2020年北京八中高考数学模拟试卷(二)(3月份)(有答案解析)

2020年北京八中高考数学模拟试卷（二）（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，则集合A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知命题p：，，那么命题为A. ，B. ，C. ，D. ，4.设a，b，，且，则A. B. C. D.5.已知函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则A. B. C. D.6.已知向量，，若与共线，则实数A. 0B. 1C.D. 37.已知双曲线的离心率为，则A. B. C. D. 28.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.B.C. 1D. 29.设，为非零向量，则“，”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给A，B，C，D四个派送点准备某种商品各50个．根据平台数据中心统计发现，需要将发送给A，B，C，D四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品．为完成调整，则A. 最少需要16次调动，有2种可行方案B. 最少需要15次调动，有1种可行方案C. 最少需要16次调动，有1种可行方案D. 最少需要15次调动，有2种可行方案二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.在的展开式中，的系数为______用数字作答12.各项均为正数的等比数列中，，，则______．13.抛物线上一点M到焦点的距离等于4，则______；点M的坐标为______．14.在中，，，则______．15.已知函数．的最大值为______；设当时，取得最大值，则______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知函数，其中．Ⅰ若函数的最小正周期为2，求的值；Ⅱ若函数在区间上的最大值为，求的取值范围．17.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试．如表是高二年级的5名学生的测试数据单位：个分钟：学生编号12345跳绳个数179181168177183踢毽个数8578797280Ⅰ求高一、高二两个年级各有多少人？设某学生跳绳m个分钟，踢毽n个分钟．当，且时，称该学生为“运动达人”．从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望．18.已知在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，是正三角形，平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．Ⅰ求证：平面ABCD；Ⅱ求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；Ⅲ线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．19.已知椭圆C：的两个焦点是，，点在椭圆C上，且Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：为定值．20.已知函数．Ⅰ求曲线在点处的切线方程；Ⅱ求的单调区间；Ⅲ若对于任意，都有，求实数a的取值范围．21.已知由个正整数构成的集合，，记，对于任意不大于的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m．Ⅰ求，的值；Ⅱ求证：“，，，成等差数列”的充要条件是“”；Ⅲ若，求n的最小值，并指出n取最小值时的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，．故选：D．进行并集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：，复数对应的点的坐标为，位于底数象限．故选：C．利用复数代数形式的乘法运算求出复数对应的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，故命题“p：，”的否定命题为：，．故选：A．利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查了命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．4.答案：D解析：解：由，则，，不一定成立，利用函数在R上单调递增，可得：．故选：D．由，利用不等式的基本性质及其函数在R上单调递增即可判断出结论．本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：根据题意，设，点为函数上任意一点，又由函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则有，故选：A．根据题意，设，点为函数上任意一点，进而分析可得，即可得答案．本题考查函数图象的对称性，涉及函数解析式的求法，属于基础题．6.答案：B解析：【分析】先求出，再根据向量共线的结论即可求解．本题考查了平面向量共线的坐标表示，属基础题．【解答】解：因为向量，，．；与共线；．故选：B．7.答案：B解析：解：双曲线的，，可得，由离心率为可得，解得，故选：B．由题意可得，求得a，b，c，运用双曲线的离心率公式解方程可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱柱．如图所示：可以转换角度所以：．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.答案：C解析：解：，为非零向量，则“，”，则，而，，“”反之也成立．“，”是“”的充要条件．故选：C．，为非零向量，则“，”，可得，而，，即可判断出结论．本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：因为B、D两处互不相邻，所以B处至少调整5次，D处至少调整11次，故最少需要调整16次相应的可行方案有2种，方案：A调整10给D，B调整5给C，然后C再调整1给D；方案：A调整11给D，B调整1给A，调整4台给C，故选：A．先看互不相邻的两点B、D，B处至少调整5次，D处至少调整11次，故最少需要调整16次本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．11.答案：40解析：解：的展开式中通项公式为，令，解得；展开式中含项是第3项，它的系数是．故答案为：40．根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中含项的系数是多少．本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用二项式展开式的通项公式，是基础题目．12.答案：9解析：解：各项均为正数的等比数列中，，，公比，．则，故答案为：9．由题意利用等比数列的定义、性质、通项公式，前n项和公式，得出结论．本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，前n项和公式，属于基础题．13.答案：2解析：解：抛物线的焦点坐标为，由题意可得，即；抛物线的准线方程为，设，可得，即，可得，即，故答案为：2，由抛物线的焦点坐标为，可得p的值；由抛物线的定义，可得M的横坐标，代入抛物线方程可得M的坐标．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.答案：解析：解：，，由正弦定理可得，由余弦定理可得．故答案为：．由已知利用正弦定理可求由正弦定理可得，进而根据余弦定理可得cos B的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.答案：解析：解：函数，当时，函数的最大值为．由于，所以当时，．故答案为：，直接利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．利用函数的关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.答案：解：Ⅰ因为函数，，因为的最小正周期为2，即，所以．Ⅱ因为，，所以，若在区间上取到最大值，只需，所以．解析：Ⅰ直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．Ⅱ利用正弦型函数的性质的应用和不等式的解法求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.答案：解：Ⅰ设高一年级有a人，高二年级有b人．采用分层抽样，有，．解得，，所以高一年级有196人，高二年级有140人．从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”．故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为．的所有可能取值为1，2，3，，，．123P故的期望．解析：Ⅰ设高一年级有a人，高二年级有b人．采用分层抽样，有，由此能求出高一、高二两个年级各有多少人．从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”由此能求出从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率．的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和的期望．本题考查概率、离散型随机变量、数学期望的求法，考查分层抽样、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．18.答案：解：Ⅰ证明：因为是正三角形，O是AD的中点，所以．又因为平面PAD，平面PAD，所以，，AD，平面ABCD，所以面ABCD；Ⅱ如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，，，设平面EFG的法向量为，由，得令，则，又平面ABCD的法向量，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为，所以．所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为；Ⅲ假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，设，由，所以．所以，整理得，无解，所以，不存在这样的点M．解析：因为，又平面PAD，得到，进而证明结论；以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，平面EFG 的法向量，又平面ABCD的法向量，利用夹角公式求出即可；假设线段PA上存在点M，设，由直线GM与平面EFG所成角为，得到关于的方程，解方程判断即可．考查线面垂直的判定，向量法求二面角和线面所成的角的余弦值，考查运算能力，中档题．19.答案：解：Ⅰ由椭圆的定义，得，即分将点的坐标代入，得，解得：分椭圆C的方程是分Ⅱ证明：由Q关于x轴于P对称，得．设，则有，，分直线MP的方程为，分令，得，分丨OE丨丨丨．直线MQ的方程为：，分令，得，分丨OF丨丨丨．丨OE丨丨OF丨丨丨丨丨丨丨丨丨分丨OE丨丨OF丨丨OE丨丨OF丨为定值．分解析：Ⅰ椭圆的定义，得，即，将点的坐标代入，解得：即可求得椭圆C的方程；Ⅱ由题意可知：设，则有，直线MP的方程为，令，得，从而丨OE丨丨丨．，同理即可求得丨OF丨丨丨，则丨OE丨丨OF丨丨丨丨丨．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的应用，考查三角形的面积公式，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ因为函数，所以，，又因为，则所求切线斜率为1，切点坐标为，所以在点处的切线方程为；Ⅱ函数的定义域为，由Ⅰ可知，，由，解得，由，解得，所以的单调递增区间是，的单调递减区间是；Ⅲ当时，恒成立，等价于恒成立，令，，，．当时，，所以在区间单调递减；当时，，所以在区间单调递增．而，．所以在区间上的最大值为，所以当时，对于任意，都有．实数a的取值范围为．解析：本题考查了利用导数求曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性及利用导数研究恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．Ⅰ求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；Ⅱ求出函数的导数，根据导数和函数单调的关系，求出函数的单调区间即可；Ⅲ问题等价于“”构造函数，利用导数求出函数的最值，从而求出a的范围即可．21.答案：解：Ⅰ由条件知，必有，又均为整数，，，由的定义及均为整数，必有，；Ⅱ证明：必要性：由“，，，成等差数列”及，，得2，，此时2，3，，满足题目要求，从而；充分性：由条件知，且均为正整数，可得2，3，，，故，当且仅当2，3，，时，上式等号成立．于是当时，2，3，，，从而，，，成等差数列．所以“，，，成等差数列”的充要条件是“”；Ⅲ由于含有n个元素的非空子集个数有，故当时，，此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求．而用11个元素的集合2，4，8，16，32，64，128，256，512，的非空子集的元素之和可以表示1，2，3，，2046，2047共2047个正整数．因此当时，n的最小值为11．记，则并且．事实上若，，则，，所以时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符．于是，得，，所以．当时，2，4，8，16，32，64，128，256，499，满足题意，所以当时，n的最小值为11，此时的最大值1010．解析：Ⅰ考虑元素1，2，结合新定义，可得所求值；Ⅱ从两个方面证明，结合等差数列的性质和求和公式，即可得证；Ⅲ由于含有n个元素的非空子集个数有，讨论当时，时，结合条件和新定义，推理可得所求．本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的性质和求和公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。

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2020年北京八中高考数学模拟试卷(3月份)

2020年北京八中高考数学模拟试卷（二）（3月份）一.选择题（本大题共10道小题，每道小题4分，共40分）1．（4分）已知集合{|21}A x x =-<<，{|0}B x x =>，则集合(A B =U )A ．(2,1)-B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．(2,)-+∞2．（4分）在复平面内，复数(1)i i -对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（4分）已知命题:p x R +∀∈，0lnx >，那么命题p ⌝为( )A ．x R +∃∈，0lnx „B ．x R +∀∈，0lnx <C ．x R +∃∈，0lnx <D ．x R +∀∈，0lnx „4．（4分）设a ，b ，c R ∈，且a b <，则( )A ．ac bc <B ．11a b >C ．22a b <D ．33a b <5．（4分）已知函数()f x 的图象与函数2x y =的图象关于x 轴对称，则()(f x = )A ．2x -B ．2x -C ．2log x -D ．2log x6．（4分）已知向量(1,3)a =r ，(1,0)b =-r ，(3c =r ，)k ．若2a b -r r 与c r 共线，则实数(k =)A ．0B ．1C ．3D ．37．（4分）已知双曲线221x y m-=的离心率为3，则(m = ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．28．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．13B ．23C ．1D ．29．（4分）设m r ，n r 为非零向量，则“m n λ=r r ，1λ-…”是“||||||m n m n +=-r r r r ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（4分）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给A ，B ，C ，D 四个派送点准备某种商品各50个．根据平台数据中心统计发现，需要将发送给A ，B ，C ，D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品．为完成调整，则( )A ．最少需要16次调动，有2种可行方案B ．最少需要15次调动，有1种可行方案C ．最少需要16次调动，有1种可行方案D ．最少需要15次调动，有2种可行方案二、填空题（本大题共5道小题，每道小题5分，共25分）11．（5分）在5(2)x -的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）12．（5分）各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，236a a +=，则63S S = ． 13．（5分）抛物线22y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则p = ；点M 的坐标为．14．（5分）在ABC ∆中，2a b =，sin 3sin C B =，则cos B = ．15．（5分）已知函数()sin 2cos f x x x =-．①()f x 的最大值为；②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ= ．三、解答题（本大题共6道小题，共85分）16．（14分）已知函数2()3sin cos sin 222xxxf x ωωω=+，其中0ω>．（Ⅰ）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值为32，求ω的取值范围． 17．（14分）为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试．如表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）:学生编号1 2 3 4 5 跳绳个数179 181 168 177 183 踢毽个数 85 78 79 72 80（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？()II 设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟．当175m …，且75n …时，称该学生为“运动达人”．①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望．18．（14分）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．。

北京顺义区第八中学2020年高一数学文模拟试卷含解析

北京顺义区第八中学2020年高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则集合N的真子集个数为（）A．3；B．4C．7D．8参考答案：B2. 若，则（）A．1 B．3 C． D．2参考答案：D3. 函数的图象可由的图象（）A.向右平移个单位得到B.向右平移个单位得到C.向左平移个单位得到D.向左平移个单位得到参考答案：D4. 过点（1，0）且与直线平行的直线方程是A. B. C. D.参考答案：A5. 若函数，则（）A．B．C．D．参考答案：B略6. 已知集合A＝{x|y＝x∈Z}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝_____参考答案：略7. 若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）A．（0，4] B．[，3] C．[，4] D．[，+∞）参考答案：B【考点】二次函数的性质．【分析】据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，故由二次函数图象可知：m 的值最小为；最大为3．m 的取值范围是：≤m≤3．故答案为：[，3]8. 若，且，则是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角参考答案：C9. 设关于x,y 的不等式组表示的平面区域内存在点P(x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．参考答案：C10. 设全集U=｛1，2，3，4，5｝，集合A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A ∩=( )A ．B ．C ．D ．参考答案： C 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为1%，经过年后世界人口数为（亿），则与的函数解析式为；参考答案：12. （4分）若直线mx+2y+2=0与直线3x ﹣y ﹣2=0平行，则m= _________ ．参考答案：-613. 已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，＝，则当时，＝。

