第3章 随机过程的线性变换
第3章 随机过程及答案
互相关函数 R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中 (t) 和 (t) 分别表示两个随机过程。 R(t1, t2)又称为自相关函数。
10
3.2 平稳随机过程 3.2.1 平稳随机过程的定义
12
数字特征：
E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a
R( t1 , t 2 ) E[ ( t1 ) ( t1 )]
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。
P ( f ) 0
P ( f ) P ( f )
这与R()的实偶性相对应。
23
例题
[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的功率谱密度。 [解] 在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳 过程，并且求出其相关函数为
1 (t ) 2 (t )
n (t )
0
t
3
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。
样本空间
随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
S1 x1(t)
t
T /2
T / 2
x( t ) x( t )dt
aa R( ) R( )
《随机信号分析与处理》教学大纲
《随机信号分析与处理》教学⼤纲《随机信号分析与处理》教学⼤纲（执笔⼈：罗鹏飞教授学院：电⼦科学与⼯程学院）课程编号：070504209英⽂名称：Random Signal Analysis and Processing预修课程：概率论与数理统计、信号与系统、数字信号处理学时安排：60学时，其中讲授54学时，实践6学时学分：3⼀、课程概述（⼀）课程性质地位本课程是电⼦⼯程、通信⼯程专业的⼀门学科基础课程。
该课程系统地介绍随机信号的基本概念、随机信号的统计特性分析⽅法以及随机信号通过系统的分析⽅法；介绍信号检测、估计、滤波等信号处理理论的基本原理和信息提取⽅法。
其⽬的是使学⽣通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理的基本概念、基本原理和基本⽅法，培养学⽣运⽤随机信号分析与处理的理论解决⼯程实际问题的能⼒，提⾼综合素质，为后续课程的学习打下必要的理论基础。
本课程是电⼦信息技术核⼼理论基础。
电⼦信息系统中的关键技术是信息获取、信息传输、信息处理，这些技术的理论基础就是随机信号的分析、检测、估计、滤波等理论，这正是本课程的主要内容。
因此，本课程内容是电⼦信息类应⽤型⼈才知识结构中不可或缺的必备知识。
⼆、课程⽬标（⼀）知识与技能通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理基本概念和基本分析⽅法。
内容包括：1.理解和掌握随机过程基本概念和统计描述；2.掌握随机过程通过线性和⾮线性系统分析⽅法3.理解和掌握典型随机过程的特点及分析⽅法；4.掌握参数估计的概念、规则和性能分析⽅法；5.掌握信号检测的概念、规则和性能分析⽅法；6.掌握⾼斯⽩噪声中最佳检测器的结构和性能分析。
通过本课程的学习，要达到的能⼒⽬标是：1.具有正确地理解、阐述、解释⽣活中的随机现象的能⼒，即培养统计思维能⼒；2.运⽤概率、统计的数学⽅法和计算机⽅法分析和处理随机信号的能⼒；3.初步具备雷达、通信、导航等技术领域的信号处理系统的分析、设计、仿真的科学研究能⼒；4.培养⾃主学习能⼒；5.培养技术交流能⼒（包括论⽂写作和⼝头表达）；6.培养协作学习的能⼒；（⼆）过程与⽅法依托“理论、实践、第⼆课堂”三个基本教学平台，通过课堂教学、概念测试、课堂研讨、案例研究、作业、实验、课程论⽂、⽹络教学等多种教学形式，采⽤研究型、案例式、互动研讨、基于团队学习、基于MATLAB的教学以及基于多媒体的教学等多种教学⽅法和⼿段，使学⽣加深对随机信号分析与处理的基本概念、基本原理以及应⽤的理解，并使学⽣通过⾃主学习、⼩组作业、案例研究、实验、课题论⽂等主动学习形式，培养⾃学能⼒和协同学习的能⼒，使学⽣不仅获得知识、综合素质得到提⾼。
第06讲_随机过程的线性变换1
