第5章 随机过程通过线性系统(1)
通信原理课程通信原理-习题课
《通信原理》习题课1． 已知二进制OOK 数字通信系统中发送的二元信号是()1cos2c s t A f t π=、()20s t =，持续时间为0b t T ≤<。
OOK 信号传输中受到功率密度为02N 的加性高斯白噪声()n t 的干扰，接收信号为()()()i r t s t n t =+，1,2i =(1)请分别画出最佳相干接收框图。
(2)设s1(t)和s2(t)等概出现，推导相干接收时的平均误比特率。
（知识点：数字频带通信系统）2．设有恒参信道模型如下图所示，求其幅频特性、相频特性、时延特性和群时延特性，并说明它们对信号传输的影响。
（知识点：信道）3．已知在高斯信道理想通信系统传送某一信息所需带宽为106Hz,信噪比为20dB ，若将所需信噪比降低10dB ，求无差错传输所需信道带宽。
（知识点：香农信道容量公式）4．某一待传输的图片约含2.5×106个像素，每像素量化为16个亮度电平。
假若所有这些亮度电平等概出现且互不相关，并设加性高斯噪声信道中的信噪比为30dB ，试计算用3分钟传送一张这样的图片所需的最小信道带宽（假设不进行压缩编码）。
（知识点：信息量计算；香农公式）5．对10路模拟信号分别进行A 律13折线PCM 编码（每样值8比特编码），然后进行时分复用，再经过滚降因子为α=0.5的升余弦脉冲成型滤波器进行无ISI 传输，该升余弦基带系统的截止频率为480kHz 。
（1）求该系统的最大信息传输速率；（2）求允许每路模拟信号的最高频率分量f H 的值。
（知识点：抽样定理；升余弦滤波器带宽）6. 一个由字母A ，B ，C ，D 组成的字。
对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00代替A ，01代替B ，10代替C ，11代替D ，每个脉冲宽度为5ms 。
（1）不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率； （2）若每个字母出现的可能性分别为P A =1/5，P B =1/4，P C =1/4，P D =3/10试计算传输的平均信息速率。
通信原理各章小结及习题课
ξc(t) 、ξs(t)
(1)E［ξc(t)］=0 (2)E［ξs(t)］=0 (3)Rξ(0)
= Rc(0) =Rs(0) = Rs(τ)
σξ2 =σc2 =σs2
(4)Rc(τ)
Rcs(τ) = -Rsc(τ)
(5)
同一时刻相互独立
(5) fcs(ξc, ξs)=fc(ξc)·s(ξs) f
r (t) r(kTs) 抽样判决器 t=kTs 抽样
n(t) AWGN
判决电平b
A, e(t ) A,
发送“1” 发送“ 0”
1, 判决输出 0,
r (kTs ) b r (kTs ) b
已知白噪声的双边功率谱密度为n0/2, LPF为理想 低通滤波器，截止频率为fm， 求P(0/1)及P(1/0)
(2.18) (2.19) (2.20) (2.21)
(5) R(0)-R(∞)=σ2 ［方差，交流功率］
(2.22)
平稳随机过程的PSD
P ( ) R( )e j d
1 R( ) 2
P ( )e j d
P ( f ) R( )e j 2f d
1 8 { cos 10 d 0} 1 2 5 5
4 sin 5 / 5 4Sa(5 )
所以X(t)是平稳的
X (t ) lim
T /2 1 T T / 2 T
A cos(t )dt 0 A2 cos(t ) cos(t )dt
2
PY ( ) PX ( ) H ( j )
X(t)
Impulse Response h(t)
《随机信号分析与处理》教学大纲
《随机信号分析与处理》教学⼤纲《随机信号分析与处理》教学⼤纲（执笔⼈：罗鹏飞教授学院：电⼦科学与⼯程学院）课程编号：070504209英⽂名称：Random Signal Analysis and Processing预修课程：概率论与数理统计、信号与系统、数字信号处理学时安排：60学时，其中讲授54学时，实践6学时学分：3⼀、课程概述（⼀）课程性质地位本课程是电⼦⼯程、通信⼯程专业的⼀门学科基础课程。
