第十二讲_白噪声通过线性系统
通信原理复习题-13通信
13通信工程《通信原理》复习题一、填空1.某四进制系统，4秒钟传输4800个四进制符号，则此系统的传码率R B4=，传信率R b=。
2.模拟调制系统的抗噪声性能主要用来衡量；数字调制系统的抗噪声性能主要用来衡量。
3.AM 调制的可靠性用衡量；DPSK 的可靠性用衡量。
4.某通信系统采用四进制数字序列传输方式，每传输一个码元需T=250×10-6s 时间，其传信率为，码元速率为，若传输了5s ，检测到50个码元误码，其误码率为。
5.八进制数字通信系统的误码率为10-5，系统的传输速率为600b/s ，则接收端在_______h 内能接收到144个错误码元。
6.已知能量信号f(t)的傅氏变换为F(w)，则根据帕塞瓦尔定理可得其能量为E==。
7.设一数字传输系统传送16进制码元，码元传输速率为2400波特，则此时系统的信息传输速率为；如果系统的误码率为10－4，则1小时内错误的码元个数为；如果系统的误比特率为2.5×10-5，则10分钟内错误的比特个数为。
1.1200B ，2400b/s 2.信噪比，误码率 3.信噪比，误码率4.8000，4000，2.5×10-35.206.，7. 9600b/s ， 864 ，21.61.在分析信道时，根据乘性干扰k(t)是否随时间变化，将信道分为_____信道和信道。
2.无失真传输系统的传输函数H 〔w 〕=____ 。
1.恒参，随参 2.3.已知调制信号 ，载波为t π410cos 2，则其DSB信号的表达式为。
4. 将n 路频率X 围为0.3~4KHz 的话音信号用FDM 方法进行传输，若采用AM 调制方式则n 路话音信号的最小传输带宽为，若采用SSB 调制方式则n 路话音信号的最小传输带宽为。
〔不考虑防护频带〕8nKHz ，4nKHz5.已知 ，设调频器灵敏度为 ，试求其已调波功率、载频、最大频偏、已调波带宽、调制信号表达式。
白噪声
I0 ( x ) = ∫
2π
0
1 exp ( − x cos θ ) dθ 2π
p (θ ) = ∫ p ( r,θ ) dr = ∫
0 2 2
∞
∞
0
( r − A cosθ )2 + ( Asin θ )2 r exp − dr 2 2 2πσ 2σ
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X (t ) =
n =−∞
∑ a g ( t − nT )
n
∞
E ( an ) = ma , E an an +k = Ra ( k )
*
循环平稳过程的统计特性
期望 E ( X ( t ) ) = m a 自相关
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R ( t ) = nc ( t ) + ns ( t )
2 2
瑞利分布
ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg nc ( t ) 均匀分布
r2 p ( r ) = 2 exp − 2 σ 2σ r
, r ≥ 0
要求：
会判断过程是否平稳 会求平稳过程的自相关、功率谱密度 会分析与高斯平稳过程相关的一些性质
1 p (θ ) = 2π
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变 量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
2 nc + ns2 p ( nc , ns ) = exp − 2 2 2πσ 2σ ns 令 r = n2 + n2 , θ = arctg c s nc
高斯白噪声平稳过程过线性系统
E
h u
X
t1
u
du
h v X
t 2
v dv
E
v h u h v dvdu
EX
t1
u X
t 2
v h u h v dudv
13
平稳随机过程通过线性系统
RXYt1,t2EXt1Yt2EXt1 Xt2uhudu EXt1Xt2uhudu RXt2t1uhudu RXuhuduRXhRXY
所以，X(t)和Y(t)的互相关函数为：RXYRXh X(t)和Y(t)的互功率谱密度为： PXYPXH
则X1和X2均为期望为0的高斯随机过程
若 1 t与 2 t在 0 ~ T 内正 0 T 交 1 t2 ， td t0 即
则X1和X2不相关且独立。
4
平稳随机过程通过线性系统
设:
X(t)为平稳随机过程,线性系统的单位冲激响应为h(t)， X(t) 通过线性系统后的输出为Y（t）。
高斯白噪声
高斯白噪声的性质:设n（t）为高斯白噪声
1、自相关函数： Rnn20
可见，n(t)只在 0 时才相关，它在任意两个时刻上的随
机变量都是互不相关的
2、数学期望：E[n（t）]=0
