第5章 随机过程通过线性系统

上海大学通信学院第五章随机过程通过线性系统确定信号通过线性时不变系统，我们已经很熟悉。

例如：确知信号x(t), 线性时不变系统h(t)：⏹时域：非因果系统：因果系统：⎰∞∞--=τττdtxhty)()()(τττdtxhty⎰+∞-=)()()()(th)(t x)(t y上海大学通信学院▪频域：若物理可实现，且x(t)有界，则有：。

所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述，而且对于其通过线性时不变系统的表述为：问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以及与系统函数间的关系如何？⎰∞∞-∞<dtth)()()(ωHth)()(ωXt x)()()()()()(ωωωHXYtht xt y=*=)()()(ωωωXHY=上海大学通信学院针对随机信号所具有的随机性和波及性，可用统计方法来描述其随时间变化的函数关系：1. 对于每一时间点上的函数值是随机变量的特征，可用一维统计特性来描述：函数值的概率密度、均值、方差等；2. 对于各时间点随机变量的波及性，用多维统计特性来描述：函数值的多维概率密度、相关函数等。

上海大学通信学院随机过程通过线性时不变系统的表示随机过程的一个样本 , 若是有界的，则对于线性时不变系统：⏹时域表示：非因果系统：因果系统：即，系统输出也只能是随机过程的一个样本且有界。

其无法代表系统输出随机过程的全体。

只有当每个输入样本都是有界的，才有τξττξdtxhtyii),()(),(-=⎰∞∞-),(itxξτξττξdtxhtyii),()(),(-=⎰∞),(it yξ),(itxξ)(t h),(ξt xτττdtXhtY)()()(-=⎰∞∞-上海大学通信学院▪频域表示：∵随机过程是无限时宽，无限能量，非周期的,∴ 的付氏变换、Z变换以及付氏级数都不存在，故不能用频谱表述。

但是，若随机过程是平稳的，则其频域特性可用功率谱来描述。

平稳随机过程通过线性时不变系统：平稳条件：= 常数；)]([tXE[]∞<)(2tXE)(tX[]122121),()()(),(ttRt xt xEttRXX-===ττ)(tX上海大学通信学院一、平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析⏹1．系统输出Y(t)的均值:，其中输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。

⏹ 2. 系统输出Y(t) 的自相关函数:输出过程R Y(τ) 只与时间差τ 有关，而与时间起点t 无关。

)0()()]([HmdhmtYEXX==⎰∞∞-ττ)0()(Hdh=⎰∞∞-ττ)()()()()]()([)()()]()([),(τβαβατβαβαβταβαττYXYRddRhhddtXtXEhhtYtYEt tR=-+=-+-=+=+⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-τττdtXhtY⎰∞∞--=)()()(上海大学通信学院由E[Y(t)] ≡常数和RY(τ) 可知：平稳随机过程通过线性时不变系统的输出过程也是平稳的。

且有：)0()]([HmtYEX=)()()()(ττττ-**=hhRRXY)()()(])()()[(])()()[()()()()(ττταατατααββατβαβαβατβατXXXXYRhhdRhhddRhhddRhhR**-=+*+=-+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-+∞∞-+∞∞-上海大学通信学院⏹ 3. 系统输入与输出之间的互相关函数:(,)[()()][()()()][()()]()()()XYXR t t E X t Y t E X t h X t dE X t X t h d R h dτταταατααατααα+∞-∞+∞+∞-∞-∞+=+=+-=+-=-⎰⎰⎰同理可证，()()()YX XR R hτττ=*-)()()()()()()()(ττττττττhRhRhhRRYXXYXY*=-*=-**=)()()(τττhRRXXY*=上海大学通信学院当X(t)为白噪声，即时，则)()2/()(τδτNRX=)()2/()()()2/()()()(τττδτττhNhNhRRXXY=*=*=即有)(2)(ττXYRNh=该式说明：如果能用互相关函数测量设备测得，则可用功率谱密度为的白噪声激励线性系统来估计该线性系统的冲击响应。

)(τXYR2/N)(t h)(tX)(tY相关器)(τXYR)(2)(0τδτNRX=上海大学通信学院4．物理可实现(因果)系统的响应⏹物理可实现系统的条件：因果性将该条件代入上述关系式，可得注意：卷积关系不再成立。

,0)(<=tth)0()()]([HmdhmtYEXX==⎰∞ττβαβατβατddRhhRXY)()()()(00-+=⎰⎰+∞+∞αααττdhRRXXY)()()(⎰+∞-=上海大学通信学院⏹平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：X(t)：平稳随机过程h(t)：线性时不变系统的冲击响应⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-*=*=*=-*=-**==)()()();()()()()()()()()()()()0()]([ττττττττττττττhRRhRRhRhRhhRRHmtYEXYXXXYYXXYXYX注意：物理可实现系统的条件。