该课程系统地介绍随机信号的基本概念、随机信号的统计特性分析⽅法以及随机信号通过系统的分析⽅法；介绍信号检测、估计、滤波等信号处理理论的基本原理和信息提取⽅法。
其⽬的是使学⽣通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理的基本概念、基本原理和基本⽅法，培养学⽣运⽤随机信号分析与处理的理论解决⼯程实际问题的能⼒，提⾼综合素质，为后续课程的学习打下必要的理论基础。
本课程是电⼦信息技术核⼼理论基础。
电⼦信息系统中的关键技术是信息获取、信息传输、信息处理，这些技术的理论基础就是随机信号的分析、检测、估计、滤波等理论，这正是本课程的主要内容。
因此，本课程内容是电⼦信息类应⽤型⼈才知识结构中不可或缺的必备知识。
⼆、课程⽬标（⼀）知识与技能通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理基本概念和基本分析⽅法。
内容包括：1.理解和掌握随机过程基本概念和统计描述；2.掌握随机过程通过线性和⾮线性系统分析⽅法3.理解和掌握典型随机过程的特点及分析⽅法；4.掌握参数估计的概念、规则和性能分析⽅法；5.掌握信号检测的概念、规则和性能分析⽅法；6.掌握⾼斯⽩噪声中最佳检测器的结构和性能分析。
通过本课程的学习，要达到的能⼒⽬标是：1.具有正确地理解、阐述、解释⽣活中的随机现象的能⼒，即培养统计思维能⼒；2.运⽤概率、统计的数学⽅法和计算机⽅法分析和处理随机信号的能⼒；3.初步具备雷达、通信、导航等技术领域的信号处理系统的分析、设计、仿真的科学研究能⼒；4.培养⾃主学习能⼒；5.培养技术交流能⼒（包括论⽂写作和⼝头表达）；6.培养协作学习的能⼒；（⼆）过程与⽅法依托“理论、实践、第⼆课堂”三个基本教学平台，通过课堂教学、概念测试、课堂研讨、案例研究、作业、实验、课程论⽂、⽹络教学等多种教学形式，采⽤研究型、案例式、互动研讨、基于团队学习、基于MATLAB的教学以及基于多媒体的教学等多种教学⽅法和⼿段，使学⽣加深对随机信号分析与处理的基本概念、基本原理以及应⽤的理解，并使学⽣通过⾃主学习、⼩组作业、案例研究、实验、课题论⽂等主动学习形式，培养⾃学能⼒和协同学习的能⼒，使学⽣不仅获得知识、综合素质得到提⾼。
随机过程通过线性系统
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
通信原理知到章节答案智慧树2023年青海民族大学
通信原理知到章节测试答案智慧树2023年最新青海民族大学第一章测试1.某独立发送的二进制信源，1符号出现概率为1/4，该信源的平均信息量为1.98 比特/符号。
（）参考答案:错2.设一数字传输系统传送二进制码元的速率为1200Baud，该系统的信息速率为1200比特/秒。
（）参考答案:错3.消息中所含的信息量是该消息出现的概率的函数。
（）参考答案:对4.概率越小，信息量越小。
（）参考答案:错5.设一个二进制离散信源，以相等的概率发送0和1，则信源每个输出的信息量为1比特。
（）参考答案:对第二章测试1.确定信号的的能量是（）。
参考答案:2.信号的平均功率是（）。
参考答案:13.信号的傅氏变换是（）。
参考答案:4.信号的傅氏变换是（）。
参考答案:5.若实信号的傅氏变换是，则的傅氏变换是（）。
参考答案:6.能量信号的自相关函数的性质有（）。
参考答案:自相关函数和能量谱密度是一对傅里叶变换;自相关函数是偶函数;自相关函数在零点的取值等于信号能量7.信号是非周期信号、且是能量信号。
（）参考答案:对8.信号是周期信号、且是功率信号。
（）参考答案:对9.信号是周期信号、且是功率信号。
（）参考答案:错10.互相关函数和两个信号相乘的前后次序无关。
（）参考答案:错第三章测试1.对随机过程作观测时，可以把随机过程看做是( )的集合，当对随机过程进行理论分析时，可以把随机过程看做是( )的集合。
参考答案:样本函数随机变量2.随机过程数字特征之间的关系是( ).参考答案:方差等于均方值和均值平方之差;在同一个时刻，自相关函数的值就是均方值;在同一个时刻，自协方差函数的值就是方差3.平稳随机过程自相关函数的主要性质是( )。
