郑州市高考数学二模试卷(理科) (I)卷
2022届河南省郑州市高考二模考试数学(理科)试卷(word原卷)
郑州市2022年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}22A x x x ==，集合{}03B x x =∈<<Z ，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}0,1,2C ．{}03x x <<D ．{}03x x ≤<2．已知i 是虚数单位，若1i3i 1iz +=--，则z =（ ）A ．1BC ．2D ．43．设0.22a =，2sin3b π=，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a<<C ．b a c <<D ．c a b <<4．在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界。
从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（ ） A ．9.5 尺 B ．10.5 尺 C ．11.5 尺 D ．12.5 尺 5．已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB=2AA 1，M 是AA 1的中点，则异面直线AD 1与BM 所成角的余弦值为（ ）A ．215B ．17C ．4D ．856．4222a x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为（ ） A ．−32B ．32C ．−64D ．647．函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图象如图所示，则（ ）A ．3πϕ=，73πω=B ．()2y f x =+是奇函数C ．直线4x =-是()f x 的对称轴D ．函数()f x 在[]3,4上单调递减8．某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，则他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（ ） A ．240种 B ．480种 C ．540种 D ．720种 9．若平面上两点A （−2，0），B （1，0），动点P 满足|PA|=2|PB|，则动点P 的轨迹与直 线l ：()2y k x =-的公共点的个数为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．与实数k 的取值有关10．2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730012t N N ⎛⎫=⋅⎪⎝⎭（0N 表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的2至34，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（ ）（参考数据：2log 3 1.6≈） A ．2600年B ．3100年C ．3200年D ．3300年11．已知F 1，F 2是双曲线C ：22214x y a -=（0a >）的左右焦点，点A 在双曲线的右支上，点P，2）是平面内一定点，若对任何实数m ，直线20x y m ++=与双曲线C 至多有一个公共点，则2AP AF +的最小值（ ） A．4B．4C．2D．212．已知数列{}n a 满足22a =，2212n n n a a -=+（n *∈N ），()2121nn n a a +=+-（n *∈N ），则数列{}n a 第2022项为（ ） A ．101222- B ．101223- C ．101122- D ．101121-第Ⅰ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线sin 2cos y x x =-在点（π，2）处的切线方程是________．14．已知椭圆221167x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，椭圆上一点P 满足|OP|=3，则△F 1PF 2的面积为________．15．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB△CD ，AB=2BC=2CD=2，将△ACD 沿AC 折叠形成三棱锥D 1−ABC ．当二棱锥D 1−ABC 体积最大时，则此时三棱锥外接球体积为________．16．已知函数()2xf x e =-，()2g x x ax =+（a ∈R ），()21h x kx k =-+（k ∈R ），给出下列四个命题，其中真命题有________．（写出所有真命题的序号） △存在实数k ，使得方程()()f x h x =恰有一个根； △存在实数k ，使得方程()()f x h x =恰有三个根；△任意实数a ，存在不相等的实数1x 、2x ，使得()()()()1212f x f x g x g x -=-；△任意实数a ，存在不相等的实数1x 、2x ，使得()()()()1221f x f x g x g x -=-．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2019年河南省郑州一中高考数学二模试卷(理科)解析版
2019年河南省郑州一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-4x-5＜0}，集合B={x|-2＜x＜2}．则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知复数z=（i为虚数单位），则=（）A. B. C. D.3.已知命题p：方程ax2+by2=1表示双曲线；命题q：b＜0＜a．命题p是命题q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知等差数列{a n}各项均为正数，a1+a2+a3=12，a1•a2•a3=48，则数列{a n}的通项公式为（）A. 2nB.C.D. n5.函数y=的图象大致为（）A.B.C.D.6.已知F1，F2分别为椭圆C的两个焦点，P为椭圆上任意一点．若的最大值为3，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.7.如图所示的程序框图，则输出结果为（）A.B.C. 3D. 8.已知函数f（x）=，，＜，则不等式f（x）≤1的解集为（）A. B. ， C. D.9.将曲线x2+y2=|x|+|y|围成的区域记为Ⅰ，曲线x2+y2=1围成的区域记为Ⅱ，曲线x2+y2=1与坐标轴的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，则（）A. B. C. D.10.第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有（）A. 150B. 126C. 90D. 5411.若关于x的方程2019|x-1|+a sin（x-1）+a=0只有一个实数解，则实数a的值（）A. 等于B. 等于1C. 等于2D. 不唯一12.已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为20π，则三棱柱的体积为（）A. B. 12 C. D. 18二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足线性约束条件，则2x-3y的最小值为______．14.已知||=1，=（，），||=2，则在方向上的投影为______．15.将y=sin（x）的图象向右平移φ个单位后（φ＞0），得到y=cos x的图象，则φ的最小值为______．16.已知二进制和十进制可以相互转化，例如89=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20，则十进制数89转化为二进制数为（1011001）2，将n对应的二进制数中0的个数，记为a n（例如：4=（100）2，51=（110011）2，89=（1011001）2，则a4=2，a51=2，a89=3，），记f（n）=，则f（22018）+f（22018+1）+f（22018+2）+…+f（22019-1）=______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=sin2sin x-，△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．（1）求f（A）的取值范围；（2）若C＞A，f（A）=0，且2sin A=sin B+，△ABC的面积为2，求b的值．18.如图所示，在多面体BC-AEFD中，矩形BCFE所在平面与直角梯形AEFD所在平面垂直，AE∥DF，AE⊥EF，G为CD的中点，且AE=BE=BC=1，DF=2．（1）求证：AG∥平面BCFE；（2）求直线AB与平面AGE所成角的正弦值．19.某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．问两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．（设各局胜负相互独立，各选手水平互不相同．）20.已知点G在抛物线C：x2=4y的准线上，过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）证明：x1x2+y1y2为定值；（2）当点G在y轴上时，过点A作直线AM，AN交抛物线C于M，N两点，满足AM⊥MN．问：直线MN是否恒过定点P，若存在定点，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21.设函数f（x）=x lnx-+a-x（a∈R）．（1）若函数f（x）有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；（2）若a=2，k∈N，g（x）=2-2x-x2，且当x＞2时不等式k（x-2）+g（x）＜f（x）恒成立，试求k的最大值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+a=0．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程，并指出两曲线的轨迹图形；（2）曲线C1与两坐标轴的交点分别为A、B，点P在曲线C2运动，当曲线C1与曲线C2相切时，求△PAB 面积的最大值．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|x-1|．（1）解不等式f（x）＞2；（2）记函数g（x）=f（x）+f（-x），若对于任意的x∈R，不等式|k-1|＜g（x）恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={x|-1＜x＜5}；∴A∩B={x|-1＜x＜2}．故选：A．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z=，∴z（1+i）2=1-i，∴2zi=1-i，则-2z=i（1-i）=1+i，∴z=-，则．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：方程ax2+by2=1表示双曲线等价于ab＜0，即命题p：ab＜0，由ab＜0推不出b＜a＜0，充分性不具备，由b＜a＜0能推出ab＜0，必要性具备，故命题p是命题q的必要不充分条件，故选：B．命题p等价为ab＜0，在和命题q对比即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用好双曲线方程系数的关系是解决本题的关键，比较基础．4.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a2+a3=12，可得：3a2=12，解得a2=4，又a1•a2•a3=48，∴a1•a3=12，又a1+a3=8，∴a1，a3是方程x2-8x+12=0的两根，又等差数列{a n}各项均为正数，∴a1=2，a3=6，∴d=2故数列{a n}的通项公式为：a n=2+2（n-1）=2n．故选：A．利用等差数列的性质及通项公式求得首项与公差，即可得到数列{a n}的通项公式．本题考查了等差数列的通项公式及性质、一元二次方程的根与系数的关系及其解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由f（x）的解析式得f（-x）+f（x）=0，∴f（x）是奇函数图象关于原点对称，当x=1时，f（1）=＜1，排除A，当x＞0时，f（x）==，函数在（0，+∞）上单调递减，故可排除B，D故选：C．结合函数图象性质，利用函数的单调性及特殊值即可作出判断．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的定义域，函数的单调性，函数的奇偶性，判断图象的对称性；函数的特征点，利用排除法是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：P到椭圆C焦点的最大距离为a+c，最小距离为a-c，又的最大值为3，∴，∴e=．故选：B．P到椭圆C焦点的最大距离为a+c，最小距离为a-c，结合题意可得结果．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见方法：求出a，c，代入公式e=只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．7.