三、线性变换的乘积
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《高等代数》第七章 线性变换
线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使
8.2线性变换的运算一、加法及其算律
8.2 线性变换的运算V 是数域F 上的向量空间，用()L V 表示数域F 上向量空间V 的一切线性变换所成的集合.我们将在()L V 中引进加法、数乘和乘法.如何研究线性变换：注10第一个手段是对某空间V 的全体线性变换的集合()L V 引进运算：加法、数乘和乘法。
这样()L V 构成F 上的向量空间。
我们可以利用这些运算来研究线性变换。
20第二个手段。
在空间给定一个基，在该基下引入线性变换的矩阵，从而把空间的几何对象“线性变换”与数量对象“矩阵”进行了对应。
在解析几何中，点与坐标的对应称为“形”“数”转换，现在的线性变换与矩阵的对应是更广义的“形”“数”转换。
这种转换有两方面的好处：一方面可把向量空间与线性变换的一些问题转换为数字计算的问题；另一方面可把一些数量关系的问题联系上空间的性质（如线性变换的性质）而得到解决。
一、加法及其算律定义8.2.1 设()L V στ∈，，对于V 的每一向量ξ，令()()+στξξ与之对应，这样得到V 的一个变换，叫做σ与τ的和，记作+στ，即+στ：()()+στξξξ或()()()()+=+στστξξξ.求σ与τ的和的运算叫做σ与τ的加法.注10先定义和，再定义加法，()()+στξξ是V 中的向量。
+στ应看做一个整体，代表V 的一个新变换。
例8.2.1 设向量空间3F 的两个线性变换，对任意的()3123=x x x F ∈，，ξ，规定： ()()1231212=+x x x x x x x σ，，，，，()()123123312=+0x x x x x x x x x τ---，，，，，则()()()12312323=2x x x x x x x x στ+-，，+，，.命题1 V 的线性变换σ，τ的和+στ也是V 的一个线性变换.即()L V στ∀∈，，()+L V στ∈。
事实上，对任意的a b F ∈，，V ∈，ξη，()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()+=.a b a b a b a b a b a b a b a b στστσσττστστστστστστ+=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+++++++++++ξηξηξηξηξηξξηηξξηηξη所以+στ是V 的一个线性变换.容易证明，线性变换的加法满足交换律和结合律.对任意的()L V ρστ∈，，，（1）+=+σττσ；（2）()()++=++ρστρστ；（3）令θ表示V 的零变换，对任意的()L V σ∈，有+=θσσ；（4）设()L V σ∈，σ的负变换σ-是指V 到自身的映射()σσ--：ξξ.σ-也是V 的线性变换，并且()+σσθ-=.命题2 σ-也是V 的线性变换。
奇异值分解的几何解释
奇异值分解的几何解释
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种矩阵分解的方法，可以将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积。
在几何上，SVD可以用于对数据集进行降维，以及在数据集上进行主成分分析。
在几何上，矩阵可以被视为表示线性变换的操作。
奇异值分解将矩阵分解成三个基本的线性变换的乘积：旋转、缩放和旋转的逆操作。
这三个变换可以用来描述原始矩阵的几何性质。
具体来说，给定一个矩阵A，SVD将其分解为以下形式：
A = UΣV^T
其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
在几何上，矩阵A的列空间由矩阵U的列向量确定，而A的行空间由矩阵V的列向量确定。
奇异值则表示了变换过程中的缩放因子，可以用来量化数据的重要程度。
SVD的几何解释可以理解为对原始数据进行一系列变换，从而找到对数据进行紧凑表示的最佳方式。
这种变换可以帮助我们找到数据中的主要模式和特征，从而进行数据压缩、降噪、特征提取等任务。
矩阵分析与计算--02-线性变换
,n ) A , n ) B
基发生变化
A 与 B 的 关 系？
定理2 线性变换T 在不同基下的所对应的矩阵 是相似的
设T 在Vn的两个基1 , 2 , , n 及1 , 2 ,
,n ) P
, n
下的矩阵分别为A与B, 且有
（1 , 2 , , n）=(1 , 2 ,
线性变换的逆
基本性质
4）可逆线性变换把线性无关的向量组映射成向量 无关的向量组，即， 若x1 , x2 , 线性无关 xr 线性无关，则T ( x1 ), T ( x2 ), T ( xr )
线性变换的多项式
1．线性变换的幂
设T 为V中线性变换，n N , 定义 T T
n n
T
称之为T 的n次幂
T ( r 1 ) a1r 1 1 a2r 1 2 arr 1 r ar 1r 1 r 1 ,,anr 1 n T ( n ) a1n 1 a2n 2 arn1 r ar 1n r 1 ,,ann n
T( + )=T( )+T( ) T(k )=kT( )
, Vn
Vn , k P
则称T 为Vn到Vm的线性映射或线性算子
线性映射
Vn
Vm
T
应用：
T ( ) T ( )
k1T ( )
Vn , k2 P
k1
k2
k2T ( )
k1T ( ) k2T ( )
线性变换的逆
设T 为V的线性变换，若有V的线性变换S TS ST I 则称T 为可逆变换，称S 为T的逆变换， 记作T
-1
线性变换的逆
高等代数
P[ x ] 中一多项式，A 是 V 的一线性变换，则称 中一多项式， 的一线性变换， f (A ) = am A
m
+ a m -1 A
m -1
+ … + a0
是线性变换 A 的多项式.