2023-2024学年北京高三三模数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年北京市高三三模数学模拟试题一、单选题1．如图，集合A B ､均为U 的子集，()U A B ⋂ð表示的区域为（）A ．IB ．IIC ．IIID ．IV【正确答案】D【分析】由补集和交集的概念求解即可.【详解】由补集的概念，U A ð表示的区域如下图所示阴影区域，∴()U A B ⋂ð表示的区域为下图所示阴影区域，即为图中的区域Ⅳ.故选：D.2．在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（）A ．()tan =f x xB ．()f x x =C ．()2xf x =D ．()2f x x=【正确答案】C【分析】A.利用正切函数的性质判断；B.利用绝对值函数的性质判断；C.利用指数函数的性质判断；D.利用二次函数的性质判断.【详解】解：A.()tan =f x x 的增区间为πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，在整个定义域上不单调，故错误；B.()f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；C.()2xf x =在R 上递增，故正确；D.()2f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；故选：C3．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.4．已知tan 2x =，则tan 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．3B ．－3C ．13D ．34-【正确答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解.【详解】解：因为tan 2x =，所以πtan tanπ214tan 3π41211tan tan 4x x x ++⎛⎫+===- ⎪-⋅⎝⎭-⋅，故选：B5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2023年5月1日12350002023年5月15日6035500注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【正确答案】D【分析】分析表中数据，得出行驶路径和耗油量，可计算结果.【详解】由表中的数据可知，行驶路径500千米耗油量为60升，则该车每100千米平均耗油量为60125=升.故选：D6．已知||1,||0OA OB OA OB =⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒.设()OC mOA nOB m n =+∈R、，则mn等于（）A ．13B ．3CD 【正确答案】B【分析】由题意可得OA OB ⊥,建立坐标系，由已知条件可得()OC m =，进而可得tan 30︒==，即可得答案.【详解】解：因为||1,||0OA OB OA OB =⋅=，所以OA OB ⊥ ,又因为点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，建立如图所示的坐标系：则(1,0)OA = ,OB =,又因为()OC mOA nOB m n =+∈R、，所以()OC m =，所以tan 303m ︒==，所以3mn=.故选：B.7．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.8．已知{}n a 为无穷等差数列，则“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据等差数列性质结合充分、必要条件分析判断.【详解】“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”，不能推出“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，例如32n a n =-，则121,1a a ==-，即1,2i j ==，满足120i j a a a a +=+=，但令320k a k =-=，则*32k =∉N ，故不存在存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的不充分条件；若“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，则取11,1i k j k =-≥=+，则1120i j k k k a a a a a -++=+==，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要条件；综上所述：“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要不充分条件.故选：B.9．十八世纪，瑞士数学家欧拉研究调和级数时，得到了以下结果：当n 很大时，1111ln 23n nγ++++=+ （其中γ为常数，其近似值为0.577）据此，可以估计111200012000230000+++ 的值为（）A ．4ln10B ．ln6C ．ln2D ．3ln2【正确答案】D【分析】根据已知结论得两个等式相减即可得解.【详解】由题意得1111ln300002330000γ++++=+ ,1111ln200002320000γ++++=+ ，两式相减得，111300003ln 30000ln 20000ln ln 200012000230000200002+++=-== .故选：D ．10．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”.已知常数0,0p q ≥≥，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个；③若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】D【分析】根据“距离坐标”的定义，依次分析各命题即可得答案.【详解】解：①，若0p q ==，则“距离坐标”为()0,0的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，故正确.②，若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为()0,q 或(),0p 的点有且仅有2个，故正确.③若0pq ≠，则0,0p q ≠≠，“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，为123,,,M M M M ，如图，故正确.故正确的命题个数为3个.故选：D二、填空题11．若5(1a =+,a b 为有理数），则a b +=_______________．【正确答案】120【分析】利用二项式定理展开5(1并计算，再利用有理项、无理项求解作答.【详解】由二项式定理得：1234555555513C 9C 97644(1=+++++=+依题意，76a +=+,a b 为有理数，因此76,44a b ==，所以120a b +=.故12012．银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，则在第一次没有按对的条件下第2次按对的概率是_________．【正确答案】14/0.25【分析】根据条件概率公式直接计算即可.【详解】记事件A ：第一次没有按对密码；事件B ：第二次按对密码；()45P A =，()411545P AB =⨯=，()()()14P AB P B A P A ∴==.故答案为.14三、双空题13．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则bc=_______，cos A 的值为________．【正确答案】3214-【分析】利用正弦定理边角互化即可求得b c，利用余弦定理即可求得cos A .【详解】因为ABC 中，2sin 3sin B C =，所以由正弦定理可得23b c =，即32b c =.又因为14b c a -=，所以2a c =，所以由余弦定理可得()2222223212cos 32422c c c b c a A bc c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===-⨯⨯，故32；14-14．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意的正整数n ，都满足：11122n nn a a +-=+，若112a =，则3a =________，2023S =______________．【正确答案】11220232024【分析】直接利用条件可递推出第三项，利用累加法可得数列通项再用裂项相消法求和即可.【详解】由11122n n n a a +-=+和112a =可得：21232311111146,612,a a a a a a -=⇒=∴-=⇒=即3a =112；由11122n n n a a +-=+可得：()112211111112,21,...,4n n n n n n a a a a a a ----=-=--=，累加得()()()124111111211n n n n a a a n n n n +--=⇒==-++，所以20231111112023 (1223202320242024)S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故112，20232024四、填空题15．已知曲线:44C x x y y -=．①若00(,)P x y 为曲线C 上一点，则0020x y ->；②曲线C 在()0,1-处的切线斜率为0；③R,20m x y m ∃∈-+=与曲线C 有四个交点；④直线20x y m -+=与曲线C无公共点当且仅当((),0,m ∈-∞⋃+∞．其中所有正确结论的序号是_____________．【正确答案】①②【分析】分x 、y 的符号情况化简曲线C 的方程，从而可画出曲线C 的图象，结合图象逐一分析即可.【详解】当0x ≥，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y -=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；当0x ≥，0y <时，曲线C 的方程为2244x y +=，即2214x y +=，曲线C 是椭圆的一部分；当0x <，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y --=，曲线C 不存在；当0x <，0y <时，曲线C 的方程为2244x y -+=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；双曲线2214x y -=和2214y x -=有一条共同的渐近线20x y -=，综上，可作出曲线C的图象，如图：由图象可知曲线C 的图象上的点都在直线20x y -=的下方，所以当00(,)P x y 在曲线C 上时，有0020x y ->，故①正确；设过点()0,1-的直线l 的方程是1y kx =-，若直线l 与椭圆2214x y +=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得221408()k x kx -+=，2640k ∆==，得0k =；若直线l 与双曲线2214x y -=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(41)80k x kx --=，则2410k -≠且2640k ∆==，得0k =，此时直线l 的方程是1y =-，与曲线C 相切，故②正确；直线20x y m -+=是表示与直线20x y -=平行或重合的直线，由曲线C 的图象可知，直线20x y m -+=与曲线C 不可能有四个交点，故③错误；设直线20x y n -+=与椭圆2214x y +=相切，则由222014x y n x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得228440y ny n -+-=，所以221632(4)0n n ∆=--=，解得n =±C的图象，取n =-，即直线20x y --=与曲线C 相切，所以若直线20x y m -+=与曲线C 无公共点，结合曲线C 的图象，0m ≥或m <-.故①②.方法点睛：1.曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值；2.直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法.五、解答题16．在ABC 中，76cos a b B =．(1)若3sin 7A =，求B ∠；(2)若8c =，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在.求ABC 的面积条件①：sin 47A =；条件②：sin B =【正确答案】(1)4π；(2)【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得4sin 23B =，ABC 不存在；若选②：先判断cos 0B >，再由sin 2B =求出cos B ，由73a b =及余弦定理求得a ，再计算面积即可.【详解】（1）由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又3sin 7A =，故sin 21B =，又()0,B π∈，故22B π=，4B π=；（2）若选①：由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又sin 47A =，故4sin 23B =，此时ABC 不存在；若选②：由7cos 06a B b =>，又sin 2B =，则1cos 2B =，73a b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2276483a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得3a =或245a =-（舍去），故ABC的面积为1sin 2ac B =.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//ABCD AD AB AB DC ⊥，2,1AD DC AP AB ====，点E 为棱PC的中点．（1）证明：BE DC ⊥；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2（3．【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BE DC ⊥，；（2）向量法：先求平面PBD 的法向量A ，然后利用公式1sin cos ,n BE n BE n BEθ⋅==⋅ 求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面ABF 和平面PBA 的法向量12,n n ，再利用公式121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅ 来求二面角F AB P --的余弦值．【详解】依题意，以点E 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得(1,0,0),(2,2,0)B C ，(0,2,0),(0,0,2)D P ，由点E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．（1）向量()0,1,1BE = ，()2,0,0DC = ，故0BE DC ⋅= ．∴BE CD ⊥．（2）向量(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=- ，设()1,,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1z =，可得()2,1,1n = 为平面PBD 的一个法向量．于是有3cos ,||||62n BE n BE n BE ⨯〈〉==⨯⨯ ，∴直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33．（3）()2,2,2,(2,2,0),(1,0,0),CP AC AB =--== ，由点F 在棱PC 上，故(12,22,2)BF BC CF BC lCP l l l =+=+=-- ，由BF AC ⊥，得+22(12)(22=0)l l --，解得34l =，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设1(,,)n x y z = 为平面ABF 的法向量，则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得1(0,3,1)n =- 为平面ABF 的一个法向量．取平面PAB 的法向量2(0,1,0)n = ，则121212310cos ,1010n n n n n n ⋅===-⋅ ．易知，二面角F AB P --31010．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数X ；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.【正确答案】（1）91%（2）见解析（3）两次活动效果均好．详见解析【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望；（3）根据后继一周都有提升可得两次活动效果均好．【详解】（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：959892889494838085929596191%12100x +++++++++++=⨯=.（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，()1212044464P X ==⨯⨯=，()3211211444444P X ==⨯⨯+⨯⨯1231444464+⨯⨯=，()3213212444444P X ==⨯⨯+⨯⨯3233044464+⨯⨯=，()32318344464P X ==⨯⨯=，∴X 的分布列为：X 0123P 1327321532932171590123232323232EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%94%→和80%到85%看出，后继一周都有提升．本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．19．已知函数()ln f x ax x x =-．(1)当1a =时，求()f x 的零点；(2)讨论()f x 在[]1,e 上的最大值；(3)是否存在实数a ，使得对任意0x >，都有()f x a ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)ex =(2)答案见解析(3)存在，a 的取值范围是1a =【分析】（1）利用导函数判断()f x 的单调性，进而判断零点的情况即可；（2）利用导函数判断()f x 在区间[]1,e 的单调性，进而求最值即可；（3）由题意只需()max f x a ≤即可，利用（2）中结论即1e 0a a --≤，利用导数求a 的范围即可.【详解】（1）()ln f x ax x x =-的定义域为()0,∞+，当1a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，又因为当0x →时()0f x >，()11f =，()e 0f =，所以()f x 仅有一个零点，e x =.（2）()1ln f x a x =--'，令()0f x '=，解得1e a x -=，在区间()0,∞+内，x ()10,e a -1e a -()1e,a -+∞()f x '+0-()f x 单调递增极大值单调递减当1e 1a -≤（即1a ≤）时，在[]1,e 上()f x 单调递减，()max ()1f x f a ==，当1e e a -≥（即2a ≥）时，在[]1,e 上()f x 单调递增，()max ()e e e f x f a ==-，当11e e a -<<（即12a <<）时，在1e ,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递增，在11,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递减，()()1111max ()e e e 1e a a a a f x f a a ----==--=．综上所述，当1a ≤时，()f x 的最大值为a ，当2a ≥时，()f x 的最大值为e e a -，当12a <<时，()f x 的最大值为1e a -.（3）由（2）知在()0,∞+上，()11max ()ee a af x f --==，构造函数()()11e e a a g a f a a --=-=-，由题意应使()0g a ≤，()1e 1a g a -'=-，令()0g a '=，解得1a =．a (),1-∞1()1,+∞()g a '-0+()g a 单调递减极小值单调递增所以()min ()10g a g ==，所以使()0g a ≤的实数a 只有1a =，即a 的取值范围是1a =．20．已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【正确答案】（Ⅰ（Ⅱ）1；（Ⅲ）平行，理由见解析．【详解】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用c e a=计算离心率；（Ⅱ）由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与3x =相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c所以椭圆C 的离心率c e a ==.（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -.直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -.所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =.又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE .当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--.令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233{(1)x y y k x +==-，得2222(13)6330k x k x k +-+-=.所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+.直线BM 的斜率11212323BM y x y x k x +---=-.因为()()()()()()()11212121131232132BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=--0=，所以1BM DE k k ==.所以//BM DE .综上可知，直线BM 与直线D E 平行.椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.21．若项数为()3N N ≥的数列12:,,,N N A a a a 满足：()*11,N 2,3,,i a a i N =∈= ，且存在{}2,3,,1M N ∈- ，使得{}{}11,2,111,2,1n n n M a a M n N +⎧≤≤-⎪-∈⎨--≤≤-⎪⎩，则称数列N A 具有性质P .(1)①若3N =，写出所有具有性质P 的数列3A ；②若44,3N a ==，写出一个具有性质P 的数列4A ；(2)若2024N =，数列2024A 具有性质P ，求2024A 的最大项的最小值；(3)已知数列1212:,,,,:,,,N N N N A a a a B b b b 均具有性质P ，且对任意{},1,2,,i j N ∈ ，当i j ≠时，都有,i j i j a a b b ≠≠．记集合{}112,,,N T a a a = ，{}212,,,N T b b b = ，求12T T ⋂中元素个数的最小值.【正确答案】(1)①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）(2)1013(3)3【分析】（1）直接根据性质P 的概念一一列举即可；（2）根据性质P 及累加法得M a M ≥和2025M a M ≥-，两式相加即可求解；（3）根据性质P 及累加法得23M a N ≤-，23M b N ≤-，求出并集中元素个数的最大值，从而求出交集中的元素个数最小值.【详解】（1）①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）（2）当2024N =时，{}2,3,,2023M ∈ ．由12111,1,,1M M a a a a a -=-≥-≥ ，累加得M a M ≥；又由20242023202411,1,,1M M a a a a a +≥-≥-≥ ，累加得2025M a M ≥-；相加得22025M a ≥，又*M a ∈N ，所以1013M a ≥.所以数列2024A 的最大项M a 的最小值为1013，一个满足条件的数列为()()1,2,,101320261014,1015,,2024n n n a n n ⎧=⎪=⎨-=⎪⎩ ；（3）由12111,2,,2M M a a a a a -=-≤-≤ ，累加得21M a M ≤-．又1M N ≤-，所以23M a N ≤-，同理，23M b N ≤-，所以{}()12121,2,,23,card 23T T N T T N ⋃⊆-⋃≤- ，因为()()12card card T T N ==，所以()()()()121212card card card card 3T T T T T T ⋂=+-⋃≥，所以12T T ⋂中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为()()()()()11211,2,,1222,3,,12425n n n n n N a b n n N N n N N n N ⎧=⎧-=-⎪⎪==-=-⎨⎨-=⎪⎩⎪-=⎩ ，此时{}121,24,25T T N N ⋂=--.思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言；(3)将已知条件代入新定义的要素中；(4)结合数学知识进行解答.。