【答案】D【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=log23×log34×log45×log56×log67×log78×log89值，由于S=log23×log34×log45×log56×log67×log78×log89=×==log29．故选：D．模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=log23×log34×log45×log56×log67×log78×log89值，即可求得S的值．本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序框正确得到程序的功能是解题的关键，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：当x≥1时，f（x）≤1即为：log2x≤1解得1≤x≤2当x＜1时，f（x）≤1，即为：解得x≤0．综上可得，原不等式的解集为（-∞，0][1，2]故选：D．对x讨论，当x＞0时，当x≤0时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集．本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由方程x2+y2=|x|+|y|，得：，或者，或者，或者，曲线x2+y2=|x|+|y|围成的区域Ⅰ、曲线x2+y2=1围成的区域Ⅱ、四边形ABCD围成的区域Ⅲ，如图：可知区域Ⅰ的面积为=2+π；区域Ⅱ的面积为π×12=π；区域Ⅲ的面积=2；∴由几何概率公式得：，，故p1+p2=1．故选：C．由题意分别计算出三个区域的面积，即可得到p1+p2=1，本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：记两名女记者为甲乙，三名男记者为丙、丁、戊根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选：B．记两名女记者为甲乙，三名男记者为丙、丁、戊，根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论．11.【答案】A【解析】解：令t=x-1，则关于x的方程2019|x-1|+asin（x-1）+a=0只有一个实数解等价于关于t的方程2019|t|+asint+a=0只有一个实数解，若a≥0，则由sint≥-1及y=2019x为增函数，得：2019|t|+asint+a≥20190-a+a=1＞0，方程无解，故a＜0，令f（t）=2019|t|+a，g（t）=asint，则y=f（t）在t=0时取最小值1+a，又函数y=g（t）的图象关于点（0，0）对称，当a=-1时，两函数y=f（t）、y=g（t）的图象有且只有一个交点，此而满足题意，当a＜-1时，两函数y=f（t）、y=g（t）的图象有两个交点，此而不合题意，当-1＜a＜0时，两函数y=f（t）、y=g（t）的图象没有交点，此而不合题意，所以a=-1为所求，故选：A．由函数的对称性得：令f（t）=2019|t|+a，g（t）=asint，则y=f（t）在t=0时取最小值1+a，又函数y=g（t）的图象关于点（0，0）对称，由分类讨论的数学思想方法得：分别讨论当a=-1时，当a＜-1时，当-1＜a＜0时，两函数y=f（t）、y=g（t）的图象的交点个数即可得解，本题考查了函数的对称性及函数图象的交点，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型12.【答案】A【解析】解：为三棱柱ABC-A1B1C1的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R，∵球O的面积为20π，4πR2=20π，解得，底面和侧面截得的圆的大小相同，∴，∴，①又∵，②由①②得，h=2，三棱柱的体积为．故选：A．由题意可知该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R ，可得，，从而得到结果．空间几何体与球接、切问题的求解方法（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2=a2+b2+c2求解．13.【答案】【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，令z=2x-3y，则，作出直线l ：，平移直线l，由图可得，当直线经过点C时，直线在y轴上的截距最大，此时z=2x-3y取得最小值，由，可得，即，∴z=2x-3y 的最小值是．故答案为：．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-3y直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．14.【答案】【解析】解：∵||=1，=（），||=2，∴=4，∴∴则在方向上的投影为：故答案为：-．对向量的模两边平方得到数量积，代入投影公式得到结果．本题考查平面向量的数量积的性质，考查向量的模，向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：将y=sin（x）的图象向右平移φ个单位后（φ＞0），可得y=sin（x-φ）的图象；又因为得到y=cosx=sin（x+）的图象，∴sin（x+）=sin（x-φ），∴=2kπ-φ-，k∈Z，∴φ=2kπ-，则当k=1时，φ取得最小值为，故答案为：．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，求得φ的最小值．本题主要考查了三角函数的图象变换，诱导公式、考查了函数与方程思想，属于中档题．16.【答案】32018【解析】解：依题意=1×22018+0×22017+0×22016+……+0×20=2018，可以理解为在1×22018后的2018个数位上，有2018选择0，∴f（22018）=22018，=1×22018+0×22017+……+0×21+1×20=2017，可以理解为在1×22018后的2018个数位上，有2017选择0，∴f（22018+1）=22017，根据计数原理，在f（22018），f（22018+1），f（22018+2），…，f（22019-1）中等于22017共有个，同理在f（22018），f（22018+1），f（22018+2），…，f（22019-1）中等于22016的共有个，……在f（22018），f（22018+1），f（22018+2），…，f（22019-1）中等于20的有个．所以f（22018）+f（22018+1）+f（22018+2）+…+f（22019-1）=++……+=（1+2）2018=32018．故填：32018．根据计数原理将原式转化为求和问题，再用二项式定理处理．本题考查了二进制，计数原理，二项式定理等知识，综合性强，难度大，属于难题．17.【答案】解：（1）f（x）=sin2sin x-=+-=sin（x-）．由题意0＜A＜π，则A-∈（-，），可得：sin（A-）∈（-，1]．可得：f（A）的取值范围为（-，]．（2）方法一：由题意知：sin（A-）=0，∴A-=kπ，k∈Z，∴A=+kπ，k∈Z．又∵A为锐角，∴A=．由余弦定理及三角形的面积得：，解得b=2．方法二：2sin=sin（-C）+sin C，且C＞A，可得C=，则△ABC为等腰直角三角形，由于：b2=2，所以：b=2．【解析】（1）由题易得f（x）=sin（x-），利用正弦函数的图象与性质可得f（A）的取值范围；（2）利用f（A）=0，可得A=，结合余弦定理及三角形的面积公式可得结果．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．18.【答案】（1）证明：取CF的中点H，连结EH．∵H是CF的中点，G是CD的中点．∴GH∥FD，GH=FD．又AE∥DF，AE=DF．∴AE∥GH，AE=GH．∴四边形AGHE是平行四边形，∴AG∥EH．又∵AG⊄平面EFCB，EH⊂平面EFCB．∴AG∥平面EFCB．（2）∵平面BEFC⊥平面AEFD，CF⊥EF，平面AEFD∩平面EFCB=EF，∴CF⊥平面AEFD．∴CF⊥EF，CF⊥FD．∵AE∥DF，AE⊥EF，∴EF⊥DF．以F为原点，分别以FE、FD、FC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系F-xyz，则E（1，0，0），F（0，0，0），D（0，2，0），C（0，0，1），A（1，1，0），B（1，0，1），G（0，1，），∴=（-1，0，），=（0，-1，0）．设平面AGE的一个法向量为=（x，y，z），则，令z=2，得=（1，00，2）．又=（0，-1，1），∴cos＜，＞==．∴直线AB与平面AGE所成角的正弦值为．【解析】（1）取CF的中点H，连结EH，证明四边形AGHE为平行四边形即可得出AG∥EH，故而AG∥平面BCFE；（2）以F为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出直线AB与平面AGE所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间向量坐标法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.【答案】解：甲乙两人对决，若甲更强，则其胜率p＞．采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为：，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜二局，由独立性得五局三胜制下甲最终获胜的概率为：（1-p）+．而p2-p1=p2（6p3-15p2+12p-3）=3p2（p-1）2（2p-1）．∵p＞，∴p2＞p1，即五局三胜的条件下甲最终获胜的可能更大．∴五局三胜制更能选拔出最强的选手．【解析】分别求出三局两胜制甲胜的概率和五局三胜制甲胜的概率，由此能得到采用“五局三胜制”对甲有利．本题考查概率的求法及应用，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）法1：抛物线C：x2=4y的准线为l：y=-1，故可设点G（a，-1），由x2=4y，得，所以．所以直线GA的斜率为．因为点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线C上，所以，．所以直线GA的方程为．因为点G（a，-1），在直线GA上，所以，即．同理，可知．所以x1，x2是方程x2-2ax-4=0的两个根，所以x1x2=-4．又，所以x1x2+y1y2=-3为定值．法2：设过点G（a，-1），且与抛物线C相切的切线方程为y+1=k（x-a），由，消去y得x2-4kx+4ka+4=0，由△=16k2-4（4ak+4）=0，化简得k2-ak-1=0，所以k1k2=-1．由x2=4y，得，所以．所以直线GA的斜率为．直线GB的斜率为．所以，即x1x2=-4．又，所以x1x2+y1y2=-3为定值．（2）存在，由（1）知．不妨设x1＜x2，则x1=-2，x2=2，即A（-2，1），B（2，1）．设设M（x M，y M），N（x N，y N）．则，两式作差，可得（x1-x M）（x1+x M）=4（y1-y M），所以直线AM的斜率为，同理可得，因为AM⊥MN，所以，整理得x M•x N-2（x M+x N）+20=0，又，①又因为因为，，两式作差，可得（x M-x N）（x M+x N）=4（y M-y N），从而可得直线MN的斜率为，所以直线MN的方程为，化简可得4y=（x M+x N）x-x M x N，将①代入上式得4y=（x M+x N）x-2（x M+x N）+20，整理得4（y-5）=（x M+x N）（x-2）．所以直线MN过定点（2，5），即P点的坐标为（2，5）．【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．【解析】（1）求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得，同理可知．则x1，x2是方程x2-2ax-4=0的两个根，则由韦达定理求得x1x2，y1y2的值，即可求证x1x2+y1y2为定值；（2）设M（x M，y M），N（x N，y N ）．利用点差法可得，同理可得，结合垂直关系可得x M•x N-2（x M+x N）+20=0，又因为，两式作差，可得（x M-x N）（x M+x N）=4（y M-y N），，从而可得结果．本题主要考查圆锥曲线中定点问题的常见解法，假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；属于较难题目．21.【答案】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f （x）=ln x-ax，令f （x）=0，可得ln x-ax=0，∴a=，令h（x）=，则由题可知直线y=a与函数h（x）的图象有两个不同的交点，h （x）=，令h （x）=0，得x=e，可知h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，h（x）max=h（e）=，当x趋向于+∞时，h（x）趋向于零，故实数a的取值范围为（0，）．（2）当a=2时，f（x）=x lnx-x2+2-x，k（x-2）+g（x）＜f（x），即k（x-2）＜x lnx+x，因为x＞2，所以k＜，令F（x）=（x＞2），则F （x）=，令m（x）=x-4-2ln x（x＞2），则m （x）=1-＞0，所以m（x）在（2，+∞）上单调递增，m（8）=4-2ln8＜4-ln e2=0，m（10）=6-2ln10＞6-2ln e3=0，故函数m（x）在（8，10）上唯一的零点x0，即x0-4-2ln x0=0，故当2＜x＜x0时，m（x）＜0，即F （x）＜0，当x0＜x时，F （x）＞0，所以F（x）min=F（x0）===，所以k＜，因为x0∈（8，10），所以∈（4，5），所以k的最大值为4．