随机过程-通过线性系统

时域法（或冲击响应法）是求随机过程 线性变换后输出随机过程自相关函数的 一种基本方法。可以用于平稳与非平稳 输出过程的相关函数。当系统的冲击响 应h(t)比较简单时，应用此法比较方便。
频谱法：通常比较简单，但是只能用于 输出为平稳过程！
四、联合平稳
RYX ( ) RX ( ) h( )
输出输入过程的互相关函数= 输入自相关函数与系统权函数的卷积
RY (t1, t2 ) RYX (t1, t2 ) h(t2 )
RYX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) h(t1)
合并以后：
RYY (t1, t2 ) RYX (t1, t2 ) h(t2 ) RYYRR(tXX1XX,t((2tt)11,, ttR22 ))XX(t[1h,ht(2(t1)t1))[hh(ht1()(tt22))h](t2 )]
二、随机过程－均方微积分
2、自相关函数刻划随机过程连续、 可导数和可积的条件；
– 极限存在的条件 – 连续性条件 – 导数存在的条件 – 积分存在的条件
二、随机过程－均方微积分
3、微分与积分作为线性变换，来看 输出自相关、输入与输出互相关；
RYX
(t1, t2
)
R(t1, t2 t1
)
;
RXY
平稳过程通过线性系统的输出
Y (t) X (t - )h( )d X ( )h(t - )d
-
-
假设X(t)为平稳过程，则
my结(t论) ：-如 果mx系h(统 )是d稳定m的x ，- 输h(入 )平d
RY稳Y (t过1,t2程) 的自相 R关XX (函t1 数u,也t2 是v)可h(u积) h的(v，)dudv
RYY ( )
d2
d 2
RX ( )
三、输出响应
Y (t)＝
X (t - )h( )d
-
＝
X ( )h(t - )d
-
＝X (t) h(t)
三、输出自相关的时域法
自相关定理（平稳过程）
RY ( ) RX ( ) Rh ( )
协方差定理（平稳过程）
CY ( ) CX ( ) Rh ( )
Rh ( )
Fra Baidu bibliotek
h(v)h(v )dv
三、输出自相关的频域法
功率谱定理
GY () | H ( j) |2 GX ()
维纳辛钦定理
RY
( )
1
2
+ -
GY
(
)e
j
d
1
2
+
|
-
H(
j) |2
GX
()e j d
对于实随机过程
RY
(
)
1
+ 0
|
H
(
j)
|2GX
()
cos
d
三、时域法与频域法比较
系数决定了线性变换的性质
二、随机过程－均方微积分
1、从普通函数微积分的概念推广到 随机过程均方微积分
– 均方极限 – 均方连续 – 均方导数 – 均方积分
微分变换与积分变换
注意
– 一点导数与定义域上的导函数
X (t) d
Y(t) X(t)
dt
– 区间上积分与变限区间积分
t
X(t) ()ds Y(t) a
RXY ( ) RX ( ) h( )
输入输出过程的互相关函数= 输入自相关函数与系统权函数的卷积
四、输出自相关与互相关
RY ( ) RYX ( v)h(v)dv
RYX ( ) h( )
RX ( ) h( ) h( )
RX ( ) h( ) h( )
RXY ( ) h( )
第二章 知识要点－1
随机过程：
– 时间为参量的一族随机变量，核心 是研究随机信号；
四种分类：
– 连续型随机过程 – 离散型随机过程 – 连续随机序列 – 离散随机序列
第二章 知识要点
研究的工具：
– 有限维分布函数簇—概念上有用 – 数字特征—均值函数、自相关函数、
相关系数、功率谱密度函数，实际使 用最多。
线性时不变；当均值不为零时，由于冲击响应函 数积分为无穷大，因此不能应用前面的结论。
2、线性系统－电路原理图
x(t)
R
C
y(t)
电路原理图
3、线性变换的数学表示
an
y(n)
a y(n-1) n-1
...
a0
y
微分方程
bm x(m)
b x(m-1) m-1
...b0x
(a n sn
a
sn-1
n-1
...
a0 )Y(s)
传输函数
=(bmsm bm-1sm-1 ...b0 )X(s)
引用定理：
– 卷积定理、傅立叶变换的性质
随机过程－通过线性系统
一、线性系统 二、随机过程的均方微积分 三、相关函数与功率谱密度 四、互相关函数与互谱密度 五、白噪声通过线性系统
一、线性系统－概念示意图
x(t)
T
y(t)
线性系统 概念示意图
T[ax1(t) bx2(t)] aT[x1(t)] bT[x2(t)]
(t1, t2
)
R(t1, t2 ) t2
RYY
(t1,t2 )
RYX (t1,t2 ) t2
RXY (t1,t2 ) t1
2RXX (t1,t2 ) t1t2
二、随机过程－均方微积分
4、作为平稳随机过程，以上2、3有
更进一步的结论。
RXY
( )
dR( d
) ; RYX
( )
dR( ) d
t1 t2 , dt2 d
h()
RXY ()
h( )
RXX ()
RYY ()
h( ) h() RYX ()
四、互谱密度
GXY () H ( j) GX () GYX () H ( j) GX ()
四、互相关定理应用
h (t )
x(t )
线性系统 y(t)
RYX ()
相
关
器
由互相关函数确定系统权函数
四、非平稳过程自相关定理
第二章、主要知识点 3
重要的定理：
– 各态历经性定理、维纳欣钦定理、自 相关函数与功率谱之间的重用公式
重要性质：
– 自相关函数对称性、零点最大、非负 定性、一点连续全区域连续
引用或关联：
– 切比雪夫不等式、大数定律
第二章 能力要点
非负定性证明方法
– 转化为一个二阶矩
积分变换：
– 各态历经性定理、维纳欣钦定理证明 过程中对平稳随机过程中的积分变换
输注则入意输平：稳出积一分定 存也在R是XX的平(条稳u件的，v！)h只(u有) h(均v)d值ud与v,
仅与 有自关相，关则都输是出有过程限也时是，平才稳成的立。！
现在来看积分变换
t
X(t) ()ds Y(t) a
t
Y (t) X ( )d X ( )h(t - )d
-
1 t 0 h注(t意) ：u当(ta)为负0无穷时t ， 0线性时不变；否则就不是