第4章 随机过程的非线性变换
随机过程 第四章4
lim
n
n
k 1
0， 如 j 为非常返或零常返 f p ij ( k ) ij ， 如 j 为正常返 j
练习
1设状态空间S={1,2,3,4}的齐次马氏链，它的 一步转移概率矩阵为
1 2 1 P 2 1 4 0 1 1 2 1 4 0 1 4 0 0 0 2 0 1 4 1 0
1 2
n 1 ， p 23 ( n ) 0，
n
极限 lim p i 3 ( n ) 存在 i 2 , 3 , 5
对正常返状态
j ，我们一般不讨论极限 1 n
lim p ij ( n )，
n
而只研究： (1) lim p ij ( nd )；2 ) lim (
n
j 0
定理：不可约非周期马 是存在平稳分布，且此 1 ，j u j 证：先证充分性 I
氏链是正常返的充要条 平稳分布就是极限分布
件
设 j， j I 是平稳分布， j
由于 得
i I
i
p ij ( n )
顺序，
j I
i
1， i 0，故可交换极限与求和
N
1 p kj ( n ) kI k
(1)
下面来证明等号成立， 1
由
p ik ( n )
kI
N
p ik ( n )
k 0
先令 n ，再令 N 取极限得： 1 1 kI u k
2 1 j ， 式为严格大于
n
j lim
i I
第四章随机过程与时间序列分析
第四章 随机过程与时间序列分析§6 作业题⒈ 回归分析的一个基本要求是，对于线性模型∑=++=mj i ij i i x b a y 1ε其残差（residual ）为白噪声（white noise ）序列。
也就说，计算值和实测值的误差序列i i i yy ˆ-=ε 必须满足“独立”、“正态”和“等方差”等统计条件。
回归分析的所谓Durbin-Watson 检验，其实就是残差的独立性检验。
我们在第三章“多元统计分析”中曾经要求大家以某省连续18年的工、农业产值为变量进行多元回归和逐步回归分析（原始数据见作业2）。
现在，我们进行如下回归计算：⑴ 分别以工业产值(x 1)、农业产值(x 2)、固定资产投资(x 3)为自变量，以运输业产值(y )为因变量，进行一元线性回归；⑵ 以时间序号(t )为自变量，以固定资产投资额的倒数(1/y )为因变量，进行非线性回归（显然，结果为双曲线模型的一种）；⑶ 以工业产值、农业产值、固定资产投资为自变量，以运输业产值为因变量，进行多元线性回归。
全部回归的残差（residuals ）列于下表（表1）。
表1 各种回归的残差序列序号 x 1-x 2 x 1-x 3 x 1-y t-1/y 3 x-y 1 1.8847 -11.4412 -2.2061 -0.0037 -0.3146 2 0.2232 -15.8072 -5.1807 -0.0198 -0.2176 3 -2.9222 -5.5353 -9.0425 -0.0428 0.6326 4 -0.5139 -2.0795 -4.5693 -0.0308 0.3472 5 11.5936 1.8990 3.9900 0.0367 -0.3481 6 5.2598 1.3505 0.3079 0.0055 0.0083 7 7.5924 5.1649 1.7253 0.0315 0.0344 8 -0.1209 5.7740 -1.9531 0.0145 0.4480 9 -1.8105 6.0476 2.7023 0.0101 0.0177 10 -3.2535 5.2478 4.4178 0.0081 -0.1782 11 -9.4807 -1.8415 1.5240 0.0156 -0.1944 12 -9.1320 2.9700 0.3363 0.0182 0.1367 13 -7.6239 -4.0565 1.0108 0.0121 -0.2511 14 -5.6028 5.1055 5.2692 0.0130 -0.2558 15-2.238110.04328.95520.0022-0.400616 1.7334-1.6056-5.2665-0.02700.435517 4.64570.6693-1.1463-0.02100.1299189.7658-1.9049-0.8743-0.0224-0.0299要求：⑴对表1中的残差序列进行自相关（auto-correlations）分析，观察结果是否平稳、独立，抑或具有某种趋势性（由于时间序列较短，最大时滞可以设为10，即计算10个自相关系数值）。
第4章 随机过程通过线性系统分析
上述积分可用极限形式表示：
、 固定时， 为确定的常用，上式是正态变量 的线性组合，而正态的线性组合还是正态分布。
2．高斯过程的均值与方差近似计算
对于高斯过程，只要均值与方差确定，则整个分布函数便确定。
由于
取定一个合适的 ，利用
可求出求出 均值与方差的近似值。