【解析】（1）求出函数的导数，得到a=，令h（x）=，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）代入a的值，问题转化为k ＜，令F（x）=（x＞2），求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.【答案】解（1）曲线C1化为普通方程为x+y+3=0，是一条直线，对于曲线C2：由x=ρcosθ及x2+y2=ρ2代入曲线C2的极坐标方程得其直角坐标方程为x2+y2-2x+a=0，即为（x-1）2+y2=1-a．当a＜1，曲线C2是以（1，0）为圆心，为半径的圆．当a=1，曲线C2表示一点（1，0）．当a＞1，曲线C2不存在．（2）由（1）知曲线C1化为普通方程为x+y+3=0，令x=0，y=-3；y=0，x=-3，所以A（-3，0），B（0，-3），又由题可知a＜1，曲线C2：（x-1）2+y2=1-a，由直线与圆相切可知=，解得a=-7，此时C2：（x-1）2+y2=8，所以（S△PAB）max=|AB|•2R=×3×=12，所以△PAB面积的最大值为12．【解析】（1）曲线C1化为普通方程，表示一条直线；曲线C2化为普通对a分类讨论明确轨迹的形态；（2）先求出A，B的坐标，得到|AB|，利用圆的切线求出圆上点到直线的最大距离，即可得到结果．本题考查三角形面积最值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（1）依题意得f（x）=，，＜＜，，于是得＞或＜＜＞或；解得x＜-，或x＞0；即不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜-或x＞0}；（2）g（x）=f（x）+f（-x）=|x-1|+|x+1|+（|2x+1|+|2x-1|）≥|（x-1）-（x+1）|+|（2x+1）-（2x-1）|=4，当且仅当，即x∈[-，]时取等号，若对于任意的x∈R，不等式|k-1|＜g（x）恒成立，则|k-1|＜g（x）min=4，所以-4＜k-1＜4，解得-3＜k＜5，即实数k的取值范围为（-3，5）．【解析】（1）讨论x的取值范围，解不等式组即可得到结果；（2）不等式|k-1|＜g（x）恒成立即|x-1|＜g（x）min恒成立，求函数的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式的应用问题问题，也考查了不等式恒成立求参数的范围问题，考查了分类讨论思想，转化思想，是中档题．。
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷和答案(理科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3＜x＜22}，且A ∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，9]B．（﹣∞，9）C．[2，9]D．（2，9）2．（5分）已知复数z＝（其中i是虚数单位，满足i2＝﹣1）则z 的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 3．（5分）郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．234．（5分）圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的方程为（）A．（x+3）2+（y+2）2＝4B．（x+4）2+（y﹣6）2＝4C．（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4D．（x+6）2+（y+4）2＝4 5．（5分）在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（）A．30米B．20米C．15米D．15米6．（5分）若α∈（，π），则2cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．1D．7．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）8．（5分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等•劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），则Gini ＝；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），则Gini ＝．其中不正确的是（）A．①④B．②③C．①③④D．①②④9．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）A．96B．84C．120D．360 10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．211．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．6πD．24π12．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y ＝﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若＝2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（x+）6展开的所有项的系数和为，展开式中的常数项是．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cosx﹣sinx，当x∈[﹣4π，4π]且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是．15．（5分）已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD ＝l，BC＝2，M是AB边上的动点，则||的最小值为．16．（5分）设函数的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，S7＝77，且满足a112＝a1•a61．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．附：；其中n＝a+b+c+d独立性检验临界表：P（K2＞k0）0.1000.0500.010K 2.706 3.841 6.63519．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将△ACD 折起，使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上．（1）求证：平面ACD⊥平面BCD；（2）当时，求二面角D﹣AC﹣B的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy内，动点A到定点F（3，0）的距离与A到定直线x＝4距离之比为．（Ⅰ）求动点A的轨迹C的方程；（Ⅱ）设点M，N是轨迹C上两个动点直线OM，ON与轨迹C 的另一交点分别为P，Q，且直线OM，ON的斜率之积等于﹣，问四边形MNPQ的面积S是否为定值？请说明理由．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数F（x）＝在（0，十∞）上的单调性．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a 的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】根据A∩B＝A可得出A⊆B，从而可讨论A是否为空集：A＝∅时，a+1＞3a﹣5；A≠∅时，，解出a的范围即可．【解答】解：∵A∩B＝A，∴A⊆B，且A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3＜x＜22}，∴①A＝∅时，a+1＞3a﹣5，解得a＜3；②A≠∅时，，解得3≤a＜9，∴综上得，实数a的取值范围是（﹣∞，9）．故选：B．2．【分析】利用复数的运算法则化简z，再根据共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝＝﹣2﹣i，则z的共轭复数是﹣2+i．故选：C．3．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．4．【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求的圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，进而求出圆的方程．【解答】解：由圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4可得圆心坐标（﹣2，12），半径为2，由题意可得关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的圆心与（﹣2，12）关于直线对称，半径为2，设所求的圆心为（a，b）则解得：a＝4，b＝6，故圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4，故选：C．5．【分析】如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°．△OAB为等边三角形，可得OA＝30，利用等腰直角三角形的性质即可得出．【解答】解：如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°．△OAB为等边三角形，∴OA＝30，∵OP⊥平面ABCDEF，∴∠OAP＝45°，∴OP＝OA＝30．要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30m．故选：A．6．【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：法1：∵α∈（，π），且2cos2α＝sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）＝（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα＝﹣，或cosα﹣sinα＝0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cosα+sinα＝，则有1+sin2α＝，sin2α＝﹣；故选：B．法2：∵α∈（，π），∴2α∈（π，2π），∴sin2α＜0，综合选项，故选：B．7．【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．【解答】解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．8．【分析】可由当Gini＝，则a越小，不平等区域越小，越公平，进行判断①，f（x）＜x，则对∀x∈（0，1），均有＜1，可由判断②，先积分求a，再求Gini，判断③④【解答】解：①：由题意知A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．当Gini＝，则a越小，不平等区域越小，越公平，①对，②：由图可知f（x）＜x，则对∀x∈（0，1），均有＜1，②错；③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），a＝，Gini＝，③错，④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），a＝，Gini＝，④对，故选：B．9．【分析】根据题意，由排除法分析：先计算将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行的排法数目，排除其中“0”在首位和数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前中重复的情况数目，分析可得答案．【解答】解：根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有A55＝120种情况，其中数字“0”在首位的情况有：A44＝24种情况，数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前的排法有：A44＝24种，则可以产生：120﹣24﹣24+12＝84种，故选：B．10．【分析】a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，可得：a32＝a1a13，即（1+2d）2＝1+12d，d≠0，解得d．可得a n，S n．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，∴a32＝a1a13，∴（1+2d）2＝1+12d，d≠0，解得d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．S n＝n+×2＝n2．∴＝＝＝n+1+﹣2≥2﹣2＝4，当且仅当n+1＝时取等号，此时n＝2，且取到最小值4，故选：A．11．【分析】由题意，PB为球的直径，求出PB，可得球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD 为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB＝1，AD＝2，PD＝1．