3、对高斯随机过程，不相关和独立等价
1
高斯白噪声
Pn(ω)
n0/2
0
ω
(a)
Rn(τ ) n0/2
0
τ
(b)
理想白噪声的功率谱密度和自相关函数
2
带通白噪声
显然当过程的每一个样本函数通过时不变系 统时，可表示为
y1(t) h ( )x1(t ) d
yn (t) h ( ) xn (t ) d
此时系统的输出可表示为 Y (t) {y1(t),}, yn (t), 即系统的输入与输出可表示为
RY (t,t ) E [Y (t )]
E
h(1)
h(
2
)Байду номын сангаас
X
(t
1)X
(t
2
)
d1d
2
E
h(1)
h(
2
)
X
(t
1)
X
(t
1)d1d
2
) e d j(21)
h(1)
e
j1
d1
h( 2 )
e
d j2 2
RX
()
e
jd
H ()H ()GX () GX ()H ()H ()
GX () H 2
5. 系统的输入输出的互谱密度
通过对（6.15）式求付氏变换，并利用
GY () GX () H() 2，可以得到系统输出的功率 谱密度为
这里假设输入信 号为有界平稳过程
E [Y (t] h( ) E [X (t )] d
h( )M X d M X
h ( ) d
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.从随机过程的第二种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:随机变量族2.从随机过程的第一种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:样本函数族3.（）是随机试验中的基本事件参考答案:随机试验的每一种可能结果4.若随机过程X（t），它的n维概率密度 (或n维分布函数)皆为正态分布则称之为高斯过程参考答案:正确5.正态随机过程的广义平稳与严平稳等价参考答案:正确6.平稳随机过程的相关时间，描述了平稳随机过程从完全相关到不相关所需要的时间，对吗？参考答案:正确7.两个平稳随机过程的互相关函数是偶函数，对吗？参考答案:错误8.平稳随机过程的自相关函数是一个奇函数，对吗？参考答案:错误9.对于一个遍历的噪声，可以通过均方值计算其总能量参考答案:错误10.偶函数的希尔伯特变换为参考答案:奇函数11.窄带高斯随机过程包络平方的一维概率密度为：参考答案:高斯函数12.白色随机过程中的“白色”，描述的是随机过程的（）特征参考答案:频谱13.对于具有零均值的窄带高斯随机过程，以下哪个说法正确？参考答案:相位的一维概率密度为均匀分布_包络的一维概率密度为瑞利分布_包络和相位的一位概率密度是相互独立的14.一个实值函数的希尔伯特变换是将其与【图片】的卷积参考答案:正确15.对一个信号的希尔伯特变换，再做一次希尔伯特变换可以得到原信号本身。
参考答案:错误16.连续型随机变量X的概率密度函数fX(x)的最大取值是1?参考答案:错误17.随机变量数学期望值是随机变量取值的中值。
参考答案:错误18.问题：①客观世界中可以设计出理想带通滤波器，②理想白噪声也是存在的。
以上说参考答案:①②均错误19.具有平稳性和遍历性的双侧随机过程经过连续时不变线性系统后，输出随机过程参考答案:平稳、遍历20.正态随机过程具有以下那些性质？参考答案:若正态过程X(t)是宽平稳的，则它也是严平稳的_正态随机过程经过线性系统后其输出仍为正态随机过程。
白噪声过程通过线性系统
fe
f
,故有关系式 2
0fe 1/ 4,也即0与fe成反比。
若f
e大，则
小，输出过程起伏变化快。
0
若fe ，则0 0，白噪声,起伏变化最快。
五、白噪声通过理想带通系统
理想带通网络 输出过程的功率谱密度函数 输出过程的自相关函数 输出窄带噪声的总平均功率 输出窄带噪声的相关系数 窄带噪声的相关时间
C
y (t )
RC
et
t 0 ,令 1
RC
RX
( )
N0 2
( )
2、RC积分器的系统权函数
0, Rh ( )
h(t)h(t )dt
0
et e (t )dt e
0
2
根据对称性：
Rh
(
)
2
e| |
3、输出自相关函数
RY ( ) RX ( z)Rh (z)dz
此时只有低频分量才能通过电路，输出噪声起伏 程度小，相关性强。
白噪声通过RC积分器－小结
若系统输入为白噪声过程时，输出过 程由权函数决定。任一随机过程Y(t)都 可以用白噪声过程通过特定结构的线 性系统来产生，信号模型。
若系统输入为白噪声过程，通过实验 方法测定过程Y(t)的特征，则该系统的 特性就可以求出来，求系统。
一、基本概念
基本假设 频谱法－自相关函数 频谱法－方差 冲击响应法
1、基本假设
冲击响应 h(t)
传递函数 H ( j)
输入噪声 X (t)的功率谱G N0 / 2 输出过程 Y (t) ?