变换的基本概念和基本定理变换的基本概念和基本定理变换的基本概念和基本定理变换的基本概念和基本定理变换的基本概念和基本定理证明一：变换的基本概念和基本定理证明二：变换的基本概念和基本定理随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析变换的基本概念和基本定理d变换的基本概念和基本定理和()X t变换的基本概念和基本定理=如果为平稳随机过程，则：()X t ()0Y m t 22()()()(),()X XY X XY Y dR dR d R R R d d d ττττττττ=−==− 1212121212(,)()()()()()X X X X XR t t R t t dR t t t t dR t t dR τ∂∂−−∂−−==⋅=−=−证明：()()t t d t t t d t t d τ∂∂−∂−变换的基本概念和基本定理由，得由，得证明：()()XY XY R G τω⇔()()X X dR j G d τωωτ−⇔−()()Y Y R G τω⇔222()()X X d R G d τωωτ−⇔(0)0XY R =证明：1212121121(,)()()()()()()X X X XY YX R t t dR t t t t dR R R t d t t t d ττττ∂−∂−−===⋅=∂−∂因此()()XY XY R R ττ−=−(0)0XY R =得14变换的基本概念和基本定理随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析如果输入随机过程通过线性系统分析如果输入随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析。
线性变换的基本概念与定理
R X(t) R
温敏电阻
Y(t)
1、变换的基本概念
分类：确定性变换、随机变换 线性变换、非线性变换
X (t )
线性放大器 线性滤波器
2 T × β ( )
Y (t )
平方律检波 全波线性检波
线性变换
非线性变换
1、变换的基本概念
线性变换：设 Y (t ) = L[ X (t )] , 如果
L[ A1 X 1 (t ) + A2 X 2 (t )] = A1 L[ X 1 (t )] + A2 L[ X 2 (t )]
X (t )
T
Y (t )
1、变换的基本概念
分类： 确定性变换、随机变换
设e1和e2分别为两个随机试验的结果，Y(t)=T[X(t)]，如果
x (t , e1 ) = x (t , e2 )
则T称为确定性变换。
y (t , e1 ) = y (t , e2 )
1、变换的基本概念
分类：确定性变换、随机变换
其中 A1 ， A2 为随机变量， X1(t) ， X2(t) 为随机过 程。则称L为线性变换。 对于线性变换, 若有
Y (t + ε ) = L[ X (t + ε )]
则称线性变换L是线性时不变的。
2、线性变换的基本定理
定理1： 设 Y (t ) = L[ X (t )] 则 E {Y (t )} = L{E[ X (t )]}
定理2：设 Y (t ) = L[ X (t )] 则 RXY (t1 , t 2 ) = Lt 2 [ RX (t1 , t 2 )]
RY (t1 , t 2 ) = Lt1 [ RXY (t1 , t 2 )] = Lt1 ⋅ Lt 2 [ RX (t1 , t 2 )]
随机过程第三章
随机过程的概率密度函数
概率密度函数
对于连续随机过程，其概率密度函数描述了随机过程在各个时间点或位置上的取值的可能性密度。
联合概率密度函数
对于多个连续随机过程的组合，其联合概率密度函数描述了这些随机过程在各个时间点或位置上的取 值的联合可能性密度。
03
随机过程的数字特征
均值函数
总结词
描述随机过程中心趋势的数字特征
泊松过程
定义
泊松过程是一种随机过程，其中事件的 发生是相互独立的，且以恒定的平均速
率在时间上均匀地发生。
应用
在物理学、工程学、生物学等领域都 有应用，如放射性衰变、电话呼叫等。
性质
泊松过程具有无记忆性，即两次事件 发生的时间间隔与它们是否同时发生 无关。
扩展
泊松过程可以推广为更复杂的过程， 如非齐次泊松过程和条件泊松过程。
随机过程第三章
目录
• 随机过程的基本概念 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 马尔科夫链和泊松过程 • 随机过程的应用
01
随机过程的基本概念
随机过程的定义
01
随机过程：一个随机过程是一个定义在概率空间上的
参数集的集合，这个集合的元素是随机变量。
02
马尔科夫链和泊松过程的比较
关联性
马尔科夫链和泊松过程都是随机过程，但它们的 性质和应用场景有所不同。
时间连续性
马尔科夫链可以适用于连续时间，而泊松过程通 常适用于离散时间。
ABCD
状态转移
马尔科夫链关注的是状态之间的转移，而泊松过 程关注的是事件的发生。
应用领域
马尔科夫链在社会科学和生物科学中应用广泛， 而泊松过程在物理学和工程学中更为常见。
研究生学位课程教学大纲-随机过程
硕士研究生学位课程教学大纲随机过程（课程名称）Stochastic Process（Course Title）课程编号：IE11001 课程性质：学位课程学分数： 3 课程总学时：48学时开课学院：信息电子学院授课教师：姚青预备知识：高等数学、概率论、线性代数一、课程学习目的及要求：随机过程是现代概率论的一个重要课题，它主要研究和探讨客观世界中随机演变过程的规律性，并应用于控制﹑通信﹑生物﹑物理﹑雷达通讯﹑地质﹑天文气象﹑社会科学等工程科学技术中。