则该阳马的外接球的直径为PB＝．∴该阳马的外接球的表面积为：．故选：C．12．【分析】根据题意直线AB的方程为y＝（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y＝（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y＝﹣x得A（，﹣），由＝2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣＝1，即＝1，整理可得c＝a，即离心率e＝＝．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】令x＝1得所有项的系数和，然后求出通项公式，结合常数项的条件进行求解即可．【解答】解：令x＝1得所有项的系数和为（1+2）6＝36＝729，通项公式T k+1＝C x6﹣k•（）k＝C•2k•x6﹣2k，k＝0，1， (6)令6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝C•23＝20×8＝160，故答案为：729，16014．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．【解答】解：g′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故f（x）＝g（x）有8个零点．故答案为：8．15．【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，求出向量+的模长表达式，再求最小值．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设A（0，a），M（0，b），且0≤b≤a；则C（2，0），D（1，a）；所以＝（2，﹣b），＝（1，a﹣b）；所以+＝（3，a﹣2b），所以＝9+（a﹣2b）2，当且仅当a﹣2b＝0，即a＝2b时，||取得最小值为＝3．故答案为：3．16．【分析】曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）＝（x+1）lnx （x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到m的范围．【解答】解：假设曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴＝0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）＝0 ①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）＝﹣t3+t2代入①式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）＝0，即t4﹣t2+1＝0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）＝lnt，代入①式得：﹣t2+（lnt）（t3+t2）＝0，即m＝（t+1）lnt②，令h（x）＝（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）＝lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e，∴h（t）≥h（e）＝e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于m≥e+1，方程②总有解，即方程①总有解．故答案为：[e+1，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【分析】本题第（Ⅰ）题先设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），然后根据题干可列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d 的值，即可计算出数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题由题干可得．根据递推公式的特点可用累加法计算出数列{}的通项公式，接着计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则解得．∴a n＝5+2•（n﹣1）＝2n+3，n∈N*．（Ⅱ）依题意，由，可得．则当n≥2时，＝（n﹣1）（n﹣2+5）+3＝n（n+2）．当n＝1时，，即＝3也满足上式，∴＝n（n+2），∴b n＝＝（﹣），n∈N*．T n＝b1+b2+b3+b4+…+b n﹣1+b n＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝．18．【分析】（I）作出2×2列联表，求出k2≈1.83＜2.706，从而没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在青春组的概率．（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，ξ服从二项分布．由此能求出ξ的分布列、数学期望．【解答】解：（I）作出2×2列联表：青春组风华组合计男生7613女生51217合计121830由列联表数据代入公式得，因为1.83＜2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，则至少有1人在青春组的概率为．（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布．ξ的取值为0，1，2，3，4．且．所以得ξ的分布列为：ξ01234P数学期望．19．【分析】（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE推导出DE⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥平面ABD，进而BC⊥AD，又AD⊥CD，从而AD⊥平面BCD，由此能证明平面ACD⊥平面BCD．（2）过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME，则DE⊥AC，AC⊥平面DME，EM⊥AC，从而∠DMC是二面角D﹣AC﹣B的平面角，由此能求出二面角D﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE，则DE⊥平面ABC，∴DE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AD，又AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，而AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD．解：（2）在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME，∵DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC，又DM∩DE＝D，∴AC⊥平面DME，∴EM⊥AC，∴∠DMC是二面角D﹣AC﹣B的平面角，设AD＝a，则AB＝2a，在△ADC中，由题意得AM＝，DM＝a，在△AEM中，，解得EM＝a，∴cos∠DME＝＝．∴二面角D﹣AC﹣B的余弦值为．20．【分析】（I）先设A的坐标，然后根据题意列出方程，进行化简即可求解A的轨迹方程；（II）由已知结合直线的斜率公式进行化简，然后结合三角形的面积公式及已知椭圆的性质可求．【解答】解（I）设A（x，y），由题意，，化简得x2+4y2＝12，所以，动点A的轨迹C的方程为，（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则由斜率之积，得，，因为点M，N在椭圆C上，所以．所以＝（）（3﹣），化简得．直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2＝0，原点O到直线MN的距离为．所以，△MON的面积，根据椭圆的对称性，四边形MNPQ的面积S＝2|x1y2﹣x2y1|，所以，，＝4[﹣]，＝，所以S＝12．所以，四边形MNPQ的面积为定值12．21．【分析】（I）把a＝1代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程．（II）先对F（x）求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，曲线．．x＝1时，切线的斜率为，又切线过点（1，0）所以切线方程为x﹣2y﹣1＝0，（Ⅱ），，当a＜0时，F'（x）＜0，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令，，当△≤0时，即0＜a≤4，k（x）≥0，此时F'（x）≥0，函数F （x）在（0，+∞）上单调递增；当△＞0时，即a＞4，方程有两个不等实根x1＜x2，所以0＜x1＜1＜x2，此时，函数F（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减．综上所述，当a＜0时，F（x）的单减区间是（0，+∞）；当a＞4时，F（x）的单减区间是，单增区间是当0＜a≤4时，F（x）单增区间是（0，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝2asinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…（10分）。
河南省郑州市数学高考二模试卷(理科)
河南省郑州市数学高考二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知复数,则复数z的共轭复数为（）A . 1+iB . -1+iC . 1-iD . -1-i3. （2分）(2017·枣庄模拟) 已知命题“若x＞1，则2x＜3x”，则在它的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分）(2017·枣庄模拟) 已知函数f（x）=sinωx+ cosωx（x∈R），又f（α）=2，f（β）=2，且|α﹣β|的最小值是，则正数ω的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）(2017·枣庄模拟) 已知在平面直角坐标系xOy内的四点A（1，2），B（3，4），C（﹣2，2），D（﹣3，5），则向量在向量方向上的投影为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·枣庄模拟) 如图是某班甲、乙两位同学在5次阶段性检测中的数学成绩（百分制）的茎叶图，甲、乙两位同学得分的中位数分别为x1 ， x2 ，得分的方差分别为y1 ， y2 ，则下列结论正确的是（）A . x1＜x2 ， y1＜y2B . x1＜x2 ， y1＞y2C . x1＞x2 ， y1＞y2D . x1＞x2 ， y1＜y27. （2分）(2017·枣庄模拟) 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为圆心且与直线mx﹣y﹣2m+1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（）A . x2+y2=5B . x2+y2=3C . x2+y2=9D . x2+y2=78. （2分）(2017·枣庄模拟) 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A . 7B . 6C . 5D . 49. （2分）(2017·枣庄模拟) 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=f（x﹣2）；当0≤x≤1时，f（x）= ，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f等于（）A . ﹣1B . 0C . 1D . 210. （2分）(2017·枣庄模拟) 若函数y=f（x）的图象上存在不同两点M、N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数y=f（x）的一对“和谐点对”（点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和谐点对”）．已知函数f（x）=则此函数的“和谐点对”有（）A . 0对B . 1对C . 2对D . 4对二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2016高一下.中山期中) 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，003， (1000)打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法把编号分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0013，那么抽取的第40个号码________．12. （1分）(2016·中山模拟) 已知m=3 sinxdx，则二项式（a+2b﹣3c）m的展开式中ab2cm﹣3的系数为________．13. （1分）设a= 2cosxdx，则二项式（ax3﹣）6展开式中不含x3项的系数和是________．14. （1分） (2018高三上·西安模拟) 从集合中任选一个元素，则满足的概率为________．