线性变换的多项式有以下性质： 线性变换的多项式有以下性质： 1) f (A ) 是一线性变换. 是一线性变换. 2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) . 特别地， 特别地， f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆
的 存在， 如果有 V 的变换 B 存在，使
A B =B A =E .
这时，变换 B 称为 A 的逆变换，记为 A 这时，
-1
.
2. 性质
如果线性变换 A 是可逆的，那么它的逆变 是可逆的， 换 -1 也是线性变换. A 也是线性变换.
的乘积 DI =E ，但一般 I D ≠ E . 有特殊的地位. 对于乘法， 对于乘法，单位变换 E 有特殊的地位 对于 任意线性变换 A 都有
x
A E =E A = A .
二、线性变换的加法
1. 定义 定义3 定义3 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性
变 换，定义它们的和 A + B 为 (A + B ) ( α ) = A ( α ) + B ( α ) (α ∈ V ) .
1) 交换律
m
+ a m -1 A
m -1
+ … + a0
是线性变换 A 的多项式.
线性变换的多项式有以下性质： 线性变换的多项式有以下性质： 1) f (A ) 是一线性变换. 是一线性变换. 2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) . 特别地， 特别地， f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆
的 存在， 如果有 V 的变换 B 存在，使
A B =B A =E .
这时，变换 B 称为 A 的逆变换，记为 A 这时，
-1
.
2. 性质
如果线性变换 A 是可逆的，那么它的逆变 是可逆的， 换 -1 也是线性变换. A 也是线性变换.
的乘积 DI =E ，但一般 I D ≠ E . 有特殊的地位. 对于乘法， 对于乘法，单位变换 E 有特殊的地位 对于 任意线性变换 A 都有
x
A E =E A = A .
二、线性变换的加法
1. 定义 定义3 定义3 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性
变 换，定义它们的和 A + B 为 (A + B ) ( α ) = A ( α ) + B ( α ) (α ∈ V ) .
1) 交换律
线性变换的运算
当k=2时，若 AB BA E,
①
对①两端左乘 A ，得 A2B ABA A,
对①两端右乘 A，得 ABA BA 2 A,
上两式相加，即得 A2B BA2 2A 2A 21.
第22页共24页
假设命题对 k 1时成立，即
Ak1B BAk1 (k 1)Ak2 .
②
对②两端左乘 A ，得
证：" " 设 A 为线性空间V上可逆线性变换.
任取 , V , 若 A( ) A( ), 则有 ( A1A)( ) A1(A( )) A1(A( ))
(A1A)( ) . A 为单射. 其次，对 V , 令 A1( ), 则 V ,且 A( ) A(A1( )) AA1( ) . A 为满射.
D f x f x
J
f
x
x
0
f
t
dt
DJ f x D
x
0
f t dt
f x,
即 DJ E.
而，
JD
f
x
J
f x
x
0
f t dt
f
x
f
0
DJ JD.
第4页共24页
例2. 设A、B Pnn为两个取定的矩阵，定义变换
A( X ) AX , B( X ) XB,
X P nn
故 A(1 ), A( 2 ), , A( n ) 线性无关. " " 若 A(1 ), A( ), , A( n ) 线性无关，则它
也为V的一组基. 因而，对 V , 有
k1A(1 ) k2 A( 2 ) kn A( n ),
即有 A(k11 k2 2 kn n ) .