通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的基本概念、随机过程的统计特征描述、随机信号通过系统分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号通过系统的分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号、马尔可夫过程、平稳过程、信号检测与估计等的基本理论方法，为学生在信号与信息处理领域打下扎实的理论基础，为学习后续课程以及将来的发展奠定坚实的基础。
二、主要章节与学时安排：第一章随机变量基础（6学时）教学内容与要求：掌握随机变量的基本概念，随机变量的分布函数与概率密度、数字特征、特征函数和统计特性等。
重点：随机变量的统计特性。
1.1 概率论的基本术语1.2 随机变量的定义1.3 随机变量的分布函数与概率密度1.4 多维随机变量及分布1.5 随机变量的数字特征1.6 随机变量的函数1.7 随机变量的特征函数1.8 多维正态随机变量1.9 复随机变量及其统计特性1.10 MATLAB的统计函数第二章随机过程的基本概念（9学时）教学内容与要求：要求理解和掌握随机过程的概念及定义；掌握和应用随机过程的统计描述；理解和掌握平稳随机过程、各态历经过程的概念和统计特性；掌握和应用随机过程的联合分布和互相关函数；掌握和应用随机过程的功率谱密度；理解和掌握脉冲型随机过程的统计特性分析等。
重点：随机过程的概念和统计特性、随机过程功率谱密度等等。
2.1 随机过程的基本概念及定义2.2 随机过程的统计描述2.3 平稳随机过程2.4 随机过程的联合分布和互相关函数2.5 随机过程的功率谱密度2.6 典型的随机过程2.7 基于MATLAB的随机过程分析方法2.8 信号处理实例第三章随机过程的线性变换（9学时）教学内容与要求：掌握和应用线性系统变换的基本概念和基本定理；理解和掌握随机信号的导数与积分；掌握和应用随机过程线性变换的微分方程法、随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法；掌握和应用随机信号通过线性的分析方法；理解和掌握白噪声与等效通能带的概念和特性等。
通信原理(第3章)
因此，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。
5
3.1 随机过程的基本概念
3.1.1 随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是
一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来 描述。
➢ 随机过程 (t)的一维分布函数：(反应分布情况)
➢ | R(τ) | ≤ R(0)
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
数学期望
a(t) E[ (t)]
2 0
A cos( c t
)
1
2
d
A
2
2
0 (cosct cos sin ct sin )d
A
2
[cos ct
2
cosd
0
sin ct
2
sind ]
0
0
21
3.2 平稳随机过程
自相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
第3章 随机过程
通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的 确定的, 而是各种不同的信号。信息就包含于出现这种 或那种信号之中.例如二元信息需用二种信号表示, 具 体出现哪个信号是随机的,不可能准确予测( 如能予测, 则无需通信了) 我们称这种具有随机性的信号为随机 信号。
通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰和噪声 的波形更是各式各样,随机的不可予测的.我们称其为随 机干扰和随机噪声。 尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形是不可 预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机 信号和随机干扰统计规律性的数学工具是随机过程理 论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。 1
第三章随机过程的线性变换NEW随机信号分析与处理-精品文档
3.1线性系统的基本理论
1. 线性系统
x (t)
T
线性放大器 线性滤波器
2
y (t)
平方律检波 全波线性检波
线性系统
非线性系统
3.1变换的基本概念和基本定理
2. 连续时不变线性系统
x (t)
L[.]