15. （1分）(2017·枣庄模拟) 已知min{{a，b}= f（x）=min{|x|，|x+t|}，函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称；若“∀x∈[1，+∞），ex＞2mex”是真命题（这里e是自然对数的底数），则当实数m＞0时，函数g（x）=f（x）﹣m零点的个数为________．三、解答题 (共6题；共60分)16. （10分） (2019高一上·大庆期中)（1）已知，，求的值；（2）已知 =2，求的值.17. （10分） (2020高一下·金华月考) 已知 .（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值和相应的x值.18. （10分）(2017·枣庄模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC=2AD，O为BD的中点．（1）求证：CD∥平面POA；（2）若PO⊥底面ABCD，CD⊥PB，AD=PO=2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．19. （10分）(2017·枣庄模拟) 某公司有A、B、C、D、E五辆汽车，其中A、B两辆汽车的车牌尾号均为1，C、D两辆汽车的车牌尾号均为2，E车的车牌尾号为6．已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，A、B、E三辆汽车每天出车的概率均为，C、D两辆汽车每天出车的概率均为，五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限行规定如下：工作日星期一星期二星期三星期四星期五限行车牌尾号0和51和62和73和84和9例如，星期一禁止车牌尾号为0和5的车辆通行．（1）求该公司在星期一至少有2辆汽车出车的概率；（2）设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X的分布列及数学期望．20. （10分）(2017·枣庄模拟) 已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，点A到x轴的距离等于|AF|﹣1．（1）求抛物线C的方程；（2）直线AF与C交于另一点B，抛物线C分别在点A，B处的切线交于点P，D为y轴正半轴上一点，直线AD与C交于另一点E，且有|FA|=|FD|，N是线段AE的靠近点A的四等分点．（i）证明点P在△NAB的外接圆上；（ii）△NAB的外接圆周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．21. （10分）(2017·枣庄模拟) 已知函数f（x）=ex﹣ax有极值1，这里e是自然对数的底数．（1）求实数a的值，并确定1是极大值还是极小值；（2）若当x∈[0，+∞）时，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共60分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、。
河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·山丹期中) 已知集合，，则下列关系中正确的是（）A .B .C .D .2. （2分）已知复数z的实部是2，虚部是-1，若i为虚数单位，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·成都期中) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二下·赤峰期末) 已知，的取值如下表所示：若与呈线性相关，且线性回归方程为，则（）A .B .C .D .5. （2分）过双曲线的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M,N（均在第一象限内），若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·龙岩期中) 已知平面向量 =（4，3）， =（sinα，cosα）且∥ ，则sinαcosα的值是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·枣庄模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 2B . 1C .D .8. （2分）(2017·泉州模拟) 执行一次如图所示的程序框图，若输出i的值为0，则下列关于框图中函数f （x）（x∈R）的表述，正确的是（）A . f（x）是奇函数，且为减函数B . f（x）是偶函数，且为增函数C . f（x）不是奇函数，也不为减函数D . f（x）不是偶函数，也不为增函数9. （2分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A .B .C .D .10. （2分）满足函数y=sinx和y=cosx都是增函数的区间是（）A . ，k∈ZB . ，k∈ZC . ，k∈ZD . ，k∈Z11. （2分）若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1 ，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·江西模拟) 设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在△ABC中，已知•=2，且∠BAC=30°，则△ABC的面积为________14. （1分）(2018·南充模拟) 在中，，，边上的中线，则的面积为________．15. （1分）(2017·白山模拟) 已知ξ～N（μ，δ2），若P（ξ＞4）=P（ξ＜2）成立，且P（ξ≤0）=0.2，则P（0＜ξ＜6）=________．16. （1分） (2018高二下·龙岩期中) 若三角形的周长为、内切圆半径为、面积为，则有 .根据类比思想，若四面体的表面积为、内切球半径为、体积为，则有 =________三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分） (2016高二上·宁县期中) 已知数列{an}满足a1=3，an+1﹣3an=3n（n∈N*），数列{bn}满足bn=．（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn ．18. （5分） (2016高二上·绥化期中) 在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD 的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN= ．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．19. （15分） (2016高二下·南安期中) 随机变量X的分布列为X﹣10123P0.16a20.3（1）求a的值；（2）求E（X）；（3）若Y=2X﹣3，求E（Y）．20. （15分） (2016高二上·徐州期中) 已知O为坐标原点，设动点M（2，t）（t＞0）．（1）若过点P（0，4 ）的直线l与圆C：x2+y2﹣8x=0相切，求直线l的方程；（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设A（1，0），过点A作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．21. （5分）(2017·自贡模拟) 已知曲线f（x）= ax3﹣blnx在x=1处的切线方程为y=﹣2x+（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）证明：x＞0时，＜（e为自然对数的底数）22. （5分）(2017·葫芦岛模拟) 已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．23. （10分） (2015高二下·上饶期中) 综合题。
2025届河南省郑州市高考数学二模试卷含解析
2025届河南省郑州市高考数学二模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20 B．27 C．54 D．642．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（）A．764B．1132C．5764D．11163．已知双曲线2222:1x ya bΓ-=(0,0)a b>>的一条渐近线为l，圆22:()4C x c y-+=与l相切于点A，若12AF F∆的面积为3Γ的离心率为（）A．2B．33C．73D214．已知函数()(2)3,(ln2)()32,(ln2)xx x e xf xx x⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m∈+∞时，()f x的取值范围为(,2]e-∞+，则实数m的取值范围是（）A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]5．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3B ．3或7C ．5D ．5或86．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ） A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a7．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．608．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<，则A B =（ ）A ．(0,2)B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．28210．函数()()ln 12f x x x=+-的定义域为（ ） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,211．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅12．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．y x =±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|135}A x a x a =+-剟，{|322}B x x =<<，且A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，9] B ．(,9)-∞C ．[2，9]D ．(2,9)2．（5分）已知复数22iz i+=（其中i 是虚数单位，满足21)i =-则z 的共轭复数是( ) A ．12i -B ．12i +C ．2i -+D ．12i -+3．（5分）郑州市2019年各月的平均气温()C ︒数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A ．20B ．21C ．20.5D ．234．（5分）圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线80x y -+=对称的圆的方程为( ) A ．22(3)(2)4x y +++= B ．22(4)(6)4x y ++-= C ．22(4)(6)4x y -+-=D ．22(6)(4)4x y +++=5．（5分）在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为( ) A ．30米 B ．20米 C ．152 D ．15米6．（5分）若(2πα∈，)π，则2cos2sin()4παα=-，则sin 2α的值为( ) A ．18B ．78-C ．1D ．787．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是( )A ．(2,)∞B ．(2，4]C ．(4，10]D ．(4,)+∞8．（5分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收人完全平等g 劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为OKL ∆的面积．将aGini S=，称为基尼系数对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则14Gini =； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则12Gini =． 其中不正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④9．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为( ) A ．96B ．84C ．120D ．36010．（5分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为( )A ．4B ．3C ．232-D ．211．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A 6πB ．2πC ．6πD ．24π12．