)(th)(tX)(tY上海大学通信学院二、平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析1．系统输出Y(t)的功率谱密度ββατβαατττωωτωτdeRhhdddeRGjXjYY⎰⎰⎰⎰∞∞--∞+∞-∞∞--+∞∞--+==])()()([)()(令βαττ-+='，则βαττττ+-'='=,dd，令：，则其中，|H(ω)|2称为系统的功率传输函数。

所以，系统的输出功率=系统的输入功率× |H(ω)|2。

)()()()()(*])([)()()(2ωωωωωττββααωτωωβωαXXjXjjYGHGHHdeRdehdehG==''=⎰⎰⎰+∞∞-'-+∞∞-∞∞--上海大学通信学院系统输出Y(t)的自相关函数系统的输出的均方值或平均功率21()()21()()2j Y Y j X R G e d H G e d ωτωττωωπωωωπ+∞-∞+∞-∞==⎰⎰⎰+∞∞-==ωωωπd G H R t Y E X Y )()(21)0()]([22上海大学通信学院2. 系统输入与输出之间的互谱密度)()()(τττh R R X XY *=)()()(τττ-*=h R R X YX 由付氏变换性质可得:)()()(ωωωH G G X XY =)()()(ωωω-=H G G X YX 当X (t )为白噪声，即G X (ω)=N 0/2时，则)(2)(0ωωH N G XY =，或 )(2)(0ωω-=H N G YX ⏹上式说明：如果能设法获得G XY (ω) 或G YX (ω) ，则可估计线性系统的传输函数 H (ω) 。

上海大学通信学院⏹平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析小结：G X (ω) ：输入平稳随机过程X(t)的功率谱密度; H (ω) ： 线性时不变系统的传输函数; |H (ω)|2 ：线性时不变系统的功率传输函数; G Y (ω) ：输出平稳随机过程Y (t )的功率谱密度； )(t X )(t Y )(H ω)(G X ω)(G Y ωG XY (ω) ：输入X(t)与输出平稳随机过程Y (t )的互谱密度。

上海大学通信学院⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-======⎰⎰∞+∞-∞+∞-)()()()()()()()(21)0()]([)()(21)()()()(2222ωωωωωωωωωπωωωπτωωωωτH G G H G G d G H R t Y E d e G H R G H G X YX X XY X Y j X Y XY 上海大学通信学院三、多个随机过程之和通过线性系统设 X 1(t ) 和 X 2(t )单独平稳，且联合平稳，则线性系统的输出Y (t )的特性为：1．输出Y (t )的均值21)]([Y Y Y m m t Y E m +==)t (h )t (X )t (X )t (X 21+=)t (Y )t (Y )t (Y 21+=上海大学通信学院2．输出Y (t )的自相关函数和功率谱密度[])()()()()()()()()()()(122121122121τττττττττττ-**+++=+++=h h R R R R R R R R R X X X X X X Y Y Y Y Y Y Y []2)()()()()()(122121ωωωωωωH G G G G G X X X X X X Y ⨯+++= 推论：若X 1(t ) 和 X 2(t )互不相关，则1212()()()2()()Y X X X X R R R m m h h τττττ⎡⎤=++**-⎣⎦[]2)()(4)()()(2121ωωδπωωωH m m G G G X X X X Y ⨯++=上海大学通信学院若X1(t) 和X2(t)互不相关，且均值为零，则3．输入X(t) 与输出Y(t) 的互相关函数和互谱密度[])()()()()()()(2121τττττττYYXXYRRhhRRR+=-**+=)()()()()(22122111τττττYXYXYXYXXYRRRRR+++=[])()()()()()(21212ωωωωωωYYXXYGGHGGG+=⨯+=11122122()()()()()XY X Y X Y X Y X YG G G G Gωωωωω=+++上海大学通信学院四、白噪声通过线性系统设白噪声的功率谱密度为，线性时不变系统的传输函数为，则系统输出的功率谱密度为:),(,)(2)(20∞+-∞∈=ωωωHNGY)(ωH)(tY，。

― 双边功率谱密度，。

― 单边功率谱密度系统输出功率谱密度不再是均匀的，其完全取决于系统的频率特性H(ω)。

系统输出Y(t)也不再是白噪声。

),0(,)()(2∞+∈=ωωωHNFY),(,2/)(∞+-∞∈=ωωNGX上海大学通信学院⎰⎰∞+∞+∞-==22)(2)(221)0(ωωπωωπdHNdHNRYGY(ω)、R Y(τ)的求解都需要知道|H(ω)|，因此|H(ω)|越复杂，GY(ω)和R Y(τ)的计算就越困难。

系统输出Y(t) 的平均功率为:上海大学通信学院1．等效噪声带宽⏹等效思想：对于理想系统和实际系统，当输入相同的白噪声时，用输出噪声平均功率相等的方法，寻求一个在频带中心的功率传输函数值与实际系统相等的，且具有矩形传输函数特性的理想系统来代替实际系统。