2020年北京市朝阳区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

A. 〔-00, 0〕B. 〔-00, 1〕C. 〔1, +°°〕7. 在棱长为1的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E, F 分别为线段CD 和A I B I 上的动点,且满足 CE=A I F,那么四边形D I FBE 所围成的图形〔如下图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和〔〕D. (0, +°°)A.有最小值B.有最大值jC.为定值35 . 等差数列｛a n ｝首项为a 1,公差dwQ 那么“ a 〔,a 3, a 9成等比数列〞是“ a 1二d的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6 .函数f 〔x 〕 =：,；；］：,假设函数f 〔x 〕存在零点,那么实数a 的取值范围是〔〕2021年北京市朝阳区高考数学二模试卷〔二〕、选择题〔本大题共 8小题,共40.0分〕1. 集合 A={x|x>1}, B={x|x (x-2)<0},贝U AUB=( ) A. {x|x>0} B. {x|1<x< 2} C.{x|1 买v 2} D. {x|x>0且 xw 1} 2 . 复数i 〔1 + i 〕的虚部为〔〕 A. B. 1 C. 0 3 .在数学史上,中外数学家使用不同的方法对圆周率兀进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在 1674年给出的求兀D. -1的方法绘制的程序框图如下图. 执行该程序框图, s 的值为〔 A. 4 B. D.输出 4. 在 AABC 中,H c=4, cosC = -5,那么 b=()D.为定值28 . 在同一平面内, A 为动点,B, C 为定点,且/BAC4, 二A 却？于口,BC=1, P为BC 中点•过点p 作pQ gC 交AC 所在直线于Q ,那么;Q 在;c 方向上投影的最大值二、填空题(本大题共 6小题,共30.0分)9 . a=log 3e, b=ln3, c=log 32,贝U a, b, c 中最小的是 .10 .点M (1, 2)在抛物线 C: y 2=2px (p>0)上,那么点M 到抛物线C 焦点的距离是.I x - votO.* ( i = 1 + 2r,11 .圆心；｛y = 1十(.为参数)上的点P 到直线| y = —1 + (t 为参数)的距离最小值是. f 工之L12 .实数x, y 满足 ¥=#,能说明“假设z=x+y 的最大值为4,那么x=1, y=3〞为假 [x 4- y < 4.命题的一组(x, y)值是.13 .由数字1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的三位数,偶数共有个,其中个位数字比十位数字大的偶数共有个. 14 .如图,在平面直角坐标系xOy 中,点 O (0, 0) , M (-4, 0) , N (4, 0),P (0, -2) , Q (0, 2) , H (4, 2).线段OM 上的动点A 满足;力一%时(''(必‘))；线段HN 上的动点B 满足j 二"N 直线PA 与直线QB 交于点L,设直线PA 的斜 ntf ni\ 7率记为k,直线QB 的斜率记为k',那么k?k'的值为;当入变化时,动点L 一定在 (填“圆、椭圆、双曲线、抛物线〞之中的一个)上.三、解做题(本大题共 6小题,共80.0分) 15 .函数 fix) = 2sinxcosx + 入瓦,".一超.(I )求函数f (x)的最小正周期；(n )当某E [一彳,同时,求证：/(X )之一十B.C.是(某电视台举行文艺比赛, 并通过网络比照赛进行直播. 比16.赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分, 场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分. 每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分,将评分根据[7, 8) , [8, 9) , [9, 10]分组,绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E评分9.69.59.68.99.7(I )求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9的概率；(n)从5名专家中随机选取3人,X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人,用频率估计概率, Y表示评分不小于9分的人数；试求 E (X)与E (Y)的值；(出)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数匚作为该选手的最终得分.r 4方案二：分别计算专家评分的平均数;和观众评分的平均数；,用以士作为该选手最终得分.请直接写出f与',的大小关系.频率在三^柱ABC-A i B i C i中,底面ABC是正三角形,侧棱AAUB面17.ABC. D, E分别是边BC, AC的中点,线段BC i与B i C交于点G,且AB=4, 叫=2k.(I )求证：EG//平面AB i D；(n)求证：BC i"面AB i D；(m )求二面角A-B i C-B的余弦值.18.函数f (x) = (2ax2+4x) lnx-ax2-4x (aCR,且a*O) (I )求曲线y=f(x)在点(1, f (1))处的切线方程;(n )假设函数f (x)的极小值为试求a的值.19 .椭圆C: 4 + y Z= l (a>1)的离心率为坐.(I )求椭圆C的方程；(n)设直线l过点M (1, 0)且与椭圆C相交于A, B两点.过点A作直线x=3 的垂线,垂足为D .证实直线BD过x轴上的定点.20 .对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合S (A) ={a+b|aCA, bCA},记集合S(A)的元素个数为d (S (A)).定义变换T,变换T将集合A变换为集合T (A) =AUS (A).(I )假设A={0 , 1, 2},求S (A) , T (A);(n)假设集合A有n个元素,证实：" d (S (A) ) =2n-1〞的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为.的等差数列〞；(出)假设A?{1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}且{1 , 2, 3,…,25, 26}? T (T (A)), 求元素个数最少的集合 A.1 .答案：A解析：解：根据不等式的解法,易得 B={x|0vx 匚< 2},均召-2? 4 5 .又有 A={ x|x> 1},那么 AUB={x|x>0}. 应选：A.根据不等式的解法,B={x[0vx<2},然后根据并集的定义“由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集〞进行求解即可. 此题考查并集的运算,注意结合数轴来求解,属于容易题.2 .答案：B 解析：解：.i (1 + i) =-1 + i,. i (1 + i)的虚部为1. 应选：B.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.此题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的根本概念,是根底题.3 .答案：C 解析：解：第一次,s=4, k=1, k>3否,第二次, 乂辐,k =2 ,k4否, 第二次,s= |+?=m ,k=3, k>3是, 程序终止,输出s=* 应选：C.根据程序框图进行模拟运算即可. 此题主要考查程序框图的识别和判断, 根据条件进行模拟运算是解决此题的关键.比拟根底.4 .答案：B 解析：【分析】由利用同角三角函数根本关系式可求值. 此题主要考查了同角三角函数根本关系式, 础题. 【解答】解：*c=4, CORC =(, sinC=dl-co5i 々巧,,由正弦定理岛可得：解得：b=3. 应选：B.答案与解析sinC 的值,根据正弦定理即可计算得解b 的正弦定理在解三角形中的综合应用,属于基5 .答案：C 解析：【分析】此题考查等差、等比数列的定义以及判断,涉及充分必要的定义与判断,属于根底题. 根据题意,设数列｛a n ｝的公差为d,从充分性与必要性的角度分析“ a i, a 3, a 9成等比数列〞和“ a i =d 〞的关系,综合即可得答案. 【解答】解：根据题意,设数列｛a n ｝的公差为d,假设 a i, a 3, a 9成等比数列,那么〔a 3〕2=a i 39,即〔a i +2d 〕 2=a i • 〔a i +8d 〕,变形可得：a i =d,那么“a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的充分条件；假设 a i =d,贝U a 3=a i +2d=3d, a 9=a i +8d=9d,贝U 有〔a 3〕2=a i a 9,贝U " a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的必要条件；综合可得：“ a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的充要条件；应选：C.6 .答案：D 解析：解：函数f 〔x 〕=：上管,函数的图象如图：函数f 〔x 〕存在零点,那么实数 a 的取值范围是：〔.,+°°〕. 应选：D.画出函数的图象,利用数形结合推出 a 的范围即可.此题考查分段函数的应用,函数的零点的判断, 考查数形结合以及计算水平.7 .答案：DD'B'E f解后面解：依题意,设四边形D I FBE的四个顶点在后面,上面,左面的投影点分别为D', F', B', E',那么四边形D I FBE在上面,后面,左面的投影分别如上图.所以在后面的投影的面积为S后=1 M=1 ,在上面的投影面积S±=D'E' 1=DEX1 = DE,在左面的投影面积S左=B'E' 1=CEX1=CE,所以四边形D1FBE所围成的图形〔如下图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1 + DE+CE=1 + CD=2.应选：D.分别在后,上,左三个平面得到该四边形的投影,求其面积和即可.此题考查了正方体中四边形的投影问题,考查空间想象水平.属于中档题.8 .答案：C 解析：解：建立如下图的平面直角坐标系,那么〔4, 0〕, C4,0〕, P〔0,0〕,设 A 〔x, y〕,那么xv 0,设直线AB, AC的斜率分别为k b k2, 由到角公式得：G an J化简彳导:x2+ (y-,)=；,口次那么x*:,那么」苧叔V0,由;在；方向上投影的几何意义可得:.在；方向上投影为DP|二|x|, 那么H、方向上投影的最大值是降应选：C.先建系,再由到角公式得：=常二tan,化简得：x2+ (y<)=：,那么x29［那么-;今v 0,再由二在M方向上投影的几何意义可得解・此题考查了到角公式及平面向量数量积的运算,属中档题.9 .答案：c 解析：解：b=ln3>1,又2V ev 3,所以10g32V log3ev 1,即cv a< b,故a, b, c中最小的是 c.故答案为：c由对数值大小的比拟得：b=1n3>1,又2V e<3,所以10g32v1og3ev 1,即cvavb,得解.此题考查了对数值大小的比拟,属简单题.10 .答案：2解析：解：由点M (1, 2)在抛物线C: y2=2px (p>0)上,可得4=2p, p=2,抛物线C： y2=4x,焦点坐标F (1, 0),那么点M到抛物线C焦点的距离是：2,故答案为：2.由题意可知：点的坐标代入抛物线方程,求出p=2,求得焦点F (1, 0),利用直线的两点式,即可求点M到抛物线C焦点的距离.此题考查抛物线的标准方程及简单几何性质,直线的两点式方程,考查计算水平,属于根底题. 11 .答案：睥1 解析：解：由ly = 1+ 就月.得x2+(y-1)2=1,由,ly =一1 + t 得x-2y-3=0 ,,一,、一■ 一I r , r、 _ ■ - . |0"2~ 3| J-1圆心〔0, 1〕到直线x+2y+1=0的距离d=:=、后,所以所求距离的最小值为-1故答案为：.^5-1.化成直角坐标方程后用点到直线的距离,再减去半径. 此题考查了参数方程化成普通方程,属中档题.12 .答案:〔2, 2〕r x>l,解析：解：实数x, y 满足y 皂币的可行域以及x+y=4的直线方程如图：能说明"假设z=x+y 的最大值为4,那么x=1,y=3〞为假命题的一组〔x, y 〕值是〔2, 2〕. 故答案为：〔2, 2〕.画出约束条件的可行域,目标函数取得最大值的直线,然后求解即可.此题考查线性规划的简单应用,画出可行域是解题的关键.13 .