（5分）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线b y x a=-的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若2FB FA =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为( )A 3B ．2C 5D 7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式62()x x+展开的所有项的系数和为 ，展开式中的常数项是 ．14．（5分）已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-g ，当[4x π∈-，4]π且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是 ．15．（5分）已知四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒．AD l =，2BC =，M 是AB 边上的动点，则||MC MD +u u u u r u u u u r的最小值为 ．16．（5分）设函数32,,x x x e y lnx x e m⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…的图象上存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，777S =，且满足211161a a a =g ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足111(*)n n n a n N b b +-=∈，且113b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++；其中n a b c d =+++独立性检验临界表：20()P K k >0.100 0.050 0.010 K2.7063.8416.63519．（12分）如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD ∆折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 内，动点A 到定点(3,0)F 的距离与A 到定直线4x =距3． （Ⅰ）求动点A 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点M ，N 是轨迹C 上两个动点直线OM ，ON 与轨迹C 的另一交点分别为P ，Q ，且直线OM ，ON 的斜率之积等于14-，问四边形MNPQ 的面积S 是否为定值？请说明理由．21．（12分）已知函数1(),()(0)lnx x f x g x x a x+==>． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x y x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数1()()()F x f x g x =-在(0,)∞上的单调性．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2sin a ρθ= (0)a >．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且||3AB a …．求实数a 的取值范围？ [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|||f x x a x l =+--． （Ⅰ）当2a =-时，解不等式()5f x >； （Ⅱ）若()|3|x a x +„，求a 的最小值．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|135}A x a x a =+-剟，{|322}B x x =<<，且A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，9]B ．(,9)-∞C ．[2，9]D ．(2,9)【解答】解：A B A =Q I ，A B ∴⊆，且{|135}A x a x a =+-剟，{|322}B x x =<<，∴①A =∅时，135a a +>-，解得3a <；②A ≠∅时，3133522a a a ⎧⎪+>⎨⎪-<⎩…，解得39a <„，∴综上得，实数a 的取值范围是(,9)-∞．故选：B ．2．（5分）已知复数22iz i+=（其中i 是虚数单位，满足21)i =-则z 的共轭复数是( ) A ．12i - B ．12i + C ．2i -+ D ．12i -+【解答】解：复数222iz i i +==--，则z 的共轭复数是2i -+． 故选：C ．3．（5分）郑州市2019年各月的平均气温()C ︒数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A ．20B ．21C ．20.5D ．23【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为： 1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是1(2021)20.52⨯+=．故选：C ．4．（5分）圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线80x y -+=对称的圆的方程为( ) A ．22(3)(2)4x y +++= B ．22(4)(6)4x y ++-= C ．22(4)(6)4x y -+-=D ．22(6)(4)4x y +++=【解答】解：由圆22(2)(12)4x y ++-=可得圆心坐标(2,12)-，半径为2，由题意可得关于直线80x y -+=对称的圆的圆心与(2,12)-关于直线对称，半径为2， 设所求的圆心为(,)a b 则21280221212a b b a -+⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩解得：4a =，6b =，故圆的方程为：22(4)(6)4x y -+-=， 故选：C ．5．（5分）在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为( ) A ．30米B ．20米C．D ．15米【解答】解：如图所示，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，PAD ∆是一个等腰直角三角形，90APD ∠=︒．OAB ∆为等边三角形，30OA ∴=， OP ⊥Q 平面ABCDEF ， 45OAP ∴∠=︒， 30OP OA ∴==．要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30m ． 故选：A ．6．（5分）若(2πα∈，)π，则2cos2sin()4παα=-，则sin 2α的值为( ) A ．18B ．78-C ．1D ．78【解答】解：法1:(2πα∈Q ，)π，且2cos2sin()4παα=-，2222(cos sin )cos )2αααα∴-=-， 2cos sin αα∴+=，或cos sin 0αα-=（根据角的取值范围，此等式不成立排除）． 2cos sin αα+=Q ，则有11sin 28α+=，7sin 28α=-； 故选：B ． 法2:(2πα∈Q ，)π，2(,2)αππ∴∈， sin20α∴<，综合选项，故选：B ．7．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是( )A ．(2,)∞B ．(2，4]C ．(4，10]D ．(4,)+∞【解答】解：根据结果，3[3(32)2]282x ---„，且3{3[3(32)2]2}282x ---->，解之得24x <„， 故选：B ．8．（5分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收人完全平等g 劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为OKL ∆的面积．将aGini S=，称为基尼系数对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则14Gini =； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则12Gini =． 其中不正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④【解答】解：①：由题意知A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为OKL ∆的面积．当a Gini S=，则a 越小，不平等区域越小，越公平，①对， ②：由图可知()f x x <，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x<，②错； ③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，1223100111()()|236a x x dx x x =-=-=⎰，116132Gini ==，③错，④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，1324100111()()|244a x x dx x x =-=-=⎰，114122Gini ==，④对，故选：B ．9．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为( ) A ．96B ．84C ．120D ．360【解答】解：根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有55120A =种情况，其中数字“0”在首位的情况有：4424A =种情况， 数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前的排法有：4424A =种， 则可以产生：12024241284--+=种，故选：B ．10．（5分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为( )A ．4B ．3C ．232-D ．2【解答】解：1a Q ，3a ，13a 成等比数列，11a =，23113a a a ∴=，2(12)112d d ∴+=+，0d ≠， 解得2d =．12(1)21n a n n ∴=+-=-．2(1)22n n n S n n -=+⨯=． ∴22216216(1)2(1)999122(1)24322111n n S n n n n n a n n n n +++-++===++-+⨯-=+++++…， 当且仅当911n n +=+时取等号，此时2n =，且2163n n S a ++取到最小值4，故选：A ．11．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A 6πB ．2πC ．6πD ．24π【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P ABCD -．底面ABCD 为矩形， 其中PD ⊥底面ABCD ．1AB =，2AD =，1PD =．则该阳马的外接球的直径为1146PB =++=∴该阳马的外接球的表面积为：264()6ππ⨯=． 故选：C ．12．（5分）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线by x a=-的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若2FB FA =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为( )A 3B ．2C 5D 7【解答】解：设(,0)F c ，则直线AB 的方程为()a y x c b =-代入双曲线渐近线方程by x a=-得2(a A c ，)abc -， 由2FB FA =u u u r u u u r ，可得222(3c a B c +-，2)3ab c -，把B 点坐标代入双曲线方程22221x y a b-=，即2222222(2)4199c a a c a c+-=，整理可得5c a =，即离心率5ce a=故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式62()x x+展开的所有项的系数和为 729 ，展开式中的常数项是 ．【解答】解：令1x =得所有项的系数和为66(12)3729+==， 通项公式6621662()2k k k kk k k T C x C x x--+==g g g ，0k =，1，⋯，6，令620k -=得3k =，即常数项为33462208160T C ==⨯=g ， 故答案为：729，16014．（5分）已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-g ，当[4x π∈-，4]π且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是 8 ．【解答】解：()cos sin cos sin g x x x x x x x '=--=-； 令()0g x '=得x k π=，k Z ∈．()g x ∴在[0，]π上是减函数，在[π，2]π上是增函数，在[2π，3]π上是减函数，在[3π，4]π上是增函数；且(0)0g =，()g ππ=-；(2)2g ππ=；(3)3g ππ=-；(4)4g ππ= 故作函数()f x 与()g x 在[0，4]π上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4]π上共有4个交点； 又()f x ，()g x 都是奇函数，且()f x 不经过原点，()f x ∴与()g x 在[4π-，4]π上共有8个交点，故()()f x g x =有8个零点．