参考答案:偶函数;在时间差等于0时具有极大值4.随机过程经过线性系统的主要性质有( ).参考答案:如果输入是宽遍历的，则输出也是宽遍历的;如果输入是严平稳的，则输出也是严平稳的;如果输入是宽平稳的，则输出也是宽平稳的5.高斯过程经过线性变换后生成的过程还是高斯过程。
通信原理简答题答案2（个人整理）
通信原理简答题答案2（个⼈整理）第⼀章绪论1-2何谓数字信号？何谓模拟信号？两者的根本区别是什么？答：数字信号：电信号的参量值仅可能取有限个值。
模拟信号：电信号的参量取值连续。
两者的根本区别是携带信号的参量是连续取值还是离散取值。
1-3何谓数字通信？数字通信偶哪些优缺点？答：利⽤数字信号来传输信息的通信系统为数字通信系统。
优点：抗⼲扰能⼒强，⽆噪声积累传输差错可控；便于现代数字信号处理技术对数字信息进⾏处理、变换、储存；易于集成，使通信设备微型化，重量轻；易于加密处理，且保密性好。
缺点：⼀般需要较⼤的传输带宽；系统设备较复杂。
1-4 数字通信系统的⼀般模型中各组成部分的主要功能是什么？答：信源编码：提⾼信息传输的有效性（通过数字压缩技术降低码速率），完成A/D转换。
信道编码/译码：增强数字信号的抗⼲扰能⼒。
加密与解密：认为扰乱数字序列，加上密码。
数字调制与解调：把数字基带信号的频谱搬移到⾼频处，形成适合在信道中传输的带通信号。
同步：使收发两端的信号在时间上保持步调⼀致。
1-5 按调制⽅式，通信系统如何分类？答：基带传输系统和带通传输系统。
1-6 按传输信号的特征，通信系统如何分类？答：模拟通信系统和数字通信系统。
1-7 按传输信号的复⽤⽅式，通信系统如何分类？答：FDM,TDM,CDM。
1-8 单⼯、半双⼯及全双⼯通信⽅式是按什么标准分类的？解释他们的⼯作⽅式。
答：按照消息传递的⽅向与时间关系分类。
单⼯通信：消息只能单向传输。
半双⼯：通信双⽅都能收发消息，但不能同时进⾏收和发的⼯作⽅式。
全双⼯通信：通信双⽅可以同时收发消息。
1-9 按数字信号码元的排列顺序可分为哪两种通信⽅式？他们的适⽤场合及特点？答：分为并⾏传输和串⾏传输⽅式。
并⾏传输⼀般⽤于设备之间的近距离通信，如计算机和打印机之间的数据传输。
串⾏传输使⽤与远距离数据的传输。
1-10 通信系统的主要性能指标是什么？—答：有效性和可靠性。
1-11 衡量数字通信系统有效性和可靠性的性能指标有哪些？答：有效性：传输速率，频带利⽤率。
随机信号分析基础(第5章习题讲解)
一个p阶递归滤波器
p
Y j a1Y j1 a2Y j2 a pY j p X j aiY ji X j
p
RY
(k)
i0 p
ai
RY
(k
i),
i0
ai
RY
(k
i)
2 i
,
i0
k 0
k 0
RY (0)
Y () X ()H()
传输函数的计算 稳定性与物理可实现性
随机信号通过线性系统
•系统输出的均值
mY
E[Y (t)] mX
h( )d
•系统输出的自相关函数
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
若随机输入过程X(t)是平稳的，那么线性时不变系 统的输出过程Y(t)也是宽平稳的随机过程。若输入是 各态经历过程，输出也将是各态经历过程。
白噪声通过线性系统
噪声带宽
随机序列通过线性系统
一个q阶非递归滤波器
q
Y j b0 X j b1 X j1 bq X jq bi X ji i0
输入白序列，输出的自相关函数
RY
(k)
2 X
qk i0
bi bi k
,
0,
k 0,1,, q k q
a
mY
(t )
5.11 解：先求出输入电压的自相关函数
RX ( ) E[ X (t) X (t )] E[(X0 cos(2 t ))( X0 cos(2 (t ) )] 1 1 cos 2
随机过程及其应用
§4.5 随机过程的功率谱密度当我们在时间域内研究某一函数的特性时，如果确定起来不方便，在数学上我们可以考虑将此函数通过某种变换将它变换到另一区域，比如说频率域内进行研究，最终目的是使问题简化。
傅里叶变换提供了一种方法，就是如何将时间域的问题转换到频率域，进而使问题简化。
在频率域内，频率意味着信息变化的速度。
即，如果一个信号有“高”频成分，我们在频率域内就可以看到“快”的变化。
这方面的应用在数字信号分析和电路理论等方面应用极广。