答案：60 36解析：解：根据题意, 对于第一空：分 2步分析：①要求是没有重复数字的三位偶数,其个位是 ②在剩下的5个数字中任选2个,安排在前那么有3X20=60个符合题意的三位偶数；对于第二空：分 3种情况讨论：①,当其个位为2时,十位数字只能是的三位数；②,当其个位为4时,十位数字可以是个符合题意的三位数；③,当其个位为6时,十位数字可以是5 >4=20个符合题意的三位数；那么有4+12+20=36个符合题意的三位数; 故答案为：60, 36.对于第一空：分 2步分析：①分析可得要求三位偶数的个位有 3种情况,②在剩下的 5个数字中任选2个,安排在前2个数位,由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：按个位数字分 3种情况讨论,分别求出每种情况下的三位数的数目,由加法原理计算可得答案.此题考查排列、组合的应用,涉及分步、分类计数原理的应用,属于根底题.解析：解：叫；「A (-4 入,0),又 P (0, -2) , .*=*$； r 二厂 _ ___ . , 2(-2) / . . , L HRB (4,2-2 k= 4^0- =-2, kk =,设 L (x, y),那么 k=\ k =^, .kk1 = 1?；〞=；, 1 / = = X,即彳-适=1 .2、4或6,有3种情况, 2个数位,有 A 52=20种情况,1,百位数字有4种情况,此时有4个符合题意 1、2、3,百位数字有4种情况,此时有 3>4=121、2、3、4、5,百位数字有4种情况,此时有14.答案：；双曲线故答案为：:,彳先=1 .根据向量关系得到 A, B 的坐标,再根据斜率公式可得 kk'=;设P (x, y),根据斜 I 率公式可得P 点轨迹方程.此题考查了圆锥曲线的轨迹问题,属中档题. 15 .答案：解：(I) J ⑺="Ehwhh + 笈 3gA -木, =#i 也 2M + \3cosZx, =・证实：(II)由于第中, 即归+沁一,1, 所以f (x)在上单调递增. 当 2# + ；=—；时, J Q即工:一;,时, /.%山=一"手所以当X E 时,f W > 75.解析：(I)首先利用三角函数关系式的恒等变换, 把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的最小正周期.(n )利用函数的关系式,进一步利用函数的定义域求出函数的值域.此题考查的知识要点：三角函数关系式的变换,正弦函数的性质的应用,主要考察学生的运算水平和转换水平,属于根底题型.16 .答案：解：(I)由图知a=0.3,某场外观众评分不小于 9的概率是1. (n ) X 的可能取值为 2, 3. P (X=2)所以X 的分布列为： X233 dP 弱3J 12 所以 E (X ) =2乂-+3XG = M .J0*J 1由题意可知,T 〜巩工］,所以E (Y)所以f (x)的最小正周期 2ltT=V =n3 / 、端 2W ； P (X =3)= np=|(m)* * * = 2 ^ x0 + 0x4 + 0x 2.= 0BC i DA'-=OxO + 〔-2〕x4+2\Nx2u2 = OBC 1 叫'所以 BC i ±DA, BCUDB i.又由于DA ADB I =D,所以BC i,平面AB i D. ............................ 〔 9分〕 (出)解：显然平面 B i CB 的一个法向量为“ =(I, 0, 0)'=0, L *呼n 8-诙平片灯=0,付1 4尸窗％ ; 0, 【电/ 4叼如ririA.设二面角A-BiC-B 的平面角为0,由图可知此二面角为锐二面角,解析：(I)证实EG/AB i.然后利用直线与平面平行的判定定理证实 EG/印面AB i D.(n )取B iC i 的中点D i,连接DD i,建立空间直角坐标系 D-xyz,通过向量的数量积证实BC i IDA, BCODB i,然后证实BC i 」平面AB i D.(出)求出平面 B i CB 的一个法向量,平面 AB i C 的一个法向量,设二面角 A-B i C-B 的平面角为0,利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可. 此题考查直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用, 二面角的平面角的求法,考查计算水平.解析：此题考查了离散型随机变量的期望和方差,属中档题.(I )由图知a=0.3,某场外观众评分不小于 9的概率是:(n )计算概率可得分布列和期望;(m)专家评分的平均分高于观众评分的平均分,17.答案：(本小题总分值14分)(I)证实：由于E 为AC 中点,G 为B i C 中点.所以EG/AB 1. 又由于EG?平面AB i D, AB i ?平面AB i D, 所以EG/狂面AB i D. .................... ( 4分) (II )证实：取BiCi 的中点Di,连接DDi.显然DA, DC, DD i 两两互相垂直,如图,建立空间直角坐标系D-xyz,那么 D (0,0,0),42、, 0, 0),B (0,-2,0),fl 1(O 1 -2, 2j),2. 2^2), B R G, 1, 0), C (0, 2, 0). 所以又由于设平面AB i C 的一个法向量为:叼=〔x, y, z 〕,又；=(一2屈 2,.) ni L, ■ =〔.,4, -西设x=i ,贝U y =/1,上二亚,那么:a,隹两.'III所以COSfi =而・. 〔 I4 分〕但专家人数远小于观众人数, 故小于.18 .答案：(本小题总分值13分)解：(I )函数 f (x) = (2ax 2+4x) lnx-ax 2-4x (aCR,且 aw .. 由题意可知 f' (x) =4 (ax+1) lnx, xC (0, +°°).f' (1) =0, f (1) =-a-4, .•曲线y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程为 y=-a-4. ....... ( 3分) (n )①当av-1时,x 变化时f (x) , f (x)变化情况如下表：x ◎ 4 Tf-l 1)1 (1, +°°) f (x) -0 +0 -f (x)极小值极大值此时晨一：)②当a=-1时,f' (x) wo 在(0, +oo )上恒成立,所以f (x)在(0, +°°)单调递减. 此时f (x)无极小值,故不成立.③当-1<av .时,x 变化时f' (x) , f (x)变化情况如下表： x (0, 1) 1 J 1A+ 8)f (x) -0 + 0 -f (x)极小值/极大值解得u = -2 +避或a = -2—?3. 由于-1vav0,所以 u =④当a>0时,x 变化时f' (x) , f (x)变化情况如下表: x (0, 1) 1 (1, +°°) f (x)-+f (x)极小值解得a =—2 +小或H =一2-$3 ,故不成立. 综上所述,二-2 +祠. ............ . (13分)解析：(I )由题意可知 f (x) =4 (ax+1) lnx, xC (0, +0°) , f' (1) =0, f (1) =-a-4, 由此能求出曲线 y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程.(n )当av-1时,求出f]-3 =1 +力M-口)=；,解得口 = -^>-1 ,不成立；②当a=-1 f (x)在(0, +8)单调递减.f (x)无极小值;由题意可得一以一4=：,求出4=\信-2；当a>0时,极小值f (1) =-a-4.由此能求出a 的值.此题考查切线方程的求法,考查实数值的求法,考查导数性质、函数的单调性、最值等根底知识,考查运算求解水平,考查化归与转化思想,是中档题.= 119 .答案：(I )解：由题意可得[〞 —3 解得a=J , b=1 ,\a 2 = b 2 + c 2时,f (x) w 师(0, +oo)上恒成立, 当-1vav0 时,极小值 f (1) =-a-4,所以椭圆C 的方程为；+y 2=i.(n )直线BD 恒过x 轴上的定点 N (2, 0).证实如下 (1)当直线l 斜率不存在时,直线l 的方程为x=1, 不妨设 A (1,乎),B (1, ¥), D (3,悟)此时,直线BD 的方程为：y ((x-2),所以直线BD 过点(2, 0)(2)当直线l 的斜率存在时,设 A (xi, yi) , B (x2, y2),直线AB 为y=k (x-1), D (3, yi).解析：(I )由题意列关于a, b, c 的方程组,求解可得 a, b, c 的值,那么椭圆方程可求；(n)当直线AB 的斜率不存在时,直线 BD 过点(2, 0).当直线AB 的斜率存在时, 设直线AB 为y=k (x-i),联立方程组,消去 y 整理得：(i+3k 2) x 2-6k 2x+3k 2-3=0,利用韦达定理、直线方程,结合条件求出直线BD 过x 轴上的定点.此题考查椭圆方程求法,考查考查两直线的交点是否为定点的判断与求法,考查椭圆、韦达定理、根的判别式、直线方程、弦长公式等根底知识,考查推理论证水平、运算求解水平,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.20 .答案：解：(I )假设集合 A={0 , i, 2},那么 S (A) =T (A) ={0 , i, 2, 3, 4} •….(3 分)(n )令 A={Xi, x2,…xn}.不妨设 xi 〈x2<e y xn. 充分性：设{xk}是公差为d (dWQ)的等差数列. 贝U x i +x j =x i + (i-i) d+x i + (j-i) d=2x i + (i+j-2) d (iW, j 而)且2M+jwm.所以x i +x j 共有2n-i 个不同的值.即 d (S (A) ) =2n-i. 必要性：假设 d (S (A) ) =2n-i . 由于 2x i 〈x i +x i+i v 2x i+i, ( i=i, 2,…,n-i).所以 S (A)中有 2n-i 个不同的元素：2x i, 2x 2 ,…,2x n, x i + x 2, x 2+x 3,…,x n-i +x n. 任意x i +x j (iw, j 切)的值都与上述某一项相等.又 x i +x i+i v x i +x i+2V x i+i + x i+2, 且 x i + x i+i V 2x i+i V x i+i +x i+2 , i=i , 2 , …,n-2 . 所以X i +x i+2=2x i+i ,所以{x k }是等差数列,且公差不为 0.….(8分)(出)首先证实：iCA.假设i?A, A 中的元素均大于i,从而i?S (A), 因此 i?T (A) , i?S (T (A)),故 i?T (T (A)),与{i , 2, 3,…,25, 26} ?T (T (A))矛盾,因此i CA. 设A 的元素个数为n, S (A)的元素个数至多为C ： + n,从而T (A),的元素个数至多为 C -+n+n=,f^m. * 2假设n=2,那么T (A)元素个数至多为5,从而T (T (A))的元素个数至多为亨=20, 而T (T (A))中元素至少为 26,因此n>3假设 A 有三个元素,设 A={1 , a2, a 3},且 1va 2〈a3W8,那么 1, 2, a2, a 2+1, a 3, a 3+1, 2a 2, a 2+a 3, 2a 3C T (A),, = «一1) x 2+ 所以 x i +x 2= :(1+3k 2) x 2-6k 2x+3k 2-3=0.直线北BD: y-y i = 所以由于(x-3),令 y=0,得 x-3=故直线BD 过点(2,0). 综上所述,直线 BD 恒过x 轴上的定点(2, 0)从而1, 2, 3, 47(T (A) ) .假设a2>5, T (T (A))中比4大的最小数为32,那么5?T (T (A)),与题意矛盾,故a2<5.集合T (T (A)).中最大数为4a3,由于26CT (T (A)),故4a3> 26从而a3>7, (i)假设A={1 , a2, 7},且a2<5.此时1, 2, a2, a2+1, 7, 8, 2a2, 7+a2, 14b (A), 那么有8+14=22, 2X14=28CT (T (A)),在22 与28之间可能的数为14+2a2, 21+a2. 此时23, 24, 25, 26不能全在T (T (A)).中,不满足题意. (ii)假设A={1 , 32, 8},且32<5 此时1, 2 , 32 , 32+1, 8 , 9 , 232 , 8+ 32, 16CT (A), 那么有16+9=25 CT (T (A)),假设26 CT (T (A)),那么16+232=26 或16+ (8+32)=26, 解得32=5或32=2 .当A={1 , 2, 8}时,15, 21, 23?T (T (A)).,不满足题意.当A={1 , 2, 8}时,T (T (A) ) ={1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 32},满足题意.故元素个数最少的集合A为{1, 5, 8} ....................... ... ( 13分)解析：(I)根据定义直接进行计算即可(n)根据充分条件和必要条件的一结合等差数列的性质进行证实(m )首先证实：1 CA,然后根据条件分别判断A中元素情况即可得到结论.此题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用, 综合性强,难度比拟大.不太好理解.。

