第十二讲_白噪声通过线性系统

Y t lim
max i 0 n
X ht
i 1 i i
n
i
白噪声通过有限带宽线性系统
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
宽带随机信号通过窄带线性系统 一般当输入信号的带宽为系统带宽的7—10倍，
可近似认为输出为高斯分布
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色噪声的产生与色噪声的白化
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h (t 2 )
h ( t1 )
RYX (t1 , t 2 ) RY (t1 , t 2 )
R X (t1 , t 2 )
平稳情况
h ( t1 )
RX ( ) RXY ) RYX(()
RYX (t1 ,(2)) R XY t
h (t 2 )
RY ( )
h ( )
h ( ) h ( )

0

FY (0 )d
N0 2 e H (0 ) 2
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FY ( 0 ) e FY ( )d
0

•对于带通系统
2 FY ( )d H ( ) d e 0 0 2 FY (0 ) H (0 )


•低通
2 FY ( )d H ( ) d e 0 0 2 FY (0) H (0)
R X ( )
Y (t ) Y1(t ) Y2 (t )
RY ( )
G X ( )
GY ( )
若两个输入不相关
RX ( ) RX ( ) RX ( ) 2mX 1mX 2
1 2
h( ) * h( )
H ( ) 2
RY ( )
G X ( ) G X ( ) G X ( ) 4mX 1mX 2 ( )
4
第十二讲
主要内容： 白噪声通过线性系统的特性分析 等效噪声带宽
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为什么研究白噪声通过线性系统
1、由于白噪声在数学上有很好的性质，利用白噪声作 为实际噪声的模型，任何随机信号与白噪声结合都会使 分析简单化。 2、任何一个平稳随机信号都可以看作是白噪声通过某 个线性系统的输出，要研究平稳随机信号的统计特性，
0

实际系统的输出功率
1 RY (0) 2
N 0 2
0 FY ()d
0


0
0
H (0 )

H ( ) d
2
等效原则：理想系统的增益为实际系统 的最大增益。H ( ) 理想系统与实际系统在同一白噪声激励 下，两个系统的输出平均功率相等
理想系统的输出功率
1 RY (0) 2
相关函数：
N0 K RY ( ) e 2
2 0

4
cos 0
输出功率：
N 0 K 02 Y2 RY (0) 2
12
0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
相关系数：
相关时间：
可以通过对白噪声通过系统的输出进行分析来实现
3、研究白噪声通过系统的输出来衡量系统性能
6
1、白噪声通过线性系统的特征分析 频域 时域
N0 ( ) X 2
R X ( ) N0 ( ) 2
G
N0 GXY ( ) H ( ) 2
R XY ( )
输出信号的功率谱 2 N0 GY ( ) H ( ) 2


系统等效的噪声带宽能反映系统输出的噪声功率， 通常作为比较线性系统性能的判据（如信噪比）。 仅用e 和 H (0 ) 就可以描述复杂的线性系统及其 噪声响应
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性质：
(1)等效噪声带宽只由线性系统特性确定；
(2)对于带通系统，输出平均功率
1 2 RY (0) N0 e H (0 ) 2

N0 2
( ) h( )d
N0 h( ) * h( ) 2
N0 h( ) 2
FY () N0 H ()
输出平均功率
2
色 噪 声
RY ( )
h( )
2 R XY ( ) N0
N0 2 WY H ( ) d RY (0) 2 0
2 2 Y ( ) e 4 cos0 2 2 0 e 4 d 0

参量正比与系统带宽，故相关时间与反比。
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2、等效噪声带宽
用噪声衡量的系统带宽
FY ( ) e
FY ( 0 )
FY ( 0 ) e FY ( )d
1 相关函数： RY ( ) 2
1 0 2GY () cos( )d 2 2 sin N0 K0 2 4 2

0 FY () cos( )d

8
t RY( )
相关系数：
sin 2 Y ( ) 2
t
0
2 sin N0 K0 2 RY ( ) 4 2
计算任一高频带通滤波器的 输出相关函数，先用等效低
频系统代替，在乘上 cos(0 )10
• 白噪声通过理想带通系统
2 sin N0 K0 2 cos RY ( ) 2 0 4 2
相关系数
输出的平均功率
用相关系数的包络（慢变化）定义输出过程的相关时间：
0
0
sin
2 d 1 2f 2
与低通滤波器输出过程的相关时间定义相同
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•白噪声通过高斯型带通系统
H ( )
K0
( 0 ) 2 | H ( ) | K 0 exp 2 2
0
0

2
( 0 ) 2 FY ( ) N 0 H ( ) N 0 K 02 exp 输出功率谱： 2 2 2
自相关函数：
2 sin N0 K0 2 cos RY ( ) 2 0 4 2
0
0 2 2 otherwise

H ( )
包络： a( )
2
2
2
2
输出信号的功率谱
2 K N 0 0 0 FY ( ) 0 2 2 0 otherwise
R X ( )
h ( )
RY ( )
2
输出的频域统计特性
G XY ( ) G X ( ) H ( )
GYX ( ) G X ( ) H ( )
GY ( ) H ( ) G X ( )
2
3
两个随机过程之和通过线性系统
X (t ) X1(t ) X 2 (t )
1 、线性系统的输入过程是高斯过程，可确定输出 过程，为高斯分布
Y t X ht d lim
t
max i 0
X ht
i 0 i i
n
i
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2、随机过程正态化
中心极限定理：
大量独立同分布的随机变量之和，其分布是趋于正态的。
对于低通系统，输出平均功率
RY (0) N0 1 2 H (0) 2
(3)当线性系统的形式及级数确定后，噪声等效带宽 与3dB带宽有确定关系，级数越高，两者越接近。
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输出随机过程的概率分布 在设计信号检测系统时，往往希望获得输出信号的 概率分布，但是只有在特殊情况下，才能确定输出 的分布
第五章
随机过程通过线性系统
输出的时域统计特性
•均值
mY (t ) mX (t ) * h(t )
mY m X h( )d m X H (0)
若X(t)平稳

1
随机信号通过线性系统输入输出相关函数关系
R X (t1 , t 2 ) RXY (t1 , t 2 ) RY (t1 , t 2 )
1 2
G
GY ( )
若两个输入任一个零均值
RX ( ) RX ( ) RX ( )
1 2
h( ) * h( )
H ( ) 2
RY ( ) RY ( ) RY ( ) 1 2
G X ( ) G X ( ) G X ( )
1 2
GY ( ) GY ( ) GY ( ) 1 2
相关时间：
0
0
sin
2 d 2 1 2 2f 2
输出功率：
2 Y RY (0) 2 N 0 K 0 4
输出随机过程的相关时间与 系统的带宽成反比
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• 白噪声通过理想带通系统 带通滤波器的频响函数：
K H ( ) 0 0

1、用于系统辨识（P90，95） 2、色噪声（平稳过程）的产生
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•白噪声通过理想低通系统 |H()| K0 -/2 /2
K 0 | H ( ) | 0
/ 2 / 2 other
输出物理谱（频域特征）：
2 N0 K 2 0 / 2 0 FY ( ) N0 H ( ) 0 other