2、频谱法－自相关函数
GY
()
GX
() |H(ຫໍສະໝຸດ j) |2 N0 2
|
随机信号处理考题答案
填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。
1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。
4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。
5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。
6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。
1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。
北大随机信号分析基础课件3.2白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽
3.2 白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽3.2.1 白噪声通过线性系统设线性系统的传输函数为)(ωH ，输入白噪声功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ωω=上述分析表明，若输入信号是白噪声，则输出随机信号的功率谱主要是由系统的幅频特性)(ωH 决定；系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过，具有一定的选择性。
输出自相关函数为：ωωπωωπτωτωτd e H N d e N H R j j Y ⎰⎰∞∞-∞∞-==2002)(42)(21)(输出平均功率为：ωωπd H N R t Y E Y ⎰∞∞-==202)(4)0()]([3.2.2 等效噪声带宽若在保持平均功率)0(Y R 不变的条件下，把输出功率谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。
若等效的功率谱密度的高度为2)0(H ，则这个带宽就定义为等效噪声带宽e ω∆。
1．对于低通系统，用等效噪声带宽e ω∆表示的等效功率传输函数为：ee e H H ωωωωω∆>∆≤=)0()(22等效后系统输出的平均功率为：2020)0(2)(221)0(H N d H N R e e Y πωωωπ∆==⎰∞∞- 已知ωωπd H N R Y ⎰∞∞-=2)(4)0(可得ωωωωωππωd H H d H N H N e e ⎰⎰∞∞-∞∞-=∆=∆222020)0()(21)(4)0(2又2)(ωH 是偶函数，有ωωωd H H e ⎰∞=∆022)0()(2．若系统是以0ω为中心频率的带通系统，且功率传输函数单峰的峰值发生在20)(ωH 处。
用等效噪声带宽e ω∆表示的等效功率传输函数为：其它022)()(00202ee e H H ωωωωωωω∆+<<∆-=等效后系统输出的平均功率为：20020)(2)(221)0(ωπωωωπH N d H N R e e Y ∆==⎰∞∞- 已知等效前系统输出的平均功率为：ωωπωωπd H N d H N R Y ⎰⎰∞∞∞-=02020)(2)(4)0(＝ 则有ωωωωωπωωωπd H H H N d H Ne e ⎰⎰∞∞=∆∆=0202200020)()()(2)(2等效噪声带宽是用来描述系统对信号频率的选择性，并且只与系统参量有关。
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1 、线性系统的输入过程是高斯过程，可确定输出 过程，为高斯分布
Y t X ht d lim
t
max i 0
X ht
i 0 i i
n
i
17
2、随机过程正态化
中心极限定理：
大量独立同分布的随机变量之和，其分布是趋于正态的。
1、用于系统辨识（P90，95） 2、色噪声（平稳过程）的产生
7
•白噪声通过理想低通系统 |H()| K0 -/2 /2
K 0 | H ( ) | 0
/ 2 / 2 other
输出物理谱（频域特征）：
2 N0 K 2 0 / 2 0 FY ( ) N0 H ( ) 0 other
系统等效的噪声带宽能反映系统输出的噪声功率， 通常作为比较线性系统性能的判据（如信噪比）。 仅用e 和 H (0 ) 就可以描述复杂的线性系统及其 噪声响应
15
性质：
(1)等效噪声均功率
1 2 RY (0) N0 e H (0 ) 2
第五章
随机过程通过线性系统
输出的时域统计特性
•均值
mY (t ) mX (t ) * h(t )
mY m X h( )d m X H (0)
若X(t)平稳
1
随机信号通过线性系统输入输出相关函数关系
R X (t1 , t 2 ) RXY (t1 , t 2 ) RY (t1 , t 2 )
Y t lim
max i 0 n
X ht
i 1 i i
n
i
白噪声通过有限带宽线性系统
宽带随机信号通过窄带线性系统 一般当输入信号的带宽为系统带宽的7—10倍，
可近似认为输出为高斯分布
18
色噪声的产生与色噪声的白化
19
相关函数：
N0 K RY ( ) e 2
2 0
4
cos 0
输出功率：
N 0 K 02 Y2 RY (0) 2