作业：P1515.1，5.2，5.7，5.8，5.9，5.11，5.14，5.15，5.26，5.28。
等效原则：理想系统与实际系统的输出平均功率相等。
例：设理想输出为 ，理想系统是矩形传输函数
为等效带宽。
如何确定 ？
依等效原则，理想系统的平均功率为 ，而
所以
称 为等效噪声带宽。
3．白噪声通过理想低通线性系统
在实际应用中，设
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
但求输入的概率分布不是一件容易的事为使问题得到简化一般我们假设高斯随机过程通过线性系统定理
第4章随机过程通过线性系统分析
引言：信号与系统的传统理论方法的基础是卷积运算。如图，
图1：系统的物理示意图
是系统的输入， 是系统的输出， 是系统的冲激响应函数
其中 ，为冲激函数。
对于线性系统，系统的数学运算为：
相关时间为
4．白噪声通过理想带通线性系统
理想带通线性系统具有理想矩形频率特性
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
可写成
称为相关函数的包络。
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
相关时间为
5．白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统
高斯随机过程通过非线性系统
高斯随机过程通过非线性系统非线性变换下的概率密度一般情形非线性函数关系，2ax y =输入呈高斯分布 输入呈瑞利分布 非线性函数关系，⎩⎨⎧<≥=0,00,x x bx y ： 输入呈高斯分布非线性变换下，随机过程的均值、矩一般情形均值 矩相关函数非线性函数关系，2ax y =输入呈高斯分布 输入呈瑞利分布 经过非线性函数关系，⎩⎨⎧<≥=0,00,x x bx y 之后， 输入呈高斯分布随机噪声通过平方律检波器输入是窄带实平稳随机过程，数学表达式随机过程)(t ξ经过非线性器件2ax y =之后，输出的相关函数高斯随机过程)(t ξ经过非线性器件2ax y =之后，输出的相关函数和功率谱矩形窄带实平稳高斯随机过程)(t ξ经过非线性器件2ax y =，输入输出的功率谱低通滤波器输出的功率谱。
信号加噪声通过平方律检波器一般情形数学表达式矩相关函数和功率谱输入信号加噪声，其中噪声是窄带实平稳高斯随机过程输出的相关函数和功率谱输入噪声是矩形带通窄带实平稳随机过程的调幅信号加噪声通过平方律检波器一般情形数学表达式相关函数和功率谱输入信号加噪声，其中噪声是窄带实平稳高斯随机过程 输出的相关函数和功率谱输入噪声是矩形带通窄带实平稳随机过程 输出的相关函数和功率谱半波整流器的研究一般情形数学表达式 矩相关函数和功率谱输入信号加噪声，其中噪声是窄带实平稳高斯随机过程 输出的相关函数和功率谱输入噪声是矩形带通窄带实平稳随机过程非线性变换下的概率密度非线性器件的输入输出关系：[])()(t x g t y =输入输出的概率分布特性：输入信号)(t ξ的分布：)()(;x P x F t r t ≤=ξξ输出信号)(t η的分布：如果输入输出关系是单调递增的))(())(()()(1;y g P y x g P y P y F t r t r t r t -≤=≤==≤=ξηηη如果输入输出关系是单调递减的))(())(()()(1;y g P y x g P y P y F t r t r t r t -≥=≥==≤=ξηηη输入信号的概率密度函数是：)(;x f t ξ输出信号的分布（如果输入输出关系是单调递增的、单调递减的）：[]yxy g x f y f t t ∂∂⋅==-)()(1;;ξη 非线性函数关系，2ax y =：输出的概率分布函数、概率密度函数[])()()(a y P a y P ay a y P y P t r t r t r t r -≤-≤=≤≤-=≤ξξξη[][]ay a y x f a y x f y f t t t 2)()()(;;;-=+==ξξη非线性函数关系，2ax y =：输入是高斯过程，均值为零，方差为2ξσ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=222;2exp 21)(ξξξσπσx x f t 输出的分布是，2exp 21)/()(22;;≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅∂∂=y a y ay a y x f yxy f t t ξξξησσπ00)(;<=y y f t η输入呈瑞利分布⎪⎩⎪⎨⎧<≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=0,00,2exp )(222;x x x x x f t ξξξσσ输出的分布是，02exp 