故答案为：8．15．（5分）已知四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒．AD l =，2BC =，M 是AB 边上的动点，则||MC MD +u u u u r u u u u r的最小值为 3 ．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设(0,)A a ，(0,)M b ，且0b a 剟； 则(2,0)C ，(1,)D a ；所以(2,)MC b =-u u u u r ，(1,)MD a b =-u u u u r； 所以(3,2)MC MD a b +=-u u u u r u u u u r， 所以22()9(2)MC MD a b +=+-u u u u r u u u u r，当且仅当20a b -=，即2a b =时， ||MC MD +u u u u r u u u u r取得最小值为93=．故答案为：3．16．（5分）设函数32,,x x x e y lnx x e m⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…的图象上存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数m 的取值范围是 [1e +，)+∞ ．【解答】解：假设曲线()y f x =上存在两点P 、Q 满足题设要求，则点P 、Q 只能在y 轴两侧．不妨设(P t ，())(0)f t t >，则32(,)Q t t t -+， POQ ∆Q 是以O 为直角顶点的直角三角形， ∴0OP OQ =u u u r u u u rg，即232()()0t f t t t -++=①． 若方程①有解，存在满足题设要求的两点P 、Q ；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P 、Q ．若0t e <<，则32()f t t t =-+代入①式得：23232()()0t t t t t -+-++=， 即4210t t -+=，而此方程无解，因此t e …，此时1()f t lnt m=， 代入①式得：2321()()0t lnt t t m-++=，即(1)m t lnt =+②，令()(1)()h x x lnx x e =+…， 则1()10h x lnx x'=++>，()h x ∴在[e ，)+∞上单调递增， t e Q …，()h t h ∴…（e ）1e =+，()h t ∴的取值范围是[1e +，)+∞． ∴对于1m e +…，方程②总有解，即方程①总有解．故答案为：[1e +，)+∞．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，777S =，且满足211161a a a =g ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足111(*)n n n a n N b b +-=∈，且113b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，则 1211172177,(60)(10),a d a a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得152a d =⎧⎨=⎩． 52(1)23n a n n ∴=+-=+g ，*n N ∈．（Ⅱ）依题意，由111n n n a b b +-=，可得1111(2,*)n n n a n n N b b ---=∈…． 则当2n …时，1211122111111111111()()()n n n n n n n a a a b b b b b b b b b -----=-+-+⋯+-+=++⋯++ (1)(25)3n n =--++ (2)n n =+．当1n =时，113b =，即113b =也满足上式，∴1(2)n n n b =+， 1111()(2)22n b n n n n ∴==-++，*n N ∈．12341n n n T b b b b b b -=++++⋯++11111111111111111(1)()()()()()2322423524621122n n n n =-+-+-+-+⋯+-+--++ 111111111111(1)23243546112n n n n =-+-+-+-+⋯+-+--++ 1111(1)2212n n =+--++ 2354(1)(2)n nn n +=++． 18．（12分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++；其中n a b c d =+++独立性检验临界表：20()P K k >0.100 0.050 0.010 K2.7063.8416.635【解答】解：()I 作出22⨯列联表：青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计121830由列联表数据代入公式得22) 1.83()()()()K a b c d a c b d =≈++++，因为1.83 2.706<，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，则至少有1人在青春组的概率为23257 ()110Cp AC=-=．()III由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为122305=，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是25，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布2(4,)5B．ξ的取值为0，1，2，3，4．且4422()()(1),0,1,2,3,455k k kP k C kξ-==-=．所以得ξ的分布列为：ξ01234P816252166252166259662516625数学期望28455Eξ=⨯=．19．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将ACD∆折起，使得点D在平面ABC 上的射影恰好落在边AB上．（1）求证：平面ACD⊥平面BCD；（2）当2ABAD=时，求二面角D AC B--的余弦值．【解答】证明：（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE，则DE⊥平面ABC，DE BC∴⊥，Q四边形ABCD是矩形，AB BC∴⊥，BC∴⊥平面ABD，BC AD∴⊥，又AD CD⊥，AD∴⊥平面BCD，而AD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCD ．解：（2）在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连结ME ，DE ⊥Q 平面ABC ，DE AC ∴⊥，又DM DE D =I ，AC ∴⊥平面DME ，EM AC ∴⊥， DMC ∴∠是二面角D AC B --的平面角，设AD a =，则2AB a =，在ADC ∆中，由题意得5AM a =，25DM a =， 在AEM ∆中，1tan 2EM BAC AM =∠=，解得5EM a =， 1cos 4EM DME DM ∴∠==．∴二面角D AC B --的余弦值为14．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 内，动点A 到定点(3,0)F 的距离与A 到定直线4x =距3． （Ⅰ）求动点A 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点M ，N 是轨迹C 上两个动点直线OM ，ON 与轨迹C 的另一交点分别为P ，Q ，且直线OM ，ON 的斜率之积等于14-，问四边形MNPQ 的面积S 是否为定值？请说明理由．【解答】解()I 设(,)A x y 22(3)3x y -+=化简得22412x y +=，所以，动点A 的轨迹C 的方程为221123x y +=，（Ⅱ）解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则由斜率之积，得121214y y x x =-， 221212||()()AB x x y y =-+-M ，N 在椭圆C 上，所以222212123,344x x y y =-=-．所以2222121212()16()(3)(3)44x x x x y y ==--，化简得221212x x +=． 直线AB 的方程为21212112()()0y y x x x y x y x y ---+-=， 原点O 到直线MN的距离为d =．所以，MON ∆的面积122111||||22AOB S AB d x y x y ∆==-g g ，根据椭圆的对称性，四边形MNPQ 的面积12212||S x y x y =-，所以，2222221221121212214()4(2)S x y x y x y x x y y x y =-=-+， 2222221121214[(3)(3)()]442x x x x x x =-+--+，221212()144x x =+=，所以12S =．所以，四边形MNPQ 的面积为定值12． 21．（12分）已知函数1(),()(0)lnx x f x g x x a x+==>． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x y x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数1()()()F x f x g x =-在(0,)∞上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()()1xlnxy f x g x x ==+g ．22(1)(1)1(1)(1)lnx x xlnx lnx x y x x ++-++'==++． 1x =时，切线的斜率为12，又切线过点(1,0) 所以切线方程为210x y --=，（Ⅱ）2111(),()()(1)f x ax g x x ''==+，222111(1)()()()()(1)(1)x axF x f x g x ax x ax x '+-''=-=-=++， 当0a <时，()0F x '<，函数()F x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，令2121()(1)k x x x a a a=+-+，41a =-V ，当△0„时，即04a <„，()0k x …，此时()0F x '…，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增； 当△0>时，即4a >，方程2121(1)0x x a a a+-+=有两个不等实根12x x <，所以1201x x <<<，12(x x == 此时，函数()F x 在1(0,)x ，2(x ，)+∞上单调递增；在1(x ，2)x 上单调递减． 综上所述，当0a <时，()F x 的单减区间是(0,)+∞；当4a >时，()F x 的单减区间是，单增区间是)+∞当04a <„时，()F x 单增区间是(0,)+∞．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2sin a ρθ= (0)a >．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且||AB ．求实数a 的取值范围？ 【解答】解：（Ⅰ）2sin a ρθ=Q (0)a >．22sin a ρρθ∴=，即222x y ay +=，即222()x y a a +-=，(0)a >． 则圆C 的标准方程为222()x y a a +-=，(0)a >． 由3143x t y t =+⎧⎨=+⎩，消去参数t 得4350x y -+=，即直线l 的普通方程为4350x y -+=； （Ⅱ）由圆的方程得圆心(0,)C a ，半径R a =， 则圆心到直线的距离|53|5a d -==，Q ||AB ．∴，第21页（共21页）即22234a d a -…， 则224a d „， 即2a d „， 则|53|52a a -„， 则35252a a a --剟， 由35253552a a a a -⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩„„得101110a a ⎧⎪⎨⎪⎩…„得101011a 剟． 即实数a 的取值范围是101011a 剟． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|||f x x a x l =+--． （Ⅰ）当2a =-时，解不等式()5f x >； （Ⅱ）若()|3|x a x +„，求a 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当2a =-时，13,1()3,1131,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪->⎩剟， 由()f x 的单调性及4()3f f -=（2）5=， 得()5f x >的解集为4{|3x x <-，或2}x >．⋯（5分） （Ⅱ）由()|3|f x a x +„得|1||1||3|x a x x +-++…， 由|1||3|2|1|x x x -+++…得|1|1|1||3|2x x x +-++„，得12a …． （当且仅当1x …或3x -„时等号成立） 故a 的最小值为12．⋯（10分）。