北京市第八中学2020届高三下学期自主测试(一)数学试题 Word版含解析

北京八中高三数学学习质量自我检测（一）一.选择题（本大题共10道小题，每道小题4分，共40分）1.若集合{|13}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =I （） A. {|13}x x -<< B. {|11}x x -<< C. {|12}x x << D. {|23}x x << 【答案】C 【解析】【分析】利用交集的定义可求A B I . 【详解】{}|12A B x x ⋂=<<, 故选：C.【点睛】本题考查集合的运算（交），此类问题属于基础题. 2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（） A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-考点：全称命题与特称命题3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（） A. y x =- B. 21y x =- C. cos y x =D. 12y x =【答案】B 【解析】【分析】先考虑函数的定义域是否关于原点对称，再利用基本初等函数性质判断各选项中的函数是否为偶函数、是否为增函数.【详解】对于D ，因为函数的定义域为[)0,+∞，故函数12y x =不是偶函数，故D 错误.对于A ，y x =-的定义域为R 且它是奇函数，故A 错误.对于C ，cos y x =的定义域为R ，它是偶函数，但在(0,)+∞有增有减，故C 错误. 对于B ，21y x =-的定义域为R ，它是偶函数，在(0,)+∞为偶函数，故B 正确. 故选：B.【点睛】本题考查基本初等函数的奇偶性和单调性，解题的关键是熟悉基本初等函数的性质，本题属于基础题.4.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，则此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为（）A.14B.12C.34D. 1【答案】B 【解析】【分析】求出(1,0,1)、(0,0,1)在xOy 坐标平面上的投影点的坐标后可求四面体的正投影的面积. 【详解】(1,0,1)、(0,0,1)在xOy 坐标平面上的投影点的坐标分别为()()1,0,0,0,0,0，故四面体的正投影为()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0A B C 构成的三角形ABC ，因为1,1AB AC BC ===，故222,AB BC AB BC AC =+=，所以ABC ∆为等腰直角三角形，故111122ABC S ∆=⨯⨯=，故选：B.【点睛】本题考查空间直角坐标系中的几何图形的面积，注意根据利用解直角三角形（有时是解三角形）的方法来求解，本题属于容易题. 5.已知菱形ABCD 边长1，=60BAD ∠︒，则·=BD CD u u u v u u u v（） A.12 B. 12-C.32D. 32-【答案】A 【解析】【分析】以,AB AD u u u r u u u r 为基底向量表示,BD CD u u u r u u u r 后利用向量数量积的运算律可求BD CD u u u r u u u r g 的值.【详解】,BD AD AB CD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故()()21111122BD CD AD AB AB AD AB AB =--=-+=-⨯⨯+=u u u r u u u ru u u r u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r gg g 故选：A.【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量． 6.双曲线2241x y -=的离心率为（）【答案】A【解析】【分析】将双曲线方程化成标准方程后求出,,a b c可求离心率.【详解】双曲线2241x y-=的标准方程为：221114x y-=，故实半轴长为12a=，虚半轴长为1b=，故半焦距c==，故离心率为e=故选：A.【点睛】本题考虑双曲线的离心率，注意先把方程化成标准方程后再求基本量，本题属于基础题.7.已知公差不为0的等差数列{}n a，前n项和为n S，满足3110S S-=，且124,,a a a成等比数列，则3a=（）A. 2B. 6C. 5或6D. 12【答案】B【解析】【分析】将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求3a.【详解】设等差数列的公差为d，则()()11211133103a d aa d a a d+-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得122ad=⎧⎨=⎩或15ad=⎧⎨=⎩（舍），故()322316a=+⨯-=，故选：B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．8.在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（） A. 20- B. 15-C. 15D. 30【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r =，故常数项为()2236115T C =-=，故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题. 9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q . 科学研究发现v 与3log 100Q成正比. 当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900. 当2m /s v=时，其耗氧量的单位数为（） A. 1800 B. 2700C. 7290D. 8100【答案】D 【解析】【分析】设3log 100Qv k =，利用当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出k 后可计算2m /s v=时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log 100Q v k =，因为1v m /s =时，900Q =，故39001log 2100k k ==，所以12k =，故2m /s v=时，312log 2100Q=即8100Q =.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.在边长为2的等边三角形ABC 中，点D E ，分别是边AC AB ，上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=((01))λ∈,，将ADE V 沿直线DE 折到A DE 'V 的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（）A. 在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面ACD 'B. 存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC. 若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，104A B '= D. 在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为23【答案】D 【解析】【分析】利用反证法可证明A 、B 错误，当12λ=且二面角A DE B '--为直二面角时，计算可得102A B '=，从而C 错误，利用体积的计算公式及放缩法可得3()f λλλ≤-+，从而可求()f λ的最大值为23，因此D 正确.【详解】对于A ，假设存在F AE ∈，使得//BF 平面ACD '，如图1所示，因为BF ⊂平面A BE '，平面A BE '⋂平面A CD A A ''=，故//BF A A '，但在平面A BE '内，,BF A A '是相交的，故假设错误，即不存在F AE ∈，使得//BF 平面ACD '，故A 错误.对于B ，如图2，取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A I A H AI ''，因为ABC ∆为等边三角形，故AI BC ⊥，因为//DE BC ，故60,60,A DE A DE ACB A ED AED ABC '''∠=∠=∠=︒∠=∠=∠=︒ 所以,A DE ADE '∆∆均为等边三角形，故A H DE '⊥，AH DE ⊥，因为//DE BC ，AI BC ⊥，AI BC ⊥，故,,A H I 共线，所以IH DE ⊥，因为A H IH H '⋂=，故DE ⊥平面A HI '，而DE ⊂平面CBED ，故平面A HI '⊥平面CBED ，若某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE ，则A '在平面BCDE 的射影在IH 上，也在BC 上，故A '在平面BCDE 的射影为H ，所以AH IH >，此时1+2AD AH A H AC AI A H IH λ'===>'，这与102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,矛盾，故B 错误.对于C ，如图3（仍取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A H A B BH ''）因为,A H DE IH BC '⊥⊥，所以A HI '∠为二面角A DE I '--的平面角，因二面角A DE B '--为直二面角，故90A HI '∠=︒，所以A H AH '⊥，而IH DE H ⋂=，故A H '⊥平面CBED ，因BH ⊂平面CBED ，故A H BH '⊥. 因为12λ=，所以1322A H IH AI '===. 在Rt IHB ∆中，3714BH =+=，在Rt A HB '∆中，371044A B '=+=，故C 错. 对于D ，如图4（仍取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A H A B A C '''），作A '在底面CBED 上的射影O ，则O 在IH 上. 因为,//AD BC DE AC λ=，所以3λ=且2DEλ=，所以3A H λ'=其2DE λ=. 又()1132A CBED V DE CB IH A O '-'=⨯⨯+⨯⨯ ()()()()31122312231366A O λλλλλλλ'=+⨯-⨯≤+⨯-⨯=-+，令()()3,0,1fλλλλ=-+∈，则()231f λλ'=-+，当30,3λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f λ'>；当3,13λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f λ'<.所以()f λ在30,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为增函数，在3,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为减函数，故()max 323f f λ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查平面图形的折叠问题、折叠过程的线面、面面关系的判断以及体积最值的计算，解题注意折叠前面变化的量与不变量的量，而线面、面面关系的判断要依据性质定理或判定定理，体积最值的计算首先要有目标函数，其次根据线段长度的大小关系放缩为一元函数，再利用导数求最值，本题为难题.二、填空题（本大题共5道小题，每道小题5分，共25分）11.复数11i +的实部为__________．【答案】12【解析】【分析】利用复数的除法可算11i+，从而得到其实部. 【详解】()()1111111222i i i i i i --===-++-，故所求实部为12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查复数的除法以及复数的概念，注意复数的实部和虚部都是实数，本题属于基础题.12.已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．【答案】78【解析】【分析】由1sin sin 2A C =结合正弦定理可得2c a =，再利用22c ab =得到三边的关系，最后利用余弦定理可求cos A . 【详解】由正弦得sin ,sin 22a c A C R R ==，故1222a cR R=⨯（R 为外接圆的半径），故2c a =，又22c ab =，故2b a =，由余弦定理可得2222277cos 288b c a a A bc a +-===.故答案为：78. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.13.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件： ①所有的奇数项满足2121n n a a -+<，所有的偶数项满足222n n a a +<； ②任意相邻的两项21n a -，2n a 满足21n a -<2n a . 根据上面的信息完成下面的问题：（i ）数列1,23456,,,,__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（ii ）若2(1)nn a n n=+-，则数列{}n a __________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.【答案】 (1). 是 (2). 是【解析】【分析】依据定义检验可得正确的结论.【详解】若数列为1,23456,,,,，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义，故1,23456,,,,为“有趣数列”. 若2(1)nn a n n=+-，则21212221,212121n n a n a n n n -+=--=+--+， 222222,22222n n a n a n n n +=+=+++. 21212224220212141n n a a n n n -+-=--+=--<-+-，故2121n n a a -+<.()()222411222022212n n a a n n n n +-=-+=-+≤-+<++,故222n n a a +<.212222221210212212n n a a n n n n n n--=----=---<--，故21n a -<2n a . 综上，{}n a “有趣数列”.故答案为：是，是.【点睛】本题以“有趣数列”为载体，考虑数列的单调性，注意根据定义检验即可，本题为中档题.14.已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，则F 的坐标为__________；过点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，若4AF =，则AOB V 的面积为__________．【答案】 (1). (10),(2). 3【解析】【分析】由抛物线的标准方程可得焦点的坐标，利用焦半径公式可得A 的横坐标，求出其纵坐标后可求出直线AB 的方程，联立直线方程和抛物线方程后求出B 的坐标，最后可求AOB ∆的面积.【详解】由抛物线24C y x =：可得2p =，故焦点坐标()1,0.设()00,A x y ，则00142pAF x x =+=+=，故03x =. 根据抛物线的对称性，不妨设A在第一象限，则0y =，故31AB k ==-，故直线):1AB y x =-.由)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 可得231030x x -+=，故3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以112AOB S ∆=⨯⨯=. 故答案为：()1,0【点睛】本题考查抛物线的焦点、焦半径公式及抛物线中与三角形有关的面积计算，一般地，抛物线()220y px p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02px +；抛物线()220x py p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02py +.直线与抛物线相交后的交点坐标，一般是联立方程组求解，本题属于中档题. 15.定义域为R 的函数()f x 同时满足以下两条性质： ①存在0x ∈R ,使得()00f x ≠； ②对于任意x ∈R ，有(1)2()f x f x +=.根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数. （i ）若()f x 是增函数，则()f x =_______ ；（ⅱ）若()f x 不是单调函数，则()f x =_______ . 【答案】 (1). 2x (2). [)()12,1,2kx k x k k k Z --∈+∈ 【解析】【分析】先给出[)0,1上符合条件的函数，再求出其他范围上的解析式，注意验证构造出的函数是否满足单调性的要求.【详解】由①可知()f x 为非零函数，由②可知，只要确定了()f x 在[)0,1上的函数值，就确定了()f x 在其余点处的函数值，若()f x 是增函数，令()f x 在[)0,1上的解析式为()2x f x =，则当[),1,x k k k Z ∈+∈时，则[)0,1x k -∈，故()222kx kx f x -=⨯=.故()2,xf x x R =∈，此时()f x 为R 上的增函数.若()f x 不是单调函数，令()f x 在[)0,1上的解析式为()12f x x =-，它不是单调函数，又当[),1,x k k k Z ∈+∈时，则[)0,1x k -∈，故()()()()212122222kkf x f x f x f x k x k =-=-==⨯-=--L . 故()[)12,,1,2kf x x k x k k k Z =--∈+∈. 故答案为：[)()12,2,1,2x kx k x k k k Z --∈+∈. 【点睛】本题考查函数的性质，该性质和函数的周期性类似，因此可采取类似周期函数的处理方法即先确定主区间上满足已知性质的函数，再根据类周期性可求其他范围上的解析式，本题属于难题.三、解答题（本大题共6道小题，共85分）16.已知函数()2sin cos x x x f x =（Ⅰ）求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）12+.【解析】【分析】（Ⅰ）利用特殊角的三角函数值计算即可.（Ⅱ）利用降幂公式和辅助角公式可得()πsin 23f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求出π23x +的范围后利用正弦函数的性质可求最大值.【详解】解：（Ⅰ）2ππππ()sin cos 3333f =⋅+ 211222=⎛⎫⎪⎝⎭2=（Ⅱ）()2sin cos 3cos x x x f x =⋅+1cos 21sin 2322x x +=+⋅π3sin 23x ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2333x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,. 当ππ232x +=，即π12x =时， ()f x 取得最大值312+.【点睛】形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中心等．17.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）31,2nn n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ．试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得．所以．由，得，又，解得．所以．（2）因为，所以．18.目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：A小区B小区C小区D小区E小区废纸投放量（吨） 5 5.1 5.2 4.8 4.9塑料品投放量（吨） 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3（Ⅰ）从,,,,A B C D E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；（Ⅱ）从,,,,A B C D E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望．【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）基本事件的总数为5，随机事件中含有的基本事件的个数为2，从而可得随机事件的概率.（Ⅱ）利用超几何分布可求X的分布列及期望．【详解】解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A .由题意，有,B C 两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以2()5P A =. （Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有,B C ，共2个小区.X 的所有可能取值为0，1，2.23253(0)10C P X C ===；11322563(1)105C C P X C ⋅====；22251(2)10C P X C ===.所以X 的分布列为:3314()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时应利用排列组合的方法来考虑，另外，随机变量的分布列可借助于常见分布来计算概率.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点. 求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）详见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）求出,,a b c 后可得椭圆方程.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在，计算可得A B ，两点的纵坐标之积为9-.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，则212121212()142()4A B x x x x y y k x x x x -++=-++，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理化简A By y 后可得定值.【详解】解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切，所以半径b 等于原点到直线的距离d，b d ==，即b =由离心率12e =，可知12c a =，且222a b c =+，得2a =. 故椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）由椭圆C 的方程可知(20)S ,.若直线l 的斜率不存在，则直线l 方程为1x =，所以331122P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,. 则直线PS 的方程为3260x y +-=，直线QS 的方程为3260x y --=.令4x =，得(43)A ,-，(43)B ,. 所以,A B 两点的纵坐标之积为9-.若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=，依题意0∆≥恒成立.设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，则2212122284123434k k x x x x k k -+==++,. 设(4)A A y ,(4)B B y ,，由题意,,P S A 三点共线可知11422A y yx =--，所以点A 的纵坐标为1122A y y x =-.同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-.所以12122222A B y y y y x x =⋅--212121212()142()4x x x x k x x x x -++=-++ 22222224128434412284(43)k k k k k k k --++=--⨯++22944k k -=⨯9=-综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组，消元后得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值等问题. 20.已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）y x =；（Ⅱ）分类讨论，详见解析；（Ⅲ）15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（Ⅰ）当1a =时，求出()f x '可得切线的斜率，从而得到切线方程. （Ⅱ）求出()f x '后就1,1,1a a a >=<讨论其符号后可得函数的单调区间.（Ⅲ）就0a ≤、01a <<、1a =、12a << 、2a ≥分类讨论后可得()f x 的最大值和最小值，从而得到关于a 的不等式组，其解即为所求的取值范围. 【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，因为()3213x x x f x =-+所以()221x x f x =-+'，(0)1f '=.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为y x =. （Ⅱ）因为()321(1)32a x x ax f x +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=. 令()0f x '=，解得x a =或1x =.若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时，故函数()f x 的单调递增区间为()(),1,,a -∞+∞；当()0f x '<即1x a <<时，故函数()f x 的单调递减区间为()1,a . 若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，故函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数. 若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时，故函数()f x 的单调递增区间为()(),,1,a -∞+∞；当()0f x '<即1<<a x 时，故函数()f x 的单调递减区间为(),1a .综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1,)a ； 1a =时，函数()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(,1)a .（Ⅲ）由题设，只要()()max min 23f x f x -≤即可. 令2()(1)0f x x a x a '=-++=，解得x a =或1x =.当0a ≤时，随x 变化，(),()f x f x ' 变化情况如下表：由表可知(0)0(1)f f =>，此时2(2)(1)3f f ->，不符合题意.当01a <<时，随x 变化，()()'f x f x , 变化情况如下表：由表可得3211112(0)0()(1)(2)62263f f a a a f a f ==-+=-=,,,，且(0)()f f a <，(1)(2)f f <，因()()2203f f -=，所以只需()(2)(1)(0)f a f f f ≤⎧⎨≥⎩，即3211262311026a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩ ，解得113a ≤<. 当1a =时，由（Ⅱ）知()f x 在[]0,2为增函数，此时()()()()max min 2203f x f x f f -=-=，符合题意. 当12a <<时，同理只需(1)(2)()(0)f f f a f ≤⎧⎨≥⎩，即3211226311062a a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩ ，解得513a <≤. 当2a ≥时，2()(1)32f f >=，()2()0(311)f f f =->，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查曲线的切线、函数的单调性以及不等式的恒成立，注意导数符号的讨论需按导数的零点是否存在、根存在的条件下根的大小关系来分类讨论，本题属于难题. 21.已知*2n n ∈N ，≥，给定n n ⨯个整点(,)x y ,其中1x y n x y ∈*N ≤,≤,,.（Ⅰ）当2n =时,从上面的22⨯个整点中任取两个不同的整点1122()()x y x y ,,,，求12x x +的所有可能值；（Ⅱ）从上面n n ⨯个整点中任取m 个不同的整点，512n m -≥. （i ）证明：存在互不相同的四个整点()()()()11112222x y x y x y x y '''',,,,,,,，满足11y y '=,2212y y y y '=≠，；（ii ）证明：存在互不相同的四个整点()()()()1112222,x y x y x y x y '',,,,,,，满足1122x x x x ''+=+,12y y ≠.【答案】（Ⅰ）234,,；（Ⅱ）（i ）详见解析；（ii ）详见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）列出所有的整点后可得12x x +的所有可能值.（Ⅱ）对于（i ），可用反证法，对于（ii ），可设直线()*1,y i i n i =∈N ≤≤上选择了i a 个的点，计算可得诸直线上不同两点的横坐标和的不同个数的最小值为22n -，结合1,2,3,,n ⋅⋅⋅中任意不同两项之和的不同的值恰有23n -个可得至少有一个和出现两次，从而可证结论成立.【详解】解:（Ⅰ）当2n =时，4个整点分别为(11)(12)(21)(22),,,,,,,. 所以12x x +的所有可能值234,,.（Ⅱ）（i ）假设不存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,，满足112212y y y y y y ''==≠,,. 即在直线()*1,y i i n i =∈N ≤≤中至多有一条直线上取多于1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为121n n n -+=-. 而52112n n -<-，与已知512m n -≥矛盾. 故存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,，满足112212y y y y y y ''==≠,,. （ii ）设直线()*1,y i i n i =∈N ≤≤上有i a 个选定的点.若2i a ≥，设y i =上的这i a 个选定的点的横坐标为12i a x x x ⋅⋅⋅，，，，且满足12i a x x x <<⋅⋅⋅<. 由12132324341i i a a x x x x x x x x x x x x -+<+<+<+<+<⋅⋅⋅<+，知12,,,i a x x x ⋅⋅⋅中任意不同两项之和至少有23i a -个不同的值，这对于2i a <也成立. 由于1,2,3,,n ⋅⋅⋅中任意不同两项之和的不同的值恰有23n -个，而()1232352323ni i a m n n n n =-=-≥-->-∑,可知存在四个不同的点11112222()()()()x y x y x y x y '',,,,,,,，满足112212x x x x y y ''+=+≠,. 【点睛】本题考查集合中的计数问题，对于存在性问题，可从反面讨论或从不同和的个数切入，本题类似于组合数学的抽屉原理，本题竞赛味浓烈，属于难题.。