是不是任何一个时间函数都可以将其通过傅氏变换变到频率域去研究呢？我们说当时间函数()()x t t -∞<<+∞满足绝对可积条件时可以。
()x t dt +∞-∞<∞⎰然而，随机过程的样本函数，即1(){(),,(),}n X t x t x t =,1(),,()n x t x t 一般不满足绝对条件，因此随机过程不能直接进行傅氏变换。
此外，很多随要过程的样本函数极不规则，无法用方程描述。
这样，若想直接对随要过程进行谱分解，显然也不行。
但是，对随机过程进行某种处理后，同样可对随机过程施行傅里叶变换。
§4.5.1 功率谱密度♦ 为了研究随机信号的傅氏变换，我们首先简单复习一下确定信号S (t )的频谱、能谱密度及能量概念，然后再引入随机过程的功率谱密度概念。
♦定理 设S (t )是一个确定信号且时间在(,)-∞+∞上满足绝对可积条件，则S (t )的傅氏变换存在，或者说具有频谱()()j tS S t edt ωω+∞--∞=⎰1()()2j t S t S e d ωωωπ+∞-∞=⎰1()()FF S t s ω-−−→ 对于定理的物理解释是，S(t )代表电流或电压，则定理条件要求()s t dt +∞-∞<∞⎰，即是要求S(t )的总能量必须有限。
由积分变换的巴塞伐公式21()()()2j t S t dt S t S e d dt ωωωπ+∞+∞+∞-∞-∞-∞=⎰⎰⎰*1()()2S S d ωωωπ+∞-∞=⎰ 1()()2j t S S t e dtd ωωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰ 即：221()()2S t dt S d ωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰下面我们来解释一下公式的物理含义：若把S (t )看作是通过1 Ω电阻上的电流或电压，则左边的积分表示消耗在1 Ω电阻上的总能量，故右边的被积函数2()S ω相应地称为能谱密度。
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RX
(
)
N0 2
( )
Y (t)
h(t )
相
关
器
RXY ( )
4．物理可实现(因果)系统的响应
物理可实现系统的条件：
h(t ) 0, t 0
将该条件代入上述关系式，可得
因果性
E[Y (t)] mX h( )d mX H(0)
0
RY ( ) 0 0 h( )h( )RX ( )dd
Y (t ) h( )X (t )d
▪频域表示：
∵ 随机过程X(t)是无限时宽，无限能量，非周期的, ∴ X(t) 的付氏变换、Z变换以及付氏级数都不存在， 故不能用频谱表述。
但是，若随机过程是平稳的，则其频域特性可用功率
谱来描述。
平稳随机过程通过线性时不变系统：
平稳条件：
E[X (t)] = 常数；
RXY ( ) 0 RX ( )h( )d
注意：卷积关系不再成立。
平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：
X(t )
h(t )
Y(t )
X(t)：平稳随机过程
h(t)：线性时不变系统的冲击响应
E[Y (t )] m X H (0)
问题的提出：用统计的方法如何来具体地表征随机过 程通过线性时不变系统的行为，从中我们能获得什么结 论？
一、平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析
1．系统输出Y(t)的均值:
Y (t ) h( )X (t )d
E[Y (t)] mX h( )d mX H(0) ，其中 h( )d H(0)
线性时不变系统 h(t) ：
时域表示：
非因果系统： y(t,i ) h( )x(t ,i )d
因果系统： y(t,i ) h( )x(t ,i )d
0
即，系统输出 y(t,i ) 也只能是随机过程的一个样本且有界。
其无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本
x(t, ) 都是有界的，才有
RXY ( ) RX ( ) h( ) 同理可证，
RYX ( ) RX ( ) h( ) RX ( ) h( )