212exp /21)/()(2222;;≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅∂∂=y a y a a y ay ay a y x f y xy f t t ξξξξξησσσσ00)(;<=y y f t η非线性函数关系，⎩⎨⎧<≥=0,00,x x bx y ： 概率分布函数、概率密度函数,)()0()()/()(0,0)(/0;/;≥+≤==≤=≤<=≤⎰⎰∞-y dx x f P dxx f b y P y P y y P by tt r by tt r t r t r ξξξξηηb y U b y x f y P y f t t r t /)()/()()0()(;;⋅=+<=ξηδξ如果输入是窄带实平稳高斯随机过程，均值为零，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=222;2exp 21)(ξξξσπσx x f t 相应输出的概率密度函数是，b y U b y y y f t /)(2exp 212/)()(2222;⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=ξξησπσδ非线性变换下，随机过程的均值、矩：输入输出的矩：输出的均值：[][][]{}[]{}⎰⎰∞∞-∞∞-⋅=⋅=dxx f t x gt E dxx f t x g t E t n nt)()()()()()(;;ξξηη输出的相关函数：[][][]⎰∞∞-⋅=dx t x t x f t x g t x g t t R t t )(),()()(),(21,21212121ξξηη非线性函数关系，2ax y =：输出的相关函数：[][][][])()()(),()()(),(1212221,21212121t t E a dxt x t x f t x g t x g t t R t t ξξξξηη=⋅=⎰∞∞-输出的n 阶矩：[][]n n n E a E 2ξη=高斯随机变量ξ经过非线性器件2ax y =之后，求输出η的n 阶矩：[][]13)12(22⋅-== n a E a E nn n n n ξσξη[][][]42422223ξξξσησησηa D a E a E === 瑞利随机变量ξ经过非线性器件2ax y =之后，求输出η的n 阶矩：[]nn nnna n dy a y a y dyy f yE 20220!2exp 21)(ξξξησσση⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅=⋅=⎰⎰∞∞[][][]4242222ξξξσησησηa D a E a E === 经过非线性函数关系，⎩⎨⎧<≥=0,00,x x bx y 之后， 求输出η的n 阶矩[]⎰⎰∞∞∞-⋅=⋅=;;)()()(dxx f x b dyy f yt E t n n t nn ξηη求输出η的偶数（2m ）阶矩，且概率密度函数是偶函数[][])(2)(2)()(22;220;222t E b dxx f xb dx x f x bt E m m t mmt m mmξηξξ=⋅=⋅=⎰⎰∞∞-∞输出的相关函数：[]⎰⎰∞∞=002121,21221)(),()()(),(2121dx dx t x t x f tx t x bt t R t t ξξηη如果输入是窄带实平稳高斯随机过程，均值为零，[]135)12(2)(222⋅⋅-= m b t E mm mξση[]135)12(22!)(1212212⋅⋅-=+++ m b m t E m m m m ξσπη[]ξσπηb t E 21)(=[][][]{}()πσσπσηηηξξξ/11212121)()()(2222222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=b b b t E t E t D 随机噪声通过平方律检波器：分析方法信号数学表达式、均值、矩；经过非线性器件2ax y =之后，输出的相关函数、功率谱； 低通滤波器输出信号的功率谱密度。
《随机信号分析与处理》教学大纲
《随机信号分析与处理》教学⼤纲《随机信号分析与处理》教学⼤纲（执笔⼈：罗鹏飞教授学院：电⼦科学与⼯程学院）课程编号：070504209英⽂名称：Random Signal Analysis and Processing预修课程：概率论与数理统计、信号与系统、数字信号处理学时安排：60学时，其中讲授54学时，实践6学时学分：3⼀、课程概述（⼀）课程性质地位本课程是电⼦⼯程、通信⼯程专业的⼀门学科基础课程。
该课程系统地介绍随机信号的基本概念、随机信号的统计特性分析⽅法以及随机信号通过系统的分析⽅法；介绍信号检测、估计、滤波等信号处理理论的基本原理和信息提取⽅法。
