。
11. 判断矩阵幂级数01
1634136k k ∞=⎡⎤-⎢⎥⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦∑的敛散性。
12. 已知 13553
155A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，。