y (t)
y ( t ) x ( t ) h ( t ) x ( t ) hd ( )
h ( t ) R ( t , t ) 2 YX 1 2
h ( t ) h ( t ) R ( t , t ) 1 2 X 1 2
3.2随机过程通过线性系统分析
1. 冲击响应法
X(t) h(t) Y(t)
mX (t )
h (t )
RXY (t1 , t2 )
mY (t )
RX (t1 , t 2 )
Y ( t ) ( t ) h ( ) d h ( t ) X ( t ) X
3.2随机过程通过线性系统分析
1. 冲击响应法
X(t) h(t)
Y(t)
Y ( t ) ( t ) h ( ) d h ( t ) X ( t ) X
m ( t ) m ( u ) du m H ( 0 ) Y X X h
0
RX ( ) RX ( )
h( )
RXY ( )
h( )
RY ( ) RY ( )
h( )
RYX (t1 , t2 )
h( )
3.2随机过程通过线性系统分析
平稳性讨论
对于物理可实现系统，假定输入X(t)平稳,若输入从0时
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如果X(t)为平稳随机过程，则
15
3.1 变换的基本概念和基本定理
随机过程及其导数相关函数示意图
t 2
RXX (t1 , t 2 )
RX (t1 , t 2 )
t1
RX (t1 , t 2 )
RX ( )
RXX ( )
RX ( )
G X ( )
第三章 随机过程的线性变换
在电子技术中，通常需要将信号进行一系 列的变换，才能提取到有用的信息。 变换可以看作为信号通过系统，所以随机 过程的变换就是分析随机过程通过系统后 的响应。 系统一般分为线性系统和非线性系统两大 类，因此随机过程的变换也分为线性变换 和非线性变换两大类。
1
第三章 随机过程的线性变换
则称L是线性变换。 对于线性变换L，Y(t)=L[X(t)]，如果 Y (t ) L[ X (t )] 其中ε为任意常数，则称L是线性时不变的。
6
3.1 变换的基本概念和基本定理
线性变换的两个基本定理 定理1 设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换， 则
E Y t L E X t
2
2
2 t1 )
U ( t 2 t1 )( t 2 t1 )
27
3.2 随机过程通过线性系统分析
解（续2） 输出的自相关函数为
RY ( t1 , t 2 ) RXY ( t1 u, t 2 )h( u)du
0 t1
t1
0 2
t ( t [ (1 e ) e
-
即
RY ( ) h( ) RXY ( )
22
3.2 随机过程通过线性系统分析
所以
RY ( ) h( ) h( ) RX ( )
类似地
RYX ( ) h( ) RX ( ) RY ( ) h( ) RYX ( )
23
3.2 随机过程通过线性系统分析
平稳随机过程通过线性系统输入输出相关 函数之间的关系
h( )
RXY ( )
RX ( ) RX ( )
h( )
RY ( ) RY ( )
h( )
RYX (t1 , t2 )
h( )
24
3.2 随机过程通过线性系统分析
例3.2 设有微分方程描述的线性系统：
其中α为常数，系统的起始状态为Y(0)=0， 输入X(t)为平稳随机过程，且E[X(t)]=λ， RX(τ)=λ2+λδ(τ)，求输出Y(t)的统计特性。
32
0
ห้องสมุดไป่ตู้
3.2 随机过程通过线性系统分析
即随机过程经过线性变换后，其输出的数 学期望等于输入的数学期望通过线性变换 后的结果。
7
3.1 变换的基本概念和基本定理
证明(利用大数定理) 设第i次试验得样本函数xi(t)，输出端yi(t)
yi (t ) L[ xi (t )]
Y(t)的样本均值
1 Y ( t ) [ y1 ( t ) y2 ( t ) yn ( t )] n 1 { L[ x1 ( t )] L[ x2 ( t )] L[ xn ( t )]} n 1 L{ [ x1 ( t ) x2 ( t ) xn ( t )]} n L{ X ( t )}
8
3.1 变换的基本概念和基本定理
证明（续） 根据大数定理，当n→∞时，有
X (t ) E[ X (t )],Y (t ) E[Y (t )]
所以
E[Y ( t )] L{ E[ X (t )]}
9
3.1 变换的基本概念和基本定理
定理2 设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换， 则 RXY (t1 , t2 ) Lt2 [ RX (t1 , t2 )]
12
3.1 变换的基本概念和基本定理
例3.1 随机过程导数的统计特性。 设 ， ，