北京第八中学2020年高三数学文月考试题含解析

北京第八中学2020年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. F1、F2分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF2，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为A. B. C. D.参考答案：A2. 满足的复数的共轭复数是（）A．B．C．D．参考答案：D3. 函数的值域是（）A. B．C． D.参考答案：C4. 已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：A【考点】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值．【解答】解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．5. “”是“方程至少有一个负根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案：A当时，方程等价为，解得，满足条件.当时，令，因为，要使至少有一个负根，则满足或，解得或，综上方程至少有一个负根的条件为.所以“”是“方程至少有一个负根”充分不必要条件，选A.6. 记函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，则（）A．f′（x0）=2 B．f′（x0）=1 C．f′（x0）=0 D．f′（x0）=﹣1参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；直线与圆．【分析】由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线斜率为f′（x0），再由切线方程，即可求得切线的斜率．【解答】解：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线斜率为f′（x0），曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，即有f′（x0）=﹣1．故选D．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查直线的斜率的求法，属于基础题．7. 设为虚数单位，则复数等于（）A．B．1－C．－1＋D．－1－参考答案：C略8. 设随机变量，且，则实数的值为( ) A． 4 B． 6 C． 8D．10参考答案：A由题意知9. 设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，e）C．（0，] D．[，）参考答案：D10. 设全集为R，集合（）A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数x，y，满足约束条件，若z的最大值为12，则k=。

2020年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．83．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣14．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为．11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M∪P，从而求出其补集即可．【解答】解：M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，∴M∪P={x|x≤1或x≥2}，∁U（M∪P）={x|1＜x＜2}，故选：A．2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=a n，分别代值计算即可．【解答】解：数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，∴a n+1=a n，∴a2=a1=2×2=4，∴a3=×a2=×4=6，故选：B．3．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由题意可得：，解得a即可得出．【解答】解：∵，解得a=﹣1．故选：D．4．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角三角函数得到sinA，sinB的值；然后将其代入两角和与差的正弦函数中求值即可．【解答】解：∵0＜A＜π，0＜B＜π，cosA=，cosB=，∴sinA=，sinB=，∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．故选：B．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】通过二项式定理，写出（x+a）5（其中a≠0）的展开式中通项T k+1=x5﹣k a k，利用x2的系数与x3的系数相同可得到关于a的方程，进而计算可得结论．【解答】解：在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，通项T k+1=x5﹣k a k，∵x2的系数与x3的系数相同，∴a3=a2，又∵a≠0，∴a=1，故选：C．6．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的最大值，即可判断出零点的个数．【解答】解：f′（x）=﹣1=，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=0﹣1+1=0，因此函数f（x）有且仅有一个零点1．故选：A．7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可过D作AB的垂线，且垂足为E，这样可分别以EB，ED为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B，D的坐标，从而可以得出直线AD的方程为，从而可设，且﹣2≤x≤0，从而可以求出向量的坐标，从而得出，而配方即可求出函数y=16（x2+2x+4）在[﹣2，0]上的值域，即得出的取值范围，从而得出的取值范围．【解答】解：如图，过D作AB的垂线，垂足为E，分别以EB，ED为x，y轴，建立平面直角坐标系；根据条件可得，AE=2，EB=6，DE=；∴；∴直线AD方程为：；∴设，（﹣2≤x≤0）；∴，；∴；∴=16（x2+2x+4）=16（x+1）2+48；∵﹣2≤x≤0；∴48≤16（x+1）2+48≤64；即；∴；∴的范围为．故选：C．8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】直线与圆的位置关系．【分析】①当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S△COD=sin∠AOC≤，可得结论③正确．【解答】解：①当a≥1时，把x=0代入直线方程可得y=a，把y=0代入直线方程可得x=，∴S△AOB=×a×=，故结论①正确；②当a≥1时，|AB|=，故|AB|2=a2+，直线l可化为a2x+y﹣a=0，圆心O到l的距离d===，故|CD|2=4（1﹣d2）=4[1﹣（a2+）]，假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2+＜4（1﹣），整理可得（a2+）2﹣4（a2+）+4＜0，即（a2+﹣2）2＜0，显然矛盾，故结论②错误；S△COD=|OA||OC|sin∠AOC=sin∠AOC≤，故∃a≥1，使得S△COD＜，结论③正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的代数运算性质，求出a的值即可．【解答】解：∵=1﹣i，∴a+i=∴a=﹣i=﹣i=1．故答案为：1．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为58．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在6﹣10小时外的频率；利用频率和为1，求出在6﹣10小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在6﹣10小时内的同学的人数．【解答】解：由频率分布直方图知：（0.04+0.12+a+b+0.05）×2=1，∴a+b=0.29，∴参加实践活动时间在6﹣10小时内的频率为0.29×2=0.58，∴这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为100×0.58=58．故答案为：5811．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=60°．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值．【解答】解：由BE为圆的切线，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案为：60°．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求出原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，结合的几何意义得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，由图可知的最小值为|OA|=1，最大值为|OB|=2，∴原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，从而得出结论．【解答】解：①若只有A、B两点在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=1，sinω•≠0，则，即，求得ω无解．②若只有点A（，），C（，0）在函数f（x）=sin（ωx）的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=0，sin（ω•）≠1，故有，即，求得ω的最小值为4．③若只有点B（，1）、C（，0）在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sinω•≠，sinω=1，sinω=0，故有，即，求得ω的最小正值为10，综上可得，ω的最小正值为4，故答案为：4．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h=PE=A1C=．故答案为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可．（2）将f（x）化简，由此得到最大值．【解答】解：（1）f（）=﹣，f（）=﹣，∵﹣＞﹣，∴f（）＞f（），（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．=﹣2sinx﹣1+2sin2x，=2（sinx﹣）2﹣，∴函数f（x）的最大值为3．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（1）根据平均数公式计算即可，（2）根据方差的定义可得S2= [2（c4﹣）+]，根据二次函数性质求出c4=7或c4=8时，S2取得最小值，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，求出P，列出分布表，求出数学期望．【解答】解：（1）A型空调前三周的平均周销售量=（11+10+15）=12台，（2）因为C型空调平均周销量为10台，所以c4+c5=10×15﹣15﹣8﹣12=15，又S2= [（15﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（c4﹣10）2+（c5﹣10）2]，化简得到S2= [2（c4﹣）+]，因为c4∈N，所以c4=7或c4=8时，S2取得最小值，此时C5=8或C5=7，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，P（X=0）=×=，P（X=1）=×+×=，P（X=2）=×=，随机变量的X的分布列，X 0 1 2P随机变量的期望E（X）=0×+1×+2×=．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GH∥EN，于是GH ∥平面DEM；（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH⊥平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EM⊥CN；（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos＜＞|，从而得出所求线面角的大小．【解答】证明：（1）连结NG，EN，∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD．∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD，∴NG∥EH，NG=EH，∴四边形ENGH是平行四边形，∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，∴GH∥平面DEM．（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形，∴MH⊥EF，取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，∴DE⊥平面MEF，∴PH⊥平面MEF．以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）．∴=（，1，0），=（﹣，，1）．∴=+1×+0×1=0．∴．∴EM⊥NC．（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1），∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即．令y=1得=（，1，0），∴cos＜＞==．∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，∴直线GH与平面NFC所成角为．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，即x2+ax+a≤e a﹣x，在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得a的范围；（3）由f（x）的导数f′（x）=e x（x+2）（x+a），当a≠﹣2时，函数y=f′（x）的图象与x 轴有两个交点，故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），则f′（x）=e x（x2+3x+2），令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1．∴函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2）与（﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣2，﹣1）；（2）f（x）≤e a，即e x（x2+ax+a）≤e a，可变为x2+ax+a≤e a﹣x，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，则只须r（a）≤t（a），即2a2+a≤1，解得﹣1≤a≤，故0＜a≤；当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为正，故r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，只须r（﹣）≤t（﹣），即﹣+a≤e，当a≤0时，﹣+a≤e显然成立．综上知，a≤即为符合条件的实数a的取值范围；（3）a的取值范围是{a|a≠2，a∈R}．19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=2，可得D的坐标（3，2），运用直线的斜率公式，即可得到所求值；（Ⅱ）法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得S1=|m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围；法二：设直线AD的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积S1=|m|，梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由B（1，0），可得A（1，y1），代入y2=4x，得到y1=2，又|BC|=2，则x2﹣x1=2，可得x2=3，代入y2=4x，得到y2=2，则；（Ⅱ）证法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），则．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以==，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．证法二：设直线AD的方程为y=kx+m．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，，点O到直线AD的距离为，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，（2）若S为Ωn的一个好子集，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），进行判断证明即可．（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分（Ⅱ）对于X⊆Ω，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），显然X′∈Ωn，∀X，Y，X′，对于任意的i∈{1，2，…，n}，x i，y i，1﹣x i不可能都为1，可得X，X′不可能都在好子集S中…4分又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定义知道，∀X，Y∈Ω，X′=Y′⇔X=Y…6分这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ωn中元素个数的一半，而集合Ωn中元素个数为2n，所以S中元素个数不超过2n﹣1；…8分（Ⅲ）∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}，．∀Y={y1，y2，…，y i，…，y n}∈Ωn，定义元素X，Y的乘积为：XY={x1y1，x2y2，…，x i y i，…，x n y n}，显然XY∈Ωn，．我们证明：“对任意的X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈S，都有XY∈S．”假设存在X，Y∈S，使得XY∉S，则由（Ⅱ）知，（XY）′={1﹣x1y1，1﹣x2y2，…，1﹣x i y i，…1﹣x n﹣1y n﹣1，1﹣x n y n}∈S，此时，对于任意的k∈{1，2，…n}，x k，y k，1﹣x k y k不可能同时为1，矛盾，所以XS∈S．因为S中只有2n﹣1个元素，我们记Z={z1，z2，…，z i，…，z n}为S中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道={z1，z2，…，z i，…，z n}∈S，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设z k=1，根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1 …11分下面再证明k的唯一性：若还有z t=1，即S中所有元素的t坐标分量都为1，所以此时集合S中元素个数至多为2n﹣2个，矛盾．所以结论成立…13分2020年9月3日。

2020年高考数学(理科)全国2卷高考模拟试卷(3)