其⽬的是使学⽣通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理的基本概念、基本原理和基本⽅法，培养学⽣运⽤随机信号分析与处理的理论解决⼯程实际问题的能⼒，提⾼综合素质，为后续课程的学习打下必要的理论基础。
本课程是电⼦信息技术核⼼理论基础。
电⼦信息系统中的关键技术是信息获取、信息传输、信息处理，这些技术的理论基础就是随机信号的分析、检测、估计、滤波等理论，这正是本课程的主要内容。
因此，本课程内容是电⼦信息类应⽤型⼈才知识结构中不可或缺的必备知识。
⼆、课程⽬标（⼀）知识与技能通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理基本概念和基本分析⽅法。
内容包括：1.理解和掌握随机过程基本概念和统计描述；2.掌握随机过程通过线性和⾮线性系统分析⽅法3.理解和掌握典型随机过程的特点及分析⽅法；4.掌握参数估计的概念、规则和性能分析⽅法；5.掌握信号检测的概念、规则和性能分析⽅法；6.掌握⾼斯⽩噪声中最佳检测器的结构和性能分析。
通过本课程的学习，要达到的能⼒⽬标是：1.具有正确地理解、阐述、解释⽣活中的随机现象的能⼒，即培养统计思维能⼒；2.运⽤概率、统计的数学⽅法和计算机⽅法分析和处理随机信号的能⼒；3.初步具备雷达、通信、导航等技术领域的信号处理系统的分析、设计、仿真的科学研究能⼒；4.培养⾃主学习能⼒；5.培养技术交流能⼒（包括论⽂写作和⼝头表达）；6.培养协作学习的能⼒；（⼆）过程与⽅法依托“理论、实践、第⼆课堂”三个基本教学平台，通过课堂教学、概念测试、课堂研讨、案例研究、作业、实验、课程论⽂、⽹络教学等多种教学形式，采⽤研究型、案例式、互动研讨、基于团队学习、基于MATLAB的教学以及基于多媒体的教学等多种教学⽅法和⼿段，使学⽣加深对随机信号分析与处理的基本概念、基本原理以及应⽤的理解，并使学⽣通过⾃主学习、⼩组作业、案例研究、实验、课题论⽂等主动学习形式，培养⾃学能⼒和协同学习的能⼒，使学⽣不仅获得知识、综合素质得到提⾼。
随机过程-第四章 更新过程
P 1 因 此 存 在 a 0 ， 使 得 P Xn a 0 ， 从 而 由 于 F( 0 ) X n 0 ， P X n a 1 。而 F (a) P X n a P X n a P X n a
为 避 免 因 可 能 的
TN (t ) N (t )
N (t ) 时，
TN (t ) N (t )
。但由于 t 时 N (t ) ，所以当 t 时，
TN (t ) N (t )
。
又
TN (t )1 N (t )
TN (t )1 N (t ) 1 。 ，类似地可推得当 t 时， N (t ) 1 N (t ) N (t ) TN (t ) 1
且因为随机变量 X n , n 1, 2, 服从独立同分布且分布函数为 F ( x) ，记 Fn 为 Tn 的分 布函数，则 Fn 是 F 自身的 n 次卷积。因此可得
P N (t ) n Fn (t ) Fn1 (t )
令 M (t ) E[ N (t )] ，称 M (t ) 为更新函数。
t
N (t ) 的情况。 t
为考虑 N (t ) 的发散速度，我们先考虑到达时刻 TN (t ) （ TN (t ) 表示在时刻 t 或时刻 t 之前 最后一次更新发生的时刻，以此类推，则 TN (t )1 表示在时刻 t 之后第一次更新发生的时刻） 。 利用 TN (t ) 和 TN (t )1 ，我们提出并证明以下命题。
命题 4.3 当 t 时，以概率 1 保证
证明：因为 TN (t ) t TN (t ) 1 ，于是有
N (t ) 1 , ( EX n ) 。 t
随机过程 第4章
2
2 n
lim D( X n ) D( l .i .m X n ) D( X );
n
n
) E( X
2
)
n
5)
若实随机变量 X， X n H , 则
E (e
it l i m X n
n
) E (e ) lim E[e
n
itX
itX n
].
11
4.1 二阶矩过程
lim d X ( t ), X lim X t X 0
t t0
15
4.2 均方连续
注 l .i .m X t X 成立的充分必要条件是
对任意的数列 t k , 若 t k t 0 ( k ), 有
l .i .m X t k X
tk t0
对 s 0 , t 0 T , 有
4.2 均方连续
定理1
i .m X t X t 0 l .i .m X s X s0 , lt. t
s s0
t t0
lim R s, t lim E X s X t E X s0 X t0 R s0 , t0 s s0 s s0
称X(t)在t处均方可微(可导)，称Y为X(t) 在 t 处的均方导数, 记为
dX t dt 或 X ( t ) .