又 A 可逆，于是 A 是一一对应，且 A(0) 0
高等代数--第七章 线性变换_OK
• 乘法 • 加 减 数乘 • 逆变换 • 变换的多项式
45
线性变换的乘法
首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊 情形当然可以定义乘法。设A，B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积AB为
(A B )() A (B ()) ( V ).
容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事 实上，
(A B )( ) A (B ( )) A (B () B ())
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
14
又如果1 , 2 ,, r之间有一线性关系式 k11 k22 krr 0,
那么它们的象之间也有同样的关系
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
15
3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性 相关的向量组.
A x1A 1 x2A 2 xnA n x1B 1 x2B 2 xnB n B .
20
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它 在一组基上的作用所决定。
2.设 1,2,,n是线性空间V的一组基。对于
任意一组向量 1,2,,n一定有一个线性变换A
使
A i i ,i 1, 2, , n.
46
A (B ()) A (B ( )) (A B )( ) (A B )( ),
(A B )(k) A (B (k)) A (kB ())
kA (B ()) k(A B )().
这说明AB是线性的。
既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换
的乘法当然也适合结合律，即
(A B )C A (B C ).
29
例3 在 F 22 中定义线性变换 A
X
a c
b
d
X
45
线性变换的乘法
首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊 情形当然可以定义乘法。设A，B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积AB为
(A B )() A (B ()) ( V ).
容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事 实上，
(A B )( ) A (B ( )) A (B () B ())
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
14
又如果1 , 2 ,, r之间有一线性关系式 k11 k22 krr 0,
那么它们的象之间也有同样的关系
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
15
3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性 相关的向量组.
A x1A 1 x2A 2 xnA n x1B 1 x2B 2 xnB n B .
20
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它 在一组基上的作用所决定。
2.设 1,2,,n是线性空间V的一组基。对于
任意一组向量 1,2,,n一定有一个线性变换A
使
A i i ,i 1, 2, , n.
46
A (B ()) A (B ( )) (A B )( ) (A B )( ),
(A B )(k) A (B (k)) A (kB ())
kA (B ()) k(A B )().
这说明AB是线性的。
既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换
的乘法当然也适合结合律，即
(A B )C A (B C ).
29
例3 在 F 22 中定义线性变换 A
X
a c
b
d
X
§2 线性变换的运算
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4. 线性变换的多项式 （1）线性变换的幂 因为线性变换的乘法满足结合律，所以当 n 个 (n是正整数)线性变换A 相乘时，可以用 AA L A
n 来表示，称为A 的n次幂，简单地记作 A . 此外，作为定义，令 A 0 = E.
n个 个
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结束
指数法则： 指数法则：
AB = BA = E. −1 这时，变换B 称为A 的逆变换，记为 A . A −1也就作为映射A 的逆映射，如果它存在，当 然就是唯一的.
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A −1 下证如果线性变换A是可逆的，则它的逆变换 也是线性变换.
事实上， A −1 (α + β ) = A −1[( AA −1 )(α ) + ( AA −1 )( β )]
§2 线性变换的运算
1.乘积 1.乘积 线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然可 以定义乘法. 设A, B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们 的乘积 为 乘积AB 乘积 AB (α ) = A (B (α )) (α ∈ V ). 容易证明，线性变换的乘积也是线性变换.
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结束
事实上，
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结束
线性变换的多项式的简单性质 如果在多项式P[x]中， h( x) = f ( x) + g ( x), p ( x) = f ( x) g ( x), 则
h( A ) = f ( A ) + g ( A ), p ( A ) = f ( A ) g ( A ).
特别地，
f ( A ) g ( A ) = g ( A ) f ( A ).
A m+ n = A m + A n ,( A m ) = A mn .
4. 线性变换的多项式 （1）线性变换的幂 因为线性变换的乘法满足结合律，所以当 n 个 (n是正整数)线性变换A 相乘时，可以用 AA L A
n 来表示，称为A 的n次幂，简单地记作 A . 此外，作为定义，令 A 0 = E.
n个 个
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结束
指数法则： 指数法则：
AB = BA = E. −1 这时，变换B 称为A 的逆变换，记为 A . A −1也就作为映射A 的逆映射，如果它存在，当 然就是唯一的.
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A −1 下证如果线性变换A是可逆的，则它的逆变换 也是线性变换.