2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞） 2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√33．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（） A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（） A ．4√2B ．2√2C ．43√2 D ．34√26．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√347．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（）A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关 12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1 D ．x 29−y 216=1二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼条．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 km 处，最少费用为万元．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为 cm ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a2+a3＝a5﹣b1，②a2•a3＝2a7，③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若_______，数列{b n}满足b1＝1，b2=1 3，a nb n+1＝nb n﹣b n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和T n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n（单位：笼，n∈N），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X为一天的包子需求量，求X的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y为当天的利润（单位：元），求Y的分布列和数学期望．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB ＝2，△P AD为等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|．（1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√3【解答】解：由1−2i z=1+i ，得z =1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ，∴|z |＝|z |=√(−12)2+(−32)2=√102．故选：C ．3．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：因为在△ABC 中AB →•AC →=BA →•BC →等价于AB →•AC →−BA →•BC →=0等价于AB →•（AC →+BC →）＝0，因为AC →+BC →的方向为AB 边上的中线的方向．即AB 与AB 边上的中线相互垂直，则△ABC 为等腰三角形，故AC ＝BC ，即|AC|→=|BC →|，所以为充分必要条件．故选：C ．4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（）A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β【解答】解：A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β，不正确，可能相交； B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥β或a ⊂β，因此不正确； C ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥α，正确；证明：设α∩β＝b ，α∩γ＝c ，取P ∈α，过点P 分别作m ⊥b ，n ⊥c ，则m ⊥β，n ⊥γ，∴m ⊥a ，n ⊥a ，又m ∩n ＝P ，∴a ⊥α． D ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a ⊂β．故选：C ．5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（） A ．4√2B ．2√2C ．43√2D ．34√2【解答】解：由题意三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，棱锥的高为P A ，可得16＝8+P A 2，所以P A ＝2√2，所以三棱锥的体积为：13×12×AB ×AC ×PA =√23•AB •AC ≤√23⋅AB 2+AC 22=4√23，当且仅当AB ＝AC ＝2时，三棱锥的体积取得最大值．故选：C ．6．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P ，连接AQ 、BQ由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |且|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中根据中位线定理，得2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ．由余弦定理得|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos 2π3=a 2+b 2+ab ，配方得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ，又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）2﹣（ a+b 2） 2=34（a +b ）2得到|AB |≥√32（a +b ）．所以|MN||AB|≤a+b2√32(a+b)=√33，即|MN||AB|的最大值为√33．故选：C ．7．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]【解答】解：设sin x +cos x ＝t （−√2≤t ≤√2）所以：sinxcosx =t 2−12则：f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x=t +t 2−12=12(t +1)2−1当t =√2时，函数取最大值：f(x)max =f(√2)=√2+12 当t ＝﹣1时，函数取最小值：f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣1 所以函数的值域为：[−1，√2+12] 故选：B ．8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵x 3+4＞0，∴x 3＞﹣4，解得x ＞−√43，∴函数的定义域为{x |x ＞−√43}，当x →−√43时，f （x ）→﹣∞，∴排除选项A ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f ′(x)=3x 2x 3+4−e x−1， f （0）＝ln （0+4）﹣e ﹣1＝ln 4﹣e ﹣1＞0，∴排除选项C ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f '（0）＝﹣e ﹣1＜0，即x ＝0在函数的单调递减区间内，∴排除选项D ．故选：B ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图可知A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，又−π6ω+φ＝2k π（k ∈Z ），∴φ＝2k π+π3（k ∈Z ），又0＜ϕ＜π2， ∴φ=π3，∴y ＝sin （2x +π3）．∴为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有向左平移π3个长度单位，得到y ＝sin （x +π3）的图象，再将y ＝sin （x +π3）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可．故选：A ．10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米【解答】解：在△ABC 中，∠ACB ＝180°﹣75°﹣45°＝60°，由正弦定理得：AB sin∠ACB=AC sin∠ABC，∴AC =AB⋅sin∠ABC sin∠ACB=120×√22√32=40√6，∴S △ABC =12AB •AC •sin ∠CAB =12×120×40√6×sin75°≈5703.6， ∴C 到AB 的距离d =2S △ABC AB=2×5703.6120≈95．故选：C ．11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（） A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关【解答】解：频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值．故选：C ．12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1D ．x 29−y 216=1【解答】解：若（F 2F 1→+F 2A →）•F 1A →=0，即为若（F 2F 1→+F 2A →）•（−F 2F 1→+F 2A →）＝0，可得AF 2→2=F 2F 1→2，即有|AF 2|＝|F 2F 1|＝2c ，由双曲线的定义可得|AF 1|＝2a +2c ，在等腰三角形AF 1F 2中，tan ∠AF 2F 1=−247，cos ∠AF 2F 1=−725=4c 2+4c 2−(2a+2c)22⋅2c⋅2c，化为3c ＝5a ，即a =35c ，b =45c ，可得a ：b ＝3：4，a 2：b 2＝9：16．故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 9 ．【解答】解：∵函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，∴f （18）＝f （3×5+3）＝f （3）＝32＝9．故答案为：9．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 400 条．【解答】解：为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．设池塘中原来有鱼n 条，则540=50n，解得n ＝400．故答案为：400．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 5 km 处，最少费用为 8 万元．【解答】解：设x 为仓库与车站距离，由题意可设y 1=k 1x，y 2＝k 2x ，把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8， ∴y 1=20x ，y 2＝0.8x费用之和y ＝y 1+y 2＝0.8x +20x ≥2√20x ×0.8x =2×4＝8，当且仅当0.8x =20x ，即x ＝5时等号成立．当仓库建在离车站5km 处两项费用之和最小．最少费用为8万元．故答案为：5，8．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为165cm ．【解答】解：连接OG 交CD 于点M ，则OG ⊥DC ，点M 为CD 的中点，连接OC ， △OCM 为直角三角形，设正方形的边长为2x ，则OM ＝x ，由圆的半径为4，则MG ＝4﹣x ，设额E ，F ，G ，H 重合于点P ，则PM ＝MG ＝4﹣x ＞x 则0x ＜2，高PO =√(4−x)2−x 2=√16−8x ， V =13(2x)2√16−8x =8√23√2x 4−x 5，设y ＝2x 4﹣x 5，y ′＝8x 3﹣5x 4＝x 3（8﹣5x ），当0＜x ＜85时，y ′＞0，y ＝2x 4﹣x 5单调递增；当85＜x ＜2时，y ′＜0，y ＝2x 4﹣x 5单调递减，所以当x =85时，V 取得最大值，此时，2x =165．即正方形ABCD 的边长为165时，四棱锥体积取得最大值．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a 2+a 3＝a 5﹣b 1，②a 2•a 3＝2a 7，③S 3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差d ＞0，前n 项和为S n ，若 _______，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=13，a n b n +1＝nb n ﹣b n +1．（1）求{a n }的通项公式；（2）求{b n }的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：若选①：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2．又∵a 2+a 3＝a 5﹣b 1，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n)．若选②：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2．又∵a 2•a 3＝2a 7，∴（2+d ）（2+2d ）＝2（2+6d ），∵d ＞0，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )．若选③：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2．又∵S 3＝15，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，X 的数学期望为E(X)=16×1060+17×1560+18×2060+19×1060+20×560=17.75．（Ⅱ）因为P(n ≤18)=34＜0.8，P(n ≤19)=1112＞0.8，所以包子店每天至少要做19笼包子．（Ⅲ）当n ＝16时，Y ＝16×40﹣2×20＝600；当n ＝17时，Y ＝17×40﹣20＝660；当n ≥18时，Y ＝18×40＝720．所以Y 的可能取值为600，660，720，P(Y =600)=16，P(Y =660)=14，P(Y =720)=1−16−14=712．所以Y 的分布列为Y 600660720P1614712所以Y 的数学期望为E(Y)=600×16+660×14+720×712=685．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，AB ＝2，△P AD 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ．（1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AD 中点O ，连接PO ，OB ，因为平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，O 为AD 的中点，所以PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，O 为AD 中点，所以BO ⊥AD因为PO ∩BO ＝O ，所以AD ⊥面PBO ，所以AD ⊥PB ；（2）解：在△OCD 中，OC =√1+4−2×1×2×(−12)=√7，∴PC =√10， ∴S △PCD =12×√10×√62=√152设A 到平面PCD 的距离为h ，则13×12×2×2×sin120°×√3=13×√152h ，∴h =2√155， ∵DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55， ∴2√155DF=2√55，∴DF =√3，∴F 是AB 的中点，AF ＝1．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设M （x 0，y 0），（﹣2√3＜x 0＜2√3，0＜y 0≤2），过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，则H （x 0，0）（0＜y 0≤2），于是又tan ∠AMH =|AH||MH|=x 0+2√3y 0，tan ∠BMH =|BH||MH|=2√3−x 0y 0， ∴tan ∠AMB ＝tan （∠AMH +∠BMH ）=tan∠AMH+tan∠BMH1−tan∠AMHtan∠BMH =4√3y 0x 02+y 02−12，因为点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，所以x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02，所以tan ∠AMB =−2√3y 0，而0＜y 0≤2，所以tan ∠AMB =−2√3y 0≤−√3，因为0＜∠AMB ＜π，所以∠AMB 的最大值为2π3，此时y 0＝2，即M 为椭圆的上顶点，由椭圆的对称性，当M 为椭圆的短轴的顶点时，∠AMB 取最大值，且最大值为2π3；（2）设直线BM 的斜率为k '．M （x 0，y 0），则k =0x 0+2√3，k '=0x 0−2√3，所以kk '=y 02x 02−12，又x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02，所以kk '=−13．因为−12＜k ＜−13，所以k '∈（23，1）所以直线BM 的斜率的取值范围．（23，1）．21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当λ＝﹣1时，f （x ）＝xlnx +λx 2，则f ′（x ）＝lnx +1﹣2x ．故f ′（1）＝﹣1，又f （1）＝﹣1．故所求期限的方程为y ﹣（﹣1）＝﹣1•（x ﹣1），即x +y ＝0；（Ⅱ）由题意得，xlnx +λx 2≤λ在[1，+∞）上恒成立，设函数g （x ）＝xlnx +λ（x 2﹣1）．则g ′（x ）＝lnx +1+2λx ．故对任意x ∈[1，+∞），不等式g （x ）≤0＝g （1）恒成立， ①当g ′（x ）≤0，即lnx+1x≤−2λ恒成立时，函数g （x ）在[1，+∞）上单调递减，设r （x ）=lnx+1x ，则r ′（x ）=−lnxx2≤0， ∴r （x ）max ＝r （1），即1≤﹣2λ，解得λ≤−12，符合题意；②当λ≥0时，g ′（x ）≥0恒成立，此时函数g （x ）在[1，+∞）上单调递增，则不等式g （x ）≥g （1）＝0对任意x ∈[1，+∞）恒成立，不符合题意； ③当−12＜λ＜0时，设q （x ）＝g ′（x ）＝lnx +1+2λx ，则q ′（x ）=1x +2λ，令q （x ）＝0，解得x =−12λ＞1，故当x ∈（1，−12λ）时，函数g （x ）单调递增， ∴当x ∈（1，−12λ）时，g （x ）＞0成立，不符合题意，综上所述，实数λ的取值范围为（﹣∞，−12]．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0；（Ⅱ）设点P （2cos θ，sin θ）到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|√2，当sin （θ+α）＝1时，d min =√10．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|．（1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．【解答】解：（1）当x ＜0时，则f （x ）＝﹣3x +2≤4，解得：−23≤x ＜0，当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≤4，解得：0≤x ≤2，当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2≤4，此时无解，综上，不等式的解集是{x |−23≤x ≤2}；（2）由（1）知，当x ＜0时，f （x ）＝﹣3x +2＞2，当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≥2，当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2＞4，故函数f （x ）的最小值是2，故m ＝2，即a 2+b 2＝4，则4a 2+1b 2+1=15（a 2+b 2+1）（4a 2+1b 2+1）第21页（共21页）=15[5+4(b 2+1)a 2+a 2b 2+1] ≥15（5+2√4(b 2+1)a 2⋅a 2b 2+1）≥95，当且仅当4(b 2+1)a 2=a 2b 2+1且a 2+b 2＝4，即a 2=103，b 2=23取“＝”，故4a 2+1b 2+1的最小值是95．。

2020年北京八中中考数学模拟试卷及答案(3月份)

2．（2 分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）
A．三棱柱
B．圆锥
C．四棱柱
D．圆柱
【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．
【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：A．
【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．
（CE＜CB），连接 CE、AE，点 G 是 AE 的中点，连接 FG．
（1）用等式表示线段 BF 与 FG 的数量关系是
；
（2）将图方形 ABCD
的对角线 AC 上，点 G 仍是 AE 的中点，连接 FG、DF．
①在图 2 中，依据题意补全图形；
A．3.5×107
B．3.5×108
C．3.5×109
D．3.5×1010
2．（2 分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）
A．三棱柱
B．圆锥
C．四棱柱
D．圆柱
3．（2 分）实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示．若 b+d＝0，则下列结论中
正确的是（）
A．b+c＞0
B．
C．ad＞bc
第 6页（共 38页）
22．（5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，3），B（1，0），连接 BA，将线段 BA
绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BC，反比例函数 y＝
的图象 G 经过点 C．
（1）请直接写出点 C 的坐标及 k 的值；（2）若点 P 在图象 G 上，且∠POB＝∠BAO，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若 Q（0，m）为 y 轴正半轴上一点，过点 Q 作 x 轴的平行线与图象 G 交于点 M，与直线 OP 交于点 N，若点 M 在点 N 左侧，结合图象，直接写出 m 的取值范围．

2020年北京八中中考数学模拟试卷(3月份)(含答案解析)