23
4.3 均方导数
若对t∈T, X( t )都均方可微,称 { X ( t ), t T } 为 均方可微过程. 其均方导数过程 { X ( t ), t T } 仍是二阶矩过程. 类似地,可定义 { X ( t ), t T }的均方导数过程
第4章_非线性系统线性化分解
非线性系统的线性化
1、传统近似线性化
2、精确线性化
3、现代近似线性化
Company Logo
非线性系统线性化方法
传统近似 线性化 现代近似 线性化
精确线性化
基本思想： 一阶近似 适用于工作 条件苛刻， 计算复杂
基本思想：通过坐标 变换把强非线性系统 变换成弱非线性系统
点范围不大
情况
或通过状态反馈以保
持线性系统的部分特 点。
近似线性化
传统近似线性化方法
最小二乘法 误差最小
泰勒展开 传统近似线性化 雅可比矩阵
忽略高阶项
忽略高阶项
傅里叶级数展开
忽略高次谐波
非线性系统反馈线性化_主要内容
• • • 4.0 绪论 4.1 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法 4.2 单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计 – – – – 仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 线性定常系统设计—闭环极点配置 一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法 输入—状态线性化 输入—输出线性化 线性系统的内动态子系统 零动态子系统 微分同胚与状态变换 弗罗贝尼斯定理 单输入单输出系统的输入—状态线性化 单输入单输出系统的输入—输出线性化 多输入—多输出系统的反馈线性化
非线性系统反馈线性化绪论
模型参考方法在跟踪控制系统设计中是一种十分有效的方法。这一方法不 仅在相对复杂的非线性系统设计中得到应用，即使在线性定常系统的设计中同 样也得到大量的应用。 在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统 反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统 反馈线性化的直接方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )] RXY ( u )h(u)du
h( )
h( )
0
R X ( ) * h ( )
RYX (t1 , t2 )
0
0
0
RX ( v u)h(u)h(v)dudv
R
X
h( )
dx h( x) H ()e j x d
如果h(x)不满足绝对可积的条件，可用拉普拉斯变换
H ( s) h( x)e sx dx
h( x )
2 j j
1
j
λ为常数。
H (s)e sx ds
1.一般关系
RY ( ) E{h[ X (t )]h[ X (t)]}
e j1x1 j2 x2 f X ( x1 ,x2 , )dx1dx2
e j1x1 j2 x2 X (1 , 2 , )d1d2
4.2 非线性系统分析的变换法
如果h(x)满足绝对可积的条件，
H () h( x)e
j x
E[ X1 X 2 X 3 X 4 ] E[ X1 X 2 ]E[ X 3 X 4 ] E[ X1 X 3 ]E[ X 2 X 4 ] E[ X1 X 4 ]E[ X 2 X 3 ]
X1 X 2 X (t) X 3 X 4 X (t )
E{ X (t ) X (t )} E[ X (t )]E[ X (t )] E[ X (t ) X (t )]E[ X (t ) X (t )] E[ X (t ) X (t )]E[ X (t ) X (t )]
fW ( ) f X ( x)
X (t ) 0 X (t) 0
dx U (x) ( ) P W (t) 0 d x
1 fW ( ) ( ) f X ( ) U( ) 2
1 1 1 2 E[W (t)] E[ X (t )] E[ X (t ) ] 0 2 2 2 2
全波线性检波器的相关函数
dRZ ( ) 2 dRX ( )
RX ( )
0
RX ( ) 2arcsin( R ( ) / R (0)) dRZ ( ) X X dRX ( ) dRX ( ) 0 dRX ( )
RX ( )
RZ ( ) RZ ( ) |RX ( )0
随机过程的非线性变换
x ( n)
y h( x ) y ( n)
已知：输入的统计特性和系统的非线性变换关系 求解：输出的统计特性 研究对象：无惰性时不变非线性系统 分析方法： 直接分析法；
变换法；
级数展开法。
随机过程的非线性变换
4.1 直接分析法
4.2 变换法 4.3 级数展开法
4.1 直接分析法
h( x1 )h( x2 ) f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 )dx1dx2
若输入X(t)二阶严平稳， 则输出是广义平稳的。
对于比于线性系统
平稳性讨论
对于物理可实现系统，假定输入X(t)平稳,若输入从-加 入(双侧随机信号) 则输出Y(t)平稳，且与X(t)联合平稳；