河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·广东期中) 已知集合 ,则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一上·营口期中) 设 , 则“ ”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）(2017·龙岩模拟) 双曲线W： =1（a＞0，b＞0）一个焦点为F（2，0），若点F到W的渐近线的距离是1，则W的离心率为（）A .B .C . 2D .4. （2分）(2017·龙岩模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . πB . 2πC . 3πD . 8π5. （2分）(2017·龙岩模拟) 已知点M（x，y）是圆C：x2+y2﹣2x=0的内部任意一点，则点M满足y≥x的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·龙岩模拟) 把函数f（x）=cos2（ x﹣）的图象向左平移个单位后得到的函数为g（x），则以下结论中正确的是（）A . g（）＞g（）＞0B . g（）C . g（）＞g（）＞0D . g（）=g（）＞07. （2分）(2017·龙岩模拟) 设不等式，表示的平面区域为D．若曲线y=ax2+1上存在无数个点在D内，则实数a的取值范围是（）A . （0，2）B . （1，+∞）C . （0，1）D . （﹣∞，2）8. （2分）(2017·龙岩模拟) min（a，b）表示a，b中的最小值，执行如图所示的程序框图，若输入的a，b值分别为4，10，则输出的min（a，b）值是（）A . 0B . 1C . 2D . 49. （2分）(2017·龙岩模拟) 已知函数f（x）= 是奇函数，则f（x）＞﹣1的解集为（）A . （﹣2，0]∪（2，+∞）B . （﹣2，+∞）C . （﹣∞，﹣2）∪（0，2）D . （﹣∞，2）10. （2分）(2017·龙岩模拟) 某市A，B，C，D，E，F六个城区欲架设光缆，如图所示，两点之间的线段及线段上的相应数字分别表示对应城区可以架设光缆及所需光缆的长度，如果任意两个城市之间均有光缆相通，则所需光缆的总长度的最小值是（）A . 12B . 13C . 14D . 1511. （2分）(2017·龙岩模拟) 已知△ABC的外接圆O的半径为5，AB=6，若 = + ，则| |的最小值是（）A . 3B . 4C . 5D . 612. （2分）(2017·龙岩模拟) 数列{an}中，若存在ak ，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个H值．现有如下数列：①an=1﹣2n；②an=sinn；③an= ④an=lnn﹣n，则存在H值的数列有（）个．A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·滨州期末) 已知两个具有线性相关关系的变量x与y的几组数据如下表x3456y m4根据上表数据所得线性回归直线方程为 = x+ ，则m=________．14. （1分）(2017·嘉兴模拟) 动点P从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发，沿着棱运动到顶点C1后再到A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为________（用数字作答）．15. （1分）(2017·龙岩模拟) 已知数列{an}满足：a1=﹣2，a2=1，且an+1=﹣（an+an+2），则{an}的前n项和Sn=________．16. （1分）(2017·龙岩模拟) 甲盒放有2017个白球和n个黑球，乙盒中放有足够的黑球．现每次从甲盒中任取两个球放在外面．当被取出的两个球同色时，需再从乙盒中取一个黑球放入甲盒；当取出的两球异色时，将取出的白球再放回甲盒，直到甲盒中只剩两个球，则下列结论不可能发生的是________（填入满足题意的所有序号）．①甲盒中剩两个黑球；②甲盒中剩两个白球；③甲盒中剩两个同色球；④甲盒中剩两个异色球．三、解答题 (共7题；共45分)17. （10分）在锐角中，角的对边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，且，求的值．18. （10分）在一场垒球比赛中，其中本垒与游击手的初始位置间的距离为1，通常情况下，球速是游击手跑速的4倍．（1）若与连结本垒及游击手的直线成α角（0°＜α＜90°）的方向把球击出，角α满足什么条件下时，游击手能接到球？并判断当α=15°时，游击手有机会接到球吗？（2）试求游击手能接到球的概率．（参考数据 =3.88，sin14.5°=0.25）．19. （5分）(2017·龙岩模拟) 已知边长为2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E为DC的中点，如图1所示，将△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如图2所示．（Ⅰ）求证：△PAB为直角三角形；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．20. （5分）(2017·龙岩模拟) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率e= ．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦距．（Ⅱ）椭圆C的左焦点为F1 ，右顶点为A，经过点A的直线l与椭圆C的另一交点为P．若点B是直线x=2上异于点A的一个动点，且直线BF1⊥l，问：直线BP是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．21. （5分）(2017·龙岩模拟) 已知函数f（x）=ea（x﹣1）﹣ax2 ， a为不等于零的常数．（Ⅰ）当a＜0时，求函数f′（x）的零点个数；（Ⅱ）若对任意x1 ， x2 ，当x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）＞a（﹣2x1）（x2﹣x1）恒成立，求实数a的取值范围．22. （5分）(2017·龙岩模拟) 在直角坐标系中xOy，直线C1的参数方程为（t是参数）．在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ﹣cosθ（θ是参数）．（Ⅰ）将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并判断曲线C2所表示的曲线；（Ⅱ）若M为曲线C2上的一个动点，求点M到直线C1的距离的最大值和最小值．23. （5分）(2017·龙岩模拟) 已知函数f（x）=|x+2|+|x+a|（a∈R）．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的最小值，并写出此时x的取值集合；（Ⅱ）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共45分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、22-1、23-1、。
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郑州市高考数学二模试卷（理科）（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2020·漳州模拟) 已知全集，集合，，则
（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） i是虚数单位,等于（）
A . 1+i
B . －1－i
C . 1+3i
D . －1－3i
3. （2分） (2017高二上·枣强期末) 已知x与y之间的一组数据，则y与x的线性回归方程 = x+ 必过点（）
x0123
y1357
A . （2，2）
B . （1，2）
C . （1.5，4）
D . （1.5，0）
4. （2分）如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2017高二下·穆棱期末) 函数的定义域为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）(2017·泰安模拟) 已知命题p：“m=﹣1”，命题q：“直线x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直”，则命题p是命题q的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要
7. （2分） (2018高二下·保山期末) 已知定义在上的奇函数满足，且
，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）已知实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m的值为（）
A . 0
B . 2
C . 4
D . 8
9. （2分） ac2＞bc2是a＞b的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
10. （2分） (2018高一上·武威期末) 若定义在R上的偶函数满足，且当时，
f(x)=x,则函数y=f(x)- 的零点个数是（）
A . 6个
B . 4个
C . 3个
D . 2个
二、填空题 (共5题；共5分)
11. （1分） (2017高三上·苏州开学考) 如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是________．
12. （1分） (2016高二下·友谊开学考) （x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于________．
13. （1分）(2019·揭阳模拟) 已知向量、，若，则________；
14. （1分） (2015高二上·湛江期末) 过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则• + • 的最大值等于________．
15. （1分）(2017·河北模拟) 已知函数f（x）=sinx．若存在x1 ， x2 ，，xm满足0≤x1＜x2＜＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|++|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为________．
三、解答题 (共6题；共55分)
16. （5分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx+φ0π2π
x
Asin（ωx+φ）05﹣50
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x ）图
象的一个对称中心为（， 0），求θ的最小值．
17. （5分） (2016高一下·揭阳期中) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．
（Ⅰ）证明：BM⊥平面SMC；
（Ⅱ）若SB与平面ABCD所成角为，N为棱SC上的动点，当二面角S﹣BM﹣N为时，求的值．
18. （5分）(2017·吉林模拟) 据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：态度
调查人群
应该取消应该保留无所谓
在校学生2100人120人y人
社会人士600人x人z人
已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．
（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在
校学生人数ξ的分布列和数学期望．
19. （15分） (2016高一下·霍邱期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=2n﹣1．数列{bn}满足b1=2，bn+1﹣2bn=8an ．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）证明：数列{ }为等差数列，并求{bn}的通项公式．
（3）求{bn}的前n项和Tn．
20. （10分） (2018高二下·河南期中) 已知函数 .
（1）求函数的极值；
（2）若函数（其中为自然对数的底数），且对任意的总有成立，求实数的取值范围.
21. （15分） (2017高二上·常熟期中) 已知，B（0，2），C（1，0），斜率为的直线l过点A，且l和以C为圆心的圆相切．
（1）求圆C的方程；
（2）在圆C上是否存在点P，使得，若存在，求出所有的点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若不过C的直线m与圆C交于M，N两点，且满足CM，MN，CN的斜率依次为等比数列，求直线m的斜率．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共5题；共5分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 16-1、
17-1、
18-1、19-1、19-2、
19-3、20-1、20-2、
21-1、答案：略21-2、答案：略21-3、答案：略。