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
当X(t)为白噪声，即 RX ( ) (N0 / 2) (t) 时，则
随机信号——函数值无法用数学式或列表形式确切的表述。
其原因是：
1.随机性，即任何时刻点上的取值不能预先确定。因为
随机过程（信号）是随时间或依时序组成的每个时间点上
的随机变量的集合，所以随机信号每个时间点上对应的函
数值都是一个随机变量。即便通过一个具体的实验所得到
的确定函数，也只能是该随机过程的一个样本x(t函,数i )
，
它也无法表征整个随机过程的行为 。
2.波及性，随机过程可以认为是某个随机系统中某一个
端口的输出，各时间点上随机变量的取值往往具有前后的
波及影响，既不同时间点上随机变量间的关联性。这种波
及或关联性是由随机系统的各种惯性决定的。
针对随机信号所具有的随机性和波及性，可 用统计方法来描述其随时间变化的函数关系：
h( )[h(
)
RX
3. 系统输入与输出之间的互相关函数:
RXY (t, t ) E[ X (t )Y (t )] E[ X (t )_h( )X (t )d ]
E[
X
(
t
)
X
(t
)]h( )d
R X
(
)]h( )d
1. 对于每一时间点上的函数值是随机变量的特 征，可用一维统计特性来描述：
函数值的概率密度、均值、方差等； 2. 对于各时间点随机变量的波及性，用多维统 计特性来描述：
函数值的多维概率密度、相关函数等。
随机过程通过线性时不变系统的表示
随机过程的一个样本 x(t,i ) , 若 x(t,i )是有界的，则对于
Y () H()X () 。 所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其 时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述，而且 对于其通过线性时不变系统的表述为：
x(t)
X ()
h(t )
H ()
y(t) x(t) h(t)
Y() X ()H()
问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以 及与系统函数间的关系如何？
➢ 输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。
2. 系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY (t, t ) E[Y (t )Y (t )]
h( )h( )E[ X (t )X (t )]dd
h( )h( )RX ( )dd RY ( )
➢ 输出过程 RY(τ) 只与时间差 τ 有关，而与时间起点 t 无关。
第五章 随机过程通过线性系统
确定信号通过线性时不变系统，我们已经很熟悉。 例如：
x(t)
h(t)
y(t )
确知信号x(t), 线性时不变系统h(t)：
时域：
非因果系统： y(t ) h( )x(t )d
因果系统： y(t) h( )x(t )d
0
▪ 频域： 若 h(t)dt 物理可实现，且x(t)有界，则有：
RXY ( ) RX ( ) h( ) (N 0 / 2) ( ) h( ) (N0 / 2)h( )
即有
h( )
2 N0
RXY ( )
➢ 该式说明：如果能用互相关函数测量设备测得 RXY ( ) ， 则可用功率谱密度为 N0 / 2 的白噪声激励线性系统来估计 该线性系统的冲击响应。
X(t)
由 E[Y(t)] ≡常数和 RY(τ) 可知： 平稳随机过程通过线性时不变系统的输出过程也是平稳的。
且有：
E[Y (t )] m X H (0)
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
RY ( ) h( )h( )RX ( )dd
h( )[
h(
)RX
(
)d ]d
RX (t1 , t2 ) Ex(t1 )x(t2 ) RX ( ), t2 t1
E X 2 (t )
由于随机过程的自相关函数，自协方差函数绝对可积， 故其存在Z变换，或付氏变换。
物理解释：能量无限的信号，一般功率有限。
由此可知：随机过程只能用统计的方法来表征，不存 在频谱，但可用功率谱描述。