Rw ( ) E[W (t )W (t )] ？？
4.1 直接分析法
X (t )
y h( x )
Y (t )
已知：输入的统计特性、系统的非线性变换函数 求解：输出的概率密度和统计特征 方法：直接根据随机变量的函数理论求解 特点：简单、直观
缺点：如果h(x)较复杂，求解困难。
4.2 非线性系统分析的变换法
h( x1 )h( x2 ) f X ( x1 , x2 , )dx1dx2
h( x1 )h( x2 )
1 4 2
e j1x1 j2 x2 X (1 , 2 , )d1d2 dx1dx2
1 4 2
z2 2 f Z (z) exp 2 U ( z ) 2 2
全波线性检波
均值：
E[ Z (t )]
2
z2 2z E[ Z (t )] zf Z (z)dz exp 2 dz 0 2 2 或 x2 x E[ Z (t )] x f x ( x)dx 2 exp 2 dx 0 2 2 自相关函数：
(k) d h( X 1 ) (k) h ( X1 )= dX 1k
全波线性检波器的相关函数
Z (t) X (t) RZ ( ) E[ X (t ) X (t) ]
d X (t ) d X (t) dRZ ( ) E dRX ( ) dX (t ) dX (t)
d (k) RY ( ) (k) (k) h ( x ) h ( x2 ) f X ( x1 , x2 , )dx1dx2 1 (k) dRX ( )
d (k) RY ( ) (k) (k) E h ( X ) h ( X 2 ) 1 (k) dRX ( )
随机过程的变换
随机过程
| |
输出
线性放大器
线性滤波器 ……
平方律检波 全波线性检波
……
线性系统
非线性系统
随机过程的变换
基本定理
直接分析法
冲击响应法 频谱法
线 性 变 换
分析方法
典型应用：限带过程
最佳线性滤波器
系统设计
非 线 性 变 换
变换法
匹配滤波器
广义匹配滤波器
级数展开法
第四章 随机过程的非线性变换
特征函数： X (, t) E[e
1 f X ( x,t ) 2
j X (t)
] e j x f X ( x,t )dx
X ( , t)e j x d
X (1 , 2 , )
f X ( x1 ,x2 , )= 1 4 2
X (1 , 2 , )
h( x1 )h( x2 )e j1x1 j2 x2 dx1dx2 d 1d 2
H (1 ) H (2 )
2.Prince定理
假定输入为零均值平稳正态随机过程，输出过 程为Y(t)=h[X(t)],则输出的自相关函数满足：
GY () 2 4 () 2GX () GX ()
全波线性检波
Z (t) X (t)
X (t) 为零均值平稳正态随机过程，方差为 2
一维概率密度：
f Z (z) [ f X ( x1 ) J1 ]x1 z [ f X ( x2 ) J 2 ]x2 z U (z) [ f X ( z ) f X ( z )]U ( z ) 2 f X ( z )U ( z )
) R X Y ( ) * h ( ) RY (
( ) * h ( ) * h ( )
典型的非线性系统：三类检波器
平方律检波器 全波线性检波器 半波线性检波器
y x2
z x
x x w 2
平方律检波器
假定输入为零均值，方差为 2 的平稳正态随机过程 输出概率密度：
RZ ( ) E[Z(t ) Z( )] E[ X (t ) X ( ) ] =
x1 x2 f X ( x1 , x2 , )dx1dx2 =？？
半波线性检波器
X (t) X (t) W (t) 2
X (t ) W (t) 0
y h( x) 不单调
fY ( y, t ) J1
其中
J1 dx1 / dy J 2 dx2 / dy
4.1 直接分析法
二维概率密度
Y (t1 ) h[X(t1 )]
Y (t 2 ) h[X(t 2 )]
fY ( y1, y2 , t1, t2 ) J f X ( x1, x2 , t1, t 2 )
x1 y1 x2 y1 x1 y2 x2 y2
J
4.1 直接分析法
2. 均值和自相关函数
E[Y (t )] E{h[ X (t )]} h( x) f X ( x, t )dx
RY (t1 , t 2 ) E[Y(t1 ) Y(t 2 )] E{h[X(t1 )]h[X(t 2 )]}
fY ( y) J1 f X ( x1 ) J2 f X ( x2 )
fY ( y, t ) J1 f X ( x1, t ) J2 f X ( x2 , t ) 1 1 fY ( y ) f X ( y ) f X ( y ) 2 y 2 y
y exp 2 U ( y ) 2 y 2 1
mY (t ) mX h(u)du
0
m X H (0)
Y
RX
R ( t , t ) E { X ( t ) Y ( t )} R (R XY X ( v)h(v)dv ( ) ) R ( )
R XY ( ) h( )
XY
RX ( )
d X 1 dX 1 X 0 X 0
d (k) RY ( ) (k) (k) E h ( X ) h ( X 2 ) 1 (k) dRX ( )