很容易证明，导数是一种线性变换， 成X(t)经过微分变换后的输出
X(t)
可看
d dt
13
3.1 变换的基本概念和基本定理
例3.1（续） 均值
即
X(t)和 的互相关函数
14
3.1 变换的基本概念和基本定理
例3.1（续） 自相关函数
19
3.2 随机过程通过线性系统分析
平稳过程通过线性系统输入输出相关函数 的关系
h(t 2 ) h(t1 )
RXY (t1 , t2 )
RX (t1 , t 2 )
h ( t1 )
RY (t1 , t2 )
RX (t1 , t 2 )
RYX (t1 , t2 )
h(t 2 )
RY (t1 , t2 )
3.1 变换的基本概念和基本定理 3.2 随机过程通过线性系统分析 3.3 限带过程 3.5 最佳线性滤波器 3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布
2
3.1 变换的基本概念和基本定理
普通函数变换 给定一个函数x(t)，按照某种法则T， 指定一个新的函数y(t)，那么，就说y(t)是x(t) 经过变换T后的结果。记为 y(t) = T[x(t)] T称为从x(t)到y(t)的变换。
RY ( t1 , t 2 )
( t t ) t t 2 t (1 e )(1 e ) e (1 e ) 2 2
2
1 2 1 2 2
( t1 t 2 )
可见，输出过程是非平稳的随机过程。
29
3.2 随机过程通过线性系统分析
解（续4）当t1→∞，t2→∞时，输出Y(t)进入 稳态，这时
RY (t1 , t2 ) Lt1 [ RXY (t1 , t2 )] Lt1 • Lt2 [ RX (t1 , t2 )]
其中 Lt 表示对t1做L变换，Lt 表示对t2做L变 换。
1 2
10
3.1 变换的基本概念和基本定理
证明 因为 X (t1 )Y (t ) X (t1 ) L[ X (t )] L[ X (t1 ) X (t )]
25
3.2 随机过程通过线性系统分析
解 令输入为δ(t)，则冲激响应为 dh( t ) h( t ) ( t ) dt 可解得 t
h(t ) e U (t )
由于系统为因果系统，所以输出Y(t)的均值 为 t t mY ( t ) h( t ) m X ( t )U ( t ) e d (1 e ) 0
h( ) d m X H (0)
18
3.2 随机过程通过线性系统分析
输入输出的互相关函数为 RXY (t1 , t2 ) Lt2 [ RX (t1 , t2 )] h(t2 ) RX (t1 , t2 ) 输出的自相关函数为
RY (t1 , t2 ) Lt1 [ RXY (t1 , t2 )] h(t1 ) RXY (t1 , t2 )
R X(t) Y (t)
C
31
3.2 随机过程通过线性系统分析
解 RC电路的冲激响应为
h( t ) e
t
1 U ( t )( ) RC
输入与输出的自相关函数为
RXY ( ) h( ) RX ( )
0
RX ( u)h( u)du e | u| e u du
E[ X (t1 )Y (t )] E{ L[ X (t1 ) X (t )]} L{ E[ X (t1 ) X (t )]}
令t=t2，可得 RXY (t1 , t2 ) Lt [ RX (t1 , t2 )] 同理可证 RY (t1 , t2 ) Lt [ RXY (t1 , t2 )] 联合上面两式，得
mY
2 RY ( t1 , t 2 ) 2 e , t1 t 2 2
所以，稳态情况下，输出是平稳随机过程。
30
3.2 随机过程通过线性系统分析
例3.3 设有下图所示的RC电路。假定输入 为零均值的平稳随机过程，且相关函数为 RX(τ)=e-β|τ|，求稳态时输出Y(t)的自相关函 数。
RXY ( ) h( ) RX ( )
21
3.2 随机过程通过线性系统分析
同理
RY ( t1 , t 2 )
+ - + + -
RXY ( t1 u, t 2 )h( u)du
RXY ( t1 t 2 u)h( u)du RXY ( u)h( u)du
Y (t )
h(t)
Y(t)
输出 均值 mY (t ) h(t ) m X (t ) m X (t )h( )d
X (t )h( )d h(t ) X (t )
若X(t)平稳
mY
m X h( )d m X
2 1
RY (t1 , t2 ) Lt1 • Lt2 [ RX (t1 , t2 )]
11
3.1 变换的基本概念和基本定理
由两个定理可知，对于线性变换，输出的 均值和相关函数可以分别由输入的均值和 相关函数确定。 推广，对于线性变换，输出的k阶矩可以 由输入的相应阶矩来确定，如
E[ y(t1 ) y(t2 ) y(t3 )] Lt1 Lt2 Lt3 {E[ X (t1 ) X (t2 ) X (t3 )]}