事实上， A −1 (α + β ) = A −1[( AA −1 )(α ) + ( AA −1 )( β )]
§2 线性变换的运算
1.乘积 1.乘积 线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然可 以定义乘法. 设A, B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们 的乘积 为 乘积AB 乘积 AB (α ) = A (B (α )) (α ∈ V ). 容易证明，线性变换的乘积也是线性变换.
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事实上，
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线性变换的多项式的简单性质 如果在多项式P[x]中， h( x) = f ( x) + g ( x), p ( x) = f ( x) g ( x), 则
h( A ) = f ( A ) + g ( A ), p ( A ) = f ( A ) g ( A ).
特别地，
f ( A ) g ( A ) = g ( A ) f ( A ).
A m+ n = A m + A n ,( A m ) = A mn .
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0 E 当 n 0 时，规定 （单位变换）.
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1212
第一章 线性变换 第七章 行列式
注：
① 易证
m n
,
m n
m
n
mn ,
m, n 0
② 当 为可逆变换时，定义 的负整数幂为
注：① 在 P[ x] 中，若
h x f x g x , p x f x g x
则有， h f g ,
p f g
② 对 f ( x ), g( x ) P[ x ], 有
1 1
1 k 1 k 1 1 k 1 1 来自 k 1
( 1 )(k( 1 ( ))) k 1
1．定义 设 为线性空间V的线性变换，k P , 定义 k 与 的数量乘积 k 为：
k k ,
则 k 也是V的线性变换.
V
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4 4
注：交换律一般不成立，即一般地，
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7 7
第一章 线性变换 第七章 行列式
例1 线性空间R[ x] 中，线性变换
D f x f x
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6 6
第一章 线性变换 第七章 行列式
２．基本性质
（1）满足结合律：
（2） E E ，E为单位变换 （3）乘法对加法满足左、右分配律：
则 也是V的线性变换.
事实上，( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( k ) ( k ) k ( ) k ( ) k ( ( ) ( )) k ( )( ).
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2 2
第一章 线性变换 第七章 行列式
2．基本性质 （1）满足交换律：
（2）满足结合律： （3） 0 0 , 0为零变换. 负变换： 设 为线性空间V的线性变换，定义 为：
f g g f f g g f
即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.
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1515
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5 5
第一章 线性变换 第七章 行列式
三、 线性变换的乘积 1．定义 设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的乘积 为： , V
1010
第一章 线性变换 第七章 行列式
证：对 , V , k P ,
1 1 1 1
1
1 1 1
1 1
1111
1 是V的线性变换.
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第一章 线性变换 第七章 行列式
五、线性变换的多项式
1．线性变换的幂 设 为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义
n n
,
称之为 的n次幂.
,
（4） ( ) 0
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V
则 也为V的线性变换，称之为 的负变换.
3 3
第一章 线性变换 第七章 行列式
二、 线性变换的数量乘法
9 9
第一章 线性变换 第七章 行列式
四、 线性变换的逆 1．定义 设 为线性空间V的线性变换，若有V的变换 使
E
则称 为可逆变换，称 为 的逆变换，记作 1 . 2．基本性质
1 可逆变换 的逆变换 也是V的线性变换.
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J f x f t dt
x
DJ f x D 0 f t dt
x
0
f x,
x
即 DJ E .
而，
JD f x J f x 0
DJ JD.
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第一章 线性变换 第七章 行列式
2．基本性质
(1) ( kl ) k ( l ) k , l P (2) ( k l ) k l k , l P (3) k ( ) k k k P (4) 1
命题： 线性空间V上的全体线性变换所成集合 L(V ) 对于线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的 一个线性空间.
( )( X ) ( ( X )) ( XB ) A( XB ) AXB, ( )( X ) ( ( X )) ( AX ) ( AX ) B AXB.
.
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f t dt f x f 0
8 8
第一章 线性变换 第七章 行列式
nn P 例2. 设A、B 为两个取定的矩阵，定义变换
( X ) AX ,
( X ) XB,
X P nn
则 , 皆为 P nn 的线性变换，且对 X P nn , 有
n
1
n
③ 一般地， n n .
n
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第一章 线性变换 第七章 行列式
2．线性变换的多项式
设 f x am x
m
a1 x a0 P[ x ],
则 也是V的线性变换.