12
0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
相关系数：
相关时间：
0
实际系统的输出功率
1 RY (0) 2
N 0 2
0 FY ()d
0
0
0
H (0 )
H ( ) d
2
等效原则：理想系统的增益为实际系统 的最大增益。H ( ) 理想系统与实际系统在同一白噪声激励 下，两个系统的输出平均功率相等
理想系统的输出功率
1 RY (0) 2
h (t 2 )
h ( t1 )
RYX (t1 , t 2 ) RY (t1 , t 2 )
R X (t1 , t 2 )
平稳情况
h ( t1 )
RX ( ) RXY ) RYX(()
RYX (t1 ,(2)) R XY t
h (t 2 )
RY ( )
h ( )
h ( ) h ( )
可以通过对白噪声通过系统的输出进行分析来实现
3、研究白噪声通过系统的输出来衡量系统性能
6
1、白噪声通过线性系统的特征分析 频域 时域
N0 ( ) X 2
R X ( ) N0 ( ) 2
G
N0 GXY ( ) H ( ) 2
R XY ( )
输出信号的功率谱 2 N0 GY ( ) H ( ) 2
计算任一高频带通滤波器的 输出相关函数，先用等效低
频系统代替，在乘上 cos(0 )10
• 白噪声通过理想带通系统
2 sin N0 K0 2 cos RY ( ) 2 0 4 2
相关系数
输出的平均功率
用相关系数的包络（慢变化）定义输出过程的相关时间：
0
0
sin
2 d 1 2f 2
与低通滤波器输出过程的相关时间定义相同
11
•白噪声通过高斯型带通系统
H ( )
K0
( 0 ) 2 | H ( ) | K 0 exp 2 2
0
0
2
( 0 ) 2 FY ( ) N 0 H ( ) N 0 K 02 exp 输出功率谱： 2 2 2
1 相关函数： RY ( ) 2
1 0 2GY () cos( )d 2 2 sin N0 K0 2 4 2
0 FY () cos( )d
8
t RY( )
相关系数：
sin 2 Y ( ) 2
t
0
2 sin N0 K0 2 RY ( ) 4 2
N0 2
( ) h( )d
N0 h( ) * h( ) 2
N0 h( ) 2
FY () N0 H ()
输出平均功率
2
色 噪 声
RY ( )
h( )
2 R XY ( ) N0
N0 2 WY H ( ) d RY (0) 2 0
2 2 Y ( ) e 4 cos0 2 2 0 e 4 d 0
参量正比与系统带宽，故相关时间与反比。
13
2、等效噪声带宽
用噪声衡量的系统带宽
FY ( ) e
FY ( 0 )
FY ( 0 ) e FY ( )d
1 2
G
GY ( )
若两个输入任一个零均值
RX ( ) RX ( ) RX ( )
1 2
h( ) * h( )
H ( ) 2
RY ( ) RY ( ) RY ( ) 1 2
G X ( ) G X ( ) G X ( )
1 2
GY ( ) GY ( ) GY ( ) 1 2
自相关函数：
2 sin N0 K0 2 cos RY ( ) 2 0 4 2
0
0 2 2 otherwise
H ( )
包络： a( )
2
2
2
2
输出信号的功率谱
2 K N 0 0 0 FY ( ) 0 2 2 0 otherwise
R X ( )
h ( )
RY ( )
2
输出的频域统计特性
G XY ( ) G X ( ) H ( )
GYX ( ) G X ( ) H ( )
GY ( ) H ( ) G X ( )
2
3
两个随机过程之和通过线性系统
X (t ) X1(t ) X 2 (t )
R X ( )
Y (t ) Y1(t ) Y2 (t )
RY ( )
G X ( )
GY ( )
若两个输入不相关
RX ( ) RX ( ) RX ( ) 2mX 1mX 2
1 2
h( ) * h( )
H ( ) 2
RY ( )
G X ( ) G X ( ) G X ( ) 4mX 1mX 2 ( )
相关时间：
0
0
sin
2 d 2 1 2 2f 2
输出功率：
2 Y RY (0) 2 N 0 K 0 4
输出随机过程的相关时间与 系统的带宽成反比
9
• 白噪声通过理想带通系统 带通滤波器的频响函数：
K H ( ) 0 0
4
第十二讲
主要内容： 白噪声通过线性系统的特性分析 等效噪声带宽
5
为什么研究白噪声通过线性系统
1、由于白噪声在数学上有很好的性质，利用白噪声作 为实际噪声的模型，任何随机信号与白噪声结合都会使 分析简单化。 2、任何一个平稳随机信号都可以看作是白噪声通过某 个线性系统的输出，要研究平稳随机信号的统计特性，
对于低通系统，输出平均功率
RY (0) N0 1 2 H (0) 2
(3)当线性系统的形式及级数确定后，噪声等效带宽 与3dB带宽有确定关系，级数越高，两者越接近。
16
输出随机过程的概率分布 在设计信号检测系统时，往往希望获得输出信号的 概率分布，但是只有在特殊情况下，才能确定输出 的分布
0
FY (0 )d
N0 2 e H (0 ) 2
14
FY ( 0 ) e FY ( )d
0
•对于带通系统
2 FY ( )d H ( ) d e 0 0 2 FY (0 ) H (0 )
•低通
2 FY ( )d H ( ) d e 0 0 2 FY (0) H (0)