2020年北京八中中考数学模拟试卷(3月份)一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿kg，这个数据用科学记数法表示为()A. 5×102kgB. 50×109kgC. 5×1010kgD. 0.5×1011kg2.如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为()A. 圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B. 圆锥，正方体，四棱锥，圆柱C. 圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D. 正方体，圆锥，圆柱，三棱柱3.实数a在数轴上的位置如图所示，则|a−2.5|=()A. a−2.5B. 2.5−aC. a+2.5D. −a−2.54.如图，直线a//b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为()．A. 30°B. 32°C. 42°D. 58°5.如果3x−4y=0，那么代数式(x2y −y)⋅3x+y的值为()A. 1B. 2C. 3D. 46.如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.7.根据条形统计图，下面信息不正确的是A. 乘公共汽车的人数最少，为12人B. 全校共有教师90人C. 有1的教师自驾车到校 D. 自驾车的人数比步行的人数多68.如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿长方形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则当x=9时，点P运动到()A. A处B. B处C. C处D. D处二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若分式a−2值为0，则a的值为______．a+310.若抛物线y=(a−2)x2的开口向上，则a的取值范围是______．11.如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是______(结果用含π的式子表示)．12.“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟.已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度.设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为__________________．13.如图，一次函数y=x−2的图象与反比例函数y=k的图象交于点x<x−2<0的解集是______．A(3,1)、点B，则不等式kx14.如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=1，则⊙O的半径长为______．15.已知点A(m,−2)，B(3,m−1)，且直线AB//x轴，则m的值是_________．16.如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是______．三、计算题（本大题共3小题，共16.0分）)−1−2sin45°+(π−2015)0．17.计算：|−√2|+(−1318.已知关于x的一元二次方程kx2−6x+1=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．19.某校八年级(1)班一个小组十位同学的年龄(岁)分别如下；13，13，14，14，14，14，15，15，16，17；求这十位同学年龄的平均数、中位数、众数．四、解答题（本大题共9小题，共52.0分）20.解不等式组{3(x+2)≤2(x+4)2x+1>−1并把解集表示在数轴上．21.下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，∠AOB．求作：∠AOB的角平分线OP．作法：如图，①在射线OA上任取点C；②作∠ACD=∠AOB；③以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CD于点P；④作射线OP；所以射线OP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．(1)补全图形；(2)完成下面的证明：证明：∵∠ACD=∠AOB，∴CD//OB(______)(填推理的依据)．∴∠BOP=∠CPO．又∵OC=CP，∴∠COP=∠CPO(______)(填推理的依据)．∴∠COP=∠BOP．∴OP平分∠AOB．22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE 并延长至点F ，使EF=DE，连接AF 、DC 和FC ．求证：四边形ADCF 是菱形．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx−2的图象与x、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=−32x (x<0)的图象交于点M(−32,n)．(1)求A、B两点的坐标；(2)设点P是一次函数y=kx−2图象上的一点，且满足△APO的面积是△ABO的面积的2倍，直接写出点P的坐标．24.如图，C、D为⊙O上两点，AB为直径，E在AB延长线上，且AD平分∠CAB，过D点的直线EF⊥AF，交AC的延长线于点F，连接BD．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若EB:ED=1:√3，⊙O的半径为r，当r=4时，求FC的长．25.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm.动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E.设AE长为xcm，BD长为ycm(当D与A重合时，y=4；当D 与B重合时y=0)．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y/cm4 3.5 3.2 2.8 2.1 1.40.70补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈______．(2)在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．(3)结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为______cm．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A(−2,0)，与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．(1)求抛物线的函数表达式；(2)经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标．27.如图，正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，连接EF，交对角线BD于点G，连接AG．(1)根据题意补全图形；(2)判定AG与EF的位置关系并证明；(3)当AB=3，BE=2时，求线段BG的长．28.在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(0,1)，B(−1,0)，C(0,−1)，D(1,0).对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M)．(1)已知点E(0,4)，①直接写出d(点E)的值；②直线y=kx+4(k≠0)与x轴交于点F，当d(线段EF)取最小值时，求k的取值范围；(2)⊙T的圆心为T(t,3)，半径为1.若d(⊙T)<6，直接写出t的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：500亿=50000000000=5×1010千克．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.答案：D解析：解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱．故选：D．根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果．本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．3.答案：B解析：此题考查了利用数轴比较实数的大小及绝对值的定义等知识．此题比较简单，注意数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．首先观察数轴，可得a<2.5，然后由绝对值的性质，可得|a−2.5|=−(a−2.5)，则可求得答案．解：如图可得：a<2.5，即a−2.5<0，则|a−2.5|=−(a−2.5)=2.5−a．故选：B．4.答案：B解析：这是一道考查平行线的性质的题目，解题关键在于掌握两直线平行，内错角相等，解：如图，过点A作AB//b，∴∠3=∠1=58°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=90°−∠3=32°，∵a//b，AB//b，∴AB//a，∴∠2=∠4=32°．故选B．5.答案：A解析：解：∵3x−4y=0，∴x=43y，∴(x2y −y)⋅3x+y=x2−y2y⋅3x+y=3(x−y)y=3(43y−y)y=1．故选：A．由3x−4y=0，可得x=43y，再将代数式(x2y−y)⋅3x+y化简为3(x−y)y，然后把x=43y代入计算即可．本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键．6.答案：D解析：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A.不是轴对称图形，故本选项错误；B.不是轴对称图形，故本选项错误；C.不是轴对称图形，故本选项错误；D.是轴对称图形，故本选项正确．故选D．7.答案：C解析：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．由条形统计图可获知步行、骑自行车、坐公共车的人数，进一步求出总人数，即可判断四个选项的正确与否．解：由条形统计图可知：乘公共汽车的人数最少为12人；总人数为15+45+18+12=90人；自×100％=5％；步行的人数为15人，则自驾车的人数比步行的驾车的人数为18人，占总人数的1890人数多．可知C信息错误．故选C．8.答案：D解析：本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中三角形ABP的面积和函数图象，当点P在CD上运动时，三角形ABP的面积保持不变，据此进行求解即可．解：∵当4≤x≤9时，y的值不变，即△ABP的面积不变，∴P在CD上运动，当x=4时，P点在C点上，当x=9时，P点在D点上．故选D．9.答案：2解析：解：由题意得：a−2=0，且a+3≠0，解得：a=2，故答案为：2．根据分式值为零的条件可得a−2=0，且a+3≠0，再解可得答案．此题主要考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．10.答案：a>2解析：解：∵抛物线y=(a−2)x2的开口向上，∴a−2>0，解得a>2．故答案为：a>2；根据抛物线的开口向上列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．此题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，当a>0时，抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)的开口向上是解答此题的关键．11.答案：4π−3√3解析：解：如图，点O既是它的外心也是其内心，∴OB=2，∠1=30°，OB=1，BD=√3，∴OD=12∴AD=3，BC=2√3，×2√3×3=3√3；∴S△ABC=12而圆的面积=π×22=4π，所以阴影部分的面积=4π−3√3，故答案为：4π−3√3．利用正三角形的性质，由它的内接圆半径可求出它的高和边，再用圆的面积减去三角形的面积即可．本题考查的是正多边形和圆、特殊角的三角函数值及三角形的面积、圆的面积公式等知识，熟练掌握正三角形的性质，特别是它的外心，内心，重心，垂心重合．记住正三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比(1：2：3)是解题的关键．12.答案：1320x =1320x−50−3060解析：本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系.设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为(x−50)千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可．解：设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为(x−50)千米/时，根据题意得：1320 x =1320x−50−3060．故答案为1320x =1320x−50−3060．13.答案：−1<x<0解析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，求得B点的坐标是解题的关键．由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k，从而得出反比例函数解析式；联立方程即可求出点B的坐标，根据两函数图象的上下关系结合交点B的坐标，即可得出不等式的解集．解：∵点A(3,1)在反比例函数y=kx的图象上，∴k=3×1=3，∴反比例函数解析式为y=3x，解x−2=3x得，x1=3，x2=−1，∴B(−1,−3)，观察两函数图象，不等式kx<x−2<0的解集为−1<x<0，故答案为−1<x<0．14.答案：√33解析：解：如右图所示，连接AO，BO，DO，BD，连接AO交BD于点E，∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，∠BCD=120°，AB=AD=1，∴∠BAD=180°−∠BCD=60°，∠AOB=∠AOD，∴∠BOD=2∠BAD=120°，∴∠AOB=∠AOD=120°，∴AB=BD=AD=1，∴△ABD是等边三角形，∴AE⊥BD，AE平分BD，∴∠BOE=60°设OA=a，则OE=12a，BE=12，∴a2=√(12a)2+(12)2，解得，a=√33，故答案为：√33．根据题意、可以求得△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得⊙O的半径．本题考查三角形的外接圆与外心，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.答案：−1解析：此题考查坐标与图形的性质，根据直线AB//x 轴可知，直线AB 上的纵坐标相等，进而求解出m 的值．解：∵点A(m,−2)，B(3,m −1)，且直线AB//x 轴，∴m −1=−2，解得m =−1．故答案为−1．16.答案：15解析：解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是210=15．故答案为：15．根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．此题主要考查了概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比求出是解决问题的关键．17.答案：解：原式=√2−3−2×√22+1=−2．解析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.答案：解：(1)根据题意得k ≠0且△=(−6)2−4k >0，解得k <9且k ≠0；(2)k 的最大整数为8，此时方程化为8x 2−6x +1=0，(2x −1)(4x −1)=0，所以x 1=12，x 2=14．解析：(1)利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k ≠0且△=(−6)2−4k >0，然后求出两不等式的公共部分即可；(2)先确定k 的最大整数值得到方程8x 2−6x +1=0，然后利用因式分解法解方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2−4ac 有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．19.答案：解：平均数为13×2+14×4+15×2+16+1710=14.5(岁)，中位数为14岁，众数为14岁．解析：根据平均数、中位数和众数的定义求解可得．本题主要考查平均数、众数、中位数，解题的关键平均数、中位数和众数的定义．20.答案：解：{3(x +2)≤2(x +4)①2x +1>−1②，由①得：x ≤2，由②得：x >−1，在数轴上表示为：，所以此不等式组的解集为：−1<x ≤2．解析：【试题解析】首先分别计算出两个不等式的解集，然后再根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确解出两个不等式的解集．21.答案：(1)如图，OP 为所作；；(2)同位角相等，两直线平行；等边对等角．解析：解：(1)见答案；(2)证明：∵∠ACD=∠AOB，∴CD//OB(同位角相等，两直线平行)；∴∠BOP=∠CPO．又∵OC=CP，∴∠COP=∠CPO(等边对等角)．∴∠COP=∠BOP．∴OP平分∠AOB．故答案为同位角相等，两直线平行；等边对等角．(1)在CD上截取OP=CO即可；(2)利用平行线的判定方法可先判断CD//OB，则∠BOP=∠CPO.再利用等边对等角∠COP=∠CPO，所以∠COP=∠BOP．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质．22.答案：证明：∵点E是边AC的中点，∴AE=EC.又∵EF=DE，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//BC.又∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°.∴AC⊥DF.∴四边形ADCF是菱形．解析：本题考查了菱形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握菱形的判定与性质，由三角形中位线定理得出DE//BC是解决该题的关键．先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明DE是△ABC的中位线，得出DE//BC，证出AC⊥DF，即可得出结论．23.答案：解：(1)∵点M(−32,n)在反比例函数y=−32x(x<0)的图象上，∴n=1，∴M(−32,1)．∵一次函数y=kx−2的图象经过点M(−32,1)，∴1=−32k−2．∴k=−2，∴一次函数的解析式为y=−2x−2，∴A(−1,0)，B(0,−2)．(2)S△AOB=12OA×OB=1，设点P的坐标为(a,−2a−2)，由题意得，12×1×|−2a−2|=2，解得：a1=1，a2=−3，故P1(−3,4)，P2(1,−4)．解析：本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是求出点M的坐标，第二问中要设出点P的纵坐标，根据△AOP的面积求出纵坐标．(1)将点M的坐标代入反比例函数，可得出n的值，再将点M的具体坐标代入一次函数，从而得出k 的值，然后求A、B的坐标即可．(2)根据△APO的面积，求出点P的纵坐标，代入直线解析式可得出点P的坐标．24.答案：解：(1)证明：如图，连接OD，则OD=OA，∴∠，2=∠3，∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OD//AF，又∵EF⊥AF，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线；(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠3+∠ODB=90°，由(1)可知，∠ODB+∠EDB=90°，∴∠EDB=∠3=∠2，∵∠E=∠E，∴△EDB∽△EAD，∴EBED =EDEA，∵EBED =√3，∴EDEA =√3，∴EA=√3ED=√3×√3EB=3EB，∴EB=r=4，在Rt△ODE中，，∴∠E=30°，连接BC，则BC⊥AF，∴BC//EF，∴∠ABC=∠E=30°，在Rt△ACB中，AC=12AB=4，在Rt△AFE中，AF=12AE=6，∴FC=AF−AC=6−4=2．解析：本题考查了圆周角定理，切线的判定和性质，角平分线定义，平行线的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，掌握和灵活运用圆周角定理是解题关键．(1)连接OD，只要证明OD⊥EF即可证明EF是⊙O的切线；(2)首先证明△EDB∽△EAD，得到EB=4，然后利用解直角三角形证明∠E=30°，再根据直角三角形的性质即可求出FC的长．25.答案：(1)2.9；(2)根据已知数据描点连线得：(3)2.3解析：解：(1)根据题意量取数据为2.9故答案为：2.9(2)见答案(3)当DB=AE时，y与x满足y=x，在(2)图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3(1)按题意，认真测量即可；(2)利用数据描点、连线；(3)当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．26.答案：解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−2,0)，∴0=4a−2b+4，∵对称轴是直线x=3，∴−b=3，即6a+b=0，2a关于a ，b 的方程联立为{4a −2b +4=06a +b =0，解得 a =−14，b =32， ∴抛物线的表达式为y =−14x 2+32x +4；(2)∵四边形为平行四边形，且BC//MN ，∴BC =MN ．分两种情况：①N 点在M 点下方，如图所示：即M 点向下平移4个单位，向右平移3个单位与N 重合．设M(x,−14x 2+32x +4)，则N(x +3,−14x 2+32x)，∵N 在x 轴上，∴−14x 2+32x =0，解得 x =0(舍去)，或x =6，∴x M =6，∴M(6,4)；②M 点在N 点右下方，即N 向下平移4个单位，向右平移3个单位与M 重合．设M(x,−14x 2+32x +4)，则N(x −3,−14x 2+32x +8)，∵N 在x 轴上，∴−14x 2+32x +8=0，解得 x =3−√41，或x =3+√41，∴x M =3−√41或3+√41．∴M 2(3−√41,−4)或M 3(3+√41,−4)．综上所述，M 的坐标为(6,4)或(3−√41,−4)或(3+√41,−4)解析：(1)根据点A 的坐标和对称轴得出方程组，解方程组求出a 和b 即可；(2)由平行四边形的性质得出BC//MN ，BC =MN.分两种情况：①N 点在M 点下方，设M(x,−14x 2+32x +4)，则N(x +3,−14x 2+32x)，由N 在x 轴上得出−14x 2+32x =0，解方程即可；②M点在N点右下方，设M(x,−14x2+32x+4)，则N(x−3,−14x2+32x+8)，由N在x轴上得出方程，解方程即可．本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、平行四边形的性质、平移的性质、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度．27.答案：解：(1)补全图形如图所示，(2)连接DF，由旋转知，AE=AF，∠EAF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，AD=AB，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，∴∠DAF=∠BAE，∴△ADF≌△ABE(SAS)，∴DF=BE，∠ADF=∠ABC=90°，∴∠ADF+∠ADC=180°，∴点C，D，F共线，∴CF//AB，过点E作EH//BC交BD于H，∴∠BEH=∠BCD=90°，DF//EH，∴∠DFG=∠HEG，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠CBD=45°，∴BE=EH，∵∠DGF=∠HGE，∴△DFG≌△HEG(AAS)，∴FG=EG∵AE=AF，∴AG⊥EF；(3)∵BD是正方形的对角线，∴BD=√2AB=3√2，由(2)知，在Rt△BEH中，BH=√2BE=2√2，∴DH=BD−BH=√2由(2)知，△DFG≌△HEG，∴DG=HG，∴HG=12DH=√22，∴BG=BH+HG=2√2+√22=5√22．解析：(1)根据题意补全图形即可；(2)先判断出△ADF≌△ABE，进而判断出点C，D，F共线，即可判断出△DFG≌△HEG，得出FG=EG，即可得出结论；(3)先求出正方形的对角线BD，再求出BH，进而求出DH，即可得出HG，求和即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，作出辅助线是解本题的关键．28.答案：解：(1)①∵正方形ABCD的顶点分别为A(0,1)，B(−1,0)，C(0,−1)，D(1,0)，点E(0,4)在y轴上，∴点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC=5，即d(点E)的值为5；②如图1所示：∵d(点E)=5，∴d(线段EF)的最小值是5，∴符合题意的点F满足d(点F)≤5，当d(点F)=5时，BF1=DF2=5，∴点F1的坐标为(4,0)，点F2的坐标为(−4,0)，将点F1的坐标代入y=kx+4得：0=4k+4，解得：k=−1，将点F 2的坐标代入y=kx+4得：0=−4k+4，解得：k=1，∴k=−1或k=1．∴当d(线段EF)取最小值时，EF1直线y=kx+4中k≤−1，EF2直线y=kx+4中k≥1，∴当d(线段EF)取最小值时，k的取值范围为：k≤−1或k≥1；(2)⊙T的圆心为T(t,3)，半径为1，当d(⊙T)=6时，如图2所示：CM=CN=6，OH=3，∴T1C=TC=5，CH=OC+OH=1+3=4，∴T1H=√T1C2−CH2=√52−42=3，TH=√TC2−CH2=√52−42=3，∴d(⊙T)<6，t的取值范围为：−3<t<3．解析：(1)①由题意得点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC=5，即d(点E)的值为5②由d(点E)=5得出d(线段EF)的最小值是5，得出符合题意的点F满足d(点F)≤5，求出当d(点F)=5时，BF1=DF2=5，得出点F1的坐标为(4,0)，点F2的坐标为(−4,0)，代入y=kx+4求出k 的值，再结合函数图象即可得出结果；(2)⊙T的圆心为T(t,3)，半径为1，当d(⊙T)=6时，CM=CN=6，OH=3，得出T1C=TC=5，CH=OC+OH=4，由勾股定理求出T1H=√T1C2−CH2=3，TH=√TC2−CH2=3，即可得出结果．本题是圆的综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、新定义、一次函数解析式的求法以及圆的有关知识；本题综合性强，理解新定义是解题的关键．。

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