事实上，( )( ) ( ( )) ( ( ) ( ))
( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( ( k )) ( k ( )) k ( ( )) k ( )( )
第一章 线性变换 第七章 行列式
一、线性变换的和 二、线性变换的数量乘法 三、线性变换的乘积 四、线性变换的逆
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1 1
第一章 线性变换 第七章 行列式
一、 线性变换的和 1．定义 设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和 为： , V
为V的一个线性变换，则
f ( ) am m a1 a0 E
也是V的一个线性变换，称 f ( )为线性变换 的
多项式.
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第一章 线性变换 第七章 行列式
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1212
第一章 线性变换 第七章 行列式
注：
① 易证
m n
,
m n
m
n
mn ,
m, n 0
② 当 为可逆变换时，定义 的负整数幂为
注：① 在 P[ x] 中，若
h x f x g x , p x f x g x
则有， h f g ,
p f g
② 对 f ( x ), g( x ) P[ x ], 有
1 1
1 k 1 k 1 1 k 1 1 来自 k 1
( 1 )(k( 1 ( ))) k 1
1．定义 设 为线性空间V的线性变换，k P , 定义 k 与 的数量乘积 k 为：
k k ,
则 k 也是V的线性变换.
V
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注：交换律一般不成立，即一般地，
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第一章 线性变换 第七章 行列式
例1 线性空间R[ x] 中，线性变换
D f x f x
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第一章 线性变换 第七章 行列式
２．基本性质
（1）满足结合律：
（2） E E ，E为单位变换 （3）乘法对加法满足左、右分配律：
则 也是V的线性变换.
事实上，( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( k ) ( k ) k ( ) k ( ) k ( ( ) ( )) k ( )( ).
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第一章 线性变换 第七章 行列式
2．基本性质 （1）满足交换律：
（2）满足结合律： （3） 0 0 , 0为零变换. 负变换： 设 为线性空间V的线性变换，定义 为：
f g g f f g g f
即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.
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第一章 线性变换 第七章 行列式
三、 线性变换的乘积 1．定义 设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的乘积 为： , V
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第一章 线性变换 第七章 行列式
证：对 , V , k P ,
1 1 1 1
1
1 1 1
1 1
1111
1 是V的线性变换.
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第一章 线性变换 第七章 行列式
五、线性变换的多项式
1．线性变换的幂 设 为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义
n n
,
称之为 的n次幂.
,
（4） ( ) 0
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V
则 也为V的线性变换，称之为 的负变换.
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第一章 线性变换 第七章 行列式
二、 线性变换的数量乘法
9 9
第一章 线性变换 第七章 行列式
四、 线性变换的逆 1．定义 设 为线性空间V的线性变换，若有V的变换 使
E
则称 为可逆变换，称 为 的逆变换，记作 1 . 2．基本性质
1 可逆变换 的逆变换 也是V的线性变换.
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J f x f t dt
x
DJ f x D 0 f t dt
x
0
f x,
x
即 DJ E .
而，
JD f x J f x 0
DJ JD.
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第一章 线性变换 第七章 行列式
2．基本性质
(1) ( kl ) k ( l ) k , l P (2) ( k l ) k l k , l P (3) k ( ) k k k P (4) 1
命题： 线性空间V上的全体线性变换所成集合 L(V ) 对于线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的 一个线性空间.
( )( X ) ( ( X )) ( XB ) A( XB ) AXB, ( )( X ) ( ( X )) ( AX ) ( AX ) B AXB.
.
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f t dt f x f 0
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第一章 线性变换 第七章 行列式
nn P 例2. 设A、B 为两个取定的矩阵，定义变换
( X ) AX ,
( X ) XB,
X P nn
则 , 皆为 P nn 的线性变换，且对 X P nn , 有
n
1
n
③ 一般地， n n .
n
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第一章 线性变换 第七章 行列式
2．线性变换的多项式
设 f x am x
m
a1 x a0 P[ x ],
则 也是V的线性变换.
事实上，( )( ) ( ( )) ( ( ) ( ))
( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( ( k )) ( k ( )) k ( ( )) k ( )( )
第一章 线性变换 第七章 行列式
一、线性变换的和 二、线性变换的数量乘法 三、线性变换的乘积 四、线性变换的逆
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第一章 线性变换 第七章 行列式
一、 线性变换的和 1．定义 设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和 为： , V
为V的一个线性变换，则
f ( ) am m a1 a0 E
也是V的一个线性变换，称 f ( )为线性变换 的
多项式.
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第一章 线性变换 第七章 行列式